Chama-se poliedro a uma figura geométrica, a três dimensões, cujas faces são polígonos. Um poliedro regular é aquele em que as faces são polígonos

Transcrição

1 Ana Salgado

2 INTRODUÇÃO Acedendo ao site The Geometry Junkyard, encontrei o link All the junk in one big pile onde escolhi o tema Poly. Poly, é um programa para explorar várias classes de poliedros, incluindo sólidos platónicos, sólidos de Arquimedes entre outros. O objectivo deste trabalho é apresentar uma ficha e trabalho sobre sólidos platónicos que pode ser discutida nas aulas do 10ano.

3 a Chama-se poliedro a uma figura geométrica, a três dimensões, cujas faces são polígonos. Um poliedro regular é aquele em que as faces são polígonos regulares todos iguais e em cada vértice se intersecta o mesmo número de arestas. Para Platão, o Universo era formado por um corpo e uma ama ou inteligência. Na matemática havia porções limitadas por triângulos ou quadrados, formando-se elementos que diferem entre si pela natureza da forma das suas superfícies periféricas. Se forem quadradas, temos o cubo, o elemento Terra. Se forem triângulos, formando um tetraedro, o elemento Fogo, cuja natureza está simbolizada na agudeza dos seus vértices. O ar é formado de octaedros e a água, de icosaedros. Platão admitia que por intervenção inteligente, uns se transformavam nos outros, á excepção da Terra, que se transformava em si própria. O dodecaedro, cheio de harmonia, simbolizava o próprio Universo. Embora chamados Platónicos, Proclus atribui a construção destes poliedros a Pitágoras, supondo-se que é a ele que se deve o teorema que diz que há cinco poliedros regulares.

4 Poliedros de faces triangulares regulares Vamos investigar quantos poliedros existem cujas faces sejam triângulos equiláteros, começando por analisar os diferentes tipos de vértices possíveis, ou seja, o número de faces que podem concorrer em cada vértice. Vértices onde concorrem 3 faces Necessitamos de três triângulos equiláteros para obtermos um vértice do poliedro. Como a amplitude de cada ângulo interno de um triângulo equilátero é 60º temos: 3 x 60º= 180º. A soma dos ângulos agudos com vértice em V é 180º. Unindo [VA] com [VB], obtemos o vértice V de um poliedro. Para fechar e obter um poliedro regular, precisamos de outro triângulo equilátero igual aos anteriores. Tetraedro poliedro formado por 4 triângulos equiláteros. Tem 4 faces. Para descobrir o número de arestas, pensamos que, como cada face tem 3 vértices, seriam 12 vértices (4 x 3), mas como cada vértice é comum a 3 faces, o tetraedro tem, afinal, 4 vértices (12 : 3). Por outro lado, cada face é limitada por 3 arestas portanto, seriam 12 arestas (4 x 3), mas cada aresta é comum a 2 faces; logo as arestas são, então, 6 (12 : 2). De seguida irei fazer registos mais sintéticos, usando esta estratégia.

5 Vértices onde concorrem 4 faces Se juntarmos 4 triângulos equiláteros, como mostra a figura: 4 x 60º = 240º. A soma dos quatro ângulos agudos com vértice V é 240º. Unindo [VA] com [VB], obtemos o vértice V de um poliedro. Para fechar, precisamos de mais 4 triângulos iguais aos anteriores. Octaedro é formado por 8 triângulos equiláteros. Número de faces: 8 Número de vértices: 6 Número de arestas: 12 Vértices onde concorrem 5 faces Se juntarmos 5 triângulos equiláteros, como mostra a figura: 5 x 60º = 300º. A soma dos quatro ângulos agudos com vértice V é 300º. Unindo [VA] com [VB], obtemos o vértice V de um poliedro. Para fechar, precisamos de mais 5 triângulos iguais aos anteriores. Icosaedro é formado por 20 triângulos equiláteros. Número de faces: 20 Número de vértices: 12 Número de arestas: 30

6 Vértices onde concorrem 6 faces Se juntarmos 6 triângulos equiláteros, como mostra a figura: 6 x 60º = 360º. A soma dos quatro ângulos agudos com vértice V é 360º. Obtemos uma figura plana. V não é vértice de um poliedro. A construção do poliedro com 6 faces triangulares a concorrerem num vértice não é possível. Assim, com triângulos equiláteros podem formar-se 3 tipos de vértices; conforme neles concorram 3, 4 ou 5 faces. A cada tipo de vértice corresponde um poliedro regular: respectivamente, o tetraedro, o octaedro e o icosaedro.

7 Poliedros de faces quadradas Vértices onde concorrem 3 faces Se juntarmos 3 quadrados, como mostra a figura: 3 x 90º = 270º. A soma dos três ângulos com vértice V é 270º. Unindo [VA] com [VB], obtemos o vértice V de um poliedro. Para fechar, precisamos de mais 3 quadrados obtendo, assim, um poliedro regular de 6 faces. Cubo é formado por 6 quadrados. Número de faces: 6 Número de vértices: 8 Número de arestas: 12 Vértices onde concorrem 4 faces Se juntarmos 4 quadrados, como mostra a figura: 4 x 90º = 360º. A soma dos ângulos é 360º. Unindo [VA] com [VB], obtemos o vértice V de um poliedro. Para fechar, precisamos de mais 3 quadrados obtendo, assim, um poliedro regular de 6 faces.

8 Cubo é formado por 6 quadrados. Número de faces: 6 Número de vértices: 8 Número de arestas: 12