ACTIVIDADE: As Sucessões e os Fractais Actividade desenvolvida pela Escola Secundária com 3º ciclo Padre António Vieira.

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1 ACTIVIDADE: As Sucessões e os Fractais Actividade desenvolvida pela Escola Secundária com 3º ciclo Padre António Vieira. ENQUADRAMENTO CURRICULAR: Alunos do Secundário (11º ano) Conteúdos Específicos: Convergência de uma sucessão Soma dos termos de uma progressão geométrica Figuras autosemelhantes Dimensão de autosemelhança / Dimensão topológica Noção de fractal Princípio de indução matemática DESCRIÇÃO: A actividade começa com o Jogo do Caos. Um triângulo desenhado numa folha de papel, uma caneta e um dado, depois de apresentadas as regras do jogo, são postos a circular rotativamente entre todos os alunos, de modo que diariamente um deles contribua com um conjunto de pontos para a visualização do Tapete de Sierpinski. Neste momento é logo posta a questão Alguma previsão quanto à figura desenhada ao fim de muitos, muitos, passos? Passado algum tempo o trabalho prossegue em sala de aula com 7 fichas: O Tapete de Sierpinski aparece pela primeira vez o Tapete de Sierpinski e é usado para motivar o estudo da convergência de uma sucessão. Resolvida esta ficha é pedido o Jogo do Caos e posta novamente a questão Alguma previsão quanto à figura desenhada ao fim de muitos, muitos, passos? A Curva de Koch aparece pela primeira vez a curva de Koch e é usada para motivar o estudo da soma de todos os termos de uma progressão geométrica; Figuras autosemelhantes são explorados o Tapete de Sierpinski e a Curva de Koch como figuras autosemelhantes, mais, como figuras estritamente autosemelhantes e os alunos são direccionados para encontrar em cada uma das figuras uma relação constante entre o factor de redução e o número de cópias em que a figura se decompõe; Dimensão de autosemelhança e dimensão topológica é retomada a relação constante encontrada na ficha Figuras autosemelhantes e dado-lhe o nome de dimensão de autosemelhança.

2 Geometria fractal são reunidas as características principais já encontradas no Tapete de Sierpinski e na Curva de Koch, e introduzido pela primeira vez o termo Fractal. É feita uma breve referência ao nascimento dos fractais e às preocupações matemáticas que a eles conduziram; Um fractal tridimensional é feita a construção de um fractal tridimensional (o que está no Pavilhão do Conhecimento ligado às Torres de Hanoi) com papel e dobragens; Fractais com Sketchpad é feita a construção da Curva de Koch e do Tapete de Sierpinski com recurso ao Sketchpad. Para além do trabalho desenvolvido em sala de aula, pressupõe uma visita à Exposição Matemática Viva do Pavilhão do Conhecimento. MATERIAIS: Fichas de Trabalho; Papel, tesoura e cola; Software de Geometria Dinâmica Geometer s Sketchpad; Enciclopédia web; Módulos que integram a Exposição Matemática Viva: Atractor de Sierpinski, Torres de Hanoi, Modelo fractal e Pilha de esferas. SUGESTÕES: Quanto ao trabalho desenvolvido em sala de aula: Poderá ser feito a pares e ocupar 4 blocos de 90 minutos; Para obviar às limitações habituais de tempo e equipamento informático o uso do Sketchpad pode limitar-se à exploração de sketches e scripts previamente construídos. Quanto à visita à Exposição Matemática Viva: Poderá ser feita com vantagem após o lançamento do Jogo do Caos e a resolução das Fichas: O Tapete de Sierpinski e A Curva de Kock, o que permitirá por um lado ter os alunos despertos para a temática e por outro contactar com novos modelos fractais; Poderá ser canalizada com vantagem para os módulos intimamente relacionados com as sucessões e os fractais, bastando para isso a construção de um pequeno guião; Poderá ser usado o cib@rcafé para consultar uma enciclopédia web com vista a obter informação complementar sobre fractais e enriquecer o álbum de imagens visualizadas.

3 FICHA DE TRABALHO 1 Nome: Data: O Tapete de Sierpinsky No princípio do séc. XX o matemático polaco Waclaw Sierpinski estudou uma figura geométrica que ficou conhecida por Tapete de Sierpinski. A sua construção baseia-se no seguinte processo recursivo: A figura de partida é um triângulo. Embora não seja necessário que seja equilátero, vamos trabalhar sobre essa versão e chamar-lhe o tapete inicial ; A primeira transformação consiste na abertura de um buraco triangular nesse tapete que é definido pelos pontos médios dos lados do triângulo inicial; Na segunda transformação repetir-se-á o processo de construção sobre cada um dos três triângulos intactos do tapete. E para as figuras seguintes o processo repete-se. Obtém-se assim a seguinte sequência de figuras: Geração zero Geração 1 Geração 2 Geração 3 Geração 4

4 Imagina agora o processo repetido indefinidamente, a figura limite obtida é que é o Tapete de Sierpinski. És capaz de identificar pontos que façam certamente parte do Tapete de Sierpinski? Certamente identificaste os lados do triângulo inicial assim como os lados dos triângulos que vão sendo criados. Tomando para unidade a área do triângulo inicial, para quanto te parece tender a área do tapete (a branco) e a área esburacada (a preto)? Para testares as tuas conjecturas: 1. Olha as quatro primeiras transformações representadas e calcula os quatro primeiros termos das sucessões (Bn) (sucessão das áreas preenchidas por triângulos brancos) e (Pn) (sucessão das áreas preenchidas por triângulos pretos). 2. Procura os termos gerais das sucessões (Bn) e (Pn). 3. Visualiza os seus gráficos. 4. Averigua se cada uma das sucessões é: monótona; limitada. Viste que: a sucessão (Bn) é limitada inferiormente por zero e porque decrescente, à medida que n aumenta Bn vai-se aproximando cada vez mais de zero. A sucessão (Pn) é limitada superiormente por um e porque crescente, à medida que n aumenta Pn vai-se aproximando cada vez mais de um. Precisemos melhor o significado de vai-se aproximando cada vez mais. 5. a) Para isso tabela a sucessão (Pn) e procura a ordem depois da qual todos os seus termos são valores aproximados de um a menos de: 0, 1 0, 01 0, 001 b) O que te parece, se aumentares o grau de aproximação δ, continuarás a obter uma ordem depois da qual todos os termos da sucessão são valores aproximados de um a menos de δ?

5 6. a) Tabela agora a sucessão (Bn) e procura a ordem depois da qual todos os seus termos são valores aproximados de zero a menos de: 0, 1 0, 01 0, 001 b) O que te parece, se aumentares o grau de aproximação δ, continuarás a obter uma ordem depois da qual todos os termos da sucessão são valores aproximados de zero a menos de δ?

6 FICHA DE TRABALHO 2 Nome: Data: A Curva de Koch Em 1904 o matemático sueco Helge Van Koch estudou uma figura geométrica que ficou conhecida por Curva de Koch ou Curva floco de neve. A sua construção baseia-se no seguinte processo recursivo: A figura de partida é um triângulo equilátero; A primeira transformação consiste na divisão de cada um dos lados do triângulo em três segmentos iguais, construindo-se sobre cada um dos segmentos centrais um novo triângulo equilátero; Na segunda transformação repetir-se-á o processo de construção sobre cada um dos lados da figura obtida anteriormente. E para as figuras seguintes o processo repete-se. Obtém-se assim a seguinte sequência de figuras: Geração zero Geração 1 Geração 2 Geração 3 Geração 4

7 Imagina agora o processo repetido indefinidamente, a figura limite obtida é que é a Curva de Koch. Tomando para unidade de comprimento o lado do triângulo inicial determina: o comprimento da curva de Koch; a área delimitada pela curva de Koch. Para isso: a) 1. Completa o quadro seguinte: Fase N Nº total de segmentos Comprimento de cada segmento Soma dos comprimentos de todos os segmentos 2. Qual o comprimento da linha obtida na n-ésima transformação? 3. Qual o comprimento da curva de Koch? Surpreendido? b) 1. Qual a área do triângulo inicial? 2. Completa o quadro seguinte: Fase n Nº de triângulos acrescentados à figura anterior Área de cada um dos novos triângulos Área da figura

8 3. Qual a área delimitada pela curva de Koch? Surpreendido?

9 FICHA DE TRABALHO 3 Nome: Data: Figuras autosemelhantes Estudaste nos últimos tempos duas figuras geométricas com uma característica comum, a sua construção baseia-se num processo recursivo. Recorda-o: Geração zero Geração 1 Geração 2 Geração 3 Geração 4

10 Geração zero Geração 1 Geração 2 Geração 3 Geração 4 Repetindo o processo indefinidamente ficamos com as figuras limite: A. Tapete de Sierpinsky B. Curva de Koch Imagina-as A obtenção por um processo recursivo não é a única característica comum às duas figuras, vejamos outra autosemelhança. Tal como a palavra leva a inferir, numa figura autosemelhante partes da figura são semelhantes ao todo, são cópias reduzidas do todo. Tal acontece no Tapete de Sierpinsky?

11 1. Olha atentamente as cinco primeiras gerações. Na geração 4 encontras alguma cópia da geração 4? E da geração 3 / 2 / 1 / 0? Com que factor de redução? Como certamente concluíste na geração 4 não há nenhuma cópia da geração 4, logo esta geração não é autosemelhante, mas há cópias: da geração 3 com factor de redução 1/2 da geração 2 com factor de redução 1/4 da geração 1 com factor de redução 1/8 da geração 0 com factor de redução 1/16 2. Olha mais uma vez atentamente a geração 4, agora nestes dois exemplares e vê o que lhe falta para conter uma sua cópia com factor de redução 1/2. Podes encontrar isso na geração seguinte? Então tendo presente que o Tapete de Sierpinsky contém todas as gerações, o que te parece, no Tapete de Sierpinsky é possível encontrar cópias reduzidas do próprio Tapete? Com que factores de redução? Como certamente concluíste o Tapete de Sierpinsky é uma figura autosemelhante e nela podem ser encontradas cópias com factores de redução 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, O mesmo acontece à Curva de Koch?

12 3. Olha atentamente as cinco primeiras gerações fixando-te num dos lados do triângulo inicial e completa de todas as maneiras possíveis Na geração 4 aparecem cópias da geração. com factor de redução. 4. Então que conclusões podes tirar? Cada uma das gerações é autosemelhante? E a curva de Koch? Porquê? Como viste no Tapete de Sierpinsky é possível encontrar cópias com factores de redução 1/2, 1/4, 1/8,... e na Curva de Koch com factores de redução 1/3, 1/9, 1/27, Mais, quer o Tapete de Sierpinsky quer a Curva de Koch são totalmente decomponíveis em cópias com aqueles diferentes factores de redução (não esqueças que o Tapete de Sierpinsky é o que está a branco), por isso dentro das figuras autosemelhantes dizem-se estritamente autosemelhantes.

13 Repara que nem sempre uma figura autosemelhante o é estritamente, olha as cinco primeiras gerações de outra: e imagina o processo repetido indefinidamente. Na figura limite vais encontrar cópias do todo com infinitos factores de redução, logo a figura é autosemelhante, mas a figura não é totalmente decomponível em cópias com esses diferentes factores de redução, logo não é estritamente autosemelhante. 5. Conta agora o número de cópias em que o Tapete de Sierpinsky e a Curva de Koch são decomponíveis. Para isso considera a geração 4 como sendo a figura limite e completa: Tapete de Sierpinsky Curva de Koch Factor de Factor de Nº de cópias N redução r redução r Nº de cópias N 1/2 1/3 1/4 1/9 1/8 1/ (1/2) n (1/3) n 6. Verifica que, quer no Tapete de Sierpinsky quer na Curva de Koch, existe uma relação constante entre o factor de redução r e o número de cópias N em que se decompõe, um número D tal que 1 N = D r

14 7. Entre que números inteiros fica compreendido D? Porquê? Procura um seu valor aproximado às centésimas para cada uma das figuras.

15 FICHA DE TRABALHO 4 Nome: Data: Dimensão de autosemelhança e dimensão topológica Concluíste que o Tapete de Sierpinsky e a Curva de Koch são figuras estritamente autosemelhantes e que, em cada uma delas, existe uma relação constante entre o factor de redução r e o número de cópias N em que se decompõe, um número D tal que N = 1 D r sendo o seu valor aproximado às centésimas 1,58 e 1,26 respectivamente. Tal número designa-se de dimensão de autosemelhança. Façamos agora uma incursão por figuras já tuas conhecidas e para as quais já ouviste falar em dimensão: o segmento de recta, o quadrado, o cubo. Que dimensão atribuis a cada uma delas? Será que também estas são figuras estritamente autosemelhantes? Isto é, é possível decompor um segmento de recta / um quadrado / um cubo em cópias reduzidas da mesma? Certamente concluíste que sim. Então qual será a dimensão de autosemelhança de cada uma delas? Será que esta coincide com a dimensão que habitualmente lhe atribuis dimensão topológica?

16 1. Considera um segmento de recta e conta o número de cópias N com factor de redução r em que se decompõe, completando o quadro: Factor de redução r 1/2 1/3 1/4.. 1/n Nº de cópias N Então qual é o número D tal que N 1 =? D r 2. Considera em seguida um quadrado e procede analogamente: Factor de redução r 1/2 1/3 1/4.. 1/n Nº de cópias N Então qual é o número D tal que N 1 =? D r 3. Por último considera um cubo e procede analogamente: Factor de redução (r) 1/2 1/3 1/4.. 1/n Nº de cópias (N) Então qual é o número D tal que N 1 =? D r Como vês para estas três figuras a dimensão topológica coincide com a dimensão de autosemelhança. O mesmo acontecerá com o Tapete de Sierpinsky e a Curva de Koch?

17 4. Olha a Curva de Koch na figura seguinte:

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