PROGRAMAÇÃO PARALELA CUDA PARA SIMULAÇÃO DE MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS BASEADOS EM INDIVÍDUOS.

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1 PROGRAMAÇÃO PARALELA CUDA PARA SIMULAÇÃO DE MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS BASEADOS EM INDIVÍDUOS. Arlindo Rodrigues Galvão Filho, Fleuri Domingues Barreto Arruda, Roberto Kawakami Harrop Galvão, Takashi Yoneyama Divisão de Engenharia Eletrônica Instituto Tecnológico de Aeronáutica São José dos Campos, São Paulo, Brasil Divisão de Ciência da Computação Instituto Tecnológico de Aeronáutica São José dos Campos, São Paulo, Brasil s: Abstract Mathematical models are of paramount importance in epidemiology to help in the conception of effective control strategies. The classical approach to model the patterns of the population s health condition is to use differential equations. An alternative model is to consider each individual as a string or vector of characteristic data and simulate the contagion and recovery processes by computational means. This type of model, referred in the literature as MBI (Model Based on Individuals), has the advantage of being flexible as the characteristics of each individual can be quite complex, involving, for instance, age, sex, pre-existing health conditions, environmental factors, social habits, etc. However, when it comes to simulations involving large populations this model may require a larger computational effort as compared to compartimental models such as the SIR (Susceptible-Infected-Recovered) model. In order to cope with the problem of heavier computational effort, this paper proposes a parallel implementation of the MBI using a GPU (Graphics Processor Unit) compatible with CUDA (Compute Unified Device Architecture). It is shown that even for a case study compatible with a simple SIR model, the computational gains in terms of processing time are significant. Keywords Mathematical epidemiology, model based on individuals, SIR model, parallel processing, GPU, CUDA. Resumo O desenvolvimento de modelos matemáticos tem colaborado para a construção de estratégias mais eficazes de controle epidemiológico. A abordagem clássica consiste em empregar equações diferenciais para modelar os padrões da condição de saúde de uma população. Uma alternativa consiste em modelar cada indivíduo por um conjunto de atributos e simular computacionalmente os processos de contágio e recuperação. Tal tipo de modelo, conhecido na literatura como MBI (Modelo Baseados em Indivíduos), proporciona maior flexibilidade quanto à caracterização de cada indivíduo da população analisada, podendo-se levar em conta atributos tais como sexo, idade, hábitos sociais, condições de habitação, profissão, condições de higidez, entre outras. Em comparação com modelos compartimentais tais como o modelo SIR (Suscetível-Infectado-Recuperado), o custo computacional para a simulação de um MBI é tipicamente mais elevado. Neste contexto, a proposta deste trabalho consiste em explorar o uso de uma GPU (Graphics Processor Unit) para redução do tempo computacional envolvido na simulação de MBIs. Para esse propósito, emprega-se a arquitetura CUDA(Compute Unified Device Architecture). Como resultado, mesmo em casos de modelos simples compatíveis com SIR, a redução no tempo computacional gasto foi significativa. Palavras-chave Epidemiologia matemática, modelo baseado em indivíduos, modelo SIR, processamento paralelo, GPU, CUDA. 1 Introdução Epidemiologia é uma área da ciência que envolve o estudo quantitativo e qualitativo de fenômenos associados à saúde das populações humanas, bem como possíveis fatores de risco que possam condicionar doenças (Filho e Rouquayrol, 26), (Keeling and Rohani, 27). Dentro dessa grande área, um importante campo de investigação consiste na chamada epidemiologia matemática, que se caracteriza pelo uso de modelos matemáticos para o desenvolvimento de estratégias de controle e prevenção de epidemias (Anderson e May, 1992). Existem diversas classes de modelos epidemiológicos, que incluem diferentes aspectos da população e da doença infecciosa considerada, tais como a disponibilidade de vacinação, aquisição de imunidade após uma primeira infecção, possibilidade da presença de infectados sadios, entre outros. Um dos modelos mais utilizados considera que a população possa ser dividida em três compartimentos, ou classes: Suscetíveis, Infectados e Recuperados (SIR). A dinâmica da epidemia é então representada por um conjunto de equações diferenciais determinísticas que descrevem a evolução temporal do número de indivíduos em cada uma das classes (Kermack e Mckendrick, 1927), (Lu, 22), (Grenfell et al., 22), (Soumpasis, 21). Tal modelo é de valia para a investigação de aspectos gerais relacionado à propagação de diversas doenças infecciosas. Contudo, em muitos casos a divisão da população em três grandes compartimentos (S, I, R) pode não ser suficiente para tratar heterogeneidades associadas às características dos diferentes indivíduos. Para contornar as limitações de representa- ISSN: Vol. X 241

2 ções compartimentais como o SIR, Nepomuceno (25) propôs o uso dos chamados modelos baseados em indivíduos (MBI). Em tais modelos, cada indivíduo da população é representado como uma entidade única e discreta, possuindo ao menos uma característica que muda ao longo do seu ciclo de vida (Nepomuceno, 25). Com isso, é possível levar em conta atributos tais como sexo, idade, hábitos sociais, condições de habitação, profissão, condições de higidez, entre outras (Giancotti et al., 21), (Pereira, 28). Em comparação com modelos compartimentais descritos na forma de equações diferenciais, o custo computacional para a simulação de um MBI é tipicamente mais elevado. Contudo, tal custo está principalmente associado à repetição de operações simples, similares e não-sequenciais, o que torna adequado o uso de plataformas de processamento paralelo. Neste contexto, a proposta deste trabalho consisteem explorarousode uma GPU(Graphics Processor Unit) para redução do tempo computacional envolvido na simulação de MBIs. Para esse propósito, emprega-se a arquitetura CUDA (Compute Unified Device Architecture), que facilita o desenvolvimento de rotinas computacionais para processamento paralelo em GPUs utilizando linguagens de alto nível. Tal arquitetura tem encontrado diversas aplicações no âmbito da computação científica, podendo-se citar a solução de equações diferenciais estocásticas (Januszewski et al., 21), simulações de dinâmicas moleculares (Liu et al., 28) e modelagem da poluição do ar (Molnár et al., 21), dentre outras. Este artigo está organizado da seguinte forma. Na Seção 2 são apresentados os modelos SIR e MBI. Na Seção 3, descrevem-se o material e os métodos utilizados. Os resultados são discutidos na Seção 4. A Seção 5 traz as conclusões do trabalho. 2.1 Modelo SIR 2 Modelos SIR e MBI O modelo matemático SIR é constituído por um sistema de equações diferenciais não-lineares a tempo contínuo. Este modelo divide a população em três classes: suscetíveis (S), infectados (I) e recuperados (R). Os suscetíveis são pessoas que nunca foram infectadas e estão sujeitos a contágio através do contato com pessoas infectadas. Os infectados são pessoas que possuem a doença considerada e podem transmiti-la para pessoas suscetíveis. Por fim, os recuperados são pessoas que já foram infectadas, mas estão curadas e, por hipótese, adquiriram imunidade. O diagrama de blocos na Figura 1 apresenta os principais elementos do modelo SIR (Pereira, 28). Neste diagrama, µ é a taxa de natalidade de novos indivíduos por unidade de tempo. Considera-se que os recém-nascidos são todos suscetíveis, não havendo transmissão vertical da doença ou da imunidade por parte dos pais. Supõese que a taxa de mortalidade, denotada por v, é a mesma para as três classes. Os coeficientes β e γ representam as taxas de transmissão da doença e de recuperação, respectivamente. O número total de indivíduos é denotado por N. Figura 1: Representação esquemática do modelo SIR. Por simplicidade, considera-se neste trabalho que o tamanho da população se mantém constante ao longo do tempo, ou seja, assume-se que as taxas de natalidade(µ) e mortalidade(v) são iguais. Deste modo o modelo SIR é dado por ds/dt = µn µs βis/n di/dt = βis/n γi µi (1) dr/dt = γi µr em que S(t)+I(t)+R(t) = N. 2.2 Modelo MBI No MBI, proposto em Nepomuceno (25), cada indivíduo da população é descrito por um conjunto de características de relevância do ponto de vista epidemiológico. A principal característica consiste na condição epidemiológica atual, que pode seguir, por exemplo, a categorização adotada no modelo SIR (suscetível, infectado, ou recuperado). Adicionalmente, é possível contemplar características como idade, tempo em que o indivíduo se encontra infectado e localização espacial dentro de uma certa região. Tais características podem ser levadas em conta nos processos de natalidade, contágio e morte ao longo da simulação do modelo. Formalmente, o d-ésimo indivíduo é associado a um vetor de n características da forma I d (t) = [C d1 (t) C d2 (t) C dn (t)] T (2) sendo t o instante de tempo considerado. Nesse instante, a população de N indivíduos é então representada pela seguinte matriz de dimensões N n: P(t) = [I 1 I 2 I N ] T (3) A figura 2 mostra o fluxograma para simulação do MBI empregado neste trabalho. ISSN: Vol. X 242

3 tal número seja menor do que uma dada probabilidade de infecção P infec, o indivíduo suscetível (S) do par passa à condição de infectado (I). Vale salientar que outros tipos de pares não dão ensejo à ocorrência de infecção. Após a etapa de infecção, o algoritmo prossegue para a etapa de recuperação. Para isso, gera-se um número aleatório a partir de uma distribuição U[,1] para cada indíviduo infectado. Caso tal número seja menor do que uma dada probabilidade de recuperação P rec, o indivíduo em questão passa à condição de recuperado (R). Por fim, um procedimento similar é empregado na etapa de morte, na qual cada um dos N indivíduos da população pode vir a falecer com probabilidade P mor. Os indivíduos falecidos são substituídos por novos indivíduos suscetíveis, considerando que as taxas de mortalidade e natalidade são tais que o tamanho da população se mantém constante. Os blocos destacados em cinza no fluxograma são referentes às partes que foram implementadas empregando processamento paralelo neste trabalho. 2.3 Equivalência entre o SIR e o MBI Como mostrado em (Pereira, 28), é possível escolher os parâmetros Q p, P infec, P rec e P mor do modelo MBI de modo a obter resultados equivalentes, em média, aos do modelo SIR apresentado na equação(1). Dado um passo de tempo t a ser utilizado na simulação do MBI, tal equivalência é obtida impondo-se: Q p = N t 2 P infec = β P rec = γ t Figura 2: Fluxograma para simulação do MBI. Inicialmente, são definidos o tamanho da população (N), bem como os instantes de tempo inicial (t ) e final (t f ) da simulação e o incremento de tempo entre as iterações ( t). Também são definidos os valores dos parâmetros Q p, P infec, P rec e P mor, que são empregados nas etapas descritas a seguir. A simulação do MBI possui caráter estocástico, por envolver eventos aleatórios relacionados aos processos de infecção, recuperação e morte (Giancotti et al., 21). No começo de cada iteração, são sorteados Q p pares de indivíduos a serem considerados no processo de infecção. Para cada par da forma (S,I) ou (I,S) gera-se então um número aleatórioa partirde uma distribuição U[,1] (distribuição uniforme no intervalo [, 1]). Caso P mor = µ t Adicionalmente, o tamanho da população N deve ser o mesmo nos dois modelos. Maiores detalhes sobre a equivalência do SIR e MBI podem ser obtidos em (Pereira, 28). 3 Material e Métodos Neste trabalho, o algoritmo para simulação do MBI descrito na Seção 2.2 foi codificado em linguagem C empregando uma implementação inteiramente sequencial, bem como uma implementação paralelizada empregando CUDA. Doravante, tais implementações serão denominadas MBI-C e MBI-CUDA, respectivamente. Em ambos os casos, os modelos foram configurados de modo a obter equivalência com um modelo SIR com os se- ISSN: Vol. X 243

4 guintes parâmetros: µ =,5 β =,8 γ = 1/15 Os resultados de simulação obtidos com o modelo MBI foram confrontados com os do modelo SIR equivalente, com o intuito de validar as implementações MBI-C e MBI-CUDA. Para esse propósito, o modelo SIR foi simulado empregando-se o método numérico de Dormand-Prince (Dormand and Prince, 198). Para avaliar o ganho computacional obtido por meio da implementação em CUDA, registrouse o tempo médio dispendido em cada iteração do MBI-C e MBI-CUDA, considerando-se apenas as operações que foram paralelizadas (blocos destacados em cinza na Figura 2). Os testes foram realizados em um computador com processador Intel Core 2 Quad 2,33GHz, 3 GB de memória RAM com placa de vídeo Nvidia GeForce GTS 25 dispondo de 1 GB de memória RAM e 128 processadores operando a 738M Hz. 4 Resultados 4.1 Validação das implementações MBI-C e MBI-CUDA As Figuras 3, 4, e 5 apresentam os resultados de três simulações realizadas com diferentes valores de tamanho da população (N) e passo de tempo no modelo MBI ( t). As trajetórias referentes ao MBI-C e MBI-CUDA consistem na média de 1 realizações da simulação. Como esperado, os resultados obtidos com o MBI tendem a se aproximar daqueles gerados pelo modelo SIR à medida que N aumenta e (t) diminui. Adicionalmente, observa-se que os resultados da implementação MBI-C são similares aos da implementação MBI-CUDA. Numero de indivíduos S I R SIR MBI C MBI CUDA Numero de iteração Figura 3: Resultados da simulação realizada com N = 1 e t = 3. Numero de indivíduos S I R SIR MBI C MBI CUDA Numero de iteração Figura 4: Resultados da simulação realizada com N = 5 e t = 1,5. Numero de indivíduos S I R SIR MBI C MBI CUDA Numero de iteração Figura 5: Resultados da simulação realizada com N = 8 e t =, Avaliação do ganho computacional proporcionado pelo MBI-CUDA A figura 6 apresenta uma comparação entre os tempos computacionais gastos utilizando as implementações MBI-C e MBI-CUDA para diversos tamanhos de população. ÉpossívelverificarqueoMBI-Crequerumesforço computacional que aumenta de forma aproximadamente linear com o tamanho da população. Ampliando o gráfico do tempo gasto pelo MBI- CUDA, observa-se que o tempo também aumenta nesse caso, porém com taxa de crescimento menos expressiva. Vale ressaltar, contudo, que para populações menores que 5 indivíduos o MBI-C se mostra mais rápido que o MBI-CUDA. Isso decorre do overhead de aproximadamente 1ms associado à paralelização das tarefas na placa de vídeo. Pode-se concluir, portanto, que o MBI-CUDA seria uma implementação mais apropriada, do ponto de vista de tempo computacional, desde que o tamanho da população empregado seja suficientemente grande para justificar o overhead gasto na paralelização. ISSN: Vol. X 244

5 Tempo médio poriteração (ms) x 1 4 CPU GPU Tamanho da população (N) x 1 4 Figura 6: Tempo médio por iteração - Comparativo entre MBI-C e MBI-CUDA. 5 Conclusões Modelos baseados em indivíduos oferecem maior flexibilidade para incorporação de características epidemiológicas específicas de uma dada população. Contudo, a simulação de tais modelos pode requer um custo computacional elevado, o que justifica a investigação de implementações em plataformas de processamento paralelo. Neste artigo, explorou-se o uso de uma GPU empregando a arquitetura CUDA para paralelização de algumas etapas envolvidas na simulação de um modelo MBI. Como resultado, constatou-se que a taxa de crescimento do tempo computacional com o tamanho da população era substancialmente menor na implementação MBI-CUDA quando comparada com uma implementação sequencial. Para uma população de 5 indivíduos, a implementação MBI-CUDA proporcionou uma redução no tempo computacional por um fator de sete. O MBI empregado neste trabalho foi relativamente simples, de modo a permitir uma comparação direta com um modelo SIR para fins de validação das implementações realizadas. Em trabalhos futuros, pretende-se explorar o processamento em GPUs para implementação de MBIs que levem em conta aspectos de heterogeneidade da população. Espera-se que nesse caso os ganhos computacionais proporcionados sejam ainda mais expressivos, devido à necessidade de se tratar um maior número de características em cada indivíduo. Adicionalmente, serão investigadas possíveis alternativas à arquitetura CUDA para realização de estudos comparativos. Agradecimentos Os autores agradecem à Capes e ao CNPq pelos auxílios concedidos. Referências Anderson, R. M. and May, R. M. (1992). Infectious diseases of humans: Dinamics and control, Oxford University Press. Dormand, J. R. and Prince, P. J. (198). A family of embedded Runge-Kutta formulae. J. Comput. Appl. Math. Vol. 6, No. 1, pp Filho, N. A. e Rouquayrol, M. Z. (26). Introdução à epidemiologia, Guanabara Koogan. Giancotti, K.H. O., de AssisDias, F., Texeira, W. W. M., Nepomuceno, E. G. e Kurcbart,S. M. (21). Análise da estrutura do MBI: sensibilidade da taxa de infecção e da população, In: Anais do XVIII Congresso Brasileiro de Automática, Bonito, MS. Grenfell, B. T., Bjonstad, O. N. and Finkenstadt, B. F. (22). Dinamics of measles epidemic: scaling noise, determination, and predictability with the TSIR model. Ecological Modelling, Vol. 72, pp Januszewski, M. and Kostur, M. (21). Accelerating numerical solution of stochastic differential equations with CUDA. Computer Physics Communications, Vol. 181, No. 1, pp ISSN: Vol. X 245

6 Kermack, W. and Mckendrick, A. (1927). A contribution to the mathematical theory of epidemics. Proceedings of the Royal Society of London - Series A, Vol. 115, pp Keeling, M. J. and Rohani, P. (27). Modeling Infectious Diseases in Humans and Animals, Princeton University Press. Liu, W., Schmidt, B., Voss, G. and Müller-Wittig, W. (28). Accelerating molecular dynamics simulations using graphics processing units with CUDA. Computer Physics Communications, Vol. 179, No. 9, pp Lu, Z. (22). The effect of constant and pulse vaccination on SIR epidemic model with horizontal and vertical transmission. Mathematical and Computer Modelling, Vol. 36, pp Luebke, D., Harris, M., Krüger, J., Purcell, T., Govindaraju, N., Buck, I., Woolley, C. and Lefohn, A. (24). Gpgpu: general purpose computation on graphics hardware. In: Proc. SIGGRAPH 4 Course Notes, New York, NY. Molnár, F., Szakálya, T., Mészárosa, R. and Lagzi, I. (21). Air pollution modelling using a graphics processing unit with CUDA. Comput. Phys. Commun., Vol. 181, pp Nepomuceno, E. (25). Dinâmica, modelagem e controle de epidemias, Tese de doutorado, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, MG. Pereira, E. B. (28). Modelos baseados em indivíduos para análise e controle de epidemias em populações heterogêneas e metapopulações, Tese de mestrado, Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP. Soumpasis, I. (21). Modelling infectious diseases with python programming language, Innovative Science Magazine: Agriculture and Food edition (April issue). ISSN: Vol. X 246