Análise da Coexistência de Sorotipos de Dengue

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1 Análise da Coexistência de Sorotipos de Dengue Thomas Nogueira ilches Claudia Pio Ferreira Depto. de Bioestatística BB UNESP Botucatu SP thomas vilches@ibb.unesp.br pio@ibb.unesp.br esumo: Apresenta-se um modelo compartimental para dengue levando em consideração a população humana a população de mosquitos e dois sorotipos do vírus circulando entre as populações. A seguir comenta-se as análises para um caso particular do modelo apresentadas em [1]. Por fim mostra-se os resultados das simulações para diferentes conjuntos de prâmetros do modelo. Palavras-chave: Epidemiologia Simulação A Dengue é uma doença transmitida através de um vetor sendo o mosquito Aedes aegypti o principal deles. Existem quatro sorotipos do vírus circulando entre as populações sendo que a infecção por um sorotipo produz uma imunidade permanente ao mesmo mas aparentemente com relação aos outros sorotipos a imunidade é temporária [1]. Sabe-se que o controle do vetor a imunidade e o ambiente podem atuar sobre a disseminação da doença e infecções secundárias aumentam a probabilidade da pessoa desenvolver um quadro de dengue hemorrágica. Neste caso o número de casos fatais pode ser menor que 1% se houver tratamento e exceder % na abstenção do mesmo []. Na América do Sul e do Norte há a ocorrência de todos os sorotipos do vírus da Dengue. Em particular no Brasil já existem os quatro sorotipos e somos responsáveis por 6% dos casos de Dengue no mundo e 8% na América do Sul. Sendo assim o Brasil participa do Programa de Combate à Dengue. nfelizmente muitos fatores levam o programa a não ser tão eficaz por exemplo a capacidade adaptativa do vetor a insuficiência de tecnologia para o controle a força de transmissão do vírus a existência de quatro sorotipos o desenvolvimento de resistência por parte do vetor e outros [3]. Assim é muito importante estudar a dinâmica da transmissão da dengue e como se dá a interação entre os sorotipos de vírus existentes. O objetivo desde trabalho é apresentar um modelo teórico que seja capaz de descrever a dinâmica da doença e estudar através de uma abordagem analítica e numérica quais as condições necessárias para permanência ou desaparecimento de um determinado sorotipo. Para tanto foi proposto a divisão da população humana e do vetor nas seguintes classes: sejam S os indivíduos suscetíveis 1 os indivíduos infectados pelo primeiro sorotipo do vetor os infectados pelo segundo sorotipo do vetor 1 os recuperados do primeiro tipo da doença os recuperados do segundo tipo da doença 1 os indivíduos que se recuperaram do primeiro sorotipo de vírus e se infectaram com o segundo 1 os indivíduos que se recuperaram do segundo sorotipo de vírus e se infectaram com o primeiro e são os indivíduos que se recuperaram dos dois sorotipos do vírus. Na população de vetor S 1 e são os vetores suscetíveis infectados pelo primeiro sorotipo e infectados pelo segundo sorotipo respectivamente. O modelo compartimental proposto é apresentado na Figura 1. FAPESP 9/1598- FAPESP 13/

2 λ σ λ S + β λ λ 11 1 σ β φ m +α S δ( ) δ( + 1 ) 1 m m + α + α Figura 1: Diagrama de compartimentos para o modelo proposto. E em termos de equações diferenciais pode ser escrito como: ds d 1 d d 1 d d 1 d 1 d d S d 1 d = λ 1 1 S λ S S = λ 1 1 (+ 1 ) 1 = λ (+ ) = 1 1 σλ 1 1 = σλ 1 1 (1) = σλ 1 ( ++β) 1 = σλ 1 1 ( 1 ++β) 1 = = φ δ 1 ( ) S δ ( + 1 ) S ( m +α) S = δ 1 ( ) S ( m +α) 1 = δ ( + 1 ) S ( m +α) nas quais os indivíduos suscetíveis são infectados a uma taxa λ 1 e λ pelos sorotipos de vírus um e dois respectivamente; os infectados de cada sorotipo se recuperam a taxas 1 e formando assim os compartimentos 1 e. Estes podem ser infectados pelo outro sorotipo de vírus sendo que a primeira infecção pode ou não facilitar a segunda infecção parâmetro σ. Estes infectados secundários se recuperam às taxas 1 e formando assim o compartimento. O parâmetro β nas classes 1 e 1 corresponde à taxa de mortalidade adicional causada pela doença. Os parâmetros relacionados ao vetor são φ que é uma taxa de reposição δ 1 e δ que são as taxas de infeção dos mosquitos suscetíveis m que é a mortalidade do vetor e por fim α que é o 685

3 parâmetro relacionado às tentativas de controle da população de mosquitos como por exemplo a fiscalização de residências e comércios. Os intervalos dos parâmetros se encontram na Tabela 1 [3]. Tabela 1: Parâmetros utilizados no modelo significado e valores adotados nas simulações [3]. Parâmetro Significado alores taxa de natalidade/mortalidade humana dia 1 λ taxa de transmissão entre o vetor e os humanos S 7-1 dia 1 taxa de recuperação dos humanos 8-5 dia 1 φ taxa de oviposição 1-1. dia 1 δ taxa de transmissão entre o vetor s e od humano 6-9 dia 1 m taxa de mortalidade do vetor -9 dia 1 α taxa de controle -1 dia 1 β taxa de mortalidade causada pela infecção secundária 1- dias 1 σ influência da imunidade cruzada a determinar As soluções de equilíbrio do sistema (1) podem ser encontradas igualando as equações diferenciais a zero sendo estas: 1. ausência do vetor e dos vírus dada por E = (1). ausência dos vírus dada por E 1 = (1 φ m+α ) 3. ausência do vírus do tipo dada por E = (S ) 4. ausência do vírus do tipo 1 dada por E 3 = (S ) 5. coexistência das populações dada por E 4 = (S ). A dinâmica da dengue numa população em que há ocorrência de apenas um sorotipo já foi análisada em [4] onde obteve-se: e S = i = i = (ML+M Gλ i ) λ i δ i L λ i MG+(ML+M Gλ i ) λ i δ i L MG λ i Gλ i δ i L MG λ i +(ML+M Gλ i ) λ i δ i L MGλ i Gλ i δ i L MG λ i +(ML+M Gλ i ) s = Gφδ i Lλ i MG φλ i +Gφ(ML+M Gλ i ) λ i δ i L MGδ iλ i +MGλ i δ i L M G λ i +MG(ML+M Gλ i ) i = δ il MG ML M Gλ i M = m +α G i = + i e L i = φλ i para i = {1}. A análise de estabilidade de cada ponto de equilíbrio pode ser feita através da matriz Jacobiana do sistema dada por: J = f f. f i N f N..... fi N f i 686

4 na qual f i são as derivadas parciais de cada equação em função de cada variável calculadas no ponto de equilíbrio em que deseja-se verificar a estabilidade. Se a parte real de algum autovalor da matriz jacobiana for positivo então o ponto é instável do contrário é dito estável. Assim obteve-se o parâmetro adimensional i = λ iδ i φ M G i que representa a taxa de reprodução basal de cada sorotipo do vírus quando não há coexistência e mede o esforço necessário para que não haja vírus circulando na população i.e. i < 1. No caso em quetemos dois víruscirculando napopulação ponto E 5 a análise de estabilidade é dificil devido a complexidade do sistema de equações. Em [1] o problema é resolvido para o caso particular em que β = α = e φ = m ou seja as populações de humanos e de mosquitos são constantes. Tais considerações permitem simplificar o sistema proposto 11x11 a um sistema 9x9. Figura mostra a dinâmica temporal das populações de humanos e vírus infectados para o caso em que há dois sorotipos circulando. Fez-se a integração numérica pelo método de unge- Kutta de quarta ordem. Para o conjunto de parâmetros utilizado observa-se uma dinâmica oscilatória amortecida que tende a um ponto de equilíbrio estável que representa a coexistência das populações. nfectados tipo Tempo (anos) (a) etor infectado tipo Tempo(anos) (b) nfectados tipo Tempo(anos) (c) etor infectado tipo Tempo (anos) (d) Figura : (a) Proporção de indivíduos humanos infectados pelo sorotipo 1 em função do tempo. (b) Proporção de mosquitos infectados pelo sorotipo 1 em função do tempo. (c) Proporção de indivíduos humanos infectados pelo sorotipo em função do tempo. (d) Proporção de indivíduos humanos infectados pelo sorotipo 1 em função do tempo. Utilizando os parâmetros = 4; 1 = 6; = 4; λ 1 = 4; λ = 3; δ 1 = 3; δ = 4; φ = 8; m = 3 [3] β = 1 [] e α = todos em dias 1 e σ = 1. O trabalho encontra-se em fase inicial de desenvolvimento e conclusões parciais sobre as condições de equilíbrio e estabilidade do ponto E 4 e sobre sobre a influência dos parâmetros σ e α na dinâmica do sistema serão apresentados. 687

5 eferências [1] L. Esteva C. argas Coexistence of different serotypes of dengue virusjournal of Mathematical Biology 46(1): [] G. Chowell P. Diaz-Duenas J.C. Miller A. Alcazar-elazco J.M. Hyman P.W. Fenimore C. Castillo-Chavez Estimation of the reproduction number of dengue fever from spatial epidemic data Mathematical Biosciences 8: [3] S.T.. Pinho C.P. Ferreira L. Esteva F.. Barreto.C. Morato e Silva e M.G.L. Teixeira Modelling the dynamics of dengue real epidemics. Philosophical Transactions - oyal Society. Mathematical Physical and Engineering Sciences 368: [4] T.N. ilches Modelos Matemáticos e Computacionais em Dengue Trabalho de Conclusão de Curso BB-UNESP