MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA À SISTEMAS DINÂMICOS EPIDEMIOLÓGICOS: O MODELO SIR

Transcrição

1 MODELAGEM MATEMÁTICA APLICADA À SISTEMAS DINÂMICOS EPIDEMIOLÓGICOS: O MODELO SIR Isabeli Raiany de Miranda Silva¹, Jane Rosa¹ ¹, ²Instituto Federal do Paraná Campus Paranaguá ¹ isabeli.miranda@live.com ² jane.rosa@ifpr.edu.br RESUMO Este artigo faz parte de um projeto de pesquisa do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica (PIBIC), e tem como objetivo apresentar a descrição de um modelo epidemiológico simples, o modelo SIR (Suscetíveis, Infectados e Removidos). Esse modelo é composto por um conjunto de três equações diferenciais e simula a propagação de doenças contagiosas. Originalmente o modelo SIR foi desenvolvido para explicar o aumento do número de casos registrados durante a epidemia de peste bubônica ocorrida na Índia em meados de Atualmente esse modelo e suas variações são utilizados para descrever a propagação de doenças como por exemplo: gripe, dengue e a AIDS. Neste trabalho é feita uma análise qualitativa do modelo SIR, com objetivo de fazer previsões sobre a ocorrência ou não de uma epidemia numa população. Através desta análise foi possível identificar o impacto da disseminação da doença e também estimar o número de pessoas que devem ser vacinadas para evitar que uma epidemia aconteça. Palavras-chave: Epidemiologia. Propagação de doenças. Modelo SIR. Equações diferenciais. 33

2 1 INTRODUÇÃO Epidemiologia é o estudo de padrões de saúde/doença e fatores associados, relativos às populações humanas (MARTCHEVA, 2015, p. 01). Um dos objetivos da epidemiologia é o estudo das doenças infecciosas, como por exemplo: doenças respiratórias como a pneumonia e a AIDS (Síndrome da Imunodeficiência Adquirida). Uma doença infecciosa é causada por um agente microbiano patológico, como por exemplo, bactérias, fungos, parasitas, vírus, e pode ser transmissível ou não. No que diz respeito ao meio de transmissão, as doenças infecciosas são classificadas da seguinte forma (MARTCHEVA, 2015): Doenças transmissíveis de pessoa para pessoa: são aquelas doenças que precisam de contato direto ou indireto para serem transmitidas. O contato direto inclui o toque, ou ainda contato sexual. Entre as doenças transmissíveis por contato direto, incluem-se a AIDS, sífilis, gonorreia, entre outras. O contato indireto pode ocorrer através da troca de um objeto infectado, sangue, ou outros fluidos corporais. A influenza, popularmente conhecida como gripe, é um exemplo de doença que pode ser transmitida por contato indireto. Doenças transmitidas pelo ar: ocorrem quando há inalação de ar infectado. Entre as doenças transmitidas pelo ar, incluem-se a influenza, tuberculose, varíola, entre outras. Doenças transmitidas através de água ou de alimentos: são transmitidas através da ingestão de água ou comida contaminada. A cólera é um exemplo de doença transmitida através da água, enquanto a salmonela é um exemplo de doença transmitida pelo consumo de alimentos. Doenças transmitidas por vetores: são as doenças transmitidas por um artrópode, como o mosquito ou o carrapato, tais como a malária e a dengue. Transmissão vertical: ocorre quando uma doença é transmitida através da placenta, de uma mãe para o filho, antes do nascimento. Exemplos de tais doenças são o HIV, sífilis, rubéola e a hepatite B. No Brasil, todos os anos a Secretaria de Vigilância em Saúde registra um grande número de pessoas infectadas pela influenza e outros vírus respiratórios: no ano de 2016, entre as amostras com resultados positivos para vírus respiratórios, cerca de 72% mostraram resultado positivo para influenza e aproximadamente 28% para outros vírus respiratórios. As regiões Sul e Sudeste do país apresentam as maiores quantidades de amostras positivas, com maior incidência da influenza A (H1N1) e influenza B. A Secretaria de Vigilância em Saúde conta com uma rede de unidades sentinelas distribuídas em todas as regiões geográficas do Brasil. A vigilância sentinela tem como objetivo identificar os vírus respiratórios circulantes, além de permitir o monitoramento da demanda de atendimento para essas doenças (MINISTÉRIO DA SAÚDE, 2016). O acompanhamento dos números de novos casos associados às doenças infecciosas transmissíveis é uma preocupação contínua dos órgãos governamentais das cidades, estados e países. Esse monitoramento é importante para prever o risco de epidemias, bem como planejar as estratégias de controle dessas doenças nas populações. Neste contexto, as pesquisas que 34

3 utilizam modelos matemáticos podem contribuir com as investigações na área da epidemiologia. Um modelo matemático é a descrição de um sistema, utilizando linguagem e ferramentas matemáticas. No caso das doenças infecciosas, utilizam-se modelos matemáticos para descrever sua propagação em uma determinada população. Com isso, busca-se explicar o comportamento da doença, estudar seus efeitos, além de fazer previsões sobre os impactos da disseminação e as formas de controle da doença (MURRAY, 2002). Modelos epidemiológicos possibilitam simular uma série de padrões de saúde/doença. O estudo desses modelos tem como objetivo caracterizar os processos de infecção, cura e morte, bem como elaborar estratégias para exterminar, ou pelo menos controlar a proliferação do agente patológico (SCHIMIT, 2010, p. 09). O processo de modelagem requer uma tradução de uma situação biológica para um problema matemático. Para transformar essa situação biológica em equações matemáticas, é necessário ter um objetivo específico. O modelo deve incorporar somente as características que são relevantes para este objetivo específico. Assim que formulado, o modelo pode ser investigado através de uma série de ferramentas matemáticas. Os modelos matemáticos aplicados à epidemiologia podem ser úteis para fornecer estimativas sobre as formas mais eficazes de controle. Como por exemplo, estimar o nível de vacinação necessário para erradicar uma determinada doença contagiosa, como o sarampo (MONTEIRO, 2009, p. 478). Nesse sentido, a modelagem matemática de doenças infecciosas é uma ferramenta importante, pois além de fornecer informações para a compreensão das mesmas, pode auxiliar na escolha das estratégias de controle mais apropriadas para cada situação. Assim, o objetivo deste trabalho é apresentar uma descrição qualitativa de um dos primeiros modelos epidemiológicos proposto para estudar a disseminação de uma doença em uma população, o qual é conhecido como modelo SIR. Este trabalho faz parte de um projeto de pesquisa que está sendo desenvolvido com o apoio do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica (PIBIC) do IFPR. O objetivo do projeto é utilizar modelos matemáticos para o estudo de sistemas epidemiológicos. 2 O MODELO SIR O modelo SIR foi originalmente proposto por Kermack e McKendrick (1927) para explicar matematicamente o rápido crescimento e a queda súbita do número de pacientes infectados pela peste bubônica, durante a epidemia ocorrida na Índia, entre 1905 e Atualmente esse modelo e suas inúmeras variações têm sido utilizados para outras finalidades, como por exemplo, para o estudo da disseminação de doenças como a AIDS (MURRAY, 2002) e a dengue (YANG, 2003). Neste modelo, a população é dividida em três classes: 1ª) a classe de indivíduos saudáveis, mas que podem contrair a doença através de contato com infectados, estes são chamados de suscetíveis (S); 2ª) a classe de indivíduos que contraíram a doença, chamados de 35

4 indivíduos infectados (I); 3ª) a classe de indivíduos removidos (R), que morreram ou se recuperaram e não podem contrair a doença novamente. Portanto, a cura de um indivíduo confere a imunidade. Esse é um modelo do tipo compartimentado, pois cada letra (S, I e R) se refere a uma das classes ou compartimentos. Cada indivíduo pode estar inserido em apenas uma das classes, mas pode se mover de uma para a outra no decorrer do tempo. Uma representação esquemática do modelo SIR é descrita pelo fluxograma mostrado na Fig. 1. Neste esquema, as flechas indicam a direção do movimento dos indivíduos entre as classes (MARTCHEVA, 2015). Figura 1. Fluxograma do modelo SIR. As letras a e b que rotulam cada seta representam as taxas de transição entre as classes. Fonte: Os autores. Os números de indivíduos (ou densidades) em cada uma dessas classes mudam com o tempo, ou seja, S(t), I(t) e R(t) são funções do tempo t; e a taxa de variação temporal de cada classe é expressa pelas equações (MARTCHEVA, 2015, p. 11): ds = asi, (1) dt di dt dr dt = asi bi, (2) = bi (3) Nas equações acima, ds/dt representa a taxa de variação do número de suscetíveis ao longo do tempo, di/dt é a taxa de variação dos infectados ao longo do tempo, enquanto dr/dt é a taxa de variação dos indivíduos removidos ao longo do tempo. As constantes positivas a e b caracterizam a interação entre o agente infeccioso e a população (MURRAY, 2002). Na descrição desse modelo, assume-se que (MONTEIRO, 2011): O número de infectados aumenta segundo uma taxa que é proporcional ao produto entre o número de infectados e o de suscetíveis, que é asi, sendo que os suscetíveis diminuem a essa mesma taxa; A taxa de passagem dos infectados para a classe dos removidos é proporcional ao número de infectados, ou seja, bi; 36

5 O período de incubação é desprezível, de modo que um suscetível que contrai a doença torna-se imediatamente infectado; As três classes estão uniformemente distribuídas pelo espaço. Portanto, as taxas de encontro não dependem da localização geográfica. Além disso, considera-se que o tamanho total da população N é constante, e que os indivíduos infectados também podem transmitir a doença (MURRAY, 2002). Portanto, o tamanho total da população N é a soma dos tamanhos das três classes: N = S(t) + I(t) + R(t). (4) A formulação matemática do modelo SIR fica completa quando são aplicadas condições iniciais: S(0) = S 0 > 0, I(0) = I 0 > 0, R(0) = 0, (5) ou seja, os valores iniciais de indivíduos suscetíveis (S 0 ) e infectados (I 0 ) devem ser maiores que zero, enquanto o número inicial de removidos (R 0 ) é nulo. Em qualquer situação que envolve uma doença infecciosa, é importante determinar se a infecção se espalhará ou não, e se for, como ela se desenvolverá com o tempo e, principalmente, quando começará a diminuir. No entanto, a resposta para essa questão vai depender das características de cada modelo, dos valores dos parâmetros e das condições iniciais do sistema. Para analisar o modelo SIR, substituem-se as condições iniciais S 0 e I 0 na Eq. (2): di(t) dt t=0 = I(0)(aS(0) b), {> 0 < 0 se S 0 { > ρ < ρ. (6) O parâmetro crítico ρ = b/a é chamado de taxa de remoção relativa (MURRAY, 2002). Da Equação (1), ds/dt 0 para S S 0, e no caso S 0 < ρ, tem-se: di dt = I (as b) 0 para todo t 0. (7) Nesse caso, se I 0 > I(t) 0 para t, o número de infectados diminui com o tempo, e assim a infecção desaparece; ou seja, não ocorre epidemia. Por outro lado, se S 0 > ρ, então I(t) aumenta com o tempo, e então ocorrerá uma epidemia. O termo epidemia significa, matematicamente, que I(t) > I 0 para qualquer t > 0, ou seja, o número de infectados será maior que o número de infectados inicial com o passar do tempo. Dividindo a Eq. (2) pela Eq. (1): di = (as b)i ds asi = 1 + ρ, I 0. (8) S 37

6 Integrando a equação acima, encontram-se as trajetórias do plano de fase: I + S ρ ln S = I 0 + S 0 ρ ln S 0, (9) para os valores do lado direito da igualdade (S 0 e I 0 ), foram utilizadas as condições iniciais da Eq. (5). As trajetórias I versus S são mostradas na Fig. 2. Figura 2. Plano de fase do modelo SIR. Cada curva representa a evolução temporal do número de suscetíveis e infectados para diferentes condições iniciais (S 0 e I 0 ), todas as trajetórias iniciam na reta S 0 + I 0 = N. Fonte: Os autores. A Figura 2 mostra como os números de infectados (I) e suscetíveis (S) evoluem com o passar do tempo. Cada curva é determinada por diferentes condições iniciais I(0) = I 0 e S(0) = S 0. Com R(0) = 0, todas as trajetórias começam na linha S 0 + I 0 = N e permanecem dentro do triângulo, desde que 0 < S + I < N, para todos os instantes de tempo. Uma epidemia irá existir se I(t) > I 0 para qualquer instante de tempo t > 0; isso sempre irá ocorrer se S 0 > ρ e I 0 > 0 (MURRAY, 2002). Verifica-se na Fig.2 que se o número inicial de suscetíveis for maior que um determinado valor crítico S c, ou seja, se S 0 > S c = ρ, então ocorrerá uma epidemia (curvas na cor vermelha), enquanto que se S 0 < S c, a epidemia não ocorre (curvas na cor azul). Assim, define-se o parâmetro R 0 como: R 0 as(0) b, (10) esse parâmetro é chamado de fator de reprodutividade basal e é considerado um parâmetrochave em investigações epidemiológicas. O parâmetro R 0 é interpretado como o número 38

7 esperado de pessoas contaminadas geradas por um indivíduo infectado colocado numa população totalmente suscetível à doença (SCHIMIT, 2010, p. 21). Se R 0 > 1, o número de indivíduos infectados cresce e pode haver um surto epidêmico. Se R 0 < 1, haverá um declínio do número de indivíduos inicialmente infectados, e a doença irá desaparecer naturalmente. Na Figura 3 apresenta-se o gráfico de duas situações distintas: a ocorrência ou não de uma epidemia. Na Figura 3 (a) é mostrada a situação em que não há epidemia. Neste caso, o número de infectados diminui até zero com o passar do tempo a partir do valor inicial I 0. Na Figura 3 (b) é mostrada a situação de epidemia: o número de infectados, a partir do valor inicial I 0 aumenta com o tempo até o seu valor máximo (I max ), e em seguida diminui até a doença sumir (I = 0). Na situação para a qual a doença infecciosa se espalha, é importante saber o número máximo de infectados (I max ). No modelo SIR, o valor máximo de infectados ocorre quando di/dt = 0. Da Eq. (7), essa condição é satisfeita quando S = ρ = b/a. Portanto, fazendo S = ρ na Eq. (9), encontra-se o número máximo de infectados: I max = N ρ + ρ ln ( ρ S 0 ), (11) a constante N é o número total de indivíduos, definido por N = I 0 + S 0. Figura 3. Evolução temporal do número de infectados. (a): Situação na qual não ocorre epidemia; (b): Situação característica de uma epidemia. Fonte: Os autores. Para qualquer valor inicial de I 0 e S 0 > ρ, observa-se na Fig. 2 que a epidemia acontece. No entanto, a epidemia não será grave se o valor de I 0 é próximo de I max (isso acontece quando S 0 ~ ρ). Porém, se S 0 < ρ, não ocorre epidemia, porque o número de infectados diminuirá com o tempo, a partir do valor inicial I 0 até I = 0. O número de suscetíveis S diminui desde que ds/dt < 0 para S 0 e I 0. Dividindo a Eq. (1) pela Eq. (3) e fazendo a integração, encontra-se: 39

8 S = S 0 e R/ρ. (12) Na Figura 2, quando t, 0 < S( ) < ρ para I( ) = 0. Da Eq. (4), R( ) = N S( ). Portanto, para tempos longos, (t ), o número de suscetíveis que não adquirem a doença, Eq. (12), é expresso por: S( ) = S 0 e [ (N S( ))/ρ], (13) e S( ) é a solução positiva dessa equação transcendental. Logo, o número de suscetíveis que contraem a doença no decorrer da epidemia é: I total = I 0 + S 0 S( ). (14) Uma implicação importante desse resultado é que a doença desaparece (I(t) 0) por falta de infectados, e não por falta de suscetíveis (S(t) S( ) > 0). 3 CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste artigo, foi realizada a descrição de um modelo epidemiológico chamado de modelo SIR, proposto por Kermack e McKendrick (1927). A simplicidade desse modelo está relacionada com sua descrição matemática. Mas apesar disso, o modelo SIR é capaz de fornecer resultados que condizem com a realidade. O primeiro resultado mostrou que o fator de reprodutividade basal R 0, Eq. (10), é fundamental para determinar se ocorrerá uma epidemia. Esse parâmetro fornece o número de infectados produzidos a partir de um único infectado em meio a uma população de suscetíveis. Portanto, se R 0 > 1, a epidemia acontece, e o número de infectados poderá aumentar com o tempo. O valor de R 0 depende apenas do número inicial de suscetíveis (S 0 ) e das constantes a e b, respectivamente identificadas como a taxa de infecção e a taxa de recuperação (ou remoção dos infectados). Diante de uma situação real busca-se reduzir o valor de R 0, e isso pode ser feito, por exemplo, reduzindo o número de suscetíveis (S 0 ) com vacinação. Considerando a situação para a qual a doença se espalha, é importante saber qual será o nível de gravidade dessa epidemia. Neste caso, é necessário determinar quantos indivíduos serão infectados a partir de um número inicial de infectados (I 0 ) e suscetíveis (S 0 ). No modelo analisado, verificou-se que para qualquer I 0 e S 0 > ρ, a epidemia vai acontecer. A epidemia não será grave se o número inicial de infectados (I 0 ) é próximo do número máximo de infectados (I max ). Por outro lado, se S 0 < ρ, não ocorrerá epidemia. Para uma determinada doença, o parâmetro ρ varia com as características da população (ou comunidade) e, portanto, determina se a epidemia ocorre em uma comunidade e não ocorre em outra. Por exemplo, se a densidade de suscetíveis (S 0 /N) é alta e a taxa de remoção dos infectados (parâmetro b) é baixa (por ignorância ou falta de cuidados médicos), então provavelmente a epidemia ocorrerá. Finalmente, quando se considera tempos longos, independente da situação inicial, o modelo SIR mostra que nem todos os indivíduos suscetíveis serão infectados. Portanto, a doença se extinguirá naturalmente por falta de infectados e não por falta de indivíduos suscetíveis. O estudo do modelo SIR serviu de base para realizar análises de modelos epidemiológicos mais complexos. Desse modo, os próximos passos da pesquisa baseiam-se no estudo de doenças transmitidas por vetores (mosquitos). Mais especificamente, será 40

9 realizado um estudo sobre a dinâmica de propagação da dengue, buscando-se identificar os meios de controle mais eficientes para evitar epidemias. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem a Fundação Araucária pelo financiamento da bolsa PIBIC. REFERÊNCIAS KERMACK, W. O.; MCKENDRICK, A. G. A Contribution to Mathematical Theory of Epidemics. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. London, v. 155, Issue 772 (Aug.1,1927), MARTCHEVA, M. An Introduction to Mathematical Epidemiology. 1 ed. Gainesville: Springer, MINISTÉRIO DA SAÚDE. Secretaria de Vigilância em Saúde. Informe Epidemiológico: Influenza: Monitoramento até a Semana Epidemiológica 52 de Brasília, MONTEIRO, L. H. A. Sistemas Dinâmicos. 3 ed. São Paulo: Livraria da Física, MURRAY, J. D. Mathematical Biology: An Introdution. 3 ed. Springer-Verlag: United States of Amercia, SCHIMIT, P. H. T. Modelagem e controle de propagação de epidemias usando autômatos celular e teoria de jogos. 83 f. Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) Universidade de São Paulo, São Paulo, YANG, H. M. Epidemiologia da Transmissão da Dengue. TEMA Tend. Mat. Apl. Comput., São Carlos, v. 4, n. 3, p