Experiência 3 Geometria Fractal. Profa: Adriana O. Delgado Ed. Oscar Sala, sala 105 Ramal: 6961

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Rafael Filipe
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1 Experiência 3 Geometria Fractal Profa: Adriana O. Delgado prof.adridelgado@yahoo.com.br Ed. Oscar Sala, sala 105 Ramal: 6961

2 Introdução

3 Na experiência passada Esfera Disco Bastão 3 m =K 3.φ 2 m =K 2.φ m = K. L 1 m = K. φ Constante de proporcionalidade D Dimensão do objeto Será que todos os objetos podem ser descritos por essa relação? Quais valores o expoente D pode assumir?

4 Geometria Fractal [1] Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica. Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Classificações: Auto-similaridade exata: o fractal é idêntico em diferentes escalas. Quase-auto-similaridade: o fractal aparenta ser aproximadamente (mas não exatamente) idêntico em escalas diferentes. Auto-similaridade estatística: o fractal possui medidas numéricas ou estatísticas que são preservadas em diferentes escalas.

5 Exemplos Fractais Naturais [1] Brócolis [2] Samambaia Vale Hadhramaut Rim [3] [3]

6 Formas fractais Curva de Koch [4] Triângulo de Sierpinski [5]

7 Arte Fractal

8 [6]

9 [7]

10 [8]

11 [9]

12 [10]

13 [1]

14 [11]

15 A Experiência

16 Objetivos Verificar a aplicabilidade da geometria fractal ao caso de bolas de papel amassados Obter o valor da dimensão D dessas bolas

17 Procedimento Amassar 9 bolinhas de folhas de papel com tamanho decrescente de um fator 2; Cada medidor deveria medir o diâmetro das bolinhas 11 vezes com régua ou paquímetro, sem deformá-las; Calcular: φ medio, S, S m, S i, S f ; φ 2, S φ2, φ 3, S φ3. Construir o gráfico de M x φ 2 e M x φ 3.

18 Relembrando φ N φi i= = 1 N S = N ( φ ) i φ i= 1 N 1 2 Estatística stica S m = S N S S Instrumental i i = = 0,05cm 0,005cm 0,002cm Propagação Régua Paquímetro S 2φS φ φ f Combinação ( S ) ( S ) 2 m 2 i S = + = S =3φ 2 S 2 φ 3 φ

19 Resultados B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 φ (cm) φ (cm) φ (cm) φ (cm) φ (cm) φ (cm) φ (cm) φ (cm) φ (cm) 1,055 1,295 2,035 2,435 3,420 4,615 6,000 7,270 9,065 1,050 1,185 1,795 2,060 2,665 3,875 4,460 6,705 3,465 1,075 1,265 1,615 2,345 3,390 3,700 5,850 6,970 9,440 1,045 1,245 2,035 2,200 3,115 4,015 5,455 7,175 9,345 1,010 1,360 1,825 2,295 2,575 3,810 5,245 7,455 8,925 φ m 1,0330 1,263 1,789 2,335 3,027 4,186 5,477 7,168 8,89 S 0,0376 0,066 0,127 0,145 0,249 0,277 0,444 0,321 1,23 Sm 0,0080 0,014 0,027 0,031 0,053 0,059 0,095 0,068 0,26 Si 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 Sf 0,0094 0,015 0,027 0,031 0,053 0,059 0,095 0,069 0,26 φ 2 1,067 1,594 3,202 5,45 9,16 17,53 30,0 51,4 79,0 S φ2 0,020 0,038 0,098 0,15 0,32 0,50 1,0 1,0 4,7 φ 3 1,102 2,012 5,73 12,72 27,7 73,4 164, S φ3 0,030 0,071 0,26 0,51 1,5 3,1 8,

20 Mudança de unidades B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 φ (mm) φ (mm) φ (mm) φ (mm) φ (mm) φ (mm) φ (mm) φ (mm) φ (mm) 10,55 12,95 20,35 24,35 34,20 46,15 60,00 72,70 90,65 10,50 11,85 17,95 20,60 26,65 38,75 44,60 67,05 34,65 10,75 12,65 16,15 23,45 33,90 37,00 58,50 69,70 94,40 10,45 12,45 20,35 22,00 31,15 40,15 54,55 71,75 93,45 10,10 13,60 18,25 22,95 25,75 38,10 52,45 74,55 89,25 φ m 10,330 12,63 17,89 23,35 30,27 41,86 54,77 71,68 88,9 S 0,376 0,66 1,27 1,45 2,49 2,77 4,44 3,21 12,3 Sm 0,080 0,14 0,27 0,31 0,53 0,59 0,95 0,68 2,6 Si 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 Sf 0,094 0,15 0,27 0,31 0,53 0,59 0,95 0,69 2,6 φ 2 (x10 2 ) 1,067 1,594 3,202 5,45 9,16 17,53 30,0 51,4 79,0 S φ2 (x102 ) 0,020 0,038 0,098 0,15 0,32 0,50 1,0 1,0 4,7 φ 3 (x10 4 ) 0,1102 0,2012 0,573 1,272 2,77 7,34 16,43 36,8 70,3 S φ3 φ3 (x10 4 ) 0,0030 0,0071 0,026 0,051 0,15 0,31 0,85 1,1 6,2

21 Massa x φ Massa (ua) φ 2 (cm 2 )

22 Massa x φ Massa (ua) φ 3 (cm 3 )

23 Linearizando M = K. φ D Extraindo o logaritmo dos dois lados da expressão: log M =log ( D ) Kφ log M = logk + log ( D ) φ log M = logk + D logφ y = b + ax

24 Papel di-log 1000 década Massa (ua) década φ (cm)

25 Massa x φ 1000 Massa (ua) Ydec a = y Ydec x Xdec ( cm) ( cm ( cm) ( cm ) ) y 1 x 1 Xdec 10 φ (cm)

26 Massa x φ Ydec Massa (ua) y max y min x min 1 x max 1 Xdec 10 φ (cm)

27 Incertezas de a e b a = y( cm) Ydec( cm) x( cm) Xdec( cm) a a a max ajust min S a = a a max min 2 D = a ± S ajust a log M = logk + φ = 1 logφ = Dlogφ 0 K = M p/ φ =1 S K = K max K min 2 K = K ± S K

28 Discussão Comportamento dos ajustes de M x φ 2 e M x φ 3 ; Incertezas dos valores de φ 2 e φ 3 em função de φ. Qualidade dos dados ajustados no papel dilog; Valor obtido para a dimensão fractal D das bolas de papel; Valor obtido para o coeficiente K e seu significado físico; Influência do amassador nos resultados.

29 Para a Síntese Objetivos; Descrição experimental; Tabelas de dados com cálculos corrigidos; Gráficos de M x φ 2, M x φ 3, corrigidos; Gráfico di-log de M x φ; Cálculo da dimensão fractal D e da constante K, com respectiva incerteza; Verificação da compatibilidade de D com n=2 e n=3; Discussão dos resultados obtidos e conclusão respondendo aos objetivos.

30 Bibliografia [1] [2] [3] [4] [5] Sierpinski [6] [7] [9] idealismodebuteco.wordpress.com [8] imaginacaocriativa.blogspot.com [9] [10] Theme-Screenshot html [11]

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