UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DA GEOMETRIA FRACTAL POR MEIO DO SOFTWARE GEOGEBRA

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1 UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DA GEOMETRIA FRACTAL POR MEIO DO SOFTWARE GEOGEBRA Regis Alessandro Fuzzo 1 Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão PR regisfuzzo@gmail.com Talita Secorun dos Santos 2 Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão PR tsecorun@hotmail.com Veridiana Rezende 3 Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão PR Universidade Estadual de Maringá UEM rezendeveridiana@gmail.com Resumo: O presente artigo é uma proposta de ensino para a Geometria Fractal em um ambiente de geometria dinâmica amparado pelo software livre Geogebra 4. Motivados pelo documento o qual norteia o ensino de Matemática no Estado do Paraná, as Diretrizes Curriculares Educacionais (DCE), sobre a importância de introduzir tópicos da Geometria Fractal na Educação Básica e pelo fato que o ensino de Geometrias Nãoeuclidianas é recente e que ainda se encontram poucas atividades para o Ensino Básico, propomos uma atividade de construção do Triângulo de Sierpinski por meio do software Geogebra e a aplicação de uma ferramenta do próprio software que fornece um recurso de iteratividade e uma análise das peculiaridades deste fractal. Desse modo se permite aos alunos do Ensino Médio uma aprendizagem de alguns conceitos da Geometria Euclidiana, da Geometria Fractal e relacioná-las com a álgebra. Palavras-chave: Educação Matemática; Ensino de geometria; Geogebra; Geometria Fractal; triângulo de Sierpinski. 1 Acadêmico do Curso de Licenciatura em Matemática da FECILCAM Faculdade Estadual de Ciências e Letras de Campo Mourão PR e integrante do PIBIC/NUPEM - FECILCAM (Núcleo de Pesquisa Multidisciplinar) Fundação Araucária, regisfuzzo@gmail.com. 2 Professora Assistente do Departamento de Matemática da FECILCAM, tsecorun@hotmail.com. 3 Professora Assistente do Departamento de Matemática da FECILCAM e doutoranda do Programa de Pós-graduação em Educação para a Ciência e a Matemática - PCM da Universidade Estadual de Maringá UEM, rezendeveridiana@gmail.com. 4 O download do software pode ser realizado pelo site 1

2 Introdução Observando o ensino de geometria tanto na visão do aluno como também na visão do professor da Educação Básica, o conteúdo, normalmente, é introduzido de forma tradicional, estudando-se os teoremas, exercícios e, posteriormente, uma avaliação. Entretanto, o ensino de geometria, por vezes, é trabalhado apenas alguns tópicos e não dando a devida importância à geometria. Dentro da matemática, a Geometria Euclidiana era a verdade mais incontestável, já que, tradicionalmente, expressava a realidade do espaço físico. Com as tentativas de demonstração do postulado das paralelas de Euclides caímos numa reflexão de que a rejeição do quinto postulado poderia criar um sistema completamente novo, ou seja, as Geometrias Não-euclidianas. A partir dos estudos de Gauss, Lobatshewski, e Bolyai é que, de fato, surgem as Geometrias Não-euclidianas. Desse modo, ainda temos a preocupação com o ensino de Geometrias Nãoeuclidianas que vem se desenvolvendo muitas pesquisas em como este saber científico pode ser transformado em saber escolar na Educação Básica, já que no estado do Paraná as Geometrias Não-euclidianas estão inseridas no programa curricular do Ensino de Matemática, ou seja, nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica (DCE). Para Pais (2002, p.21) O saber escolar representa o conjunto dos conteúdos previstos na estrutura curricular das várias disciplinas escolares valorizadas no contexto da história da educação., assim, a partir do momento em que alguns tópicos das Geometrias Não-euclidianas tornam-se um conteúdo previsto para ser ensinado em sala de aula, é necessário proporcionar um ambiente favorável de ensino/aprendizagem tanto para o aluno quanto para o professor. Segundo Santos (2009), muitos professores de Matemática da Educação Básica concluem a graduação sem conhecerem as Geometrias Não-euclidianas e, desse modo, encontram dificuldades para trabalhar tópicos dessas geometrias já que o ensino de Geometrias Não-euclidianas [...] requer mais tempo de estudos e demanda um período de adaptação (SANTOS, 2009, p. 121). Procuramos utilizar as Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) como um facilitador do processo de ensino e aprendizagem e, neste caso, o computador, pelo fato que [...] o uso do computador tem adquirido importância cada vez maior no dia-a- 2

3 dia das escolas e no desenvolvimento do processo ensino-aprendizagem como analisa Alves e Soares (2003, p.1). Assim, para proporcionar este ambiente de ensino, de modo que auxilie no ensino da Geometria Fractal como também na aprendizagem de conceitos da Geometria Euclidiana, escolhemos o software Geogebra por ser um software livre e também porque é acessível na grande maioria das escolas da rede estadual do Paraná. Em relação à Geometria Fractal, Benoit Mandelbrot foi o responsável pelo desenvolvimento desta geometria, também conhecida como Geometria da Natureza. A partir desta teoria descreveu vários dos irregulares e fragmentados modelos que encontramos em nossa volta por meio da família de formas que chamou fractais. O ensino da Geometria Fractal na Educação Básica também deve ser analisado em outra perspectiva que não seja somente ao fato dela estar inserida nas DCE, sendo vista apenas como uma obrigação, mas também como um saber escolar que desperte o interesse do aluno para um novo conhecimento diferente daqueles tradicionalmente ensinados. Para isso, Barbosa (2005) nos diz que a Geometria Fractal faz conexões com outras ciências, além de cobrir algumas deficiências da Geometria Euclidiana para a compreensão de fenômenos que nos ocorrem diversos ambientes, assim como a existência de belos fractais e descoberta do senso artístico aplicado a construção dos mesmos, juntamente com a percepção e a observação da ordem diante da desordem causando surpresa. Desse modo, a construção do triângulo de Sierpinski no software Geogebra é proposta para esta descoberta do senso artístico, além de trabalhar conceitos da Geometria Euclidiana e da Geometria Fractal. Justificativas A importância de se trabalhar a Geometria Fractal no Ensino Médio está presente nas DCE e nos diz que o estudo de Geometrias Não-euclidianas se aprofunda ao abordar a geometria dos fractais, geometria hiperbólica e elíptica. Na geometria dos fractais, pode-se explorar: o floco de neve e a curva de Koch; triângulo e tapete de Sierpinski, conduzindo o aluno a refletir e observar o senso estético presente nessas entidades geométricas, estendendo para as suas propriedades [...] (PARANÁ, 2008, p. 57). 3

4 E ainda com relação à aprendizagem dos alunos Gravina e Santarosa (1998) nos dizem que o conhecimento matemático possui caráter estático e com isso dificulta a abstração de um determinado conceito a uma situação que não é semelhante ao apresentado no livro didático ou pelo professor. Desse modo, com a utilização das Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC), as mesmas autoras afirmam que as TIC apresentam evidencias físicas em que a representação passa a ter caráter dinâmico, refletindo no processo de aprendizagem, particularmente, no que diz respeito às concretizações mentais. Assim, utilizando os softwares de geometria dinâmica, neste caso, o Geogebra, eles [...] auxiliam no processo de ensino-aprendizagem da geometria, além de valorizar o conhecimento matemático e a sua construção, através das ações de experimentar, interpretar, visualizar, induzir, conjecturar, abstrair, generalizar e demonstrar (ALVES e SOARES, 2003, p.7). Conforme os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) [...] é especialmente adequado para mostrar diferentes modelos explicativos do espaço e suas formas numa visão sistematizada da Geometria com linguagens e raciocínios diferentes daqueles aprendidos no ensino fundamental com a geometria clássica euclidiana (BRASIL, 2002, p. 125). E ao introduzirmos o estudo da Geometria Fractal, os alunos têm, por meio dele, a oportunidade de fazerem conexões tanto dentro da própria Matemática e o mundo da Natureza e do Homem, e de explorarem a Matemática por caminhos não-analíticos. Na próxima seção encontram-se as etapas de construção do Triângulo de Sierpinski por meio do Geogebra e alguns tópicos que podem ser trabalhados com esta atividade. Construção do Triângulo de Sierpinski por remoção de triângulos A barra de ferramentas de acesso rápido do Geogebra é formada por ícones e quando clicamos no canto inferior direito de cada ícone abre-se uma aba com vários itens. Assim, para facilitar as instruções de construção do Triangulo de Sierpinski, identificaremos as ferramentas do Geogebra como: ferramenta 1.1; ferramenta 1.2; ferramenta 5.1 e assim por diante, ou seja, o primeiro número representa o ícone 4

5 enquanto o segundo número indica a sequência do item quando se abre a aba. Podemos ver um exemplo na figura 1 abaixo. Figura 1: Identificação das ferramentas do Geogebra Para facilitar a construção deste fractal, podem-se retirar os eixos da tela principal clicando em Exibir e desmarcar a opção Eixos. É importante salientar que o software nomeia, automaticamente, os objetos construídos, desse modo, utilizaremos a mesma nomeação dada pelo Geogebra para identificarmos determinadas construções. 1º etapa A parte inicial é a construção de um triângulo equilátero. Assim, selecione a ferramenta 3.2 (segmento definido por dois pontos) e trace um segmento qualquer (segmento a) na área de construção do software. Em seguida, é necessário traçar os outros dois lados do triângulo de mesma medida do segmento a e para isso selecione a ferramenta 6.3 (compasso). Clique no ponto A e depois no ponto B, fixando a circunferência c. Repete-se o processo, porém, invertendo a ordem dos pontos, ou seja, agora clique primeiro no ponto B e, em seguida, no ponto A. A interseção entre as circunferências c e d, será o terceiro vértice do triângulo eqüilátero, assim, utilizando a ferramenta 2.2 (interseção de dois objetos) clique na circunferência c e depois na circunferência d e teremos o ponto C. Com os pontos A, B e C podemos construir um polígono, neste caso, um triângulo equilátero. Para isso, selecione a ferramenta 5.1 (polígono) e clique nos pontos A, B, C e novamente no ponto A e teremos o polígono1. 2º etapa Essa etapa consiste em dividir, internamente, o triângulo ABC em quatro triângulos menores e remover o triângulo central. Desse modo, utilizando a ferramenta 2.3 (ponto médio ou centro), encontraremos o ponto médio dos três lados do triângulo, e clicando nos pontos A e B teremos o ponto médio E, depois em B e C teremos o ponto médio F e por último, os pontos C e A o ponto médio G. Ligando os 5

6 pontos E, F, G e novamente em E encontraremos um segundo polígono (polígono2) com auxílio da ferramenta 5.1. Figura 2: Pontos médios e poligono2 Para remover o polígono2 podemos apenas mudá-lo para a cor branca. Para isso, clique com o botão de contexto do mouse sobre o polígono2 e escolha a opção triângulo polígono2 >> propriedades. Abrirá uma janela, com várias abas para formatar o triângulo, sendo uma delas a cor e, em seguida, a aba estilo >> preenchimento, arraste a barra para 100. Também é possível formatar a cor e o preenchimento do poligono1 e diminuir o tamanho dos pontos pelo mesmo recurso. Para melhorar a visualização das construções podemos esconder alguns objetos auxiliares, como as circunferências, os rótulos dos objetos, entre outros. Utilizando a ferramenta 11.4 (exibir/ esconder objeto) e selecionando as circunferências e o ponto D e em seguida clicando na ferramenta 1.1 (mover) escondemos estes objetos e, ainda, com auxílio da ferramenta 11.5 (exibir/ esconder rótulo) e clicando nos pontos A, B, C, nos segmentos a, c 1, a 1, b, e, f, g, escondemos os rótulos desses objetos. Figura 3: Janela de formatação dos objetos 6

7 Assim, terminamos a construção do nível 1 do fractal Triângulo de Sierpinski. Para construir o nível 2 repetem-se as etapas 1 e 2 para os três triângulos restantes e assim, sucessivamente. Figura 4: Nível 1 do Triângulo de Sierpinski Como mencionamos, anteriormente, o software Geogebra disponibiliza um recurso de iteratividade, ou seja, permite criar uma ferramenta que pule alguns passos e forneça diretamente o objeto final. Isso vem ao encontro de algumas características dos fractais que é a complexidade infinita, ou seja, prende-se ao fato de o processo gerador dos fractais serem recursivo, tendo um número infinito de iterações. Desse modo ao criarmos esta ferramenta, ela permitirá realizar iterações no fractal. Esta ferramenta consiste na entrada e saída de objetos, ou seja, deveremos selecionar alguns objetos de entrada que são fundamentais para a construção do fractal e também selecionar os objetos de saída (objetos finais). Desse modo, ao utilizar esta nova ferramenta precisaremos apenas clicar nos objetos iniciais na figura e o próprio software se encarregará de realizar os passos seguintes e fornecer o objeto final. Para criar esta nova ferramenta, clicamos em Ferramentas >> Criar uma nova ferramenta. Assim, se abrirá uma janela a qual pedirá os objetos iniciais, objetos finais e posteriormente um nome para esta ferramenta. Os objetos iniciais do fractal seriam os pontos A, B e C que formam o triângulo eqüilátero. A iteração se completa quando se forma o polígono2 que dá a ideia da retirada de triângulos da figura. Assim, o objeto final seria o polígono2, porém, é necessário utilizar os pontos médios, já que eles formam os vértices dos triângulos internos, para clicar nos objetos iniciais das outras iterações. Logo, os objetos iniciais são os pontos A, B e C, nessa ordem, e os objetos finais são os pontos médios E, F, G e o polígono2. 7

8 Figura 5: Objetos iniciais e finais Em seguida, clica-se na aba Nome & ícone, escolha um nome qualquer para esta nova ferramenta e será criado um ícone na barra de ferramentas do Geogebra. Figura 6: Ícone da ferramenta de iteratividade Observe que abaixo do nome da nova ferramenta (sierpinski) está escrito ponto, ponto, ponto, isto significa que para utilizar esta ferramenta é necessário clicar em três pontos, os objetos de entrada, que seriam os vértices dos triângulos que vão restando. Porém, é importante ressaltar que para clicar nos pontos é necessário obedecer à mesma ordem em que foram inseridos na janela de criação da nova ferramenta, neste caso, os vértices da base e em seguida o vértice superior. Na figura 7, abaixo, podemos observar a nova ferramenta (sierpinski) sendo utilizada para fazer iterações nos triângulos que restaram do nível 1. Figura 7: Utilização da ferramenta de iteratividade 8

9 Como já foi dito, é possível trocar a cor do fractal, diminuir o tamanho dos pontos e definir a espessura dos segmentos utilizando o botão de contexto do mouse sobre os objetos. As figuras 8 e 9 mostram vários níveis do Triângulo de Sierpinski com auxílio do cilindro de rolamento do mouse posicionando o cursor na região da figura em que se pretende ampliar ou reduzir, após ter sido efetuado diversas iterações por meio da ferramenta de iteratividade. Este recurso proporciona a observação de outra propriedade dos fractais, a auto-semelhança: é a simetria através das escalas. A variação de cores (preto/verde) nas ampliações ocorre pelo fato que não foram retirados os pontos, apenas reduzido o seu tamanho gráfico, além de permitir uma interatividade com o fractal podendo entrar em seu interior. Figura 8: Níveis de ampliação do Triângulo de Sierpinski no Geogebra Figura 9: Ampliação no centro da região vermelha Por meio desta atividade percebe-se que é possível trabalhar algumas características fractais do Triângulo de Sierpinski, como estrutura fina (detalhamento infinito); auto-similaridade estrita (réplicas menores através da sua divisão); simplicidade na lei de formação; processo de construção é repetitivo. Além disso, após a construção geométrica é possível fazer uma análise algébrica do número de triângulos, comprimento do lado, perímetro (que aumenta a cada iteração) e área (que diminui a cada iteração) conforme é proposto por Palessi (2007, p. 23) na construção da tabela de propriedades do Triângulo de Sierpinski. 9

10 Tabela 1: Propriedades do Triângulo de Sierpinski Fonte: Palessi, 2007, p. 23 Considerações Finais Nessa proposta de ensino objetivou-se divulgar o ensino de Geometria Fractal com auxílio do software Geogebra para facilitar o processo de ensino/aprendizagem tanto para o professor como para o aluno que pode por meio dessa atividade aprender conceitos da Geometria Fractal e, ainda, rever conceitos da Geometria Euclidiana. Além disso, é possível trabalhar conceitos de triângulos, funções, aplicações de progressões geométricas, noções intuitivas de limites no infinito, cálculos de área, noções de perímetro de figuras complexas e com buracos e utilização de tabelas. Conforme Zullato (2002) e Constantino (2006) ao se desenvolver atividades em ambientes de geometria dinâmica, elas possibilitam ao aluno fazer descobertas, conjecturas, explorações, investigações, contribuindo para um ensino significativo, porém também ressaltam que a informática seja apenas uma das maneiras de mediar o ensino de geometria e que são necessárias reflexões sobre a prática pedagógica para superar as dificuldades de aprendizagem de geometria. 10

11 Referências ALVES, G. de S.; SOARES, A. B. Geometria Dinâmica: um estudo de seus recursos, potencialidades e limitações através do software Tabulae. In XXIII CONGRESSO DA SOCIEDADE BRASILEIRA DE COMPUTAÇÃO, Campinas. Anais... Campinas: Unicamp, p BARBOSA, R. M. Descobrindo a geometria fractal para a sala de aula. 2. ed. Belo Horizonte: Autêntica, BRASIL. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais + (PCN+) Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC, CONSTANTINO, R. O ensino da geometria no ambiente Cinderella. 155 f. Dissertação (Mestrado em Educação para a Ciência e Ensino de Matemática) Universidade Estadual de Maringá, Maringá, GRAVINA, M. A.; SANTAROSA, L. A aprendizagem da matemática em ambientes informatizados. Informática na educação: teoria & prática, Porto Alegre, v. 2, n. 1, p , maio PALLESSI, D. M. Motivação do estudo de progressões aritméticas e geométricas através da geometria fractal f. Monografia (Especialização) Universidade Federal do Paraná, Curitiba, PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação do Paraná. Diretrizes Curriculares da Educação Básica Matemática. Curitiba, SANTOS, T. S. dos. A inclusão das Geometrias não-euclidianas no currículo da Educação Básica. 138 f. Dissertação (Mestrado em Educação para a Ciência e Ensino de Matemática) Universidade Estadual de Maringá, Maringá, ZULLATO, R. B. A. Professores de Matemática que utilizam softwares de geometria dinâmica: suas características e perspectivas. 316 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Universidade Estadual Paulista, Rio Claro,