Modelagem Epidemiológica Fuzzy

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1 Modelagem Epidemiológica Fuzzy Anna Lígia Oenning Soares Universidade Federal de Mato Grosso Av. Fernando Corrêa da Costa, n o 2367, Boa Esperança , Cuiabá, MT ligiaoenning@hotmail.com and Rodney Carlos Bassanezi Univeridade Federal do ABC Av. dos Estados, n o 5001, Bangu , Santo André, SP rodney@ime.unicamp.br Abstract. Utilizamos a teoria fuzzy de duas maneiras distintas (Sistema p-fuzzy e Extensão de Zadeh) para a modelagem de sistemas epidemiológicos como alternativa para a modelagem dos sistemas clássicos. A subjetividade foi incorporada nos modelos na condição inicial dos indivíduos infecciosos e na taxa da infecção considerando-as um conjunto fuzzy, cuja soluções foram obtidas pelo Princípio de Extensão de Zadeh. Através do sistema p-fuzzy discreto obtemos as soluções dos modelos clássicos onde as variações das entradas foram obtidas por meio de um controlador fuzzy. Palavras-chave: Modelagem Epidemiológica, sistema p-fuzzy, Extensão de Zadeh. 1 Introdução Os modelos determinísticos epidemiológicos tem como característica a precisão obtida das soluções, que por sua vez dependem de informações precisas que são inseridas na forma de média dos parâmetros, tornando menor a chance de acerto da previsão, além disso, neste modelos é considerado que os indivíduos infecciosos estão distribuídos homogeneamente em toda população, têm a mesma chance de transmitir a doença e as condições iniciais são valores precisos, porém é bem razoável esperar o contrário, isto é, que os indivíduos infecciosos possuam grau de infecciosidade diferentes e que os valores das condições iniciais sejam valores aproximados. Em busca de incorporar diferentes graus de infecciosidade no modelo SI, Barros e Bassanezi (2006) consideraram que o coeficiente de transmissão da doença dependia da carga viral do indivíduo, interpretando-a como uma função

2 1014 Anna L. O. Soares, Rodney C. Bassanezi pertinência de algum subconjunto fuzzy e utilizaram a esperança fuzzy como deffuzificador da solução do modelo. Mais recentemente Cecconello (2010) analisa os pontos de equilíbrio do modelo SI e a estabilidade das soluções do modelo SIR, onde são consideradas incertezas sobre as quantidades de suscetíveis e infecciosos. Neste trabalho vamos analisar o comportamento da solução fuzzy de modelos epidemiológicos SI e SIR considerando incertezas fuzzy tanto nas condições iniciais quanto no parâmetro β, que representa a taxa de transmissão da doença infecciosa. Além disso, faremos uma abordagem sobre a transmissão de doenças infecciosas utilizando sistemas p-fuzzy. 2 Desenvolvimento 2.1 Modelo SI A dinâmica do modelo SI consiste em analisar somente os indivíduos infectados, pois ele não nos fornece a recuperação dos infecciosos, assim quando um indivíduo suscetível adquire a doença, o mesmo não volta a pertencer a classe dos suscetíveis. Neste caso a classe dos recuperados está imbutido na classe dos infectados. A gripe é uma doença que pode ser modelada por SI, pois quando adquirimos uma gripe não é possível sermos infectados novamente pelo mesmo vírus. Este modelo, sem dinâmica vital, é o mais simples dos modelos epidemiológicos e pode ser descrito pelo sistema de duas equações diferenciais ordinárias não lineares, ds dt = βsi, S(0) = S 0, di dt = βsi, I(0) = I 0, Como a população total N(t) = S(t) + I(t) é constante, pois dn dt = 0, assumiremos a equação na forma normal, isto é, N(t) = 1, para todo t 0. Assim S e I são entendidos como proporções de indivíduos suscetíveis e infectados, respectivamente, podemos escrever, (1) S(t) = 1 I(t) t. (2) Substituindo a equação (2) na segunda equação do sistema (1) obtemos, di dt = β(1 I)I. (3)

3 Modelagem Epidemiológica Fuzzy 1015 O sistema formado pelas equações (2) e (3) é equivalente ao sistema (1). O maior interesse em estudos epidemimiologicos é saber a quantidade de pessoas que estão infectadas em um determinado tempo, por isso faremos o estudo do PVI, di dt = β(1 I)I, I(0) = I 0. (4) Temos que a solução (4) é dada por, I t (I 0 ) = I 0e βt S 0 + I 0 e βt (5) Princípio de Extensão de Zadeh Em uma epidemia é comum esperar que a taxa de transmissão da doença seja variável com o tempo e também que é praticamente impossível determinar a quantidade de infectados no início da epidemia. Tentando levar essas considerações para o modelo epidemiológico SI, consideraremos que tanto a taxa de transmissão quanto o número inicial de infectados são números fuzzy e utilizaremos o princípio de extensão de Zadeh para resolvê-los e para isso apresentaremos algumas definições sobre a teoria de conjunto fuzzy. Definição 21 Seja X um conjunto não vazio. Um subconjunto fuzzy A de X é um subconjunto {(x, µ A (x)) : x X} não vazio de X [0, 1] para alguma função µ A : X [0, 1] A função µ A : X [0, 1], denominada função pertinência de A, associa para cada x X o grau de pertinência µ A (x) de x em A. Definição 22 (Princípio de Extensão de Zadeh): Sejam f : X Y uma aplicação e A um subconjunto f uzzy de X. A extensão de Zadeh de f é a função ˆf que, aplicada a A, fornece o subconjunto fuzzy ˆf(A) de Y, cuja função pertinência é dada por sup µ A (x) se {x : f(x) = y}, {x:f(x)=y} µ ˆf(A) (y) = 0 se {x : f(x) = y} =. Definição 23 (α-nível): Seja A um subconjunto fuzzy de X e α [0, 1]. O α- nível de A é o subconjunto clássico de X definido por [A] α = {x X : µ A (x) α} 0 < α 1. (6) O nível zero de um subconjunto fuzzy A é definido como sendo o menor subconjunto (clássico) fechado de X que contém o conjunto suporte de A 1. 1 O conjunto suporte de A é um subconjunto clássico de X e é definido por suppa = {x X : µ A(x) > 0}.

4 1016 Anna L. O. Soares, Rodney C. Bassanezi Definição 24 (Número fuzzy): Um subconjunto fuzzy A é chamado de número fuzzy quando o conjunto universo no qual µ A está definida, é o conjunto dos números reais R e satisfaz às condições: (i) todos os α-níveis de A são não vazios, com 0 α 1; (ii) todos os α-níveis de A são intervalos fechados de R; (iii) suppa = {x R : µ A (x) > 0} é limitado. Iremos denotar os α-níveis do número fuzzy A por [A] α = [a α 1, a α 2 ]. Definição 25 (Número Triangular fuzzy): Um número fuzzy A é dito triangular se sua função de pertinência é da forma 0 se x a x a ϕ A (x) = u a se a < x u x b u b se u x < b 0 se x b. Denotaremos um número fuzzy triangular pelo terno (a; u; b). O problema de valor inicial fuzzy autonômo quando o valor inicial é um número fuzzy é dado por dx dt = f(x(t)) x(a) = u 0 F(R) onde f : [a, b] R é contínua e F(R) é a família dos números fuzzy. Supondo que para cada condição x 0 R o problema do valor determinístico (7) dx = f(x(t)) dt (8) x(a) = x 0 admita solução única ϕ t então, para cada t, a solução fuzzy ψ t de (7) é definida como a extensão de Zadeh da solução determinística ϕ t. Isto é, se u 0 F(R) então ψ t (u 0 ) = ˆϕ(u 0 ). Como ϕ t é contínua em relação a condição inicial, temos que [ψ t (u 0 )] α = [ ˆϕ t (u 0 )] α = ϕ t ([u 0 ] α ) = ϕ t ([u α 01, u α 02]).

5 Modelagem Epidemiológica Fuzzy 1017 Desta forma temos que o PVI fuzzy de (4), quando I(0) é fuzzy é formalmente dado por di = β(1 I)I dt (9) I(0) = Î 0 onde Î0 F(R). Como para cada I 0 R + o PVI (4) admite solução única I t (I 0 ), então para cada t, a solução fuzzy de (9) será a extensão de Zadeh com relação a condição incial da solução determinística de (4) dada por, Î t (Î0) = Î 0 e βt. (10) S 0 + Î0eβt Onde S 0 na equação (10) é visto como um subconjunto crisp de R, isto é, S 0 é um subconjunto fuzzy de R com função de pertinência dada por, χ {S0}(x) = { 1 se x S0, 0 se x / S 0 (11) A função de pertinência definida em (11) é denominada função característica de S 0. As operações aritméticas com número fuzzy podem ser vista em [1]. Como I t é contínua e monótona crescente para todo I 0 > 0 temos que [Ît(Î0)] α = I t ([Î0] α ) = I t ([Îα 01, Îα 02]) = [I t (I α 01), I t (I α 02)]. (12) Portanto para cada t fixo, não temos mais um número real representando a quantidade de infectados, mas sim um intervalo de valores representando limites inferior e superior da quantidade de infectados, sendo que cada número real deste intervalo possui um grau de confiabilidade através da função de pertinência de Î0. Agora veremos a estabilidade de um PVI fuzzy autonômo quando a condição inicial é um número fuzzy, esses resultados podem ser encontrados em Mizukoshi (2004). Definição 26 : Dizemos que um número fuzzy x F(R) é um ponto de equilíbrio fuzzy de (7) se ˆϕ t ( x) = x, para todo t a. Definição 27 Seja U R n aberto e x 0 U. Dizemos que ˆϕ t : F(U) F(U), t R +, é uma solução fuzzy para a Equação (13) quando ˆϕ t (χ {x0}) = χ {ϕt(x 0)}, onde ϕ t : U U é solução da equação autônoma dx dt = f(x), x(0) = x 0 (13)

6 1018 Anna L. O. Soares, Rodney C. Bassanezi Proposição 21 : Seja x e R. Então x e é um ponto de equilíbrio para ϕ t obtida de (8) se, e somente se, χ {xe} é um ponto de equilíbrio para ˆϕ t Teorema 21 : Sejam x e [a, b] um ponto de equilíbrio para (8) e ˆϕ t o fluxo fuzzy associado ao fluxo determinístico ϕ t. Então valem as seguintes afirmações: i) x e é estável para ϕ t se, e somente se, χ {xe} é estável para ˆϕ t ; ii) x e é assintoticamente estável para ϕ t se, e somente, se χ {xe} é assintoticamente estável para ˆϕ t Como os pontos de equilíbrio de (4) são I = 0 e I = 1 e o fluxo determinístico I t (I 0 ) 1 quando t, segue que os pontos de equilíbrio fuzzy de (9) são χ {0} e χ {1} e a solução fuzzy Ît(Î0) χ {1} quando t. Agora iremos contruir a solução fuzzy de (9) através do software Matlab e consideraremos Î0 um número triangular fuzzy. Fig. 1. Fluxo fuzzy ˆϕ t(î0) quando Î0 = (0.1, 0.2, 0.3) e β = 0.5 Temos que I 0 = 0.2 possui grau de pertinência 1 e o gráfico de sua solução determinística é o mais escuro, conforme os valores de I 0 vão se distanciando de 0.2 o grau de pertinência das soluções destes valores vão diminuindo, este fato é representado pelo clareamento do gráfico de solução de ˆϕ t (Î0). Agora iremos aplicar a subjetividade no coeficiente de transmissão da doença β, considerando-o um número triangular fuzzy. Comecemos considerando o PVI ampliado de (4), di = β(1 I)I, dt I(0) = I 0, R dβ dt = 0, β(0) = β, (14)

7 Modelagem Epidemiológica Fuzzy 1019 Temos que a solução do PVI (14) é dada por ϕ t (I 0, β) = ( I0 e βt ) S 0 + I 0 e βt, β. O problema de valor inicial fuzzy autonômo quando somente algum parâmetro (β) é um número fuzzy é dado por dx = f(x(t), β) dt x(0) = x 0 R (15) dβ dt = 0 β(0) = ˆβ F(R) Assim o parâmetro é visto como uma variável no modelo determinístico e o par (x 0, β) como condição inicial. Desta forma, o PVI fuzzy de (14), quando somente o parâmetro β é um número fuzzy, toma a forma: di = β(1 I)I, dt I(0) = I 0 R dβ dt = 0, β(0) = ˆβ (16) Como para cada (I 0, β) R 2 o PVI (14) admite solução única ϕ t (I 0, β), então para cada t, a solução fuzzy de (16) é dado pela extensão de Zadeh com relação ao parâmetro β da solução determinística de (14), isto é, ˆϕ t : F(R 2 ) F(R 2 ) (Î0, ˆβ) ˆϕ t (Î0, ˆβ) (17) onde Î0 é um subconjunto crisp de R. Como [β] α = [β α 1, β α 2 ] temos que, [ ˆϕ t ( ˆβ, Î0)] α = ϕ t ([β] α, Î0) Tanto a proposição 2.1 quanto o teorema 2.1 podem ser estendidos para os respectivos PVI s (14) e (16), para um formalismo matemático desses resultados consultar Misukoshi(2004). Os pontos de equilíbrio do PVI (14) são (1, β) e (0, β), como ϕ t (I 0, β) (1, β) quando t temos que os pontos de equilíbrio do PVI (16) são χ (1,β) e χ (0,β) e ˆϕ t (Î0, ˆβ) χ (1,β) quando t. O gráfico da projeção ˆϕ t ( ˆβ) também construído no software Matlab, onde ˆβ é um número triangular fuzzy está representado na figura abaixo.

8 1020 Anna L. O. Soares, Rodney C. Bassanezi Fig. 2. Projeção ˆϕ t( ˆβ) quando ˆβ = (0.3, 0.4, 0.5) e I 0 = 0.1 Para cada t 0 temos um intevalo representando a quantidade de infectados naquele instante sendo que cada valor deste intervalo possui seu grau de confiabilidade através do número trianguar ˆβ. Sistema p-fuzzy: Base de Regras Um sistema p-fuzzy é um sistema dinâmico discreto que tem a forma, { xt+1 = F (x t ) x(0) = x(t 0 ) (18) onde F : R n R n é dada por F (x k ) = x k + (x k ) e (x k ) é obtida por um sistema baseado em regras fuzzy. Para melhor compreensão sobre sistemas dinâmicos p-fuzzy o leitor deve consultar [6]. Através de um sitema p-fuzzy discreto podemos estimar as soluções dos modelos epidemiológicos clássicos, sem precisar utilizar de ferramentas matemáticas sofisticadas e nem realizar cálculos maçantes e exaustivos. No modelo SI temos que a entrada é a população de infectados (I) e a saída é a variação da população de infectados ( I), a figura 3 representa a função pertinência de I: A base de regras utilizada deve ser coerente com o modelo SI, onde a principal suposição é que, em cada instante t, a taxa crescimento de infectados é diretamente proporcional à população de infectados, porém para valores grandes de

9 Modelagem Epidemiológica Fuzzy 1021 Fig. 3. Função pertinência da variação da população de infectados I a taxa de crescimento sofre uma penalização. Desta forma, a base de regras será dada por: R1: Se I é B então I é M R2: Se I é M então I é A R3: Se I é A então I é B R4: Se I é AT então I é N Table 1. Base de regras para modular a variação da população de infectados onde B, M, A, AT e N são as qualificações das variáveis linguísticas que significam, respectivamente, baixa, média, alta, altíssima e negativa. A função de pertinência da variável de entrada, que é a população de infectados, pode ser vista na figura 4. Adotando o método de Mandani como método de inferência, o centro de área como defuzzificador, combinado com o sistema p-fuzzy discreto, chegamos que a solução estimada para o modelo SI, através de um controlador fuzzy está representada na figura Modelo SIR A dinâmica deste modelo consiste tanto em analisar os indivíduos infecciosos quanto os que se recuperam da doença.

10 1022 Anna L. O. Soares, Rodney C. Bassanezi Fig. 4. Função pertinência da população de infectados Fig. 5. Solução I do modelo SI, através de um controlador fuzzy O modelo SIR comtempla também o compartimento R, separado de I, ou seja, permite que o indivíduo se recupere da doença, ficando imune a reinfecção, este modelo nos permite computar a quantidade de infectados que se recuperam. Doenças como Rubéola, Sarampo, Catapora, Cachumba e Gripe são bem modeladas por SIR. Desconsiderando as taxas de mortalidade e natalidade, podemos tornar o modelo SIR mais simples, sendo formulado pelas equações,

11 Modelagem Epidemiológica Fuzzy 1023 ds dt = βsi, S(0) = S 0 0 di dt = βsi αi, I(0) = I 0 0 (19) dr dt = αi, R(0) = R 0 0 onde β é a taxa de transmissão da doença, α é a taxa de remoção dos infecciosos para a classe dos recuperados. Note que ds dt + di dt + dr dt = 0 = dn dt, então podemos dizer que N é constante em relação ao tempo, isto é, N(t) = S(t)+I(t)+R(t) = S 0 +I 0 +R 0 para todo t 0. Observe também que as duas primeiras equações de (19) não dependem de R(t), então o sistema (19) se reduz a ds dt = βsi, S(0) = S 0 0 di dt = βsi αi, I(0) = I 0 0 com R(t) = N (S(t) + I(t)) para todo t 0. (20) A análise do comportamento assintótico da solução ϕ t (S 0, I 0, R 0 ) quando t e pontos de equilíbrio do modelo SIR podem ser visto em [4] que afirma o seguinte: A solução z(t) = (S(t), I(t)) do sitema (20) converge para um ponto do conjunto [0, ρ] {0} e i) I(t) 0 quando t, se S 0 ρ; ii) I(t) cresce atingindo o valor máximo N ρ ( ( )) ρ 1 + ln e depois de- S 0 cresce para 0, se S 0 > α β ; iii) S(t) é( decrescente ) e converge para S [0, ρ] para o quel é solução de N S = ρln. S 0 S iv)r(t) é crescente e converge para N S. Desta forma podemos concluir que a solução determinística ϕ t (S 0, I 0, R 0 ) de (19) converge para o ponto de equilíbrio (S, 0, ρln S0 ) e isto significa que a convegência para um ponto de equilíbrio irá dependender da escolha das S condições

12 1024 Anna L. O. Soares, Rodney C. Bassanezi iniciais. Extensão de Zadeh O modelo SIR, sem dinâmica vital, quando I 0 é fuzzy toma a forma ds dt = βsi, S(0) = S 0 R + di dt = βsi αi, I(0) = Î0 F(R + ) dr dt = αi, R(0) = R 0 R +. (21) Para cada (S 0, I 0, R 0 ) R 3 o sistema (19) admite solução única ϕ t (S 0, I 0, R 0 ), então para cada t, a solução fuzzy de (21) é a extensão de Zadeh com relação a condição inicial da solução determinística ϕ t (S 0, I 0, R 0 ), isto é, ˆϕ t : F(R 3 ) F(R 3 ) (Ŝ0, Î0, ˆR 0 ) ˆϕ t (Ŝ0, Î0, ˆR 0 ) (22) onde Ŝ0 e ˆR 0 são subconjuntos crisp de R. Como ϕ t (S 0, I 0, R 0 ) (S, 0, ρln S0 ) quando t temos que ˆϕ S t(ŝ0, Î0, ˆR 0 ) χ S {S,0,ρln 0 } quando t. S Através do software Matlab construiremos as projeções da solução fuzzy ˆϕ t (Ŝ0, Î0, ˆR 0 ) do modelo SIR apresentado acima, considerando Î0 = (5; 10; 15), S 0 = 40, N = 50, β = 0.2 e α = 1.5. Sistema p-fuzzy: Base de Regras Para estimarmos as soluções S, I e R do modelo SIR, sem dinâmica vital, utilizaremos como entradas os compartimentos S e I e como saídas suas respectivas variações, a soluçõa R será dada através das soluções S e I visto que R = N (S + I). As regras terão como base as seguintes hipóteses: (1) Como não existe fluxo entrando no compartimento S, sua variação sempre decrescerá em função do tempo e será praticamente nula quando não houver mais indivíduos infecciosos. (2) No compartimento I existem fluxos entrando e saindo, assim a sua variação crescerá proporcionalmente a quantidade de suscetíveis, atigindo seu valor máximo

13 Modelagem Epidemiológica Fuzzy 1025 Fig. 6. Solução S, I e R do modelo SIR, sem dinâmica vital, com I 0 fuzzy aproximadamente quando as populações S e I forem iguais e decrescerá proporcionalmente à quantidade dos recuperados. Desta forma, o sistema de base regras será: onde B, MB, M, M +, MA e A são as qualificações das variáveis linguísticas R1: Se S é A e I é B então S é NA e I é MB R2: Se S é MA e I é MB então S é NMA e I é A R3: Se S é M + e I é M então S é NMA e I é B R4: Se S é M e I é M + então S é NMB e I é NB R5: Se S é MB e I é MB então S é NMB e I é NA R6: Se S é B e I é B então S é NB e I é NMB Table 2. Base de regras para modular a variação da população dos suscetíveis e infectados que significam, em ordem crescente, baixa, média baixa, média menos, média mais, média alta e alta respectivamente, a letra N na frente das qualificações representa que a variação é negativa. As funções de pertinência para as variáveis de entrada, podem ser vistas na figura 7, sendo que o gráfico da figura (a) é referente a variável I e o da figura (b) a variável S, sendo que as variáveis de saída, estão dispostas na figura 8, onde a figura (a) representa a variação I e a figura (b) a variação S. Através do sistema p-fuzzy discreto e do software Matlab, obtemos a solução S, I e R estimadas pelo controlador fuzzy, como pode ser vito na figura 9.

14 1026 Anna L. O. Soares, Rodney C. Bassanezi Fig. 7. Funções de pertinência das variáveis de entrada Modelando a taxa de infecção β por Base de Regras Um dos parâmetros mais difícieis em quantificar é a taxa de infeção das doenças (β) e quando o mesmo é determinado, geralmente é dado como um valor constante. Algumas doenças como a Hepatite B e a Aids possuem longos e variáveis períodos infecciosos, sendo assim, essas doenças seriam melhor modeladas se houvesse repartições no compartimento I, onde cada compartimento representa o grau de infecção dos indivíduos infecciosos, porém um modelo desta forma se torna muito complexo. No intuito de modelar essa taxa de infecção, sem utilizar ferramentas matemáticas complexas, utilizaremos uma base de regras, onde utilizaremos como entrada as variáveis S, I e R e saída a taxa de infeção β. As funções de pertinência para as variáveis de entrada são dadas por: Na figura (a) as funções de pertinência representam as variáveis linguísticas das variáveis S e R e figura (b) da variável I. A função de pertinência da variável de saída β é dado por: As regras para modular a taxa de infecção β foram dadas da seguinte forma:

15 Modelagem Epidemiológica Fuzzy 1027 Fig. 8. Funções de pertinência das variáveis de saída R1: Se S é A, I é B e R é B então β é B R2: Se S é M +, I é M e R é B então β é M R3: Se S é M, I é M e R é M então β é A R4: Se S é M, I é M e R é M então β é A R5: Se S é B, I é M e R é M + então β é M R6: Se S é M, I é B e R é A então β é B R7: Se S é M, I é B e R é A então β é B Table 3. Base de regras para modular a variação da população dos suscetíveis e infectados onde B, M, M, M + e A são as qualicações das variáveis linguísticas que significam, respectivamente, baixa, média baixa, média, média alta e alta. Através do sistema p-fuzzy discreto x i+1 = x i βx i y i + γr i y i+1 = y i + βx i y i θy i (23) r i+1 = r i + θy i γr i onde γ é a taxa de imunidade perdida dos recuperados e θ é a taxa de recuperação dos indivíduos infectados. Fazendo γ = e θ = obtemos a solução Temos que a função β é crescente até quando a população dos indivíduos suscetíveis chega a metade de seu valor inicial, atingindo o valor máximo de 0,0154 em seguida a função descrece atingindo um mínimo local de 0,01, sendo

16 1028 Anna L. O. Soares, Rodney C. Bassanezi Fig. 9. Solução S, I e R do modelo SIR, através do controlador fuzzy Fig. 10. Funções de pertinência das variáveis de entrada. que o mínimo global de 0,0078 se apresenta no início da doença como pode ser visto na figura abaixo. 3 Conclusão Na prática percebemos o quanto é difícil determinar valores de parâmetros e quantificar em um determinado momento quantas pessoas estão suscetíveis, infectadas e/ou recuperadas, pois a partir do momento que determinamos esses valores o modelo corre risco. Com a incorporação de subjetividade na condição inicial I 0 e na taxa de infecção nos modelos determinísticos, obtivemos através do Princípio de Extensão de Zadeh, modelos em que para cada instante t existe um intervalo representando

17 Modelagem Epidemiológica Fuzzy 1029 Fig. 11. Função pertinência da variável β. Fig. 12. Solução S, I e R, onde β é gerado por um controlador fuzzy. o limite superior e inferior da quantidade de infectados, sendo que cada número real deste intervalo possui um grau de confiabilidade, fazendo destes modelos mais realistas, pois aumentam a chance de acerto das previsões. Através do sistema p-fuzzy pudemos modelar fenômenos cujo comportamento é parcialmente conhecido, pois informações subjetivas são incorporadas tanto nas variáveis quanto nas variações e suas relações com as variáveis, tornando assim os modelos mais simples, não exigindo ferramentas matemáticas complexas e cálculos exaustivos. References 1. BASSANEZI, R. C; BARROS, L. C. Tópicos de Lógica Fuzzy e Biomatemática, Campinas, SP: UNICAMP/IMECC, CECCONELLO, M. S. Sistemas Dinâmicos em Espaços Métricos Fuzzy - Aplicações em Biomatemática, Tese de Doutorado, IMECC-UNICAMP, MIZUKOSHI, M. T. Estabilidade de Sistemas Dinâmicos Fuzzy, Tese de Doutorado, IMECC-UNICAMP, CECCONELLO, M. S; PEREIRA, C. M; BASSANEZI, R. C. Análise qualitativa da solução fuzzy do modelo epidemiológico SIR, Biomatemática, 22:77-92.

18 1030 Anna L. O. Soares, Rodney C. Bassanezi Fig. 13. Gráfico da função β gerado por um controlador fuzzy. 5. SOARES, A. L. O. Modelagem Alternativa para Sistemas Epidemiológicos Dissertação de Mestrado, CMCC-UFABC, SILVA, J. D. M Análise de Estabilidade de Sistemas Dinâmicos P-fuzzy com Aplicações em Biomatemática, Tese de Doutorado, IMECC-UNICAMP, 2005.