FRACTAIS. Iteração: é um conjunto de procedimentos repetidos em série para construir um fractal. (NUNES, 2006, f. 30).

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1 Revisado por: A. Patrícia Grajales Spilimbergo e Cláudia Piva FRACTAIS Algumas definições... Fractal: Um fractal é um objeto que pode ser obtido geometricamente ou aleatoriamente através de processos recursivos, respeitando a condição de autossemelhança, ou seja, uma parte do fractal ampliada ou reduzida é idêntica à figura vista como um todo. Muitas das estruturas dos fractais podem ser encontradas em formas da natureza. (NUNES, 2006, f. 29). Iteração: é um conjunto de procedimentos repetidos em série para construir um fractal. (NUNES, 2006, f. 30). Utilizando o software educacional GeoGebra, construiremos dois fractais: a curva de Koch, e uma variação dela: o floco de neve de Koch, e o triângulo de Sierpinski. Além de vivenciarmos uma experiência com a geometria fractal, cujas particularidades são desconhecidas por muitos, estaremos abordando alguns conceitos matemáticos contemplados no Ensino Médio através da análise destas construções.

2 Curva de Koch 1) Inicialmente, devemos ocultar os eixos ordenados. Para isso, você deve clicar na seta que aparece ao lado da escrita janela de visualização e selecionar o primeiro ícone que aparece. 2) Acima da barra de ferramentas, selecione opções, rotular e menos para os objetos novos. Assim, o GeoGebra não mostrará na janela de visualização os nomes dos objetos que construiremos a seguir. Esta ação garantirá que o nosso fractal fique com melhor aspecto visual. 3) No terceiro ícone da barra de ferramentas, selecione a opção segmento. Clique duas vezes na janela de visualização, deixando um espaçamento entre um clique e outro, para criar um segmento f limitado pelos pontos A e B. Já que optamos por não rotular os objetos, observe os nomes dos pontos e do segmento à esquerda, na janela de álgebra. 4) Utilizando a opção círculo dados centro e raio, clique no ponto A e digite para o valor do raio a terça parte do comprimento do segmento AB, ou seja, f/3. Repita o mesmo procedimento para o ponto B. 5) Com a ferramenta interseção de dois objetos, clique em uma das circunferências e, em seguida, no segmento AB. Repita o procedimento para a outra circunferência. Assim, você criará os pontos C e D. 6) Com a opção círculo dados centro e um de seus pontos, clique no ponto C e no ponto D, criando uma circunferência com centro em C e que passa pelo ponto D. Na sequência, clique primeiro no ponto D e depois no ponto C, obtendo, assim, uma circunferência com centro em D e que passa pelo ponto C. 7) Utilizando a ferramenta interseção de dois objetos, clique nas duas últimas circunferências criadas (na janela de álgebra, à esquerda, elas foram nomeadas por e e g). Assim, você terá os pontos de interseção E e F. 8) Na janela de álgebra, clique nas bolinhas azuis que aparecem ao lado da equação de cada circunferência. Assim, você ocultará as circunferências de sua construção. Oculte também o ponto E (ponto de interseção das circunferências que se encontra na parte inferior). 9) Selecione a opção segmento. Clique na seta que aparece ao lado da escrita janela de visualização e escolha uma cor de sua preferência (você também pode alterar a tonalidade através da barra deslizante que aparece logo abaixo das opções de cores). Clique nos pontos: A e C, C e F, F e D e D e B. 10) Ainda com a opção segmento selecionada, clique nos pontos C e D e mude a cor para branco. Altere também a largura da linha através do ícone que aparece ao lado da opção para alterar a cor.

3 11) Assim, fizemos a primeira iteração da curva de Koch. Sua construção deve estar de acordo com a imagem a seguir: Para facilitar o nosso trabalho, criaremos uma nova ferramenta do GeoGebra para fazer as próximas iterações. Para isso: selecione a opção Ferramentas que se encontra acima da barra de ferramentas e escolha criar uma nova ferramenta. Para a criação de uma nova ferramenta, precisamos definir objetos finais e iniciais. Os objetos finais são os elementos que constituem a iteração propriamente dita, ou seja, o resultado do processo de iterar. Os objetos finais são aqueles necessários para que se possa fazer a iteração. 12) Na janela que se abrirá, defina os segmentos h, i, j, k e l e os pontos C,D e F como objetos finais. Clique em próximo e defina os pontos A e B como objetos iniciais. Clique novamente em próximo e nomeie a ferramenta como Curva de Koch. Clique em concluído e localize a nova ferramenta na barra. 13) Na guia Arquivo, selecione a opção Novo para abrir uma janela em branco do GeoGebra. 14) Repita os procedimentos dos passos 1 e 2. Construindo um triângulo equilátero de lado definido... 15) Com a opção segmento com comprimento fixo, crie um segmento com a medida 9. Altere a cor do segmento para preto e a espessura da linha para a menor de todas. 16) Selecione círculo dados centro e raio. Clique no ponto A e digite 9 para o raio. Em seguida, clique no ponto B e também digite 9 para o raio. Se necessário, ajuste a tela para visualizar melhor: utilize ctrl - para reduzir e ctrl + para ampliar.

4 17) Com a ferramenta interseção de dois objetos, clique em uma das circunferências e, em seguida na outra, criando os pontos C e D. 18) Na janela de álgebra, oculte as circunferências e o ponto D (ponte de interseção que se encontra na parte inferior). 19) Una os pontos A e C e C e B com a opção segmento. Pronto, já temos um triângulo equilátero. Construindo o floco de neve de Koch... 20) Agora, utilizando a ferramenta curva de Koch que você criou anteriormente, clique, em sentido horário, nos vértices comuns a cada um dos lados do triângulo. Esta ação, resultará em uma estrela de 6 pontas. Matematicamente, um polígono côncavo de 12 lados. 21) Repita o procedimento do passo anterior, utilizando a ferramenta curva de Koch em cada um dos 12 lados do polígono. Esta é a segunda iteração do fractal. Faça também a terceira. Discussão: 1. Complete a tabela a seguir: Figura inicial (iteração 0) 1ª iteração 2ª iteração 3ª iteração Número de segmentos Comprimento de cada segmento 2. Observando os comprimentos dos segmentos escritos em ordem decrescente, o que é possível afirmar? 3. Qual será o comprimento de cada segmento após a 4ª iteração? E após a 6ª? 4. É possível definir uma lei que nos permita calcular o comprimento do segmento após qualquer quantidade de iterações?

5 Triângulo de Sierpinski 1) Na guia Arquivo, selecione Novo. Assim como fizemos com a curva de Koch, oculte os eixos e impeça que o GeoGebra rotule os objetos que você irá construir na nova janela. 2) Construa um triângulo equilátero conforme os passos de número 15 a 19 que utilizamos na curva de Koch. Porém, utilize 10 para a medida do segmento. 3) Utilizando a ferramenta ponto médio ou centro, clique nos vértices do triângulo, dois a dois, para marcar o ponto médio de cada um dos lados do triângulo. 4) Com a opção polígono selecionada, clique em um dos pontos médios, clique no segundo, no terceiro e, novamente no primeiro. Escolha uma cor de sua preferência para o triângulo recém-criado. Esta é a primeira iteração do triângulo de Sierpinski: observe que, além do triângulo colorido, você tem três triângulos brancos, que chamaremos de triângulos remanescentes. Pare e pense: quais são as características destes novos triângulos? 5) Até o momento, a tela do GeoGebra deve estar semelhante à esta: Assim como fizemos no passo 11 da curva de Koch, selecione a opção criar nova ferramenta. Defina o triângulo colorido (pol1) e os pontos médios como objetos finais. Clique em próximo e defina os pontos A, B e C (vértices do triângulo equilátero inicial) como objetos iniciais. Clique em próximo e nomeie a ferramenta como Triângulo de Sierpinski. 6) Utilizando a ferramenta que você acabou de criar, clique nos três vértices de cada um dos triângulos remanescentes. Esta é a segunda iteração do triângulo de Sierpinski.

6 7) Repita o procedimento anterior para fazer a terceira e a quarta iterações. Anote a quantidade de triângulos coloridos e triângulos remanescentes após cada iteração. Discussão: PARTE I 1. Calcule a área do triângulo equilátero inicial, considerando a medida que definimos para o lado (10 u.c.). 2. Sabendo a área do triângulo inicial, como podemos calcular a área do triângulo colorido que se formou após a primeira iteração? E a área de cada um dos triângulos colorido formados após a segunda iteração? 3. Escreva, em ordem decrescente, as quatro primeiras áreas obtidas. O que você observa? 4. Como podemos calcular a área do triângulo após a 6ª iteração? 5. Elabore uma expressão matemática que permita calcular a área dos triângulos formados após a n- ésima iteração. 6. Compare essa expressão com a que elaboramos para a curva de Koch: o que há de semelhante entre elas? Como elas são conhecidas no meio matemático? Que propriedades elas possuem? PARTE II 1. Complete a tabela abaixo com o número de triângulos remanescentes após cada iteração. Número da iteração (n) Número de triângulos remanescentes (t) 2. Quantos triângulos restarão após a 7ª iteração? E após a 9ª iteração? Qual é a maneira mais prática para calcular estes valores? 3. Podemos dizer que n e t são variáveis que determinam uma função? Se sim, quem é a variável dependente e quem é a variável independente? Por quê? 4. Escreva uma lei através da qual é possível calcular o número de triângulos remanescentes após uma determinada quantidade de iterações. 5. Complete a tabela abaixo com os números das iterações que geraram as quantidades de triângulos remanescentes indicadas. Número da iteração (n) Número de triângulos remanescentes (t)

7 6. Reflita: o que há de diferente nos cálculos que completam esta tabela comparando-os aos da tabela anterior? 7. Neste caso, quem são as variáveis dependente e independente? Qual é a lei da função? 8. Que relação há entre esta função e a função anterior? Após construirmos dois fractais clássicos, agora é a sua vez! Utilizando as potencialidades do GeoGebra, crie o seu próprio fractal. Seguem algumas dicas: Não é preciso ser algo complexo: opte por coisas simples. Para iniciar, utilize uma figura geométrica (triângulo, quadrado, círculo, etc). Você também pode utilizar um ponto ou um segmento de reta. Explore a barra de ferramentas do software: ela possui muitas funcionalidades que lhe ajudarão nesta tarefa. Procure descobrir a função de cada um dos ícones. Lembre-se da condição de autossemelhança: cada parte, ampliada ou reduzida, deve ser igual ao todo. Utilize a criação de uma nova ferramenta para fazer as iterações de seu fractal.