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1 ANÁLISE DA ESTRUTURA DO MBI: SENSIBLIDADE DA TAXA DE INFECÇÃO E DA POPULAÇÃO Karina Helena de Oliveira Giancotti, Francisco de Assis Dias, Wanderson Willer Motta Texeira, Erivelton Geraldo Nepomuceno, Samuel Maier Kurcbart Grupo de Controle e Modelagem, Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de São João del-rei, Pça Frei Orlando, 170, Centro, São João del-rei, MG, Brasil s: karinajmjt@yahoocombr, franciscorcc@yahoocombr, wandersonwiller@yahoocombr, nepomuceno@ufsjedubr, samuelkurcbart@yahoocombr Abstract This work aims to investigate the structure of the MBI in three aspects and review the effectiveness of this model in epidemiology These aspects are: the population variable in time, dependence of the maximum number of infected and population size and different values of the force of infection Finally, it is a comparison between the force of infection of the MBI with the the traditional SIR model As a result, it appears that the MBI is highly sensitive to the parameter beta and the population size The sensitivity presents an explanation in real systems, which demonstrates the versatility of the MBI and the importance of this parameter for determining the structure Keywords modelling, SIR model, individual-based model Resumo Este trabalho objetiva investigar a estrutura do MBI em três aspectos e analisar a eficácia deste modelo na epidemiologia Estes aspectos são: população variável no tempo; dependência entre o número máximo de infectados e o tamanho da população e diferentes valores da força de infecção Por fim, faz-se uma comparação entre a força de infecção do MBI com o o tradicional modelo SIR Como resultado, verifica-se que o MBI é altamente sensível ao parâmetro β e a população A sensibilidade feita possui uma explicação em sistemas reais, mostrando assim, a versatilidade do MBI e a importância desse parâmetro para a determinação da estrutura Keywords modelagem, modelo SIR, modelo baseado em indivíduos 1 Introdução A modelagem matemática de sistemas complexos é um grande desafio para cientistas de diversas áreas em todo o mundo Determinar quais parâmetros são mais importantes na descrição de um modelo não é uma tarefa trivial (Aguirre, 2007) Um bom modelo deve ser suficientemente simples e ao mesmo tempo representativo do sistema real Uma vez realizada a modelagem do sistema, o modelo poderá ser usado para diversos fins, como a realização de predições e análise da dinâmica do sistema Modelos matemáticos tem sido largamente utilizados na ecologia, principalmente na epidemiologia matemática, que estuda a dinâmica da propagação de epidemias devido à interação entre os indivíduos A epidemiologia matemática é responsável por representar matematicamente a dinâmica dos sistemas As doenças infecciosas desempenham um enorme papel na história da humanidade (Earn et al, 2002; Day, 2002) Elas são uma das maiores fontes de mortalidade e constituem-se potentes forças seletivas (Oliveira et al, 2008; Barbosa et al, 2007; Day, 2002; Anderson e May, 1992; Hethcote, 2000) A literatura histórica e epidemiológica está repleta de casos de doenças infecciosas que invadiram comunidades humanas afetando a população e a organização social O número de mortes provocado pelas maiores epidemias de todos os tempos é impreciso, mas é incomparavelmente maior que o número de mortes provocados por todas as guerras (Anderson e May, 1992) Não são apenas os homens que estão sujeitos a doenças infecciosas Muitas doenças atacam animais domésticos e animais de alto valor econômico, disseminando ou reduzindo a produtividade de rebanhos bovinos, caprinos, entre outros (Barbosa et al, 2007; Paulin e Ferreira Neto, 2003; Barlow et al, 1997; Rowe e East, 1997; Poester et al, 2002) A epidemiologia matemática fundamenta-se em hipóteses matemáticas que quantificam alguns aspectos do fenômeno biológico da interação entre o parasita (vírus, bactéria e vírus) e hospedeiro (homem, animal, computador) Essa interação ocorre em dois níveis: individual e coletivo (Yang, 2001) No primeiro nível, o interesse recai sobre o mecanismo de transmissão, infecção e eventual imunidade no indivíduo No segundo, além desses aspectos, há também interesse na dinâmica do número de indivíduos infectados ao longo do tempo, isto é, se há presença de ciclos, picos, regimes estáveis, entre outras características Dentre as representações matemáticas mais utilizadas, destacamos o modelo SIR (Equação 1) que representa o sistema através de equações diferenciais não lineares (Kermack e McKendrick, 1927) e o Modelo Baseado em Indivíduos (MBI) que representa cada indivíduo da população como uma entidade única e discreta que possui ao menos uma característica que muda ao longo do seu ciclo 4858

2 de vida (Nepomuceno, 2005) O modelo SIR considera homogênea a distribuição espacial dos indivíduos, enquanto o MBI pode levar em consideração aspectos específicos de um determinado indivíduo, ou de um determinado conjunto de indivíduos em uma população No momento, o estudo sobre MBI desenvolvese principalmente sobre a formatação de uma técnica que possa determinar sua estrutura (Grimm et al, 2006; Grimm, 1999) Tem-se pensado na possibilidade de determinar um protocolo para auxiliar a comunidade científica na unificação da determinação de estrutura Entretanto, há problemas nessa tarefa uma vez que várias etapas do processo proposto são subjetivas e ficam a depender do usuário (Grimm et al, 2006) Um mecanismo que pode auxiliar nessa tarefa é a análise de sensibilidade dos parâmetros Essa idéia é decorrente da análise feita em outras representações, em particular os modelos NARMAX (Aguirre, 2007), nos quais é possível verificar que termo tem mais ou menos importância do que outro pelo critério da taxa de redução de erro (ERR) (Nepomuceno, 2002) Para iniciar essa investigação, pretende-se nesse artigo estudar a sensibilidade de alguns dos parâmetros do MBI, sempre direcionada para a compreensão novas abordagens que possam ampliar os conhecimentos da identificação da estrutura Para desenvolvê-lo, foi analisado a influência do tamanho da população, a sensibilidade à variação da força de infecção nos modelos SIR e MBI Também realizou-se o estudo da dinâmica do número máximo de indivíduos infectados influenciados pela variação da força de infecção e do tamanho da população no modelo MBI 2 Conceitos preliminares Nesta seção, são apresentados os modelos SIR e o MBI utilizados para simulação e avaliação computacional da propagação de epidemias, assim como as premissas adotadas neste trabalho 21 Modelo SIR O modelo epidemiológico SIR (Kermack e McKendrick, 1927) é um dos modelos mais utilizados para representação de doenças infecciosas A partir deste modelo são adotadas as premissas básicas para a construção conceitual dos demais modelos O modelo SIR é composto por equações diferenciais e utiliza a estratégia de compartimentos (Kermack e McKendrick, 1927) Esse modelo epidemiológico analisa a disseminação de doenças numa população O modelo divide a população em três compartimentos, ou classes: Suscetíveis (S): indivíduos que podem contrair a doença; Infectados (I): indivíduos que podem transmitir a doença; Recuperados (R): indivíduos que recuperaram da doença e não estão sujeitos a nova contaminação Figura 1: Representação esquemática do modelo SIR A Figura 1 apresenta um diagrama em que µ representa a taxa de novos suscetíveis por unidade de tempo (taxa de natalidade) e morrem a uma taxa d (taxa de mortalidade) Os indivíduos infectados possuem uma taxa a adicional à sua taxa de mortalidade, a taxa de letalidade β é o coeficiente de transmissão que determina a taxa em que novas infecções surgem como consequência do contato entre suscetíveis e infectados e γ é a taxa com que os infectados tornam-se recuperados Para se obter o conjunto de equações que representa o modelo SIR algumas considerações são feitas Ao considerar a população constante, o que equivale afirmar que d = µ Portanto o modelo SIR pode ser escrito como o conjunto de equações diferenciais: ds/dt = µn µs βis/n di/dt = βis/n γi µi dr/dt = γi µr em que S(t) + I(t) + R(t) = N (1) Quando consideramos a taxa de natalidade µ diferente da taxa de mortalidade d, temos uma população variável no tempo 22 Descrição do MBI Nepomuceno e colaboradores (Nepomuceno et al, 2006) expressaram o MBI, no qual um indivíduo é representado por I m,t = [C 1 C 2 C n ], (2) em que m é o tamanho da população, t é o instante em que o indivíduo apresenta um conjunto específico de características e C n é uma característica do indivíduo A primeira característica é o seu estado do ponto de vista epidemiológico, ou seja, suscetível, infectado, recuperado 4859

3 Outras características podem ser a idade, o tempo de duração da infecção, o sexo, a localização espacial ou quaisquer outras características do indivíduo consideradas relevantes Para que a modelagem do sistema ocorra de modo satisfatório trabalharemos com seis principais características: o estado (suscetível, infectado, recuperado ou agente de controle) do indivíduo; a idade corrente; a máxima idade em que o indivíduo viverá; o tempo em que o indivíduo se encontra no estado infectante; o máximo tempo em que o indivíduo permanece no estado infectante, ambos expresso em anos (Nepomuceno, 2005) Por sua vez, uma população de indivíduos é representada por: P t = [I 1,t I 2,t I 3,t I m,t ] T, (3) em que I m,t é um indivíduo no instante t e P é uma matriz mn 23 Premissas Epidemiológicas A seguir apresentamos as premissas epidemiológicas adotadas 1 População variável ou constante Investigouse o MBI sob três aspectos: adotou-se uma população constante ao investigar a sensibilidade deste modelo à força de infecção; premissa também adotada ao investigar a relação do número máximo de indivíduos infectados com o tamanho da população e a força de infecção Também foram estudados os efeitos de uma população variável no tempo, quando os outros parâmetros foram mantidos constantes 2 Características do indivíduo A dinâmica da transmissão de doenças infecciosas apresenta características multiparamétricas Elaborar modelos que contemplem todas as variáveis e reproduzam o que se observa em dados epidemiológicos, envolve uma tarefa árdua de discernir quais fatores desempenham papéis essenciais e quais têm influência secundária na transmissão de infecções Modelos de formulação simples apresentam a vantagem de permitir que se consiga verificar quais dentre os componentes considerados podem ou não ser fundamentais para a dinâmica de transmissão Neste trabalho, um indivíduo é caracterizado por um conjunto de n características 3 Categorias de indivíduos Há três categorias para um indivíduo: 0 (suscetível), 1 (infectado), 2 (recuperado) 4 Mudança de categoria Uma vez em uma categoria, o indivíduo pode mudar para uma outra categoria em cada instante de tempo Neste trabalho, adotou-se a transição discreta As transições podem ocorrer em uma das seguintes formas: 0,1,2 0 Isso significa que um indivíduo morreu e um outro nasceu, premissa essa adotada para manter a população constante (ver premissa 1) Caso o indivíduo não morra podem ocorrer as outras transições que seguem 0 1 Um indivíduo suscetível ao encontrar com um indivíduo infectado, pode adquirir a doença e passar para a categoria Um indivíduo infectado recupera-se e passa para a categoria Um indivíduo suscetível recebe a vacina e se torna recuperado 5 Distribuição estatística Para a mortalidade (e consequentemente nascimento no caso adotado para população constante) adotou-se a distribuição exponencial Essa distribuição também foi utilizada para a transição de recuperação 6 Processo de infecção Adotou-se que cada contato entre um indivíduo suscetível e um infectado pode provocar um novo indivíduo infectado seguindo uma distribuição uniforme Isso significa dizer que β% dos contatos tornarão os indivíduos suscetíveis em infectados A adoção dessa premissa baseia-se no princípio da homogeneidade da população (Hethcote, 2000) O processo de transição dos indivíduos, de suscetível para infectado, é estocástico ao invés de determinístico, o que acredita-se ser mais adequado para o estudo da propagação de doenças infecciosas 24 Simulação do MBI A simulação do MBI é baseada na realização estocástica de alguns parâmetros Como o MBI baseia-se no modelo SIR, acredita-se que haja uma certa equivalência entre esses modelos Ao levar em conta que o modelo é discreto, pode-se atribuir a seguinte relação: β 1 = t β, (4) em que β 1 é a taxa de infecção no modelo MBI, β é a taxa de infecção no modelo SIR e t é a constante de tempo Essa relação é evidenciada numericamente, simulando simultaneamente o modelo SIR e o modelo MBI 4860

4 25 Simulação de Monte Carlo O MBI foi avaliado utilizando o método de Monte Carlo (Aiello e da Silva, 2003; Martinez e Martinez, 2002) Esse método consiste em simular o modelo várias vezes e analisar o conjunto de dados obtidos Será feita uma análise de todas as simulações em um único gráfico 3 Metodologia Nesta seção são apresentadas os métodos utilizados nas análises da sensibilidade dos modelos MBI e SIR aos parâmetros referidos 31 Modelo MBI com população variável no tempo Na primeira análise realizada com a simulação MBI algumas alterações foram realizadas no algoritmo, foram adotadas as seguintes hipóteses: Taxas de natalidade e mortalidade são diferentes implicando em uma população variável no tempo O número de nascimentos de novos indivíduos por unidade de tempo t é proporcional ao tamanho da população N e a uma taxa de natalidade µ A taxa de natalidade é constante e não é alterada para indivíduos infectados Todo indivíduo recém-nascido pertence à classe de suscetíveis, ou seja, não há transmissão vertical da doença A taxa de mortalidade d não é relacionada à classe a qual o indivíduo pertença O MBI com população variável foi analisado para diversos valores de natalidade e mortalidade, que serão especificados posteriormente Os resultados obtidos foram comparados com os resultados do modelo SIR em que foram adotadas as mesmas premissas 32 Modelo MBI com variação da força de infecção A incidência (número de novos casos por unidade de tempo) de uma doença, ou taxa de ataque, recebe o nome de força de infecção A estimativa desta força de infecção é o grande desafio dos epidemiologistas, pois é ela que vai determinar não somente a dimensão da propagação de uma doença infecciosa como também o esforço necessário para combatê-la A força de infecção consiste em uma das etapas mais difíceis e importantes na construção de um modelo epidemiológico Em (Nepomuceno, 2005) adotou-se que cada contato entre um indivíduo suscetível e um indivíduo infectado pode provocar um novo indivíduo infectado seguindo uma distribuição uniforme A adoção dessa premissa baseia-se no princípio da homogeneidade da população (Hethcote, 2000) Contudo em uma população heterogênea alguns valores de β são mais pertinentes que outros, dado a localização geográfica, fatores sociais e culturais, características genéticas, entre outros Pretende-se, então, investigar a sensibilidade dos modelos a esse parâmetro Para isto, variou-se o parâmetro β (força de infecção) de 0,5 a 10, consequentemente β 1 variando de 0,05 a 1, dado que os parâmetros N, µ e γ foram mantidos fixos A comparação entre os modelos SIR e o MBI bem como a análise dos resultados podem ser vistos na seção Investigação do crescimento do número máximo de infectados com a variação do tamanho da população e da taxa de infecção Doenças como a AIDS são trágicas por deixarem sequelas nos indivíduos infectados O estudo do número máximo de infectados (I m ) para epidemias como estas é de grande importância para políticas públicas de controle de doenças no sentido de minimizar o número total de indivíduos infectados O objetivo deste item é apresentar um estudo da influência do tamanho da população e da força de infecção da doença (parâmetro β) na dinâmica do número máximo de infectados Na simulação do Modelo Baseado em Indivíduos modificado (MBIm), utilizou-se o Método de Monte Carlo ((Aiello e da Silva, 2003),(Martinez e Martinez, 2002)) O primeiro caso consistiu em verificar a influência do tamanho da população na dinâmica do número máximo de infectados Para isso foram realizadas simulações do MBIm no software livre Scilab, para taxas de infecção (parâmetro β modificado) nos valores de 0,05; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6 ;0,7 ;0,8 ;0,9 e 1,0 (Figura 8) Para cada uma dessas situações foram feitas 100 simulações O segundo caso consistiu em verificar a influência do aumento do tamanho da população na dinâmica do I m, utilizando-se para isso populações de tamanhos 600, 700, 800, 900 e 1000 indivíduos e realizando também para cada caso 100 simulações Monte Carlo (Figura 9) Neste caso considerou-se os seguintes valores de β modificado: 0,05; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0 Os parâmetros utilizados para simulação do algoritmo do MBI foram: passo de integração, δ t = 0,1; taxa de mortalidade, µ = 1/60; taxa de recuperação, γ = 1/3 As condições iniciais foram S 0 = 0,9N, I 0 = 0,01N e R 0 = N S 0 I

5 4 Resultados e Discussão 41 Modelo MBI com população variável no tempo Ao simular o MBI com população variável, foi observado que, para populações em que a taxa de natalidade possui valores maiores (Figura 3), o número de infectados cresce e depois sofre um decrescimento em seguida e fica oscilando em torno de um ponto fixo havendo possibilidade de erradicação, o número de indivíduos suscetíveis é crescente e o número de indivíduos recuperados tem um crescimento, em um primeiro momento, e depois decresce Ao comparar com o SIR, pode ser observado que há semelhança na dinâmica dos três compartimentos do modelo em regime transitório Observa-se que em regime permanente, há uma sensível diferença no compartimento dos suscetíveis Contudo, nos outros compartimentos, a semelhança na dinâmica permanece Pode-se observar também, que ao adotar taxa de natalidade menor (Figura 2), a epidemia é erradicada O MBI com população variável, apresenta sua formulação bem representada comparada ao SIR Este fato é extremamente importante, tendo em vista, que as populações contempladas na natureza seguem uma dinâmica com população variável no tempo Este modelo mostra o impacto no aumento da taxa de natalidade na modelagem de epidemias Os modelos determinísticos apresentam bom acordo com os dados reais para populações grandes e intermediárias, porém a modelagem determinística falha consideravelmente em pequenas populações, em que a estocasticidade demográfica é importante O modelo estocástico pode capturar o componente periódico da dinâmica, mesmo para pequenas populações Após a simulação de Monte Carlo do MBI com população variável no software Scilab, podese compará-lo ao SIR, no qual observa-se uma equivalência de dinâmica dos modelos na região transitória do sistema As Figuras 2 e 3 apresentam os resultados com valores de β e d nas quais observa-se a validação da 4 42 Modelo MBI com variação da força de infecção Ao variarmos a força de infecção β, observamos que para valores pequenos deste parâmetro, há uma sensível diferença entre a dinâmica do SIR e do MBI Conforme há um aumento nos valores de β, valores acima de 02, o MBI apresenta dinâmica semelhante ao modelo SIR A justificativa para o MBI apresentar dinâmica diferente do SIR para valores de β pequenos, é decorrente de que estes modelos apresentam flutuações estocásticas que levam a uma probabilidade não nula de Figura 2: Comparação entre o MBI (preto) e SIR (azul) para população variável no tempo Foram adotados os seguintes parâmetros: N = 1000, t = 0,1,µ = 0,001, γ = 1/3, β = 2, 0, β 1 = 0,2 A condição inicial foi S0 = 0,99N, I0 = 0,01N e R0 = N S0 I0 Figura 3: Simulação Monte Carlo do MBI para população variável Foram adotados os seguintes parâmetros: N = 1000, t = 0,1,µ = 00027, γ = 1/3, β = 2,0, β 1 = 0,2 A condição inicial foi S0 = 0,99N, I0 = 0,01N e R0 = N S0 I0 erradicação da doença, fato que não acontece em equações diferencias 43 Investigação do crescimento do número máximo de infectados com a variação do tamanho da população e da taxa de infecção Segue-se análise das simulações dos dois casos considerados no item 33 Nas simulações realizadas, os valores dos parâmetros epidemiológicos µ, γ e β correspondem a situações de propagação da epidemia na população, em que a taxa básica de reprodução da infecção é maior do que um No entanto, ao longo das simulações verifica-se a erradicação da epidemia, pois o tempo de infecção é comparável ao tempo de vida dos indivíduos A taxa básica de reprodução é uma grandeza característica do modelo determinístico SIR, e serve como uma estimativa para a dinâmica da infecção Na Figura 8 estão os pontos relativos às simulações do primeiro caso considerado Realizou-se interpolação dos pontos e construiu-se as curvas de diferentes tamanhos de população, que destacam o comportamento do número máximo de infectados I m para diferentes valores de força de infecção As curvas construídas evidenciam um rápido crescimento de I m no intervalo entre 0,05 e 0,4 e um lento crescimento de I m para valores maiores que 4862

6 Figura 4: Comparação entre o modelo MBI(preto) e o modelo SIR(azul) para um valor de β = 0,5 Foram adotados os seguintes parâmetros: N = 1000, t = 0,1,µ = 1/60, γ = 1/3, β = 0,5, β 1 = 0,05 A condição inicial foi S0 = 0,99N, I0 = 0,01N e R0 = N S0 I0 Figura 6: Comparação entre o modelo MBI(preto) e o modelo SIR(azul) para um valor de β = 3,0 Foram adotados os seguintes parâmetros: N = 1000, t = 0,1,µ = 1/60, γ = 1/3, β = 3,0, β 1 = 0,3 A condição inicial foi S0 = 0,99N, I0 = 0,01N e R0 = N S0 I0 Figura 5: Comparação entre o modelo MBI(preto) e o modelo SIR(azul) para um valor de β = 1,0 Foram adotados os seguintes parâmetros: N = 1000, t = 0,1,µ = 1/60, γ = 1/3, β = 1,0, β 1 = 0,1, A condição inicial foi S0 = 0,99N,I0 = 0,01N e R0 = N S0 I0 Figura 7: Comparação entre o modelo MBI(preto) e o modelo SIR(azul) para um valor de β = 6,0 Foram adotados os seguintes parâmetros: N = 1000, t = 0,1, µ = 1/60, γ = 1/3, β = 6,0, β 1 = 0,6 A condição inicial foi S0 = 0,99N, I0 = 0,01N e R0 = N S0 I0 0,4 Na Figura 9 estão representados os pontos relativos às simulações do segundo caso Por meio de interpolação dos pontos construiu-se curvas e a análise dessas curvas sugerem um crescimento quase linear de I m com o aumento do tamanho da população 5 Conclusão Observa-se que o MBI com população variável, modelo estocástico, apresenta dinâmica similar à dinâmica observada no modelo determinístico SIR Tal conclusão, possibilita a utilização do MBI na modelagem de epidemias com populações menores em que são conhecidas as falhas dos modelos determinísticos Tal modelo também, pode contribuir consideravelmente na simulação de epidemias onde há diminuição do tamanho populacional Nestes casos, são assumidos o impacto da taxa de natalidade na modelagem e torna o modelo mais real, tendo em vista, que em ecologia trabalha-se muito com populações variantes no tempo No que diz respeito ao processo de infecção, apresentamos a comparação de uma abordagem estocástica para a modelagem de epidemias comparada com o clássico modelo SIR em situações diversas de força de infecção Observa-se que o modelo do MBI apresenta uma dinâmica semelhante ao modelo SIR As diferenças são decorrentes de que os modelos estocásticos apresentam uma probabilidade não nula de erradicação da doença, fenômeno muitas vezes observado na prática Este fato é extremamente importante, pois em situações que o modelo tenha parâmetros para o equilíbrio endêmico, pode haver erradicação da doença, fato é extremamente importante, pois em situações que o modelo tenha parâmetros para o equilíbrio endêmico, pode haver erradicação da doença, fato que não pode ser constatado usando o modelo SIR No estudo da dependência entre o número máximo de infectados e o tamanho da população, empregou-se o MBI modificado e evidenciou-se para populações entre 600 e 1000 indivíduos que este número máximo cresce quase linearmente com o tamanho da população e depende forte- 4863

7 Figura 8: Crescimento do Número Máximo de Infectados com o aumento da taxa de infecção da doença As curvas, de baixo para cima correspondem respectivamente a populações de 600, 700, 800, 900 e 1000 indivíduos O eixo horizontal corresponde à taxa de infecção β 1 (β modificado) e o eixo vertical corresponde ao Número Máximo de Infectados I m Figura 9: Crescimento do número máximo de infectados com o aumento do tamanho da população As curvas, de baixo para cima, representam respectivamente taxas de infecção β I = 0,05; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0 O eixo horizontal corresponde ao tamanho da população e o eixo vertical corresponde ao número máximo de infectados I m Agradecimentos mente da força de infecção Para o caso de epidemias em que o tempo de infecção é comparável ao tempo de vida dos indivíduos da população, este estudo de casos pode contribuir para políticas públicas de controle e erradicação destas epidemias Ao analisar a influência da variação do valor da força de infecção, pode-se perceber que, para pequenas populações, as curvas da Figura 8 evidenciam uma saturação no crescimento do Número Máximo de Infectados I m Já as curvas na Figura 9 evidenciam um crescimento aproximadamente linear de I m com o tamanho da população Essa situação é importante de analisar e tem sua aplicabilidade quando se observa alguma epidemia em populações cujas características sociais e econômicas permanecem relativamente constantes (isso implica em implica também na constância de β) e a população cresce Isso acontece, por exemplo, em países da Europa O segundo caso, a degradação sócio econômica varia, implicando em uma maior vulnerabilidade da população Esse caso acontece em países subdesenvolvidos Observa-se desse modo um resultado muito importante, pois uma doença pode ter o número de infectados ampliado em função de aspectos sociais e econômicos Esses resultados mostram claramente a relevância do parâmetro β para a determinação da estrutura do MBI Ao analisar sua sensibilidade, observa-se situações perceptíveis na sociedade, ou seja, sistema epidemiológicos reais Nesse sentido, os termos do MBI que possuem β devem ter seus parâmetros estimados levando-se em conta a relevância deste termo À CNPq, FAPEMIG e UFSJ pelo suporte financeiro e aos amigos do GCOM, Grupo de Controle e Modelagem que colaboraram com o desenvolvimento deste trabalho Referências Aguirre, L A (2007) Introdução à Identificação de Sistemas: técnicas lineares e nãolineares aplicadas a sistemas reais, Editora da UFMG 3 a edição Aiello, O E e da Silva, M A A (2003) New approach to dynamical Monte Carlo methods: application to an epidemic model, Physica A-Statistical Mechanics and its Applications 327(3 4): Anderson, R M e May, R M (1992) Infectious Diseases of Humans: Dynamics and Control, Oxford: Oxford University Press Barbosa, A M, Silva, M X, Pereira, E B e Nepomuceno, E G (2007) Modelagem e controle da brucelose bovina por meio de modelos baseados em indivíduos, VI Brazilian Conference on Dynamics, Control and Their Applications, São José do Rio Preto, SP, Brasil Barlow, N D, Kean, J M, Hickling, G, Livingstone, P G e Robson, A B (1997) A simulation model for the spread of bovine tuberculosis within New Zealand cattle herds, Preventive Veterinary Medicine 32(1 2):

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