Roberto Batista Conrado Valdemar Winkler INTRODUÇÃO

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1 1 CONSTRUINDO UM CUBO TRUNCADO COM MATERIAL RECICLÁVEL MÓDULO DE PESQUISA: DE QUE MODO A GEOMETRIA ESTÁ PRESENTE NO NOSSO DIA-A-DIA? UNIDADE DE APRENDIZAGEM: A GEOMETRIA DO DIA-A-DIA: DO ESPAÇO AO PLANO Roberto Batista Conrado beto_conrado@outlook.com Valdemar Winkler vwinkler.cesuca@gmail.com INTRODUÇÃO No projeto seguinte trabalhamos de acordo com os conteúdos estudados na disciplina de geometria I, onde pudemos conhecer os sólidos Arquimedianos e Platônicos. O nosso trabalho constituiu-se na construção de um utensílio doméstico, este o qual descreveremos todas as etapas no decorrer deste trabalho. O cubo truncado foi escolhido devido à necessidade que temos de guardar certos tipos de alimentos, além de reciclar matérias que é uma tarefa importante para nos cidadãos. 1. PESQUISANDO O CONTEÚDO Segundo Pereira (011) os sólidos Platônicos são poliedros convexos onde todas as suas faces são polígonos congruentes, ou seja, suas faces são formadas pelo mesmo tipo de polígono. O mesmo número de arestas é encontrado em todos os vértices dos sólidos Platônicos. Existem apenas cinco sólidos e são eles: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Já os sólidos arquimedianos conforme Almeida, Silva e Salazar (011) consistem em treze poliedros convexos, cujas faces são polígonos regulares de mais de um tipo e são eles: tetraedro truncado; cuboctaedro; cubo truncado; octaedro truncado; rombicuboctaedro; cuboctaedro truncado; icosidodecaedro; 1

2 dodecaedro truncado; icosaedro truncado; rombicosidodecaedro; icosidodecaedro truncadocubo snub; icosidodecaedro snub. Todos os vértices dos sólidos arquimedianos são congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice, este que pode ser transformado em outro por uma simetria de poliedros. Durante a pesquisa, buscamos compreender um pouco mais os sólidos arquimedianos, e muitos nos chamaram atenção, contudo o cubo truncado foi escolhido para que possa servir de utensílio domestico. Perpetrando um adendo, os polígonos regulares possuem os lados e os ângulos iguais. São figuras planas que compõem as faces dos sólidos Arquimedianos ( estes, mais de um tipo de polígono regular), e Platônicos que possuem o mesmo tipo de polígono regular. Podemos ver na figura 1 exemplos de polígonos regulares: Figura 1: Polígonos regulares Fonte: ATIVIDADE Buscamos na internet a corporatura planificada do cubo truncado, como podemos observar na figura :

3 Figura : planificação do cubo truncado Fonte: Através de uma visão mais apurada podemos observar que o cubo truncado pode ser obtido através do truncamento dos vértices de um cubo. O procedimento resulta em 6 faces octogonais regulares, 8 faces triangulares regulares 4 vértices e 6 arestas. Para que as faces octogonais regulares do arquimediano cubo truncado sejam obtidas a partir das faces quadradas do poliedro de partida cubo, precisamos encontrar a distância entre o vértice e o ponto da aresta do cubo em que deve ser efetuada a truncatura. (ALMEIDA, 010, p.1) Após a compreensão de como se origina o cubo truncado, imprimimos a figura em uma folha A4 e a recortamos. Demos então inicio a construção do sólido geométrico.. REAPROVEITANDO MATÉRIAS As faces do cubo trucado são compostas por 8 triângulos e 6 octógonos, para que o quadrado de cada face torne-se um octógono regular, é preciso fazer os cortes segundo mostra a figura. Para calcularmos o ponto correto a ser cortado do quadrado mostrado na figura, para que este se transforme num octógono regular, temos o seguinte raciocínio:

4 4 No triângulo ABC, podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular a: b + b = a b = a Logo podemos também calcular b: x = b + b + a a = b a = b (I) b = x a b = x a (II) Substituindo a na equação (II) temos: b = x (b ) b = x - b b + b = x b + 1,41b = x,41b = x b x,41 Figura : octógono regular inscrito no quadrado de lado X Fonte: Concluímos que os catetos dos triângulos formados pelo corte no quadrado podem ser obtidos dividindo o lado do quadrado por,41 aproximadamente, afim de que a distancia entre os vértices dos triângulos é igual ao lado do octógono formado. Dando continuidade a montagem do sólido, reaproveitamos a parte traseira de um roupeiro desmontado, este que estava sem utilidade, para transpor a figura planificada em madeira. Prontamente, como podemos ver na imagem 4, riscamos com uma caneta o desenho das figuras planificadas na madeira reutilizada: 4

5 5 8 cm Imagem 4: planificação das partes do sólido em madeira Fonte: elaborada pelo autor Depois de feitas as demarcações, iniciamos os cortes com uma serra elétrica demonstrados na imagem 5: Imagem 5: cortando as planificações em madeira Fonte: elaborada pelo autor Ultimados os cortes necessários, repetimos o procedimento em caixas de leite, pois estas possuem a parte interna revestida por alumínio o que torna a parte adentra do sólido fácil de ser higienizada, de modo que seja possível armazenar dentro do utensílio alimentos embalados como bolachas, balas, chocolates, etc. 5

6 6 Agrupamos os materiais reaproveitados, colamos as partes usando um adesivo de contato e deixamos secar por algumas horas. O processo encontrase registrado na imagem 6: Parte da caixa de leite Imagem 6: partes sólido sendo unificadas Fonte: elaborada pelo autor Após este processo montamos o sólido demonstrado na imagem 7 e demos início à pintura externa. Imagem 7: cubo truncado pronto para receber a pintura Fonte: elaborada pelo autor 6

7 7 4. ATIVIDADES QUE PODEM SER TRABALHADAS EM SALA DE AULA COM O SÒLIDO CONSTRUIDO A geometria quase sempre está presente em nosso cotidiano e muitas vezes, não damos conta de o quão bela suas formas podem ser, ainda mais quando você mesmo as constrói. Na imagem 8 podemos ver variadas formas geométricas, com isso podemos iniciar uma atividade com os alunos fazendo com que, em primeiro lugar identifiquem as figuras que compõem o cubo truncado, em segundo podemos entrar com os conceitos de perímetro e área, por terceiro introduzimos os cálculos de volumes, do cubo e da pirâmide: Octógono Triângulo Circulo Imagem 8:sólido concluído com as figuras plaanas compõem suas faces Fonte: elaborado pelo autor Vamos agora calcular o volume do sólido construído (lembrando que podemos fazer esta atividade junto com os alunos). Sabemos que o cubo truncado, segundo Almeida, Silva e Salazar (011), possui seis faces octogonais e oito faces triangulares, que se originaram do truncamento de um cubo. Para calcularmos o volume do cubo 7

8 8 precisamos obter a área da base do cubo e multiplicarmos pela altura (Giovanni; Bonjorno; Giovanni Jr, 00, p.449), como podemos ver na figura 9: a = b 8 = b b = 8. b = 8 V = S b. h b = 4 b 5,65 cm h = X = GH = b X 5,65 = h h = 5,65.,41,41,41 h 19,6 cm S b = AB. BG S b = 19,6. 19,6 S b 70,94 cm V = 70,94. 19,6 V c = 7.144, cm Figura 9: calculo do volume do cubo Fonte: Agora basta calcularmos o volume das oito pirâmides triangulares resultantes do truncamento do cubo truncado como podemos ver na figura 10 e subtrairmos pelo volume do cubo. A aresta do triangulo resultante da truncadura feita no cubo resulta em arestas de valo a=b: b = 5,65 cm aresta = 5,65 cm L = 8 cm Figura 10: truncaduras feitas nos vértices do cubo Fonte: tml 8

9 9 Sabemos que a base da pirâmide é composta por um triângulo equilátero com isso calculamos a área da base demonstrada na figura 11: S b = l.h h + l = l h + (4) = 8 h + 16 = 64 h = h = 48 h = 4 S b = l.h S b = 8. 4 S b = 16 cm Figura 11: calculo da área da base da pirâmide triangular Fonte: Agora precisamos calcular a altura da pirâmide. Segundo as pesquisas feitas em: compreendemos que o triângulo da base é equilátero então podemos circunscrever um circulo de raio r ao triangulo. Então Compreendemos que o raio da circunferência circunscrita ao triângulo é igual a duas vezes o apótema do triangulo inscrito, então usamos o teorema de Pitágoras para calcular o raio como podemos ver na figura 1: r =.a a + ( l ) = r a + ( l ) = (a) a + l = 4a l = 4a a 4 4 l 4 = a l = 4.a l = 4. a l = a a = l. a = l 6 l = 8 a = 8 6 a = 4 4 r =.a r =. r = 8 Figura 1: triângulo equilátero inscrito na circunferência de raio r Fonte: 9

10 10 Agora com a medida do raio e da aresta da pirâmide, podemos calcular sua altura, vejamos os cálculos na figura1: Haltura =? aresta = 5,65 cm raio = 8 aresta raio h + r = a h + ( 8 ) = (5,65) h = 1,9 9 h + 64 = 1,9 h + 1, = 1,9 h = 1,9-1, h = H,5 cm Figura 1: calculo da altura da pirâmide triangular Fonte: Podemos então calcular o volume das oito pirâmides: S b = 16 cm H,5 cm V p = S b. H V p = 16.,5 V p = 7,71.,5 V p = 90,05 V p 0,01 cm. 8 Volume das oito pirâmides 40,15 cm Por fim podemos calcular então o volume do cubo truncado é preciso subtrair o volume do cubo original pelo volume das oito pirâmides resultantes das suas truncaduras como podemos ver no diagrama 14: Volume do cubo original= 7.144, cm Volume das oito pirâmides = 40,15 cm Volume do cubo truncado = V c V 8p V ct = 7.144, - 40,15 V ct 6.904,15 cm Diagrama 14: calculo do volume do cubo truncado Fonte: elaborada pelo autor 10

11 11 Os alunos podem arquitetar o cubo truncado, pois a construção do conhecimento torna o conteúdo a ser estudado mais interessante, pois os alunos gostam de desafios. 5. REFERENCIAS ALMEIDA, Talita Carvalho Silva de; Maria Jose Ferreira da; SALAZAR, Jesus Victoria Flores. Os sólidos arquimedianos em ambiente de Geometria Dinâmica,011. Disponível em: < Acesso em 7/11/14 GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI, José Ruy. Matemática completa: ensino médio:volume único- São Paulo: FTD,00. ALMEIDA, Talita Carvalho Silva De. Sólidos Arquimedianos e Cabri d: Um Estudo De Truncaturas Baseadas No Renascimento- São Paulo; contexto 010. Disponível em: /Publico/Talita%0Carvalho%0Silva%0de%0Almeida.pdf. Acesso em 6/11/14 acesso em de novembro de acesso em de novembro de