DESCOBRINDO A GEOMETRIA FRACTAL

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Nicolas Weber Beltrão
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DESCOBRINDO A GEOMETRIA FRACTAL Ródio, Júlia 1 ; Wille, Larissa 1 ; Barão, Vitória 1 ; Vicari, Indianara 1 ; Lopes, Camila 2 1 Instituto Federal Catarinense, Concórdia/SC INTRODUÇÃO Por volta da

1 DESCOBRINDO A GEOMETRIA FRACTAL Ródio, Júlia 1 ; Wille, Larissa 1 ; Barão, Vitória 1 ; Vicari, Indianara 1 ; Lopes, Camila 2 1 Instituto Federal Catarinense, Concórdia/SC INTRODUÇÃO Por volta da primeira metade do século XIX começaram a ocorrer vários questionamentos sobre a Geometria Euclidiana, principalmente sobre o polêmico quinto postulado de Euclides, o que gerou um grande acontecimento na história da Matemática: a descoberta das geometrias não euclidianas. Na natureza encontramos formas com um grau de complexidade maior, não sendo possível descrevê-las por meio da geometria euclidiana. Diante disso, surge a geometria da natureza ou geometria fractal, caracterizada por Janos (2008, p. 10): A geometria dos fractais está ligada a uma ciência chamada CAOS. Para o homem, o mundo funcionava como um relógio de milhões de engrenagens. Muitas engrenagens já haviam sido descobertas e outras aguardavam somente a sua vez para serem decifradas. Mas a nova ciência, Caos, mostrou que as engrenagens que acionam a natureza às vezes tornam-se erráticas e imprevisíveis. Às ciências do Caos normalmente estão associadas duas áreas novas e interligadas da Matemática: Os sistemas Dinâmicos e a Geometria Fractal. Nas últimas décadas aconteceram investigações cujo tema central foi a construção e o estudo de entidades geométricas; tais entidades (ou objetos) foram chamadas FRACTAIS pelo seu iniciador, Benoit Mandelbrot. A palavra fractais baseia-se no latim, do adjetivo fractus, cujo verbo frangere correspondente significa quebrar, criar fragmentos irregulares, fragmentar. Nunes (2006) define a Geometria Fractal como uma linguagem matemática que descreve, analisa e modela as formas encontradas na natureza e caracteriza-se por figuras geométricas abstratas originadas por meio de equações matemáticas que, quando aplicadas de 1 Curso Técnico em Alimentos Integrado ao Ensino Médio 2 Professora de Matemática do Instituto Federal Catarinense Câmpus Concórdia

2 forma iterativa, produzem resultados impressionantes. Ainda de acordo com a autora, os fractais são compostos por padrões que se repetem infinitamente, mesmo limitados a uma área finita e têm como principais características a autossemelhança, a dimensionalidade e a complexidade infinita. Por apresentarem estrutura complexa, conseguem descrever situações alheias à Geometria Euclidiana, como aquelas relacionadas ao universo natural e à ciência, permitindo fazer demonstrações e aproximações dos modelos (saliências e imperfeições) presentes nas formas encontradas na natureza. Nos fractais matemáticos, as partes são cópias exatas do todo, contudo, nos fractais naturais as partes são apenas reminiscências do todo. Diferentes dos fractais matemáticos, os naturais não são autossemelhantes. Eles são auto-afins, ou seja, são cópias reduzidas distorcidas de si próprios. O Rio amazonas entre as cidades de Macapá e Manaus exemplifica essa situação: se o Rio Amazonas fosse um fractal matemático como a Curva de Koch, poderíamos identificar cópias reduzidas exatas do seu todo ao longo de seu curso, mas o Rio Amazonas é um fractal natural e, portanto, seus trechos são cópias estaticamente semelhantes do todo. Janos (2008, p. 45) afirma que: O termo autossemelhança é, intuitivamente, bastante claro e autoexplicativo. Entretanto, não é tão fácil dar uma definição matematicamente precisa sobre autossemelhança. Por exemplo, em um objeto autossemelhante como a couve-flor, a autossemelhança se dá até certo grau de redução no fator de escala. O Conjunto de Cantor é talvez o primeiro objeto reconhecido como fractal. Embora não possua o apelo visual da maioria dos fractais, este conjunto é a peça fundamental no estudo dos fractais e dos Sistemas Dinâmicos. Mandelbrot, em seu trabalho, ressaltou que os matemáticos foram, de certa forma, iludidos pela Natureza, que mostrou ter mais imaginação na diversidade de formas que apresenta. A percepção de tais formas levou esses matemáticos a estudá-las sob os aspectos que Euclides não alcançou, tomando-se, assim, um estudo das formas sem formas ou morfologias dos amorfos. Foi aceitando este desafio que Benoit Mandelbrot concebeu e desenvolveu esta Geometria da Natureza e implementou o seu uso em inúmeras aplicações. A partir desta teoria, descreveu vários dos irregulares e fragmentados modelos que encontramos em nossa volta através da família de formas que chamou fractais. Dessa forma, o objetivo principal deste trabalho consiste em explorar a geometria fractal, a fim de descobrir uma nova maneira de enxergar a Matemática além da forma 2

tradicional como é tratada em sala de aula, através da percepção que infinitas imagens podem ser criadas a partir de uma única figura e que essas estruturas estão presentes na natureza, em nosso

Alves (2007) destaca que a prática pedagógica utilizada atualmente no ensino da Matemática procura aproximar cada vez mais os fundamentos teóricos da realidade do aprendiz, relacionando para isso,

Assim, trazer para a sala de aula atividades que ao mesmo tempo desenvolvam o raciocínio lógico-matemático e utilizem elementos do mundo concreto do aluno, satisfaz plenamente à expectativa que a

3 tradicional como é tratada em sala de aula, através da percepção que infinitas imagens podem ser criadas a partir de uma única figura e que essas estruturas estão presentes na natureza, em nosso cotidiano. Alves (2007) destaca que a prática pedagógica utilizada atualmente no ensino da Matemática procura aproximar cada vez mais os fundamentos teóricos da realidade do aprendiz, relacionando para isso, aspectos observados no mundo em que vivemos para construção do conhecimento. Assim, trazer para a sala de aula atividades que ao mesmo tempo desenvolvam o raciocínio lógico-matemático e utilizem elementos do mundo concreto do aluno, satisfaz plenamente à expectativa que a metodologia aplicada impõe. MATERIAL E MÉTODOS Para o desenvolvimento deste trabalho, foi realizada uma pesquisa de caráter bibliográfico para obter uma fundamentação teórica a respeito do assunto. A internet foi a principal fonte de pesquisa, em que foram consultados textos, artigos, imagens e vídeos. Após seleção, foi feita uma observação detalhada das imagens e vídeos para visualização dos padrões e da estrutura dos fractais considerados. Também se fez uma busca de padrões fractais em objetos da natureza e a construção de exemplos com dobraduras. RESULTADOS E DISCUSSÃO Na natureza, modelos de fractais podem ser encontrados em células do organismo, estrutura do átomo, arranjos moleculares das proteínas e dos aminoácidos, sistema arterial do coração, sistema respiratório dos pulmões, folhas da samambaia, brócolis, árvores, nuvens, relâmpagos, formações geológicas, contorno das montanhas, entre outros exemplos. As Figuras 1 a 8 ilustram exemplos de fractais encontrados na natureza. Figura 1 Sistema respiratório. Figura 2 Sistema arterial. Figura 3 Samambaia. 3

Figura 4 Brócolis. Figura 5 Árvores. Figura 6 Nuvens.

$Percebe-se que os fractais são formas que não perdem sua$ $Eles podem ser divididos em fractais geométricos, que$ $repetem continuamente um modelo padrão, e em fractais$ Os avanços tecnológicos na área da informática,

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$Exemplos de fractais geométricos podem ser vistos nas$ $Já as figuras 11 e 12 representam fractais aleatórios.$

4 Figura 4 Brócolis. Figura 5 Árvores. Figura 6 Nuvens. Figura 7 Relâmpagos. Figura 8 Formações Geológicas. Percebe-se que os fractais são formas que não perdem sua estrutura original na medida em que são ampliadas, cada pedaço é uma réplica do original, porém em tamanho menor. Eles podem ser divididos em fractais geométricos, que repetem continuamente um modelo padrão, e em fractais aleatórios, gerados através de programas de computador. Os avanços tecnológicos na área da informática, inclusive, foram fundamentais para o desenvolvimento dessa teoria. Exemplos de fractais geométricos podem ser vistos nas Figuras 9 e 10, construídos em dobraduras. Já as figuras 11 e 12 representam fractais aleatórios. Figura 9 Dobradura de fractal geométrico. Figura 10 Dobradura de fractal geométrico. 4

$conceitos matemáticos trabalhando com as mãos, tanto na construção de modelos, quanto no desenho de quadros das consecutivas iterações dos fractais clássicos. REFERÊNCIAS ALVES, C.M.F.S.J.$

5 Figura 11 Fractal aleatório. Figura 12 Fractal aleatório. CONCLUSÕES Com isso, foi possível ampliar a visão da Matemática acerca da realidade e compreender diversos fenômenos naturais que não podem ser interpretados com base em geometrias tradicionais. Reforçando a ideia de que alunos precisam experimentar a Matemática por caminhos diferentes do que aplicar algoritmos de papel e lápis a exercícios rotineiros, a Geometria Fractal permite explorar os conceitos matemáticos trabalhando com as mãos, tanto na construção de modelos, quanto no desenho de quadros das consecutivas iterações dos fractais clássicos. REFERÊNCIAS ALVES, C.M.F.S.J. Fractais: Conceitos Básicos, Representações Gráficas e Aplicações ao Ensino Não Universitário. 2007, 324 f. Dissertação (Mestrado em Matemática para o Ensino) Faculdade de Ciências, Universidade de Lisboa, Disponível em: < Aplicacoes-ao-Ensino-nao-Universitario>. Acesso em: 07 jun JANOS, M. Geometria Fractal. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, NUNES, R.S.R. Geometria Fractal e Aplicações. 2006, 78 f. Dissertação (Mestrado em Ensino da Matemática) Faculdade de Ciências, Universidade do Porto, Disponível em: < Acesso em: 07 jun QUARESMA, I.M.M.C.; OLIVEIRA, J.M.D.M.; FARIA, P.C.R.P. O que são os fractais? Disponível em: < Acesso em: 07 jun SILVA, T.A.F. Introdução à Geometria Fractal. ISE, Praia, Disponível em: < Acesso em: 07 jun

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