MBIF-MODELO BASEADO EM INDIVÍDUOS FUZZY: PROPOSTA E APLICAÇÃO EM UM SISTEMA COMPLEXO

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1 MBIF-MODELO BASEADO EM INDIVÍDUOS FUZZY: PROPOSTA E APLICAÇÃO EM UM SISTEMA COMPLEXO Gledson Melotti, Lucymara de R. Alvarenga, Maurílio J. Inácio, Erivelton G. Nepomuceno, Eduardo M. A. M. Mendes, Ricardo H. C. Takahashi, Walmir M. Caminhas Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica-UFMG Departamento de Engenharia Elétrica-UFSJ s: gledsonmelotti@yahoo.com.br, lucymarareal@yahoo.com.br, maurilio@cpdee.ufmg.br, nepomuceno@ufsj.edu.br, emmendes@cpdee.ufmg.br, taka@mat.ufmg.br, caminhas@cpdee.ufmg.br Abstract The study of infectious diseases opened a whole new area of science, the mathematical epidemiology, that considers models that can aid in the study of the spreading of these diseases. These models include the SIR model (Susceptible - Infected - Removed) and the IBM (Individuals Based Model). The SIR model does not consider the spatial distribution of the individuals. As alternative is the IBM model, that by means of the concepts of complex systems analyzes the individual as an unique and discrete entity and also incorporates a spatial distribution that considers local and non local contacts. The goal of this work is to introduce a flexibility in mathematical epidemiology, by means of the model IBM with fuzzy rules to explain the diseases scattering in different situations practices. The time series originated from the models SIR and IBM are also compared qualitatively and quantitatively. Keywords fuzzy logic. SIR model, Individual Based Model, complex systems, local and non local contacts, epidemiology, Resumo O estudo das doenças infecciosas fez surgir uma nova área da ciência: a epidemiologia matemática. A epidemiologia matemática propõe modelos que possam ajudar no estudo da disseminação dessas doenças. Esses modelos incluem o modelo SIR (Suscetível - Infectado - Recuperado) e o MBI (Modelo Baseado em Indivíduos). O modelo SIR não considera a distribuição espacial dos indivíduos. Um alternativa é o modelo MBI, que por meio dos conceitos de sistemas complexos analisa o indivíduo como entidade única e discreta e também incorpora a distribuição espacial que considera contatos locais e não locais. O objetivo deste trabalho é introduzir uma flexibilidade em epidemiologia matemática, por meio do modelo MBI com regras fuzzy para explicar o espalhamento de doenças em diferentes situações práticas. As séries temporais originadas do modelo SIR e MBI são também comparadas qualitativamente e quantitativamente. Palavras-chave Modelo SIR, Modelo Baseado em Indivíduo, sistemas complexos, contatos locais e não locais, epidemiologia, lógica fuzzy. 1 Introdução O estudo das doenças infecciosas, em virtude dos danos sócio-econômicos, é um importante ramo da ciência. O número de mortes provocado pelas maiores epidemias de todos os tempos é impreciso, mas é incomparavelmente maior do que o número de mortes provocado por todas as guerras (Anderson e May, 1992). No controle da proliferação das doenças infecciosas a ciência tem contribuído de diversas formas, desde campanhas de vacinação até o desenvolvimento de modelos matemáticos capazes de representar a dinâmica de doenças infecciosas (Yang, 21). A modelagem matemática de doenças infecciosas fundamenta-se em hipóteses matemáticas que quantificam alguns aspectos biológicos da propagação de epidemias. Neste artigo, a modelagem matemática trata especificamente das infecções de transmissão direta. Esse tipo de transmissão é baseada em infecções viróticas ou bacterianas, cuja disseminação ocorre diretamente através do meio físico, quando se dá um contato apropriado entre os indivíduos suscetíveis (aqueles que não tiveram contato com o vírus) e os indivíduos infectantes, isto é, os que apresentam em seus organismos concentrações razoáveis de vírus e, assim, encontramse eliminando estes para o ambiente (Yang, 21). Um dos modelos mais estudados é o modelo compartimental denominado SIR (Suscetível - Infectado - Recuperado) (Hethcote, 2). O modelo SIR permite analisar determinadas características de doenças infecciosas, tais como as constantes de tempo características da fase epidêmica, o patamar endêmico, e a existência de limiares nas taxas de propagação para possibilitar a erradicação de doenças infecciosas pelo mecanismo de extinção dos pontos fixos não nulos (Hethcote, 2). Entretanto, o modelo SIR considera a distribuição dos indivíduos espacial e temporalmente homogênea (Hethcote, 2), a partir da premissa de que o tamanho da população seja tão grande a ponto de permitir a aproximação por variáveis contínuas dos diversos compartimentos. Porém, a distribuição espacial de transmissão da doença deve ser considerada no caso de populações pequenas e dispersas ou com alta mobilidade. Uma das formas de estudar a propagação ISSN: Vol. X 172

2 de doenças e considerar a dinâmica espacial é com base nos conceitos de sistemas complexos. Tais sistemas são definidos como uma coleção de agentes individuais com liberdade para agir de forma nem sempre previsível, e cujas ações estão interligadas de tal maneira que a ação de um agente mude o contexto de outros agentes (Bar- Yam, 1997). Dito de outra forma, a análise do sistema é feita pelo comportamento global gerado pelas interações dos componentes individuais e não pela análise do comportamento dos componentes individuais (Melotti, 29). Para suprir a deficiência da distribuição espacial em propagações de doenças por certos modelos epidemiológicos, tem-se uma abordagem estudada em ecologia para lidar com a questão de populações heterogêneas é a dos chamados Modelos Baseados em Indivíduos, MBI (ou IBM,do inglês Individual Based Model) (Lacerda et al., 21; Alvarenga, 28). Segundo Grimm (1999), cada indivíduo é tratado como uma entidade única e discreta que possui idade e ao menos mais uma propriedade que muda ao longo do ciclo da vida, tal como peso, posição social, entre outras. O MBI é uma ferramenta matemática que faz com que todos os indivíduos se interagem uns com os outros e o resultado final é o comportamento global gerado pelas interações individuais dos componentes. Assim, o MBI é um modelo matemático capaz de estudar a propagação de doenças por meio dos conceitos de sistemas complexos. Este trabalho propõe uma formulação de MBI e três situações incorporadas ao MBI proposto para analisar a dinâmica de epidemias. A primeira situação considera as mesmas particularidades do modelo SIR. A segunda considera apenas o contato dos indivíduos com sua vizinhança (contatos locais). A última considera os contatos locais e uma taxa de contato não local determinada aleatoriamente para cada indivíduo, que influencia a distância obtida por meio de regras fuzzy, em que um indivíduo infectado pode-se deslocar por toda a população. Este artigo apresenta alguns conceitos preliminares na seção 2: os modelos SIR e MBI. A metodologia adotada para representar a propagação de doenças por meio do MBI e de regras fuzzy está explicada na seção 3. Na seção 4 apresentase os resultados e sua análise. As considerações finais são apresentadas na Seção Modelo SIR 2 Conceitos Preliminares O modelo SIR é composto por equações diferenciais e utiliza a estratégia de compartimentos (Hethcote, 2). Esse modelo epidemiológico analisa a disseminação de doença numa população. O modelo divide a população em três classes: i) suscetível (S): indivíduos que podem contrair a doença; ii)infectados (I): indivíduos que podem transmitir a doença; iii) recuperados (R): indivíduos que se recuperaram da doença e não estão sujeitos a nova contaminação. O sistema de equações diferenciais pode ser assim representado: ds dt = βis µn µs N, S() = S di dt = βis N γi µi, I() = I (1) dr dt = γi µr, R() = R em que µ é a taxa de novos suscetíveis, γ é a taxa com que os infectados tornam-se recuperados, β é a taxa de transmissão da doença, N é o número total de indivíduos e S(t)+I(t)+R(t) = N (constante). Para modelos epidemiológicos clássicos, um parâmetro essencial é o valor de reprodutividade basal, R o, que dá o número de casos secundários causados por um indivíduo infectado introduzido numa população totalmente suscetível. Esse parâmetro indica em que condições a doença se propaga na população. Neste modelo pode-se expressá-lo da seguinte forma (Hethcote, 2): R o = β µ + γ, (2) A determinação dos parâmetros do modelo SIR é feita por meio de estudos estatísticos de uma epidemia em uma determinada região. 2.2 Modelo MBI Para avaliar computacionalmente a propagação de epidemias, será utilizado o Modelo Baseado em Indivíduos (MBI) proposto por Alvarenga (28), tendo como referência o modelo SIR (Hethcote, 2). A seguir são apresentadas algumas premissas utilizadas para formulação do MBI. Essas premissas são formuladas de forma a coincidir com aquelas explicitadas para o modelo SIR clássico, as quais se tornam um subconjunto das premissas do modelo MBI. As premissas são as seguintes: 1. População constante. Como se deseja realizar comparações com o modelo SIR utilizado neste trabalho, optou-se por utilizar a população constante de tamanho m. 2. Características do indivíduo. Um indivíduo é caracterizado por um conjunto de n características. 3. Categorias de indivíduos. Há três categorias para um indivíduo: (suscetível), 1 (infectado) e 2 (recuperado). 4. Mudança de categoria. Uma vez em uma categoria, o indivíduo pode mudar para uma outra categoria em cada instante de tempo. Neste trabalho, adotou-se a transição discreta. As transições podem ocorrer de uma das seguintes formas: (a),1,2. Isso significa que o indivíduo morreu e um outro nasceu (para manter ISSN: Vol. X 173

3 a população constante ver premissa 1). Caso o indivíduo não morra, pode ocorrer a transição do item b) ou c), descritas a seguir. (b) 1. Um indivíduo infectado, pode encontrar com um indivíduo suscetível. Caso ocorra o encontro, o indivíduo suscetível adquire a doença e passa para a categoria 1. (c) 1 2. Um indivíduo infectado recupera-se e passa para a categoria Distribuição estatística. A mortalidade (e consequentemente nascimento) segue uma distribuição uniforme. Essa distribuição também foi utilizada para a transição de recuperação. As probabilidades de transição de estado são representadas na Tabela 1. Tabela 1: Probabilidade de transição de estado, dada pela probabilidade de morte e probabilidade de que um indivíduo se recupere. Transição Interpretação Probabilidade S,I,R S morte µ I R recuperação γ 6. Processo de infecção. A transmissão da doença é representada como sendo um processo probabilístico. Cada indivíduo infectado e cada indivíduo suscetível têm igual probabilidade de comunicar-se uns com os outros, e desta maneira transmitir a infecção. Este estado de transição é baseado em dois estágios: (a) A parte inteira do parâmetro β é interpretada como o número de pessoas que irão interagir com cada indivíduo infectado estes indivíduos são escolhidos aleatoriamente em toda a população. (b) A parte fracionária do parâmetro β é interpretada como a probabilidade de cada indivíduo infectado ter um outro contato. A decisão aleatória é feita com tal probabilidade e, no caso do contato ocorrer, outro indivíduo é escolhido na população para ter contato com o indivíduo infectado. Um indivíduo é representado por: I m,t = [C 1 C 2 C n], (3) em que m é o tamanho da população, t é o instante que o indivíduo apresenta um conjunto específico de características e C n é uma característica do indivíduo. Foi adotada apenas uma característica que representa o estado do ponto de vista epidemiológico, que pode ser suscetível, infectado e recuperado. Outras características poderão ser incorporadas como idade, o sexo, classe social ou quaisquer outras características consideradas relevantes. Por sua vez, uma população é representada por: P t = [I 1,t I 2,t I 3,t I m,t] T, (4) em que I m,t é um indivíduo no instante t e P é uma matriz m n. A população inicial é determinada de modo aleatório. Em cada instante de tempo, cada indivíduo é considerado e verifica-se por meio de distribuições probabilísticas qual a transição que ocorrerá. Após os m indivíduos serem avaliados, o tempo de simulação é incrementado em t. O algoritmo termina quando o tempo de simulação atinge o valor final t f. 3 Metodologia Foi incorporado ao modelo MBI proposto desenvolvido de forma clássica a variável espacial no espalhamento de epidemia, portanto, cada indivíduo poderá estabelecer duas formas de contato: contato local e não local. 3.1 Contatos locais Incluem os oito indivíduos geometricamente mais próximos (Emmendorfer e Rodrigues, 21), conforme a Figura 1. Cada indivíduo é representado por uma célula. A célula de cor preta (circunferência preta) tem como vinhança as oitos células em formato de x. Isso significa que um indivíduo suscetível só pode manter contato e adquirir a doença por meio dos vizinhos mais próximos. 3.2 Contato não local A ideia de contato não local foi obtida do trabalho de Peixoto e Barros (24) e incorporada no MBI proposto. O objetivo do contato não local é garantir que um indivíduo infectado pode-se deslocar dentro de uma região até uma distância L e ter a possibilidade de infectar um indivíduo suscetível, como ilustra a Figura 1. Esta distância é determinada por meio de regras fuzzy. Assim, o MBI torna-se MBI fuzzy (MBIF). Neste trabalho considera-se que cada indivíduo infectado possui uma taxa de contato não local, P nl, e diferente em cada instante de tempo, determinada de forma aleatória. A cada instante o deslocamento L pode ser diferente para cada indivíduo infectado. L X X X X X X X X Figura 1: Possíveis contatos locais (x) e não local (o) com indivíduo localizado a uma distância L. ISSN: Vol. X 174

4 3.3 Regras Fuzzy e o Deslocamento L A teoria fuzzy tem por objetivo principal tratar matematicamente certos termos linguísticos subjetivos. Genericamente, um sistema baseado em regras fuzzy consiste em três componentes: um processador de entrada (fuzzyficador), um conjunto de regras lingüísticas associadas a mecanismo de inferência fuzzy e um processador de saída (defuzzyficador), que gera um número real como saída (Zadeh, 1965). A modelagem do parâmetro L por meio de um sistema de regras fuzzy traduz o conhecimento que se tem sobre a dependência com respeito a R o, ou seja, o quanto a doença é capaz de evoluir em determinado ambiente e P nl. Portanto, R o e P nl são as variáveis de entrada do sistema de regras fuzzy e a saída será a distância L, como mostra a Figura 2, em que L é dependente de R o e P nl. 4 Resultados Os indivíduos suscetíveis, infectados e recuperados estão representados pelas cores cinza, preta e branca respectivamente. Os parâmetros utilizados foram: N = 25, t = 1, µ = 1/6, γ = 1/3 β = 3,5 para todas as simulações. Todas as simulações iniciaram-se com apenas um indivíduo infectado e demais indivíduos suscetíveis. A evolução da propagação da epidemia, obtida por meio do MBI desenvolvido de modo a coincidir com o modelo SIR clássico é ilustrada na Figura 4. Isso significa que o indivíduo infectado tem a probabilidade de infectar todos os indivíduos suscetívei em um mesmo instante de tempo. R Base de conhecimentos L P nl (a) t= (b) t=1 Figura 2: Sistema baseado em regras fuzzy. Para as variáveis de entrada (R o e P nl ), as funções de pertinência utilizadas foram nomeadas de muito baixa, baixa, média, alta e muito alta. Para a variável de saída (L), as funções de pertinência foram nomeadas pequena, média e grande, conforme as regras adotadas no trabalho de Peixoto e Barros (24). As funções de pertinência de entrada e saída podem ser vistas na Figura 3. (c) t=3 (d) t=3 Figura 4: Caso em que a população se mistura homogeneamente: (a) condição inicial, (b) 1 unidades de tempo (ut), (c) 3 ut, (d) 3 ut. MuitoBaixa Baixa Média Alta MuitoAlta MuitoBaixa Baixa Média 1 1 Função Pertinência Função Pertinência Ro Pequena Média Grande L Função Pertinência Alta MuitoAlta.5 1 pnl Figura 3: Funções de pertinência: R o e P nl são as variáveis de entrada, L é a variável de saída. Segundo Peixoto e Barros (24) as regras fuzzy foram obtidas com o auxílio de especialistas da área de medicina. Para a inferência foi utilizado o método de Mamdani (Zadeh, 1965), com os operadores mínimo e máximo. A saída geral foi calculada pelo método de defuzzificação do Centro de Gravidade. A Figura 5 mostra a comparação evidenciada quantitativamente e qualitativamente simulando o modelo SIR e o MBI. As séries temporais produzidas pelo SIR e a técnica proposta são muito próximas, em termos de valor de pico de uma doença, bem como o período em que a doença se estabiliza. Nesse caso, a população se mistura homogeneamente, em que todos os indivíduos estabelecem contatos entre si, ou seja, todos indivíduos tem a mesma probabilidade de encontrar uns com os outros. A propagação da epidemia com o MBI, em que cada indivíduo infectado estabelece contatos apenas locais com sua vizinhança, é apresentada na Figura 6. Nessa simulação fica evidente que a propagação de doença se espalha apenas entre os indivíduos suscetíveis mais próximos. Com o passar do tempo, a doença se espalha por toda a população, pois cada indivíduo infectado tem a probabilidade de infectar os vizinhos suscetíveis mais próximos. A simulação representada pela Figura 7 ilustra a evolução temporal da epidemia dada pelo ISSN: Vol. X 175

5 4 (a) 4 (a) S 2 S 2 I R (b) (c) t I R (b) (c) t Figura 5: Comparação entre MBI desenvolvido de forma clássica ( ), caso em que a população se mistura homogeneamente e SIR (- - -). Figura 7: Comparação entre MBI ( ) caso em que a população estabelece contato apenas com sua vizinhança, e SIR (- - -). Figura 8 (d) ilustra a propagação da doença estabilizada. (a) t= (b) t=1 (a) t= (b) t=5 (c) t=3 (d) t=3 Figura 6: Caso em que cada indivíduo estabelece contato apenas com sua vizinhança: (a) condição inicial, (b) 1 unidades de tempo (ut), (c) 3 ut, (d) 3 ut. modelo MBI que estabelece apenas contatos locais comparado com o modelo SIR clássico. Observe que o aumento do número de infectados no início da propagação da epidemia no MBI é mais suave, isso deve-se ao fato da doença se propagar em torno do foco da epidemia. Isso representa uma população em que os indivíduos não têm muitos contatos uns com os outros, por exemplo, uma população rural. A Figura 8 mostra a evolução espacial da propagação da epidemia com contato local e não local, obtida por meio do MBI fuzzy (MBIF). Nesse caso, a população pode estabelecer contato com sua vizinhança e cada indivíduo ainda pode estabelecer um contato não local com outro indivíduo, localizado a uma distância L. Tal distância é determinada por regras lingüísticas do sistema fuzzy. A Figura 8 (b) mostra claramente a formação de focos secundários. Isso significa que os indivíduos infectados se deslocam por toda a população. A (c) t=3 (d) t=3 Figura 8: Caso em que a população estabelece contato com a vizinhança e cada indivíduo pode estabelecer contato não local baseado em regras de um sistema fuzzy: (a) condição inicial, (b) 5 unidades de tempo (ut), (c) 3 ut, (d) 3 ut. A Figura 9 apresenta a evolução temporal do MBIF da Figura 8 comparada com a do modelo SIR clássico. Observa-se que ao incorporar a taxa de contato não local no modelo MBI, o comportamento temporal se assemelha com o do modelo SIR, ou seja, comportamentos qualitativos parecidos (valor de pico alto para os infectados, além do tempo em que a doença se estabiliza). Porém, os valores de picos das séries temporais dos indivíduos são diferentes. Isto mostra que o MBIF (contatos locais e não locais) obteve um comportamento diferente do modelo SIR, isto é, comportamentos quantitativos diferentes. O modelo SIR considera que todos os indivíduos estão em contatos uns com os outros. Esse fato não invalida o MBI para a segunda e terceira ISSN: Vol. X 176

6 S I R (b) (c) 4 2 (a) t Figura 9: Comparação entre MBIF ( ) no caso em que a população estabelece contato com a vizinhança e cada indivíduo pode estabelecer contato não local baseado em regras de um sistema fuzzy e o modelo SIR clássico (- - -). situações, pois no espalhamento real, os indivíduos não estão todos em contatos uns com os outros. Contudo, qualitativamente mostra que o modelo de MBI proposto captura algumas características do espalhamento de doenças, como o pico de indivíduos infectados que surge na população. Além disso, as séries do MBI se estabilizam depois de um certo instante de tempo como as séries do SIR. 5 Conclusões O artigo apresentou abordagens estocásticas para a modelagem de epidemias. A formulação matemática é geral e pode levar em conta características físicas e sociais dos indivíduos. A modelagem obtida venha a reproduzir situações práticas que anteriormente não eram contempladas para as técnicas convencionais, como o modelo SIR. A variação entre situações do tipo global, local e não local permite analisar diversas situações de interesse na dinâmica de epidemias. Tais variações podem ser explicadas e realizadas com o MBIF por meio dos conceitos de sistemas complexos. Pois com o MBIF é possível explicar como a doença se propaga por meio das interações entre os indivíduos e a possibilidade de criar cenários diferentes que representam as propagações de doenças, como por exemplo, fazer com que um indivíduo infectado se desloque de uma região para a outra. Note que as essas duas últimas situações evidenciam que o modelo SIR tradicional não as reproduz adequadamente. Utilizando o modelo MBIF, uma análise e compreensão da dinâmica do sistema torna-se mais clara, o que pode levar a um estudo de forma mais eficiente. Assim, nas estratégias de modelagem e estudos dos comportamentos de epidemias, um modelo feito a partir da técnica apresentada poderá ser mais adequado, em certas situações, do que a partir do clássico modelo SIR. Porém, para afirmar que um modelo é mais adequado que outro, deve-se realizar um estudo estatístico de situações reais em diversos cenários com os modelos e assim compará-los. Tal estudo não foi contemplado neste artigo. Agradecimentos Os autores agradecem ao CNPq, CAPES, FAPE- MIG, UFMG, UFSJ e ao IFES-São Mateus pelo apoio financeiro. Referências Alvarenga, L. R. (28). Modelagem De Epidemias Através De Modelos Baseados Em Indivíduos, Dissertação de Mestrado, PPGEE, UFMG, Belo Horizonte, Brasil. Anderson, R. M. e May, R. M. (1992). Infectious diseases of humans: dynamics and control, Oxford: Oxford University Press. Bar-Yam, Y. (1997). Dynamics of Complex Systems, Addison-Wesley. 1 a edition. Emmendorfer, L. R. e Rodrigues, L. A. D. (21). Um modelo de autômatos celulares para espalhamento geográfico de epidemias., Tendências em Matemática Aplicada e Computacional-SBMAC 2(1): Grimm, V. (1999). Ten years of individual-based modelling in ecology: what have we learned and what could we learn in the future?, Ecological Modelling 115(2-3): Hethcote, H. W. (2). The mathematics of infectious diseases, SIAM Review 42(4): Lacerda, M. J., Teixeira, W. W. M. e Nepomuceno, E. G. (21). Alocação de agentes para controle de epidemias utilizando algoritmos genéticos, BIOMATEMÁTICA (UNICAMP) 2(1): Melotti, G. (29). Aplicação de Autômatos Celulares em Sistemas Complexos: Um Estudo de Caso em Espalhamento de Epidemias, Dissertação de Mestrado, PPGEE, UFMG, Belo Horizonte, Brasil. Peixoto, M. S. e Barros, L. C. (24). Um estudo de autômatos celulares para o espalhamento geográfico de epidemias com parâmetro fuzzy, XXXVI CNMAC: Tend. Mat. Apl. Comput 5(1): Yang, H. M. (21). Epidemiologia matemática: Estudos dos efeitos da vacinação em doenças de transmissão direta, Editora UNICAMP. Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy sets, Informat. Control 8: ISSN: Vol. X 177