POLIEDROS AULA I. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

Transcrição

1 POLIEDROS AULA I Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

2 POLIEDROS Vértice Face Aresta 1) Definição de POLIEDRO: É uma região do espaço delimitada por um conjunto finito de polígonos, denominado superfície desse poliedro, que satisfazem as seguintes condições.

3 Definição (continuação): i) Quaisquer dois polígonos intersectam-se em um lado ou em um vértice ou não se intersectam; Exemplos:

4 Definição (continuação): ii) Cada lado de um polígono pertence exatamente a dois polígonos; Exemplos:

5 Definição (continuação): iii) Dois polígonos com um lado em comum não são coplanares. Exemplo:

6 2) Elementos de um Poliedro: Face Aresta Vértice Obs.: Superfície é a união de todos os polígonos que delimitam o poliedro.

7 Relembrando... Obs.: Um plano divide o espaço em dois semiespaços de mesma origem.

8 3) Convexidade de um Poliedro: Se cada plano que contém uma face de um poliedro posiciona as demais faces em um mesmo semiespaço, então o poliedro é convexo; caso contrário, é não convexo.

9 Exemplos: Poliedros Convexos Poliedros Não Convexos

10 4) Algumas relações para o cálculo do número de arestas: Denotaremos: V como o número de vértices; F como o número de faces; A como o Número de Arestas; F n como o número de faces com n lados; V n como o número de vértices nos quais concorrem n arestas.

11 5) Relação de Euler: V + F A = 2 número de vértices número de faces número de arestas Obs.: Todo Poliedro Convexo satisfaz a Relação de Euler, mas nem sempre um poliedro que satisfaz a Relação de Euler é convexo.

12 Exercícios Fundamentais EF 1.1)Obter o número de arestas de um poliedro convexo que tem 6 faces e 8 vértices. EF 1.2) Quantos vértices tem um poliedro convexo com 4 faces triangulares e 5 faces quadradas? EF 1.3) Um poliedro euleriano de 7 vértices tem 5 vértices nos quais concorrem 4 arestas e, 2 vértices nos quais concorrem 5 arestas. Quantas arestas e quantas faces tem esse poliedro?

13 Exemplos: Convexo Euleriano Não Convexo Euleriano V = 6; F = 5; A = 9. V = 24; F = 14; A = 36.

14 Observações importantes: Se um poliedro tem em suas faces dois ou mais tipos distintos de polígonos, digamos que TIPO 1 TIPO 2 n de polígonos: F n1 n de polígonos: F n2 n de lados em cada: x n de lados em cada: y Então o número A de arestas será dado por A = F n1. x + F n2. y 2

15 Observações importantes: Se um poliedro concorrem, em seus vértices, duas ou mais quantidades distintas de arestas, digamos que TIPO 1 TIPO 2 n de vértices: V n1 n de vértices:v n2 n de arestas em cada: x n de arestas em cada: y Então o número A de arestas será dado por A = V n1. x + V n2. y 2

16 6) Nomenclatura: Poli edro Várias Faces Número de Faces Nome do Poliedro 4 Tetraedro 5 Pentaedro 6 Hexaedro 7 Heptaedro 8 Octaedro 10 Decaedro 12 Dodecaedro 20 Icosaedro

17 TAREFA PSA: 6 a 12

18 POLIEDROS AULA II Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

19 7) Soma das medidas dos ângulos internos das faces de um poliedro convexo: S = ( V 2 ) 360º

20 Exercícios Fundamentais EF 2.1) A soma das medidas dos ângulos internos das faces de um poliedro convexo é igual a Admitindo-se que esse poliedro tenha apenas ângulos tetraédricos, determine o número de vértices, o número de arestas e o número de faces desse poliedro.

21 Obs.: A diagonal de um poliedro convexo é um segmento de reta não contido na superfície desse poliedro e com extremidades em dois de seus vértices.

22 8) Poliedros de Platão: Um poliedro de Platão é caracterizado pelas seguintes propriedades: i) É um poliedro euleriano; ii) Em cada vértice concorre o mesmo número de arestas; iii) Todas as faces tem o mesmo número de lados. A seguir, as cinco classes de Poliedros de Platão.

23 Classe Característica Exemplo Tetraedro 4 faces triangulares; 6 arestas; 4 vértices. Hexaedro 6 faces quadrangulares; 12 arestas; 8 vértices. Octaedro 8 faces triangulares; 12 arestas; 6 vértices.

24 Classe Característica Exemplo Dodecaedro 12 faces pentagonais; 30 arestas; 20 vértices. Icosaedro 20 faces triangulares; 30 arestas; 12 vértices.

25 9) Poliedro Regular: Um poliedro Regular é caracterizado pelas seguintes propriedades: i) É um poliedro de Platão; ii) Suas faces são polígonos regulares. A seguir, os cinco Poliedros Regulares.

26 Tetraedro Regular Hexaedro Regular (cubo) Octaedro Regular Dodecaedro Regular Icosaedro Regular

27 Exercícios Fundamentais EF 2.2) Considere um icosaedro regular, em que uma de suas arestas tem medida igual a 15 cm. Determine: a) A soma das medidas de suas arestas; b) A área de sua superfície; c) A soma das medidas dos ângulos das faces.

28 TAREFA PSA: 19, 20, 22, 23 e 24