Aula síntese. Dimensão fractal Professor Tiago Fiorini. Introdução

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Cláudio de Vieira Bernardes
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1 Aula síntese Dimensão fractal Professor Tiago Fiorini Introdução Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da geometria não- Euclidiana. As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham. 1

2 Princípio Em 1872, Karl Weierstrass encontrou o exemplo de uma função com a propriedade de ser contínua em todo seu domínio, mas em nenhuma parte diferenciável. O gráfico desta função é chamado atualmente de fractal. Em 1904, Helge von Koch, não satisfeito com a definição muito abstrata e analítica de Weierstrass, deu uma definição mais geométrica de uma função similar, atualmente conhecida como Koch snowflake (ou floco de neve de Koch), que é o resultado de infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial (curvas de Koch). Curvas de Koch Uma característica típica dos fractais é a de a curva parecer ter uma certa espessura devido às constantes mudanças de direção. Isso sugere que esta figura não é unidimensional (não é apenas uma linha, dotada apenas de comprimento). A sua dimensão estará entre 1 (da reta) e 2 (do plano). Observando a figura: se ampliássemos três vezes a secção A'B' obteríamos exatamente a secção AB. 2

3 Floco de neve de Koch Princípio Também houve muitos outros trabalhos relacionados a estas figuras, mas esta ciência só conseguiu se desenvolver plenamente a partir da década de 60, com o auxílio da computação. Um dos pioneiros a usar esta técnica foi Benoît Mandelbrot, um matemático que já vinha estudando tais figuras. Mandelbrot foi responsável por criar o termo fractal, e responsável pela descoberta de um dos fractais mais conhecidos, o conjunto de Mandelbrot. 3

$Conjunto de Mandelbrot Classificações Os fractais podem ser agrupados em três categorias principais.$ $Estes também são chamados de fractais de fuga do tempo.$

4 Conjunto de Mandelbrot Classificações Os fractais podem ser agrupados em três categorias principais. Estas categorias são determinadas pelo modo como o fractal é formado ou gerado: Sistema de funções iteradas Estas possuem uma regras fixa de substituição geométrica. Ex.: floco de neve de Koch. Fractais definidos por uma relação de recorrência em cada ponto do espaço (tal como o plano complexo). Ex.: conjunto de Mandelbrot. Estes também são chamados de fractais de fuga do tempo. Fractais aleatórios, gerados por processos estocásticos ao invés de determinísticos, por exemplo, terrenos fractais e o vôo de Lévy. 4

$Classificações Ainda, também podem ser classificados de acordo com sua auto-similaridade: Auto-similaridade exata: O fractal$ $Quase-auto-similaridade: O fractal aparenta ser aproximadamente (mas não exatamente) idêntico em escalas diferentes.$ $Fractais quase-auto-similares contém pequenas cópias do fractal inteiro de maneira distorcida ou degenerada.$

5 Classificações Ainda, também podem ser classificados de acordo com sua auto-similaridade: Auto-similaridade exata: O fractal é idêntico em diferentes escalas. Fractais gerados por sistemas de funções iterativas geralmente apresentam uma auto-similaridade exata. Quase-auto-similaridade: O fractal aparenta ser aproximadamente (mas não exatamente) idêntico em escalas diferentes. Fractais quase-auto-similares contém pequenas cópias do fractal inteiro de maneira distorcida ou degenerada. Fractais definidos por relações de recorrência são geralmente quase-auto-similares, mas não exatamente auto-similares. Auto-similaridade estatística: O fractal possui medidas numéricas ou estatísticas que são preservadas em diferentes escalas. Auto-similaridade 5

6 Experiência Bolas de papel: Fractais aleatórios com auto-similaridade estatística; Papel bidimensional ; Esfera tridimensional; Bola de papel bidimensional com aspecto de tridimensional; Análogo a curva de Koch que aparenta ter espessura. Experiência M=d.φ n Quanto vale o n? dimensão Espera-se uma dimensão fractal: - entre 2 e 3; 6

7 ln(m) = ln(d.φ n ) ln(m) = ln(d) + n.ln(φ) Experiência Podemos linearizar! y = b + a. x Gráfico típico Massa (u.a.) Diâmetro (m^2) 7

8 Gráfico típico Massa (u.a.) Diâmetro (m^2) Gráfico típico Massa (u.a.) Diâmetro (m^2) 8

9 Gráfico típico Massa (u.a.) Diâmetro (m^2) Gráfico típico Massa (u.a.) Diâmetro (m) 9

10 Gráfico típico Massa (u.a.) Diâmetro (m) Gráficos 10

11 Papel milimetrado Papel mono-log 11

12 Papel di-log 12

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