Práticas Atuariais em Seguros e Pensões. 6. Provisões Técnicas Thaís Paiva

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1 Práticas Atuariais em Seguros e Pensões 6. Provisões Técnicas Thaís Paiva thaispaiva@est.ufmg.br

2 Provisões de Prêmios para Seguros de Longo Prazo Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 1 / 31

3 Fórmula de Cálculo: ( f V = Desc.(t) Prob. sin.(t) VP(t) + onde: t=c ) n Prob. desp. i (t) desp. i (t) Prob. prêmio(t) Prêmio(t) i=1 c período inicial do fluxo de compromissos futuros; f período final do fluxo de compromissos futuros; Desc.(t) fator de desconto financeiro para trazer os valores da época t para a época em que se calcula a provisão matemática. Prob. sin(t) probabilidade de um sinistro ocorrer na época t; VP(t) valor presente dos sinistros gerados na época t; Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 2 / 31

4 Fórmula de Cálculo: ( f V = Desc.(t) Prob. sin.(t) VP(t) + onde: t=c ) n Prob. desp. i (t) desp. i (t) Prob. prêmio(t) Prêmio(t) i=1 n quantidade de despesas a serem consideradas; Prob. desp i (t) probabilidade da i-ésima despesa ser paga na época t; desp. i (t) valor dos gastos com a i-ésima despesa geral (despesas administrativas, financeiras, margem de lucro, etc) na época t; Prob. prêmio(t) probabilidade do prêmio ser pago na época t; Prêmio(t) valor do prêmio a ser pago na época t; Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 3 / 31

5 Calcular a provisão pura e a provisão carregada de um plano de seguro de vida inteira com pagamento de prêmios por toda a vida, para uma pessoa que entrou no plano com idade exata x anos e hoje possui a idade exata x + k anos. O valor do pecúlio por morte é corrigido pela inflação e na data do cálculo da provisão matemática corresponde a $ O prêmio é pago anualmente e antecipadamente. A taxa real de juros acima da inflação é igual a i por ano. Suponha que a morte ocorre no final de cada período anual, e que o carregamento para despesas gerais seja nivelado e igual a uma proporção α do prêmio comercial. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 4 / 31

6 Provisão Pura: V p = $ A x+k P x. ä x+k = $ w x k t=0 v t+1. t p x+k. q x+k+t P x. w x k t=0 v t. t p x+k onde P x = $ A x é o prêmio puro pago pelo segurado ä x por toda a vida no regime financeiro de Capitalização. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 5 / 31

7 Provisão Carregada: V c = $ A x+k + α. π x. ä x+k π x. ä x+k = $ w x k t=0 v t+1. t p x+k. q x+k+t + w x k t=0 v t. t p x+k. π x w x k t=0 v t. t p x+k. α. π x onde π x é o prêmio comercial pago pelo segurado por toda a vida no regime financeiro de Capitalização. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 6 / 31

8 Pelo Princípio da Equivalência, o prêmio comercial π x é calculado da seguinte forma: π x. ä x = $ A x + α. π x. ä x π x = $ A x (1 α). ä x = P x 1 α pois P x = $ A x ä x Substituindo a expressão acima de π x na fórmula da Provisão Carregada, temos: V c = $ A x+k + α. π x. ä x+k π x. ä x+k = $ A x+k (1 α). π x. ä x+k = $ A x+k P x. ä x+k = V p Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 7 / 31

9 Veja que a fórmula de provisão carregada chegou ao mesmo resultado da fórmula da provisão pura. Isso aconteceu pois os carregamentos para as despesas são nivelados e a seguradora garante todo o seu custeio com os prêmios comerciais que vão sendo cobrados ao longo do tempo. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 8 / 31

10 Existem situações em que as despesas gerais não são niveladas, sendo maiores no início da operação, por exemplo, ou em que as despesas gerais ultrapassam o período de cobrança dos prêmios. Exercício Calcular a provisão carregada do exemplo anterior, dado que o carregamento para despesas gerais é igual a α + β no primeiro ano, e igual a α nos anos subsequentes. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 9 / 31

11 A provisão carregada no instante k será: V c = $ A x+k (1 α). π x. ä x+k pois em qualquer instante k 1, a despesa β já foi incorrida, e para o futuro a seguradora só terá a despesa α. Neste caso, o prêmio comercial é calculado da seguinte forma: π x. ä x = $ A x + α. π x. ä x + β. π x π x = $ A x ( 1 α βäx ). ä x = P x 1 α β ä x pois P x = $ A x ä x Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 10 / 31

12 Veja que P x = π x. ( 1 α βäx ). Substituindo na fórmula da provisão carregada, temos que: V c = $ A x+k (1 α). π x. ä x+k ( ) β = $ A x+k P x + π x.. ä x+k β = $ A x+k P x. ä x+k π x.. ä x+k ä x = V p β π x.. ä x+k ä x No primeiro ano, as despesas gerais são superiores às despesas dos anos subsequentes, e esse excesso de despesa é financiado por um prêmio comercial nivelado. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 11 / 31 ä x

13 A provisão que reflete o saldo real da operação é a provisão carregada, que somente se iguala à provisão pura quando o último prêmio comercial é pago. O excesso de despesa inicial é financiado por toda a vida junto com o prêmio comercial (a prestação é π x. β ä x ). Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 12 / 31

14 Provisão Zilmerada Para lidar com esse problema de operações com despesas iniciais elevadas, o atuário alemão Zilmer criou a chamada Provisão Zilmerada, a qual é zerada ao final do primeiro ano e fica igual à provisão pura ao final de um certo período (é comum igualar a provisão ao final do quinto ano). Zilmer reduz a zero a provisão de primeiro ano através de um empréstimo à provisão de primeiro ano, para evitar prejuízos substanciais no início da operação. Com despesas iniciais muito elevadas, a seguradora não dispõe de recursos para constituir a provisão pura. Na verdade, o critério de cálculo aplicado por Zilmer é arbitrário, pois a provisão de primeiro ano não precisa necessariamente ser zero para evitar prejuízos iniciais. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 13 / 31

15 Provisão Zilmerada P é aumentado por Ë a x, onde E são as despesas iniciais. Com isso, a reserva no tempo t = 0 é V 0 = E. Essa reserva zilmerada vai decaindo para zero ao longo do tempo. Isso tem o efeito de diluir o impacto das despesas iniciais, ao invés de iniciar a operação com um valor muito alto provisionado. Fonte: Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 14 / 31

16 Valor de Resgate Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 15 / 31

17 Valor de Resgate Sabemos que a provisão matemática é formada com o excesso de prêmios pagos pelo segurado em relação às despesas da seguradora. Esse excesso pode ser disponibilizado ao segurado em caso de cancelamento Valor de resgate. Desta forma, normalmente, o valor de resgate utiliza a provisão matemática como base de cálculo. É comum, também, principalmente na previdência privada fechada, o uso dos valores de prêmios acumulados como base de cálculo do valor de resgate. A base da provisão é sempre melhor para calcular o valor de resgate, pois ao utilizar os prêmios acumulados não se consideram as despesas efetuadas no período. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 16 / 31

18 Valor de Resgate A provisão carregada é a que melhor reflete o saldo da operação de seguros e o valor a ser devolvido ao segurado, já que leva em consideração as despesas. A provisão utilizada como base para o valor de resgate deve ser sempre a provisão legal. A provisão realista pode ser superior à provisão legal, em função de revisão das bases técnicas. Esse aumento por causa de uma deterioração da experiência não pode ser devolvido para o segurado em caso de cancelamento, já que os prêmios acumulados não contribuíram para esse aumento de provisão. O aumento de provisão deve ser feito via injeção de capital. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 17 / 31

19 Efeito da Anti-Seleção no Direito ao Resgate Uma preocupação importante em uma operação de seguros é quanto ao processo de anti-seleção gerado pelo direito ao resgate. Em planos de sobrevivência de benefício definido, a anti-seleção gerada pelo cancelamento é bastante prejudicial ao equilíbrio do plano. Nesse caso, os segurados que falecem não tem direito à provisão matemática, pois a provisão desses segurados é utilizada para capitalizar a provisão dos sobreviventes. Mesmo em planos de contribuição definida, mas com garantia de renda na fase de aposentadoria, a anti-seleção pode existir, pois os segurados menos saudáveis vão resgatar as suas provisões antes de convertê-las em renda. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 18 / 31

20 Efeito da Anti-Seleção no Direito ao Resgate Em planos por morte, a anti-seleção também tem um efeito negativo, pois o cancelamento antecipado normalmente tira da carteira aqueles segurados mais saudáveis. Por isso, é aconselhável aplicar alguma penalidade em caso de cancelamento de modo a refletir os custos da anti-seleção. Uma solução interessante é substituir o direito ao resgate por um direito ao saldamento. Com o saldamento, são preservadas as condições iniciais de cobertura, e a anti-seleção é bastante minimizada (os segurados que saldam seus planos tem a sua cobertura original reduzida, o que representa um grupo de risco melhor do que aqueles que continuam pagando os prêmios). Outra solução é estabelecer um prazo de carência para o pedido de resgate ou para efetivar o pagamento do resgate. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 19 / 31

21 Considerações Contábeis das Provisões Matemáticas Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 20 / 31

22 Considerações Contábeis Assim como consideramos outras despesas, também é possível incluir a margem de lucro no cálculo da provisão matemática. Quando a margem de lucro é considerada como despesa futura, a empresa aumenta a sua provisão atual, de modo a gerar um fluxo futuro de lucros. Essa geração de lucros futuros se dá contabilmente a partir da redução gradual da provisão com o tempo; a cada período vai diminuindo o valor presente dos gastos com a margem de lucro. Como a provisão constitui um passivo da empresa, a redução desse passivo gera um resultado contábil positivo. Quando a empresa não contempla esses lucros futuros como uma despesa no cálculo da provisão matemática, a provisão será menor do que a necessária para gerar o fluxo futuro de lucros. Dessa forma, o valor presente dos lucros futuros é todo distribuído no momento atual. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 21 / 31

23 Considerações Contábeis Os impostos que são aplicados sobre os resultados (imposto de renda e contribuição social) não devem interferir no cálculo da provisão matemática carregada. A provisão matemática é dedutora da base de cálculo dos impostos sobre os resultados, o que ajuda na diminuição do pagamento desses impostos (criando um crédito tributário). Quando uma operação apresenta resultados futuros negativos, há a necessidade de constituir uma provisão no futuro, mas nos primeiros períodos os resultados ainda podem ser positivos. Nesse caso, deve-se decidir se não é melhor constituir logo essa provisão. Outra questão é a transição de uma provisão negativa para provisão positiva, como vamos ver no exemplo a seguir. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 22 / 31

24 Seja uma carteira de seguros que se extingue nos próximos 3 anos, com pagamento de prêmios comerciais remanescentes nos valores de $1.000 no início do primeiro ano, $900 no início do segundo ano, e $750 no início do terceiro ano. Suponha que os gastos projetados com sinistros para os próximos 3 anos sejam de respectivamente: $500, $600 e $700. As despesas gerais correspondem a 20% dos prêmios comerciais, sendo zero a margem de lucro. Suponha que os gastos com sinistros e as despesas incidem no meio de cada ano e que a taxa real de juros acima da inflação obtida com aplicações financeiras seja de 6% ao ano. A inflação projetada é zero e a taxa real de juros utilizada para calcular a provisão também é de 6% ao ano. Calcule a provisão matemática carregada (Benefícios a Conceder) e apure o resultado bruto da operação no final de cada ano remanescente. Calcule, também, a provisão matemática no momento atual. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 23 / 31

25 Neste exemplo, não utilizaremos diretamente a fórmula padrão, pois todos os valores projetados já foram fornecidos. O cálculo da provisão matemática na verdade é extremamente simples, pois o objetivo deste exemplo é focar na transição de uma provisão negativa para uma provisão positiva. No primeiro ano, o total de despesas (sinistros mais despesas gerais) será de $700, no segundo ano será de $780, e no terceiro ano será de $850. Com isso, a operação está desequilibrada a partir do terceiro ano, onde a receita de prêmios é de somente $750. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 24 / 31

26 Momento atual: Provisão matemática carregada: ( ) 1 0,5 ( ) 1 1,5 ( 1 0V = $700 + $780 + $850 1, 06 1, 06 1, 06 ( ) 1 1 ( ) 1 2 $1000 $900 $750 1, 06 1, 06 = $2.129, 39 $2.516, 55 = $387, 16 ) 2,5 A provisão é negativa pois o VP dos gastos futuros é inferior ao VP dos prêmios futuros. Ocorre que as seguradoras não podem constituir provisões matemáticas negativas, de modo que a provisão registrada no passivo seria igual a zero. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 25 / 31

27 Final do primeiro ano: Provisão matemática carregada: ( ) 1 0,5 ( 1 1V = $780 + $850 1, 06 1, 06 ( ) 1 1 $900 $750 1, 06 = $1.536, 46 $1.607, 55 = $71, 08 ) 1,5 Desta forma, a provisão no final do primeiro ano continuaria sendo negativa, e a provisão registrada no passivo continuaria sendo igual a zero (mais detalhes sobre provisões negativas no capítulo 11). Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 26 / 31

28 Final do primeiro ano: Resultado operacional bruto: Prêmio Cobrado = $ 1000 Variação da provisão = $ 0 Gastos com Sinistro = -$500 Despesas Gerais = -$200 Receita Financeira = $39,31 Resultado Operacional Bruto = $ 339,31 O prêmio de $1000 foi cobrado no início do ano, e a receita financeira sobre ele até o final do ano é de 6% $1000 = $60. Já os gastos com sinistros e despesas foram efetuados no meio do ano, gerando um custo financeiro de 2,956% = [(1, 06) 1/2 1] sobre $700, ou seja, $20,69. Logo, a receita financeira líquida é de $60 - $20,69 = $39,31. A variação da provisão é zero, pois no ínicio e no final do primeiro ano ela permanecia igual a zero. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 27 / 31

29 Final do segundo ano: Provisão matemática carregada: 2V = ( ) 1 0,5 $850 $750 1, 06 = $825, 59 $750 = $75, 59 Desta forma, a provisão no final do segundo ano passaria a ser positiva. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 28 / 31

30 Final do segundo ano: Prêmio Cobrado = $ 900 Variação da provisão = -$75,59 Gastos com Sinistro = -$600 Despesas Gerais = -$180 Receita Financeira = $30,94 Resultado Operacional Bruto = $ 75,35 O prêmio de $900 foi cobrado no início do ano, e a receita financeira sobre ele até o final do ano é de 6% $900 = $54. Já os gastos com sinistros e despesas foram efetuados no meio do ano, gerando um custo financeiro de 2,956% sobre $780, ou seja, $23,06. Logo, a receita financeira líquida é de $54 - $23,06 = $30,94. A variação da provisão é positiva em $75,59. O sinal negativo na demonstração do resultado se dá ao fato do aumento da provisão gerar uma despesa para a seguradora. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 29 / 31

31 Final do terceiro ano: Ao final do terceiro ano, a provisão matemática é zero, pois com a extinção da carteira não há mais fluxo futuro de gastos ou de prêmios. Prêmio Cobrado = $ 750 Variação da provisão = +$75,59 Gastos com Sinistro = -$700 Despesas Gerais = -$150 Receita Financeira = $24,41 Resultado Operacional Bruto = $ 0 A receita financeira sobre o prêmio cobrado até o final do ano é de 6% $750 = $45. Já os gastos com sinistros e despesas geraram um custo financeiro de 2,956% sobre $850, ou seja, $25,13. Já a provisão constituída no início do ano gerou um ganho financeiro de 6% $75, 59 = $4, 54. Logo, a receita financeira líquida é de $45 - $25,13 + $4,54 = $24,41. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 30 / 31

32 Final do terceiro ano: A variação da provisão é negativa em $75,59. O sinal positivo na demonstração do resultado se dá ao fato da redução da provisão gerar uma receita para a seguradora. Apesar da operação estar desequilibrada no terceiro ano, o resultado desse ano foi zero. Esse resultado é coerente com a margem de lucro zero, e o que proporcionou esse resultado não negativo foi justamente a constituição de uma provisão de $75,59 no início do terceiro ano para fazer face ao excesso de despesas nesse ano. Práticas Atuariais 6. Provisões Técnicas 31 / 31