Modelos de epidemias

Transcrição

1 A Humanidade sofreu desde sempre o efeito de epidemias em resultado da propagação dos seus agentes através do contacto entre as pessoas. Por exemplo a Peste Negra no século XIV, matou entre 20 a 80% da população segundo as regiões da Europa!! O valor médio de mortalidade em toda a Europa é cerca de 35 a 40%. 2013/04/11 MN 1

2 A Gripe Espanhola (1918) terá morto cerca de 2,5 a 5% da população mundial, cerca de 25 milhões em 25 semanas. A Gripe Asiática em 1956 matou cerca de 1,5 milhões de pessoas. Para se saber aproximadamente o que vai acontecer é importante modelar a dinâmica da epidemia. 2013/04/11 MN 2

3 Vamos fazer um modelo simples, começando por ignorar os nascimentos e a imigração durante o estudo. Também assumimos que a população se mistura homogeneamente, isto é, todos podem estar em contacto com todos. Estas hipóteses nem sempre são razoáveis, por exemplo se estudarmos a difusão de varicela numa classe de infantário, poderemos empregá-las, mas se for o estudo sobre crianças em Lisboa, não será sensato usá-las 2013/04/11 MN 3

4 Em cada instante t dividimos a população em três categorias 1. S t Susceptíveis, podem apanhar a doença, mas ainda não estão doentes 2. I t Infectados, já têm a doença, e são contagiosos 3. R t Removidos, não podem apanhar a doença, estão imunes ou morreram, por exemplo 2013/04/11 MN 4

5 Continuamos a contar os mortos, incluindoos na respectiva classe para que S t + I t + R t = N para todos os t. A classe I t é muito importante para o estudo das epidemias, porque um grande aumento do seu valor significa que houve um recrudescimento da doença. 2013/04/11 MN 5

6 I mede então a virulência da epidemia. Se I<0 significa que a epidemia está a passar. O modelo que emprega as três classes referidas chama-se modelo SIR. Pensamos nas três classes, por esta ordem Susceptíveis Infectados Removidos 2013/04/11 MN 6

7 De forma semelhante ao modelo que estudámos (Predador - Presa) consideramos que o produto S t I t é uma medida da interacção entre as duas classes. Como nem todos os contactos entre indivíduos sãos e infectados produz contágio temos de acrescentar o factor α que é o factor de transmissão 2013/04/11 MN 7

8 Como o número de susceptíveis diminui quando ficam infectados temos S t+1 = S t - α S t I t Definimos o factor de remoção que é a fracção de infectados que deixa de o ser, por algum processo, como seja a cura ou a morte. Temos então mais duas equações I t+1 = I t + α S t I t - I t R t+1 = R t + I t 2013/04/11 MN 8

9 Estas três equações constituem o modelo SIR. Este modelo não é adequado para toda e qualquer doença, por exemplo podemos pensar em casos em que há indivíduos infectados mas que não infectam (Koch) Consideremos as condições iniciais S(1) = 499 I(1) = 1 R(1) = 0 alpha = gama = /04/11 MN 9

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11 function SIR t = [0:1:100]; S(1) = 499; I(1) = 1; R(1) = 0; alpha = 0.001; gama = 0.1; for i = 1:100 R(i+1) = R(i) + gama * I(i); I(i+1) = I(i) + alpha * S(i) * I(i) - gama * I(i); S(i+1) = S(i) - alpha * S(i) * I(i); endfor plot (t,r,'-o','markersize',7,t,i,'-*','markersize',7,t,s,'-x','markersize',7) axis([ ]) xlabel ("t",'fontsize',14); ylabel ("S,I,R",'fontsize',14); text(60,350,'o --> R','fontsize',14) text(60,370,'* --> I','fontsize',14) text(60,390,'x --> S','fontsize',14) return 2013/04/11 MN 11

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13 2013/04/11 MN 13

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15 Gráfico da câmara de Sintra ( 2013/04/11 MN 15

16 Este modelo, como os anteriores pode ser objecto de uma análise aprofundada, que sai do âmbito deste curso, pelo que terminamos aqui o seu estudo. Mathematical Models in biology Elisabeth S. Allman John A Rhodes Cambridge, /04/11 MN 16

17 Ajuste de dados Este procedimento (em inglês data fit ) consiste em, sendo dado o modelo analítico que traduz o comportamento de um conjunto de dados, determinar os parâmetros do modelo que fazem o melhor ajuste aos dados fornecidos. 2013/04/11 MN 17

18 Ajuste de dados 2013/04/11 MN 18

19 Revisão de estatística 1. Média aritmética 2. Mediana ponto médio de um grupo de dados y y i 3. Moda Valor que ocorre mais frequentemente num grupo de dados n 2013/04/11 MN 19

20 Revisão de estatística 1. Desvio padrão 2. Variância s y S t n 1 2 onde S t y i y e n-1 são os graus de liberdade s y 2 2 y i y n 1 y 2 i y 2 i /n n /04/11 MN 20

21 Distribuição normal 2013/04/11 MN 21

22 M/O Dado um vector coluna a: mean(a) mode(a) median(a) std(a) var(a) min(a) max(a) são funções intrínsecas sendo aplicadas a uma matriz dão como resultado um vector linha 2013/04/11 MN 22

23 Histogramas em M/O O termo inglês bin, que se pode traduzir por caixa ou célula, corresponde a um intervalo de variáveis contínuas ou valores de uma variável discreta. O histograma corresponde ao número de acontecimentos que cai em cada célula [n, x] = hist(a, x) x vector que define as caixas 2013/04/11 MN 23

24 Histogramas em M/O [n, x] = hist(a, m) m inteiro que define o número de bins, por omissão m=19 hist(a, x) ou hist(a, m) ou hist(a) produz um histograma clear all a=[ ] hist(a) /04/11 MN 24