ACTIVIDADE: M.C. Escher Arte e Matemática Actividade desenvolvida pela Escola Secundária com 3º ciclo Padre António Vieira.

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1 ACTIVIDADE: M.C. Escher Arte e Matemática Actividade desenvolvida pela Escola Secundária com 3º ciclo Padre António Vieira. ENQUADRAMENTO CURRICULAR: Alunos do Secundário (11º ano) Conteúdos Específicos: O conceito de infinito Soma dos termos de uma progressão geométrica A capacidade de visualização A perspectiva DESCRIÇÃO: A actividade começa com a visita à Exposição M.C. Escher Arte e Matemática, que integra o Centro de Recursos da Associação de Professores de Matemática e prossegue em sala de aula com duas fichas: Escher e o Infinito A partir da gravura Limite quadrado de Escher e da reprodução do diagrama por este usado na sua construção, é possível fazer uma primeira abordagem do conceito de infinito, bem como a determinação intuitiva da soma dos termos de uma progressão geométrica. Os mundos impossíveis de Escher A partir da observação atenta e guiada de dois mundos impossíveis de Escher: a gravura Belveder e o Cubo impossível é possível chegar à identificação das impossibilidades subjacentes. MATERIAIS: Fichas de Trabalho; Uma fotocópia por grupo da gravura Limite quadrado e outra da gravura Belveder ; Uma folha de acetato, uma caneta de acetato e uma régua, por grupo. SUGESTÕES: Quanto à visita à Exposição M.C. Escher Arte e Matemática : Pode ser dado um tempo inicial para saborear a multiplicidade de imagens, a maior parte das quais pouco convencionais, assim como para manipular à vontade os Mundos impossíveis tais como: o Tribar, o Cubo impossível, Em seguida pode ser feito um acompanhamento da descoberta do modo como Escher joga com a perspectiva; Por último pode ser dado um tempo para explorar o software que integra a Exposição.

2 Quanto ao trabalho desenvolvido em sala de aula: Poderá ser feito em grupos de 4 e ocupar um tempo de 45 minutos; Poderá anteceder o estudo do tema Sucessões já que embora tenha por objectivo uma primeira abordagem do conceito de infinito, bem como a determinação da soma dos termos de uma progressão geométrica, tudo poderá ser feito de um modo muito intuitivo e retomado mais tarde a quando da formalização.

3 FICHA DE TRABALHO 1 Nome: Data: Escher e o Infinito Não podemos imaginar que algures por detrás da estrela mais longínqua do céu nocturno, o espaço possa ter um fim, um limite para além do qual nada mais existe. O conceito de vácuo diz-nos ainda alguma coisa, pois um espaço pode estar vazio, de qualquer maneira na nossa fantasia, mas a nossa força de imaginação é incapaz de apreender o conceito de nada no sentido de ausência de espaço. Escher, 1959 São várias as gravuras em que Escher tenta a aproximação ao infinito, Limite quadrado é uma delas. Foi o próprio Escher quem deu a conhecer o diagrama em que se baseia a referida gravura. 1. Pega na gravura Limite quadrado e identifica nela o referido esquema. Para isso: Coloca sobre a gravura uma folha de acetato. Identifica nela o centro da gravura e desenha o quadrado central (quadrado de 1ª geração). Em seguida identifica os quadrados de 2ª geração e 3ª geração. Por último divide os quadrados traçados em triângulos rectângulos de acordo com o diagrama acima.

4 2. Olha agora atentamente o diagrama colocado sobre a gravura. O que há de comum no preenchimento de todos os triângulos rectângulos traçados? E o que há de diferente? De que maneira te parece a gravura representa o infinito? Lembras-te de mais alguma gravura que ilustre tal representação? Porque razão Escher terá usado três cores, e não apenas duas, nesta gravura? Repara que tens três tipos de vértices. Identifica os elementos que convergem em cada um deles e pensa no menor número de cores que os permite distinguir. 3. Como podes confirmar a gravura é um quadrado de lado aproximadamente igual ao triplo do quadrado central. Queres ver o que a partir daí poderás deduzir? Considera o lado do quadrado central (quadrado de 1ª geração) igual a 1. Qual o lado dos quadrados de 2ª geração? E 3ª? E 4ª? E 5ª?... E de ordem n? Como a partir daqueles obténs o lado da gravura? Então o que podes concluir? Surpreendido? Irás ainda este ano verificar que assim é.

5 Limite quadrado, xilogravura, 1964

6 FICHA DE TRABALHO 2 Nome: Data: Os mundos impossíveis de Escher Talvez a parte mais conhecida da obra de Escher, seja a construção de figuras impossíveis. Trata-se de estruturas que se sugerem tridimensionais, mas que não podem efectivamente ser construídas nessa dimensão. Estas provocam no observador uma tensão perceptiva intensa, uma vez que o recurso a temas realistas e a mestria técnica, esconde a não plausibilidade das concepções sugeridas e apela a um pensamento multidimensional. Esse é realmente o mérito de Escher, ao misturar o impossível com a realidade: enquadra as figuras impossíveis num cenário harmonioso que se afirma real à vista do observador. São várias as gravuras que ilustram esta faceta da sua obra, Belveder é uma delas. Inicialmente denominada por Escher com Casa-fantasma, apresenta uma estrutura arquitectónica incoerente que resulta da ligação impossível entre o piso superior e o piso inferior. 1. Olha atentamente a gravura e procura descobrir onde reside a impossibilidade de tal ligação. 2. Com a tua mão tapa a metade inferior da gravura e olha cuidadosamente a metade superior. Que te parece, alguma anormalidade? Tapa agora a metade superior e observa a inferior. Tudo normal? 3. Olha novamente os pilares que ligam os dois pisos e toma mais uma vez consciência onde reside a impossibilidade. Algum pilar normal? E nos restantes onde existe a anormalidade? Lembras-te de mais alguma construção impossível de Escher? O rapaz que está sentado no banco, também descobriu uma construção impossível que liga duas metades perfeitamente normais, num modelo bastante simplificado que segura nas mãos.

7 É igual à estrutura de um cubo, mas o lado superior é ligado ao inferior, de uma forma impossível. Talvez seja mesmo impossível segurar na mão um cubo assim simplesmente porque não pode existir no espaço uma tal construção. Curiosamente, a solução surgiu descrita numa folha de papel pousada à sua frente. Queres procurar a solução para o enigma? 4. Olha atentamente um cubo e vê se és capaz de nele encontrar duas realidades diferentes: uma delas consegue-la aceitando que os pontos 1 e 4 estão perto de nós e os pontos 2 e 3 mais longe, na outra 2 e 3 estão mais perto e 1 e 4 mais longe. 5. No entanto também é possível ver 2 e 4 à frente e 1 e 3 atrás. Todavia, isto vai contra a nossa imaginação de um cubo e por esta razão não chegamos por nós a esta interpretação. Se dermos volume às arestas do cubo, podemos obrigar o observador a esta interpretação deixando correr a aresta A-2 antes da aresta 1-4 e C-4 antes de 3-2. Olha novamente o cubóide que o rapaz segura nas mãos e vê que coincide com este. É esta a interpretação o fundamento para Belveder.

8 Belveder, litografia, 1958