Roteiro de Experimentos

Transcrição

1 Roteiro de Experimentos 1 Fractais: a. Introdução: Nuvens não são círculos, montanhas não são cones, linhas costeiras não são circulares e raios não se propagam em linhas retas. Esta frase retirada do livro The Fractal Geometry of Nature, Benoit Mandelbrot, (W. H. Freeman & Co., San Francisco, 1982), indica que a geometria fractal veio preencher uma lacuna histórica na descrição de objetos naturais. Esta geometria, apresentada em meados dos anos 1970, descreve frequentemente objetos fragmentados, rugosos, contorcidos, como os exemplos mostrados nas figuras acima. O cérebro humano, árvores, o sistema circulatório de mamíferos, uma couve flor e a linha costeira da Inglaterra são outros exemplos de objetos com propriedades fractais: auto-similaridade e auto-afinidade.

2 Para um objeto auto-similar é válida a seguinte propriedade de simetria, indicando a invariância deste sob uma transformação isotrópica; seja R = (x1,x2,x3,...) as coordenadas do sistema; se o re-escalamos por br = (bx 1,bx 2,bx 3,...) obtemos um novo conjunto idêntico ao anterior; quando os fatores de re-escala são diferentes para um dos eixos coordenados, b R = (b 1 x 1,b 2 x 2,b 3 x 3,...), dizemos que o objeto possui auto-afinidade. Verifique esta propriedades para os objetos mostrados à esquerda da figura acima. Pode-se classificar os fractais em naturais e matemáticos: enquanto os primeiros correspondem a objetos encontrados na natureza e apresentam escalas de corte inferior e superior além das quais as propriedades de escala deixam de ser válidas, os últimos geralmente são construídos por processos iterativos que partem de uma semente que cresce, ou de um objeto extenso que é dizimado (observe a evolução do quadrado na terceira linha da figura acima a esquerda). Nesse caso, somente uma das escalas de corte está presente, e o objeto se torna fractal no limite de infinitas iterações. Outra característica marcante de um fractal é o fato de sua dimensão frequentemente não ser inteira. Pode-se medir a dimensão de um objeto através do método de contagem de caixas M d = N(ρ ) ρ onde d é a dimensão Euclidiana (dimensão de imersão); N(ρ) é o número mínimo de caixas com extensão linear característica ρ necessárias para recobrir todo o objeto. Para objetos triviais, N(r) ~ ρ -d, de tal modo que a medida tende a uma constante quando tomamos o limite de r tendendo a zero. Para objetos não triviais fractais - N(r) ~ ρ -D, implicando que d M d D d = ρ ρ ρ 0 0, if, if d > d < D D onde D, D R, é chamada dimensão de Hausdorff - Besicovitch ou dimensão fractal, e pode ser calculada pela relação: D = ln N( ρ ) lim ρ 0 ln(1/ ρ )

3 De uma forma geral, para um objeto fractal sua densidade diminui à medida que o tamanho das caixas aumenta, devido à propriedade de que todas as escalas estão presentes na estrutura. Dessa forma, temos que a densidade ρ α ρ D-d., onde d é a dimensão de imersão. Como a massa é dada por M(ρ) = ρ ρ d, temos que para estruturas fractais: M(ρ) = k ρ D. (1) PARTE EXPERIMENTAL: b. Objetivos: i. Medir a dimensão fractal de um objeto auto-similar; ii. Dominar técnicas para aquisição analógica e digital de medidas de comprimento; iii. Análise quantitativa de dados: cálculo de erros, representação gráfica e regressão linear; iv. Análise crítica do fenômeno apresentado e elaboração de relatório técnico. c. Material: i. Folha de papel A4; ii. Paquímetros analógico e digital; d. Procedimento Sucinto: Ao amassar uma folha de papel para formar um objeto esférico, as deformações plásticas induzidas no papel formam uma estrutura fractal imersa no espaço tridimensional. A partir de medidas precisas da massa do objeto em função de sua extensão linear é possível calcular a dimensão de Hausdorff-Besicovitch para o objeto em estudo e vislumbrar algumas implicações para outros sistemas.

4 Divida uma folha A4 pela metade; em seguida, guarde uma metade e divida a segunda metade ao meio; repita esse procedimento 6 vezes até obter 7 pedaços de papel; Considerando a massa do papel original como 1, obtenha uma fórmula para obter o valor da massa de cada pedaço de papel após n divisões. Amasse cuidadosamente cada uma das partes até formar uma bola de papel o mais esférica possível. Meça o raio de cada bola com auxílio do paquímetro ou micrômetro (pergunte ao professor como utilizá-los se preciso) através de cinco medidas de diâmetro para cada bolinha. Ache o raio médio e o erro de cada bolinha. Esboce o gráfico da massa em função do raio da bolinha em um gráfico log-log. Linearize a relação (1) e encontre a reta que melhor ajusta os dados utilizando o método de mínimos quadrados. Obtenha finalmente o valor da dimensão fractal do objeto estudado com respectivo erro. e. Discussão: Que outros objetos naturais compartilham as mesmas características observadas em uma bola de papel? Entre quais valores você esperaria ser a dimensão fractal do pulmão? Do cérebro? Do intestino? De uma árvore? Do universo? Compare os valores obtidos com o publicado no J. Phys. A, 20 L283 (1987) de autoria dos pesquisador M. Gomes: D=2.51(19).

5 2 Determinação da Idade do Universo a. Introdução: A resposta para a pergunda qual a idade do universo é um dos mais recorrentes temas da história da humanidade. Desde Aristóteles, onde a Terra ocupava um lugar central no cosmo que era preso a esferas invisíveis que deslizavam uma sobre as outras, passando por Copérnico com sua teoria heliocêntrica e Galileu, cujas observações que lhe custaram a excomungação mas não a dignidade; até chegarmos a Hubble, que expandiu irreversivelmente para fronteiras jamais imaginadas a extensão do cosmo. As observações de Edward Hubble no ano de 1924 de um conjunto de estrelas conhecidas como variáveis cefeidas na nebulosa de Andrômeda permitiram determinar a distância daquelas estrelas à nossa galáxia como cerca de de anos-luz! Esse valor assombrou a comunidade acadêmica e a partir de então esta técnica indireta de medida de distância passou a ser amplamente difundida na Astronomia, em substituição às

6 medidas diretas, pela técnica de paralaxe cuja aplicabilidade para distância maiores é limitada. Na técnica indireta, a magnitude aparene de uma estrela peculiar em uma galáxia distante pode ser comparada com a magnitude de uma estrela similar na nossa galáxia e, utilizando a lei dos inversos dos quadrados, a distância presumida do objeto é calculada. Dessa forma, ao observar estrelas características (cefeidas, novas, supernovas, etc) é possível estimar sua distância a partir das magnitudes aparentes, até os tempos remotos do universo (veja figura acima). A partir dos dados de Hubble, a então nebulosa de Andrômeda se tornou a galáxia de Andrômeda, e as distâncias usuais da Astronomia foram multiplicadas por mais de de vezes. A análise dos espectros de emissão de determinados elementos químicos em estrelas em diferentes galáxias permitiu determinar a velocidade radial destas galáxias, devido ao desvio Doppler para o vermelho observados nos espectros. Os resultados de mais de 400 galáxias distantes apontavam que todas se afastavam da Via Láctea com velocidades de até Km/s. Essa propriedade, conhecida como a Lei de Hubble, foi o sustentáculo inicial para a proposição da teoria do Big-Bang. Dessa forma, obtemos a seguinte relação: Vr = H x D Onde Vr é a velocidade radial da galáxia, H a constante de Hubble e D a distância. Uma análise dimensional simples mostra que o inverso da constante de Hubble possui dimensão de tempo; ora, tomando o Big-Bang como premissa, se uma galáxia a uma distância D está se afastando a uma velocidade Vr hoje, então em um tempo t = D / Vr as duas galáxias estavam juntas, ou seja, a idade do Universo é o inverso da constante de Hubble. Dados astronômicos fornecidos pela NASA (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) project) estima a idade do universo em (13.7 ± 0.2) 10 9 anos.

7 PARTE EXPERIMENTAL: b. Objetivos: i. Determinar a idade do universo por método indireto, a partir de dados astronômico do desvio para vermelho da luz emitidas por algumas constelações. ii. Verificação da Lei de Hubble para o deslocamento das galáxias e decorrente implicações para a hipótese do Big-Bang. iii. Análise crítica do fenômeno apresentado e elaboração de relatório técnico; elaboração de gráficos e tratamento estatístico de dados. c. Material: i. Paquímetros digital e analógico; ii. Régua e lápis. d. Procedimento Sucinto: A partir de dados astronômicos para o espectro luminoso de algumas galáxias é possível medir a desvio para o vermelho para as raias associadas a um determinado elemento químico. A partir destes dados é possível calcular a velocidade de deslocamento das galáxias, que associada ao valor da distância atual das constelaçõe, permite o cálculo da idade do universo com um erro devido à regressão linear. A partir dos dados do espectro de emissão de diferentes galáxias fornecido, obtenha os valores para o comprimento de onda das linhas H e K do Ca em cada galáxia. Para isso é necessário fazer uma curva de calibração: a partir da figura abaixo faça um gráfico da distância entre as linhas espectrais em função do comprimento de onda para o espectro de Virgo, tendo como referência a linha 3888 Å

8 Å 3965 Å 4026 Å 4387 Å 4471 Å 4713 Å 4922 Å 5015 Å Utilizando a curva de calibração acima, encontre os valore do comprimento de onda observado (L obs ) em cada galáxia para as linhas H e K. Considerando o efeito Doppler (pergunte ao professor em caso de dúvida), a velocidade radial da galáxia em questão será: v = c (L obs - L lab ) / L lab onde L lab é o comprimento de onda observado na nossa galáxia: H = 3968 Å e K =3933 Å. Obtenha o desvio Doppler ( λ/λ) e as velocidades de afastamento para cada galáxia, com o devido erro. Construa o gráfico de Vr x D e estime o valor da idade do universo a partir da regressão linear dos dados. Estime o erro a partir da regressão e a partir das retas de inclinação máxima e mínima que ainda descrevam os dados. e. Discussão: Qual o papel da curva de calibração? Que premissas foram feitas para obter a distância e a velocidades das galáxias? Comente a precisão e exatidão do método.