Departamento de Engenharia Elétrica-UFSJ.

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1 UMA ABORDAGEM INTEGRADA ENTRE AUTÔMATOS CELULARES E LÓGICA FUZZY PARA A MODELAGEM E PROPAGAÇÃO ESPACIAL DE EPIDEMIAS Gledson Melotti, Erivelton G. Nepomuceno, Eduardo M. A. M. Mendes Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica-UFMG Departamento de Engenharia Elétrica-UFSJ s: gledsonmelotti@yahoo.com.br, nepomuceno@ufsj.edu.br, emmendes@cpdee.ufmg.br Abstract The study of infectious diseases opened a whole new area of science, the mathematical epidemiology, that considers models that can aid in the study of the spreading of these diseases. These models include the SIR model (Susceptible - Infected - Removed) and the Cellular Automata (CA). The classic SIR model does not consider the spatial distribution of the individuals whereas the CA represent the spatial dynamics by considering local and non-local contacts. The goal of this work is to make, by means of the concepts of complex systems and CA, the epidemiological traditional mathematical modeling flexible so as to explain the spread of diseases in different practical situations. The time series originated from the models SIR and CA are also compared qualitatively and quantitatively. With such comparisons is possible to affirm that the model AC proposed is a tool adequate for the space propagation of epidemics. Keywords Cellular automata, complex systems, local and non local contacts, epidemiology, fuzzy logic. Resumo O estudo das doenças infecciosas fez surgir uma nova área da ciência: a epidemiologia matemática. A epidemiologia matemática propõe modelos que possam ajudar no estudo da disseminação dessas doenças. Esses modelos incluem o modelo SIR (Suscetível - Infectado - Recuperado) e o Autômato Celular (AC). O modelo SIR clássico não considera a distribuição espacial dos indivíduos. Em contrapartida, os ACs representam a dinâmica espacial, pois consideram os contatos locais e não locais. O objetivo deste trabalho é então introduzir, por meio dos conceitos de sistemas complexos e ACs, uma flexibilidade na modelagem matemática epidemiológica tradicional, para atender as diferentes situações de espalhamento de doenças na prática, além de comparar qualitativamente e quantitativamente as séries temporais do AC com os do SIR. Com tais comparações é possível afirmar que o modelo AC proposto é uma ferramenta adequada para a propagação espacial de epidemias. Palavras-chave fuzzy. Autômato celular, sistemas complexos, contatos locais e não locais, epidemiologia, lógica 1 Introdução Diversos sistemas existentes na natureza e na sociedade não podem ser entendidos pela análise do comportamento dos componentes individuais, mas pela análise do comportamento global gerado pelas interações dos componentes individuais. Tais sistemas são conhecidos como sistemas complexos (Monteiro, 2010). Diferente de equações diferenciais ou de diferenças, pois as equações não conseguem gerar um comportamento global analisando as interações locais entre os indivíduos. O estudo de sistemas complexos tornou-se reconhecido nos últimos anos como uma nova disciplina científica. Trata-se de conceitos que vão desde a psicologia aos estudos das ciências exatas. Muitos dos sistemas que nos rodeiam são complexos, como os ecossistemas, economias, clima, sistemas nervosos, populações de seres vivos, sistema imunológico e a propagação de doenças em uma população. Esses sistemas são complexos no sentido em que há um grande número de agentes, que aparentemente independentes, interagem entre si, e a riqueza dessas interações muitas vezes permite que o sistema como um todo seja auto-organizado (Bar-Yam, 1997; Jesus e Kawano, 2002; Wolfram, 2002; Pearce e Merletti, 2006). Deve ser notado que, embora muitos fenômenos sejam complexos, o conceito de complexidade é mais específico. Complexidade define uma coleção de agentes 1 individuais com liberdade para agir de forma nem sempre previsível, e cujas ações estão interligadas de tal maneira que a ação de um agente mude o contexto de outros agentes (Bar-Yam, 1997; Jesus e Kawano, 2002; Pearce e Merletti, 2006). Uma das mais importantes propriedades dos sistemas dinâmicos complexos é a de que regras locais produzem comportamento global, sendo que estas regras locais dependem das relações entre os diversos agentes que compõem o sistema (Bar-Yam, 1997; Jesus e Kawano, 2002). Os resultados obtidos pelas relações entre os agentes são conhecidos como efeitos coletivos (Wolfram, 1994). Para entender sistemas complexos, várias ferramentas matemáticas são usadas. Dentre elas encontra-se o autômato celular (AC), que é utilizado como uma alternativa para a modelagem de sistemas (Wolfram, 1994). Um exemplo de ACs capazes de representar fenômenos naturais são ACs para espalhamento de epidemias (Melotti, 2009), objetivo de estudo deste trabalho. ACs são sistemas dinâmicos compostos de células e cada célula representa um indivíduo. Para compreender o espalhamento de epidemias e sistemas complexos, este artigo apresenta 1 Elementos que compõem o sistema. ISSN: Vol. X 229

2 três cenários diferentes usando autômatos celulares para analisar a dinâmica de epidemias. Além de propor regras simples que simulam a propagação de uma doença genérica entre os indivíduos de uma população por meio de ACs. Considerou-se entre os indivíduos que compõem os ACs os contatos locais e não locais. Tais contatos influenciam a distância que um indivíduo infectado pode-se deslocar dentro do AC para infectar um suscetível. O contato não local será determinado por meio de regras fuzzy com uma taxa não fixa de deslocamento. A literatura apresenta soluções nessa linha, mas que leva em conta taxa fixas de contato. Entretanto, nos trabalhos de Anderson e May (1992), percebe-se que as taxas de infecção são dependentes da localização dos indivíduos. Assim, esse trabalho usa lógica fuzzy para que a taxa de infecção possa ser dependente da localização dos indivíduos. Para analisar e em alguns casos validar o AC foi comparado com o modelo epidemiológico SIR. A comparação foi realizada qualitativamente e quantitativamente. Com essas comparações realizadas é possível afirmar que as regras adotadas fornecem um resultado adequado para o estudo da epidemiologia. O restante deste trabalho está organizado da seguinte forma. Os conceitos e relevância sobre epidemiologia, modelo SIR e autômatos celulares foram expostos na seção 2. Na seção 3 explica-se as regras propostas de espalhamento de epidemias e os cenários de propagação de doenças, bem como as regras fuzzy. Por fim, a seção 4 apresenta os resultados e na seção 5 as conclusões. 2.1 Modelo SIR 2 Conceitos Preliminares Um dos modelos de propagações de doenças mais estudados é o modelo compartimental denominado SIR (Suscetível - Infectado - Recuperado) (Hethcote, 2000). O modelo SIR permite analisar determinadas características de doenças infecciosas, tais como as constantes de tempo características da fase epidêmica, o patamar endêmico, e a existência de limiares nas taxas de propagação para possibilitar a erradicação de doenças infecciosas pelo mecanismo de extinção dos pontos fixos não-nulos (Hethcote, 2000). O modelo SIR é composto por equações diferenciais e utiliza a estratégia de compartimentos (Hethcote, 2000). Esse modelo epidemiológico analisa a disseminação de doença numa população. O modelo divide a população em três classes: i) suscetível (S): indivíduos que podem contrair a doença; ii) infectados (I): indivíduos que podem transmitir a doença; iii) recuperados (R): indivíduos que se recuperaram da doença e não estão sujeitos a nova contaminação. O sistema de equações diferenciais pode ser assim representado: ds dt = µn + di µs β IS N, S(0) = S 0 0 di dt = β IS N γi µi di, I(0) = I 0 0 (1) dr dt = γi µr, R(0) = R 0 0. em que µ é a taxa de novos suscetíveis, γ é a taxa com que os infectados tornam-se recuperados, β é a taxa de transmissão da doença, d é a taxa de indivíduos infectados que morrem por causa da doença 2 e N é o número total de indivíduos e S(t) + I(t) + R(t) = N (constante). Para modelos epidemiológicos clássicos, um parâmetro essencial é o valor de reprodutividade basal, R o, que dá o número de casos secundários causados por um indivíduo infectado introduzido numa população totalmente suscetível. Esse parâmetro indica em que condições a doença se propaga na população. Neste modelo pode-se expressá-lo da seguinte forma (Hethcote, 2000): R o = β µ + γ + d. (2) A determinação dos parâmetros do modelo SIR é feita por meio de estudos estatísticos de uma epidemia em uma determinada região. 2.2 Automatos Celulares (ACs) Uns dos modelos matemáticos capazes de representar sistemas e fenômenos são os ACs que formam uma classe geral de modelos de sistemas dinâmicos, que são simples e ainda capturam uma rica variedade de comportamento (Melotti, 2009). ACs são sistemas dinâmicos discretos, que têm a capacidade de descrever sistemas dinâmicos contínuos. O significado do discreto é que as variáveis de estados mudam seus estados em instantes de tempo discreto (Melotti, 2009). O AC é composto por um conjunto de células com determinados valores (estados), que interagem entre si em função de uma coleção finita de condições pré-definidas. Os estados das células são alterados conforme um conjunto de regras de transição, que depende da vizinhança (às vezes da própria célula também), ou seja, das células em torno da célula que será atualizada. Assim, o AC é composto de três partes: uma estrutura ( lattice (tipo da rede de contato), ou seja, a geometria da célula (formato)), uma vizinhança e uma regra de transição local. De forma geral, a regra de transição de estados é imposta de forma paralela e sincronizada a todas as células. Uma configuração inicial de autômato, aparentemente simples, pode produzir resultados em que a conjuntura da matemática dos estados apresentará um alto nível de complexidade (Wolfram, 1994). 2 O modelo SIR clássico não inclui o parâmetro que representa a taxa de indivíduos infectados que morrem por causa da doença (d). ISSN: Vol. X 230

3 A idéia básica de AC não é tentar descrever um sistema complexo a partir de equações difíceis, mas simular sistemas por meio de interações entre as células regidas por regras simples. Em outras palavras, o objetivo não é descrever um sistema complexo com equações complexas, mas deixar a complexidade emergir pela interação de indivíduos simples seguindo regras simples (Melotti, 2009). 2.3 Lógica Fuzzy A aplicação da teoria fuzzy permitiu a criação de sistemas capazes de executar inúmeras tarefas. Genericamente, um sistema baseado em regras fuzzy consiste em três componentes: um processador de entrada (fuzzyficador), um conjunto de regras lingüísticas associadas a mecanismo de inferência fuzzy e um processador de saída (defuzzyficador), que gera um número real como saída (Zadeh, 1965). 3.1 Motivação 3 Metodologia O modelo SIR considera a distribuição dos indivíduos espacial e temporalmente homogênea (Hethcote, 2000), a partir da premissa de que o tamanho da população seja tão grande a ponto de permitir a aproximação por variáveis contínuas dos diversos compartimentos. Porém, a distribuição espacial de transmissão da doença deve ser considerada no caso de populações pequenas e dispersas ou com alta mobilidade. A dinâmica espacial pode ser modelada por meio de técnicas em que a população é representada por Autômatos Celulares (AC) (Holmes, 1997). A dinâmica de propagação de doenças obtida por AC pode ser relacionada com os parâmetros do modelo SIR. Assim, uma forma de relacionar o modelo SIR e o AC é por meio da lógica fuzzy. Emmendorfer e Rodrigues (2001) utilizaram AC para estudar a propagação de doenças infecciosas, considerando contatos locais, que incluem os vizinhos geometricamente mais próximos e incluindo efeitos não locais que representam os contatos aleatórios que podem ocorrer entre indivíduos distantes, conforme a Figura 1. Cada indivíduo é representado por uma célula. Já no trabalho de Peixoto e Barros (2004) utilizaram lógica fuzzy, baseados em regras lingüísticas, para incorporar os efeitos não locais para estudar o espalhamento geográfico da doença. O objetivo do contato não local é garantir que um indivíduo infectado pode-se deslocar dentro de uma região até uma distância L e ter a possibilidade de infectar um indivíduo suscetível. Entretanto tais trabalhos adotaram todos os indivíduos com uma taxa de deslocamento fixa. Porém, neste trabalho adotouse regras fuzzy com uma taxa de contato não local (determinada de forma aleatória), P nl, para cada indivíduo infectado e diferente em cada instante de tempo. Assim, a cada instante o deslocamento L pode ser diferente para cada indivíduo infectado. Além disso, este trabalho propõem regras diferentes de propagação de doenças. L X X X X X X X X Figura 1: Possíveis contatos locais (x) e não local (o) com indivíduo localizado a uma distância L. 3.2 Regras Propostas As regras propostas foram definidas por um conjunto de probabilidades de transições de estados. Cada célula do AC corresponde um indivíduo, que pode estar em um dos três estados: suscetível, infectado e recuperado. Assim, a cada instante de tempo t, tem-se: todos os indivíduos (S, I, R) têm uma probabilidade, P n, de morrer que não seja causada pela doença; v t todos os indivíduos S têm uma probabilidade, P i, de serem infectados de acordo com P i (v) = β v. Onde v é a quantidade de vizinhos infectados e v t é o número total de vizinhos. Considerou-se os oitos vizinhos mais próximos, conforme Figura 1; cada indivíduo infectado, I, tem uma probabilidade P c de tornar-se curado e uma probabilidade P d de tornar-se morto por causa da doença; todos os indivíduos infectados tem uma taxa de deslocamento não local (determinada aleatoriamente), P nl. Essa taxa de deslocamento influencia o valor da distância que o indivíduo infectado pode-se deslocar dentro do AC. para cada indivíduo que morre um suscetível nasce em seu lugar. Portanto, a população permanece constante. 3.3 Regras Fuzzy e o Deslocamento L A modelagem do parâmetro L por meio de um sistema de regras fuzzy traduz o conhecimento que se tem sobre a dependência com respeito a R o (taxa de reprodutividade basal), ou seja, o quanto a doença é capaz de evoluir em determinado ambiente e P nl (probabilidade de contato não local). Portanto, R o e P nl são as variáveis de entrada do sistema de regras fuzzy e a saída será a distância L, ISSN: Vol. X 231

4 como mostra a Figura 2, em que L é dependente de R o e P nl. R 0 P nl Base de conhecimentos Figura 2: Sistema baseado em regras fuzzy. Para as variáveis de entrada (R o e P nl ), as funções de pertinência utilizadas foram nomeadas de muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. Para a variável de saída (L), as funções de pertinência foram nomeadas pequena, média e grande, conforme as regras adotadas no trabalho de Peixoto e Barros (2004). As funções de pertinência de entrada e saída podem ser vistas na Figura 3. L 4 Resultados O primeiro cenário adotou a taxa de infecção β = 3,5 e a condição inicial foi: S(0)/N = 99,5%, I(0)/N = 0,5% e R(0)/N = 0% de indivíduos. A Figura 4, primeiro cenário, mostra a evolução da propagação da epidemia obtida por meio do AC. (a) t=0 (b) t=5 MuitoBaixa Baixa Média Alta MuitoAlta MuitoBaixa Baixa Média 1 1 Função Pertinência Função Pertinência Ro Pequena Média Grande L Função Pertinência Alta MuitoAlta pnl Figura 3: Funções de pertinência: R o e P nl são as variáveis de entrada, L é a variável de saída. Segundo Peixoto e Barros (2004) as regras fuzzy foram obtidas com o auxílio de especialistas da área de medicina. Para a inferência foi utilizado o método de Mamdani (Zadeh, 1965), com os operadores mínimo e máximo. A saída geral foi calculada pelo método de defuzzificação do Centro de Gravidade. (c) t=30 (d) t=100 Figura 4: a) instante de tempo em t = 0, b) instante de tempo em t = 5, c) instante de tempo em t = 30 e d) instante de tempo em t = 100, com relação ao primeiro cenário. A Figura 5 mostra a comparação por meio de séries temporais do modelo SIR ( ) e do AC ( ) para as classes de suscetível, infectado e recuperado. Este cenário mostra a evolução da epidemia sem ocorrer erradicação da doença após um período, mesmo o número de infectados sendo bem menor que o número de suscetíveis. 3.4 Definição de Cenários Todos os cenários foram gerados em uma matriz de , ou seja, uma população de N = indivíduos e possibilidade de deslocamento máximo (L) igual a 200 células para os indivíduos infectados. As cores cinza, preto e branco representam respectivamente os indivíduos suscetíveis, infectados e recuperados. Os ACs foram simulados com P c = 0,60, P d = 0,30 e P n = 0,10. O parâmetro R o foi calculado pela equação 2 para cada cenário. Os indivíduos infectados foram espalhados aleatoriamente na população de suscetíveis, com exceção do terceiro cenário, que considera apenas um indivíduo infectado no centro da população. Figura 5: Comparação das séries temporais do AC ( ) com as do SIR ( ) com taxa de infecção β = 3,5, com relação ao primeiro cenário. A Figura 6, segundo cenário, mostra a evolução da propagação da epidemia por meio do AC com uma taxa de infecção, β = 1,0. A condição inicial foi: S(0)/N = 50,0%, I(0)/N = 50,0% e R(0)/N = 0% de indivíduos. ISSN: Vol. X 232

5 (a) t=0 (b) t=5 (a) t=0 (b) t=27 (c) t=30 (d) t=100 Figura 6: a) instante de tempo em t = 0, b) instante de tempo em t = 5, c) instante de tempo em t = 30 e d) instante de tempo em t = 100, com relação ao segundo cenário. (c) t=30 (d) t=35 Figura 8: a) instante de tempo em t = 0, b) instante de tempo em t = 27, c) instante de tempo em t = 31 e d) instante de tempo em t = 35, com relação ao terceiro cenário. O segundo cenário, considerou o número de infectados igual ao número de suscetíveis. O objetivo do segundo cenário é mostrar que mesmo uma população com metade dos indivíduos infectados a doença se erradica, devido o valor de β ser menor que a do primeiro cenário. A afirmação anterior pode ser observada pela Figura 7, que ilustra a evolução temporal da epidemia dada pelo modelo de AC ( ) e novamente comparada com as do modelo SIR ( ). Com o terceiro cenário é possível ver o aparecimento de focos de epidemias (pontos pretos), uma vantagem com relação ao modelo SIR, como mostrada na Figura 8. Essa figura pode representar uma situação em que uma população de indivíduos suscetíveis recebe um indivíduo infectado que migrou de uma região qualquer para o centro desta população, como mostrada na Figura 8 a). Com o passar do tempo, a doença começa a se espalhar, como pode ser visto nas Figuras 8 b), c) e d), que mostram os focos de epidemias que surgem. Os novos focos que surgem são devido à capacidade que um indivíduo infectado tem de se deslocar, isto é, um indivíduo infectado pode contaminar um indivíduo suscetível a uma certa distância e não apenas os vizinhos mais próximos. A evolução temporal do AC ( ) comparada com a do modelo SIR ( ) pode ser vista pela Figura 9. Figura 7: Comparação das séries temporais do AC ( ) com as do SIR ( ) com taxa de infecção β = 1,0, com relação ao segundo cenário. Ainda no segundo cenário é possível observar que o deslocamento (L ou contato não local) não teve muita relevância na propagação da doença, pois o L depende do valor de R o, e como R o tem um valor pequeno então o deslocamento é pequeno, ou seja, o valor de R o sendo pequeno não influencia tanto no espalhamento da doença. O terceiro cenário, com um taxa de infecção β = 3,5 e com uma condição inicial de S = e I = 1, é mostrado na Figura 8. Figura 9: Comparação das séries temporais do AC ( ) com as do SIR ( ) com taxa de infecção β = 3,5, com relação ao terceiro cenário. Observe que quantitativamente as séries tem- ISSN: Vol. X 233

6 porais do modelo proposto por meio de ACs comparadas com as do modelo SIR não são próximas nos primeiros instantes, apresentadas pelos três cenários. Porém, os valores de suscetíveis, infectados e recuperados se estabilizam próximos dos valores do modelo SIR. Esse fato ocorre porque a velocidade de espalhamento da doença representada pelo modelo SIR é mais rápido que no AC. O modelo SIR considera que todos os indivíduos estão em contatos uns com os outros. Esse fato não invalida o AC, pois no espalhamento real, os indivíduos não estão todos em contatos uns com os outros. Contudo, qualitativamente mostra que o modelo de AC captura algumas características do espalhamento de doenças, como o pico de indivíduos infectados que surge na população. Além disso, as séries do AC se estabilizarem depois de um certo instante de tempo como as séries do SIR. 5 Conclusões O interesse de se estudar o espalhamento de doença por meio da teoria de sistemas complexos foi explicar como a doença se propaga pelas interações entre os indivíduos e não pela doença em cada indivíduo. As interações entre os indivíduos (suscetíveis, infectados e recuperados) que determinam a transmissão da infecção em populações são frequentemente complexas e não-lineares. Este artigo apresentou abordagens estocásticas para a modelagem de epidemias. A formulação matemática é geral e pode levar em conta características físicas e sociais dos indivíduos, tal que a modelagem obtida reproduza situações práticas que anteriormente não eram contempladas para as técnicas convencionais, como o modelo SIR. O modelo proposto permite analisar diversas situações de interesse na dinâmica de epidemias (taxas de infecções e condições iniciais diferentes). Pois com o AC é possível explicar como a doença se propaga por meio das interações entre os indivíduos e a possibilidade de criar cenários diferentes que representam as propagações de doenças, como por exemplo, fazer com que um indivíduo infectado se desloque de uma região para a outra. Note que essas duas últimas situações evidenciam que o modelo SIR tradicional não as reproduz adequadamente. Utilizando o modelo AC, uma análise e compreensão da dinâmica do sistema torna-se mais clara, o que pode levar a um estudo de forma mais eficiente. Assim, nas estratégias de modelagem e estudos dos comportamentos de epidemias, um modelo feito a partir da técnica apresentada poderá ser mais adequado, em certos cenários, do que a partir do clássico modelo SIR. Porém, para afirmar que um modelo é mais adequado que outro, deve-se realizar um estudo estatístico de situações reais em diversos cenários com os modelos e assim compará-los. Tal estudo não foi contemplado neste artigo. Agradecimentos Os autores agradecem ao CNPq, CAPES, FAPE- MIG, UFMG, UFSJ e ao IFES-São Mateus pelo apoio financeiro. Referências Anderson, R. M. e May, R. M. (1992). Infectious diseases of humans: dynamics and control, Oxford: Oxford University Press. Bar-Yam, Y. (1997). Dynamics of Complex Systems, Addison-Wesley. 1 a edition. Emmendorfer, L. R. e Rodrigues, L. A. D. (2001). Um modelo de autômatos celulares para espalhamento geográfico de epidemias., Tendências em Matemática Aplicada e Computacional-SBMAC 2(1): Hethcote, H. W. (2000). The mathematics of infectious diseases, SIAM Review 42(4): Holmes, E. E. (1997). Basic epidemiological concepts in a spatial context, in spatial ecology, the rule of space in population dynamics and interspepecific interactions, Princeton University Press pp Jesus, R. A. e Kawano, A. (2002). Aplicação de Autômatos Celulares na Propagação de Ondas, Dissertação de Mestrado, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, São Paulo, Brasil. Melotti, G. (2009). Aplicação de Autômatos Celulares em Sistemas Complexos: Um Estudo de Caso em Espalhamento de Epidemias, Dissertação de Mestrado, PPGEE, UFMG, Belo Horizonte, Brasil. Monteiro, L. H. A. (2010). Sistemas Dinâmicos Complexos, Livraria da Física. 1 a edição. Pearce, N. e Merletti, F. (2006). Complexity, simplicity, and epidemiology, International Journal of Epidemiology 35: Peixoto, M. S. e Barros, L. C. (2004). Um estudo de autômatos celulares para o espalhamento geográfico de epidemias com parâmetro fuzzy, XXXVI CNMAC: Tend. Mat. Apl. Comput 5(1): Wolfram, S. (1994). Cellular Automata and Complexity. Collected Papers., MA Reading: Addison-Wesley. 1 a edition. Wolfram, S. (2002). A New Kind of Science, Wolfram Media, Inc. Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy sets, Informat. Control 8: ISSN: Vol. X 234