SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO MONOFÁSICO NO PRIMEIRO ESTÁGIO DE UMA BOMBA CENTRÍFUGA DE DUPLO ESTÁGIO

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1 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CAMPUS CURITIBA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA E DE MATERIAIS - PPGEM WILLIAN SEGALA SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO MONOFÁSICO NO PRIMEIRO ESTÁGIO DE UMA BOMBA CENTRÍFUGA DE DUPLO ESTÁGIO CURITIBA MARÇO 2010

2 WILLIAN SEGALA SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO MONOFÁSICO NO PRIMEIRO ESTÁGIO DE UMA BOMBA CENTRÍFUGA DE DUPLO ESTÁGIO Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Engenharia, do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Área de Ciências Térmicas, do Departamento de Pesquisa e Pós- Graduação, do Campus de Curitiba, da UTFPR. Orientador: Prof. Rigoberto E. M. Morales, Dr. Eng. Co-Orientador: Prof. Cezar O. R. Negrão, PhD. CURITIBA MARÇO 2010

3 TERMO DE APROVAÇÃO WILLIAN SEGALA SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO MONOFÁSICO NO PRIMEIRO ESTÁGIO DE UMA BOMBA CENTRÍFUGA DE DUPLO ESTÁGIO Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do título de mestre em engenharia, área de ciências Térmicas, e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pósgraduação em Engenharia Mecânica e de Materiais. Prof. Giuseppe Pintaúde, D.Sc. Coordenador do Programa Banca Examinadora Prof. Rigoberto E. M. Morales, Dr. Eng. PPGEM/UTFPR-Orientador Prof. Antônio Carlos Bannwart, Dr. Eng. DEP/FEM/UNICAMP Valdir Estevam, Dr, Eng. E&P / PETROBRAS Admilson Teixeira Franco, Dr. Eng. PPGEM / UTFPR Curitiba, 26 de Março de 2010

4 iv AGRADECIMENTOS Agradeço em primeiro lugar a Deus, pelos desafios que Ele me proporciona e também pelas ferramentas oferecidas para a solução dos mesmos. Agradeço à Universidade Tecnológica Federal do Paraná, ao Laboratório de Ciências Térmicas (LACIT) e ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Mecânica e de Materiais (PPGEM) pela possibilidade de realização desse trabalho. Agradeço à Petrobrás e ANP pelo suporte técnico e financeiro para o desenvolvimento do tema. Agradeço aos professores Rigoberto E. M. Morales e Cezar O. R. Negrão, pela oportunidade, apoio, incentivo, troca de conhecimentos no enriquecimento do trabalho e amizade durante todo o período de convívio. Agradeço aos amigos, de maneira especial aos colegas de mestrado Hendy, Henrique, Leandro que de alguma maneira contribuíram com esse trabalho. Dedico esse trabalho à minha mãe, Lilia Segala, pelo incentivo e atenção incondicionais, à minha noiva Tatiane, pelo apoio, carinho e compreensão durante esse período, a minha irmã Debora e ao meu pai, Osias Segala (In Memoriam).

5 v SEGALA, Willian. Simulação Numérica do Escoamento Monofásico no Primeiro Estágio de uma Bomba Centrífuga de Duplo Estágio, Dissertação (Mestrado em Engenharia) - Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 104p. RESUMO Bombas centrífugas são equipamentos muito utilizados em plantas industriais. Porém, os esforços para a elaboração de curvas de desempenho confiáveis (altura de elevação e eficiência versus vazão) ainda são requisitados, principalmente quando o fluido apresenta variação de suas características, como o petróleo, por exemplo. Atualmente é comum utilizar fatores de correção para prever o comportamento de uma bomba centrífuga quando submetida a fluidos distintos do fluido padrão (água). Existem ainda controvérsias do uso desses fatores de correção, por exemplo, para condições operacionais diferentes das de projeto. Por isso a utilização de dinâmica dos fluidos computacional pode ser uma ferramenta muito útil para melhor entender o escoamento no interior de bombas centrífugas. Imaginando esse cenário, o presente trabalho apresenta resultados de uma simulação numérica do escoamento monofásico no interior do primeiro estágio de uma bomba centrífuga comercial de duplo estágio operando com água. A bomba centrífuga estudada é similar a uma bomba centrífuga radial utilizada em operações de extração de petróleo. Foram escolhidas quatro rotações para avaliação do escoamento: 1150rpm (rotação nominal), 1000rpm, 806rpm e 612 rpm. Foi utilizado um modelo de turbulência e o escoamento foi considerado em regime transiente. Os resultados numéricos obtidos foram comparados a valores experimentais, apresentando boa concordância. Palvras-chave: Bomba centrífuga, Dinâmica dos fluidos Computacional, Testes Experimentais.

6 vi SEGALA, Willian. Simulação Numérica do Escoamento Monofásico no Primeiro Estágio em uma Bomba Centrífuga de Duplo Estágio, Dissertação (Mestrado em Engenharia) - Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 104p. ABSTRACT Centrifugal pumps are among the most used equipment in industrial plants. Besides that, efforts to infer the so-called pump performance curves are still required, mainly when the pump is used to transfer fluids that have a history of properties change, as the viscosity or density and chemical composition. Nowadays, it is common to use correction factor to prevent the centrifugal pump behavior when delivering different fluids. There are controversies between the uses of theses correction factors, for example, to the pump off-design conditions. Thus, computational fluid dynamics (CFD) modeling may become a reasonable alternative to understand the flow behavior inside centrifugal pumps. Focusing on these aspects this work presents numerical results of the flow inside the first stage of a commercial double stage centrifugal pump delivering water. This pump is similar to a radial Electrical submersible pump (ESP) commonly used in oil wells. It was select four different impeller angular velocities: 1150rpm (nominal), 1000rpm, 806rpm and 612rpm. It was used a turbulence model and the flow was considered in transient regimen. The numerical results was compared to experimental data and shown good agreement. Keywords: Centrifugal pump, Computicional fluid dynamics, experimental tests.

7 vii LISTA DE FIGURAS Figura 1.1 Exemplo de ábacos fornecido por fabricantes de bombas centrífugas. (fonte: KSB Bombas)...2 Figura 1.2 Curvas de desempenho de uma bomba centrífuga convencional. O ponto sobre a curva de eficiência é denominado ponto de eficiência máxima ou ponto de projeto...2 Figura 1.3 Bomba centrífuga IMBIL ITAP /2. (b) Fotografia do primeiro estágio da bomba centrífuga estudada....4 Figura 1.4 Esquema do modelo numérico implementado no programa computacional Ansys CFX 11.0 para a simulação do escoamento no interior do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP / Figura 2.1 Desempenho de uma bomba centrífuga ao bombear fluidos de diferentes viscosidades (Li, 1999)...9 Figura 2.2 Interação entre difusor aletado e rotor, no escoamento de uma bomba centrífuga. (Feng et al. (2007))...12 Figura 2.3 Estudo da fluidodinâmica do escoamento em uma bomba centrífuga apresentado por Cheah et al. (2007). (a) Vazão na condição de projeto e (b) vazão acima da condição de projeto...13 Figura 2.4 Volume de controle e componentes de velocidades do escoamento na entrada e saída de um rotor genérico...13 Figura 2.5 Geometria e notação usadas para desenvolver diagramas de velocidade em bombas centrífugas. (a) Distribuição dos perfis de velocidade ao longo da pá do rotor e (b) os triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor...15 Figura 2.6 Componentes (tangencial e radial) da velocidade absoluta na secção de saída do rotor da bomba...17 Figura 2.7 Corte axial do rotor de uma bomba centrífuga...18 Figura 2.8 Curva característica idealizada de uma bomba centrífuga...19

8 viii Figura 2.9 Rotores estudados numericamente por Benra (2001). (a) Pás com bordo de entrada horizontal e (b) pás com bordo de entrada inclinadas em relação à entrada do rotor...20 Figura 3.1 Vários sub-domínios co-existentes em um programa comercial de simulação numérica de escoamentos envolvendo máquinas de fluxo...23 Figura 3.2 Sistema de coordenadas rotativo aplicado a uma bomba centrífuga...24 Figura 3.3 Propriedade genérica de um escoamento em regime turbulento em função do tempo, t...26 Figura 3.4 Esquema das condições de contorno impostas aos sub-domínios do primeiro estágio da bomba estudada Figura 4.1 Rotor do primeiro estágio da bomba IMBIL ITAP /2. (a) Rotor na sua forma original com coroa e (b) rotor sem a coroa superior para facilitar a visualização de partes internas Figura 4.2 Rotor real sem a tampa inferior (cubo). Rotor utilizado na determinação da curvatura das pás e confecção do modelo virtual Figura 4.3 Domínio fluido de cálculo do rotor...34 Figura 4.4 Detalhe das pás do rotor e aletas do difusor. Tanto as pás do rotor quanto as aletas do difusor não tocam a superfície de contato entre os domínios...35 Figura 4.5 Difusor do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2.36 Figura 4.6 Modelo virtual do difusor da bomba centrifuga Imbil ITAP / Figura 4.7 Domínio fluido do difusor da bomba centrífuga Imbil ITAP / Figura 4.8 Extensão do domínio à saída do difusor Figura 4.9 Tipos de malhas computacionais aplicadas em mecânica dos fluidos e transferência de calor e massa. (a) Malhas Cartesianas, (b) Malhas Cilíndrico- Polares, (c) Malhas Ajustadas ao Corpo e (d) Malha não-estruturada...40

9 ix Figura 4.10 Tipos de elementos finitos utilizados na confecção de uma malha computacional não-estruturada. (a) Tetraedro, (b) Hexaedro, (c) prisma triangular e (d) pirâmide Figura 4.11 Volume de controle de uma malha não-estruturada...41 Figura 4.12 Elemento de malha...43 Figura 4.13 Exemplo de funções de forma utilizadas em elementos tetraédricos para ponderação de valores internos...45 Figura 4.14 Fluxograma simplificado de resolução do sistema de equações do programa Ansys CFX Figura 5.1 Configuração 01 ( Radial ) de escoamento entre rotor e difusor da bomba centrífuga IMBIL, modelo ITAP / Figura 5.2 Configuração 02 ( Axial para baixo ) de escoamento entre rotor e difusor da bomba centrífuga IMBIL, modelo ITAP / Figura 5.3 Configuração 03 ( Extendido ) de escoamento entre rotor e difusor da bomba centrífuga IMBIL, modelo ITAP / Figura 5.4 Configuração 4 ( Indutor sem aletas ) de escoamento entre rotor e difusor da bomba centrífuga IMBIL, modelo ITAP / Figura 5.5 Modelo numérico da bomba centrífuga Imbil ITAP / Figura 5.6 Perfil de velocidade relativa em um dos canais da bomba centrífuga estudada. Comparativo de diferentes critérios de parada...56 Figura 5.7 Variação de pressão na direção tangencial, no raio de saída do rotor. Comparativo de diferentes critérios de parada...57 Figura 5.8 Corte transversal da malha computacional utilizada no rotor e difusor. Detalhe ampliado mostra a distribuição dos prismas ao longo das pás do rotor e aletas do difusor...58 Figura 5.9 (a) Malha no indutor. (b) Malha no tubo de entrada...59 Figura 5.10 Perfil de velocidade relativa versus direção tangencial, tomado no raio R=40,0mm e z=6,0mm (metade da largura do canal do rotor)...60

10 x Figura 5.11 Perfil de pressão versus direção tangencial, tomado no raio R=40,0mm e z=6,0mm (metade da altura do canal do rotor)...61 Figura 5.12 Perfil de velocidade relativa do escoamento no rotor versus a direção axial, em R=64,41mm e entre duas pás consecutivas do rotor...62 Figura 5.13 Perfil de pressão no difusor versus direção tangencial, tomado no raio R=110,0mm e z=6,0mm...63 Figura Teste de malha temporal (Parte 1)...66 Figura 5.15 Teste de malha Temporal (Parte 2)...67 Figura 5.16 Pressão versus tempo na entrada do difusor do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, na vazão de 36m 3 /h e rotação de 1150rpm...69 Figura 6.1 Ganho de pressão no primeiro rotor da bomba centrífuga Imbil ITAP /2. Dados experimentais obtidos por Amaral (2007)...71 Figura 6.2 Ganho de pressão no difusor da bomba centrífuga Imbil ITAP /2. Dados experimentais obtidos por Amaral (2007)...72 Figura 6.3 Altura de elevação do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2. Dados experimentais obtidos por Amaral (2007)...73 Figura 6.4 Altura de elevação total versus vazão volumétrica da bomba centrífuga IMBIL ITAP /2, na rotação de 1150 rpm. Dados fornecidos no catálogo do fabricante (Fonte: site Imbil)...74 Figura 6.5 Aplicação das equações de similaridade às curvas de 1000, 806 e 612 rpm transpondo-as para a rotação de 1150 rpm Figura 6.6 Torque numérico versus vazão no primeiro rotor da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, para uma rotação de 1150 rpm...79 Figura 6.7 Potência de entrada numérica versus vazão no primeiro rotor da bomba Imbil ITAP /2, para um rotação de 1150 rpm...80 Figura 6.8 Potência de saída numérica versus vazão no primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, para rotação de 1150 rpm...81

11 xi Figura 6.9 Eficiência hidráulica numérica do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2 e Eficiência global fornecida pelo fabricante...82 Figura 6.10 Instante de tempo no qual a pá do rotor e a aleta do difusor estão alinhadas. Definição das Faces de Pressão (FP) e Faces de Sucção (FS)...83 Figura 6.11 Pressão versus direção tangencial no raio de saída do rotor para o caso de pá do rotor alinhada com a aleta do difusor...84 Figura 6.12 Periodicidade da pressão com a direção tangencial na saída do primeiro rotor da bomba centrífuga Imbil ITAP /2. Vazão 35m 3 /h e rotação de 1150rpm...84 Figura 6.13 Pressão versus tempo em um ponto localizado no bordo de entrada da aleta do difusor da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, para a rotação de 1150 rpm e vazão de 35m 3 /h Figura 6.14 Localização do bordo de entrada e saída do rotor da bomba Figura 6.15 Distribuição de pressão na pá do rotor desde a entrada até a saída na altura da raiz da pá (ou cubo)...87 Figura Distribuição de pressão na pá do rotor desde a entrada até a saída na altura da coroa, para o rotor girando a 1150 rpm e na vazão de 35m 3 /h...88 Figura 6.17 Campo de pressão no interior do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, vazão de 20m 3 /h e rotação de 1150 rpm...89 Figura 6.18 Campo de pressão no interior do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, vazão de 35m 3 /h e rotação de 1150 rpm...90 Figura 6.19 Campo de pressão no interior do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, vazão de 50m 3 /h e rotação de 1150 rpm...90 Figura 6.20 Planos de corte da visualização do escoamento, obtido numericamente, no rotor e difusor do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP / Figura Esquema da saída do rotor e entrada do difusor que mostra a diferença de áreas entre esses dois componentes...94

12 xii Figura 6.22 Linhas de corrente do escoamento no interior da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, na rotação nominal e vazão de 50m 3 /h. (a) escoamento no plano T1, (b) escoamento no plano T2 e (c) escoamento no plano T Figura Linhas de corrente do escoamento no interior da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, na rotação nominal e vazão de 44m 3 /h. (a) escoamento no plano T1, (b) escoamento no plano T2 e (c) escoamento no plano T Figura Linhas de corrente do escoamento no interior da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, na rotação nominal e vazão de 35m 3 /h. (a) escoamento no plano T1, (b) escoamento no plano T2 e (c) escoamento no plano T Figura 6.25 Linhas de corrente do escoamento no interior da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, na rotação nominal e vazão de 20m 3 /h. (a) escoamento no plano T1, (b) escoamento no plano T2 e (c) escoamento no plano T Figura Linhas de corrente do escoamento no interior do difusor bomba centrífuga Imbil ITAP /2, na rotação nominal e vazão de 20m 3 /h. (a) Vazão 20 m 3 /h, (b) Vazão 35 m 3 /h (c) Vazão 44 m 3 /h e (d) Vazão 50 m 3 /h...97

13 xiii LISTA DE SÍMBOLOS Símb. Descrição Unidade (S.I.) α Ângulo entre vetor de velocidade absoluta do escoamento e a direção tangencial rad β Ângulo entre o vetor de velocidade relativa do escoamento no rotor e a direção tangencial (medido no sentido contrário ao giro do rotor) rad ε Componente isotrópica da taxa de dissipação de energia turbulenta m 2 3 s η h Eficiência hidráulica da bomba centrífuga - φ Propriedade genérica - φ Média temporal de uma propriedade genérica - φ ' Flutuação temporal de uma propriedade genérica - ϕ Variável angular rad κ Energia cinética turbulenta m 2 2 s κ v Constante de Von Karman - µ Viscosidade dinâmica µ t Viscosidade turbulenta kg m kg m -1 1 s -1 1 s ν Viscosidade cinemática m s 2-1 ν t Viscosidade cinemática turbulenta m s 2-1 θ Variável angular rad ρ massa específica do fluido kg m 3

14 xiv σ ε Número de Prandtl difusivo para a taxa de dissipação - σ k Número de Prandtl difusivo para a energia cinética turbulenta - τ w Tensão de cisalhamento sobre a parede kg m -1 2 s ω Velocidade angular do rotor rad s 1 a, b, c, d, e Constantes oriundas da determinação do ajuste de curvas referente aos resultados numéricos obtidos - C ε1, Cε 2 Constantes de fechamento do modelo de turbulência κ ε - C µ Constante de fechamento associada à viscosidade turbulenta - D ε Termo difusivo da equação de transporte de ε m 2 4 s D κ Termo difusivo da equação de transporte de κ m 2 3 s FS FP g Face de sucção da pá do Rotor ou da aleta do Difusor Face de pressão da pá do Rotor ou da aleta do Difusor Vetor aceleração da gravidade m s 2 H Altura de elevação m p Pressão termodinâmica Pa p Pressão com aplicação das médias de Reynolds kg m -1 2 s P k Produção de energia cinética turbulenta ( κ ) m 2 3 s Q r Vazão volumétrica Vetor posição de uma partícula fluida em relação ao Sistema de coordenadas não-inercial m 3 1 s m 2 R Quadrado do coeficiente de correlação - S Termo fonte - t Variável tempo s

15 xv T Torque N. m u' u V v' v w' w Flutuação de velocidade na direção x Velocidade média de Reynolds na direção x Vetor de velocidade Flutuação de velocidade y Velocidade média de Reynolds na direção y Flutuação de velocidade na direção z Velocidade média de Reynolds na direção z -1 m s -1 m s m s 1-1 m s -1 m s -1 m s -1 m s W ɺ Potência Watt RES RSM Valor do resíduo numérico médio de uma variável do esco- amento, calculada pelo programa computacional - RES MAX Valor do resíduo numérico máximo de uma variável do esco- amento, calculada pelo programa computacional - x,y,z Direções coordenadas de um sistema não-inercial m X,Y,Z Direções coordenadas de um sistema inercial m ξ1, ξ2 e ξ3 Direções coordenadas de um sistema genérico - Operadores Variação de uma propriedade do escoamento Operador nabla Operador diferencial parcial Operador integral

16 xvi SUMÁRIO Agradecimentos... iv Resumo...v Abstract... vi Lista de Figuras... vii Lista de Símbolos...xiii Sumário... xvi 1 Introdução Objetivos Justificativas Estrutura do trabalho Revisão Bibliográfica Teoria de máquinas de fluxo aplicado a bombas centrífugas Modelagem Matemática Equações de conservação da massa e da quantidade de movimento escritas, para um sistema de coordenadas rotativo Modelagem da turbulência Modelo de Turbulência a duas equações κ ε padrão Condições de contorno do problema Modelagem Geométrica e Numérica Definição das Geometrias do primeiro estágio da bomba centrífuga Geometria do rotor do primeiro estágio da bomba centrífuga Geometria do difusor do primeiro estágio da bomba centrífuga Geometrias auxiliares utilizadas nos estudos numéricos Discretização das equações de conservação...38

17 xvii 5 Avaliação de Parâmetros e Testes de Malha A escolha da configuração geométrica adequada para as simulações numéricas Critério de parada Teste de Malha Teste de Passo de Tempo Influência da condição inicial Resultados Altura de elevação versus vazão volumétrica Obtenção de uma curva unificada de altura de elevação para qualquer vazão e rotação Potência e Eficiência Hidráulica Propriedades do escoamento no interior da bomba centrífuga estudada conclusões e sugestões de trabalhos futuros Referências Bibliográficas...102

18 1 1 INTRODUÇÃO A bomba centrífuga é um dos equipamentos mais utilizados no mundo e é usada nas mais diversas áreas como, por exemplo, na irrigação, no abastecimento de água, na indústria petroquímica, no setor automobilístico, entre outros. O princípio de funcionamento de uma bomba centrífuga consiste em transferir a energia cinética proveniente de um rotor ao líquido bombeado, fazendo com que o fluido escoe no interior de um duto. Devido a sua importância, segundo a literatura, pesquisas envolvendo bombas centrífugas foram intensificadas a partir da primeira metade do século XX. Os primeiros estudos foram desenvolvidos utilizando técnicas experimentais e modelos teóricos simplificados, com destaque aos desenvolvidos por Alexey Joakim Stepanoff (Amaral, 2007). As principais variáveis utilizadas para o dimensionamento e seleção de bombas centrífugas são a altura de elevação, H, potência consumida, eficiência, η, sendo essas variáveis mensuradas para cada vazão de trabalho imposta. A altura de elevação quantifica a capacidade da bomba centrífuga de elevar a pressão do fluido bombeado, desde a entrada até a saída da bomba. A potência e a eficiência contabilizam a quantidade de energia necessária para o funcionamento da bomba centrífuga e a parcela dessa energia efetivamente transferida ao líquido bombeado, respectivamente. Catálogos de fabricantes de bombas centrífugas apresentam ábacos semelhantes aos mostrados na Figura 1.1. No eixo das abscissas tem-se a vazão volumétrica e no eixo das ordenadas, a altura de elevação. As regiões delimitadas do ábaco correspondem ao campo de aplicação de cada modelo de bomba produzido pelo fabricante para 1750 rpm. Os números no interior de cada região delimitada do gráfico, por exemplo , indicam o diâmetro de entrada da bomba e o diâmetro externo máximo do rotor. Em aplicações, onde há, por exemplo, uma necessidade especifica de vazão e altura de elevação, a Figura 1.1 pode indicar se W ɺ ent, e

19 2 esse fabricante irá ou não possuir uma bomba centrífuga que atenda a essa necessidade. Figura 1.1 Exemplo de ábacos fornecido por fabricantes de bombas centrífugas. (fonte: KSB Bombas) Uma vez selecionada a bomba centrífuga, o fabricante fornece uma carta específica, semelhante à mostrada na Figura 1.2. Nessa carta, constam informações sobre a eficiência, potência consumida e altura de elevação. Potência Altura Elevação Altura Elevação Eficiência Potência Eficiência Vazão Figura 1.2 Curvas de desempenho de uma bomba centrífuga convencional. O ponto sobre a curva de eficiência é denominado ponto de eficiência máxima ou ponto de projeto

20 3 De um modo geral as curvas de operação de bombas centrífugas são determinadas pelos fabricantes utilizando água como fluido padrão. Quando se deseja transportar um fluido diferente do padrão, fatores de correção (Hydraulic Institute, por exemplo) são utilizados para ajustar a curva de desempenho na nova condição de operação, entretanto, estudos mostram que nem sempre esses fatores de correção representam o comportamento real desses equipamentos (Amaral, 2007). Quando bombas centrífugas são utilizas em aplicações específicas, como por exemplo, no bombeio de fluidos de viscosidade elevada ou ainda no bombeio de misturas bifásicas (líquido-gás), pode haver alterações significativas no comportamento das curvas de desempenho desses equipamentos. Na área petrolífera, por exemplo, com a descoberta de novas jazidas, na camada pré-sal, possivelmente bombas centrífugas sejam submetidas a altas pressões e altas vazões envolvendo misturas multifásicas, o que também caracteriza um grande desafio de aplicação. Atualmente, com o desenvolvimento tecnológico na área da informática, a utilização de simulações numéricas, através de dinâmica dos fluidos computacional, tem sido uma ferramenta importante no estudo e compreensão de detalhes do escoamento no interior de bombas centrífugas (Cheah et al., 2007 e Feng et. al., 2007). Nesse cenário, propõe-se no presente trabalho estudar numericamente o escoamento no rotor e no difusor do primeiro estágio de uma bomba centrífuga comercial de duplo estágio da marca Imbil, modelo ITAP /2 mostrado na Figura 1.3. Esse modelo possui dois rotores de oito pás curvadas para trás (em relação ao sentido de giro do rotor), um difusor de doze aletas no primeiro estágio e uma voluta na saída do segundo estágio (Amaral, 2007).

21 4 (a) (b) Figura 1.3 Bomba centrífuga IMBIL ITAP /2. (b) Fotografia do primeiro estágio da bomba centrífuga estudada. 1.1 Objetivos O objetivo do presente trabalho é simular numericamente o escoamento no interior do rotor e difusor do primeiro estágio de uma bomba centrífuga de duplo estágio, cujo esquema é mostrado na Figura 1.4. Para atingir o objetivo proposto, foram resolvidas numericamente as equações de conservação da massa e da quantidade de movimento, considerando o escoamento como transiente, newtoniano, monofásico, incompressível e de propriedades constantes. A turbulência do escoamento foi modelada utilizando o modelo de turbulência de duas equações κ ε padrão. A geometria do primeiro estágio da bomba centrífuga foi construída virtualmente utilizando o programa SolidWorks O modelo geométrico obtido foi implementado no programa comercial de dinâmica dos fluidos computacional ANSYS CFX 11.0, plataforma que foi utilizada para a solução numérica do escoamento no interior da bomba centrífuga.

22 5 A partir dos resultados numéricos obtidos, foram elaboradas curvas de altura de elevação, potência e eficiência em função da vazão volumétrica, no primeiro estágio da bomba. Os resultados foram comparados com medidas experimentais realizadas no LABPETRO/UNICAMP (Amaral, 2007). Tubo Rotor Difusor Extensão Difusor Figura 1.4 Esquema do modelo numérico implementado no programa computacional Ansys CFX 11.0 para a simulação do escoamento no interior do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP / Justificativas O conhecimento da dinâmica do escoamento que ocorre em bombas é de fundamental importância para o projeto e manutenção desses equipamentos. Com informações detalhadas sobre o escoamento, ou seja, com o perfil de velocidades, campo de pressão e tensão de cisalhamento nas paredes, é possível identificar fatores que possam aperfeiçoar o projeto e escolha do material da bomba. Do ponto de vista acadêmico, estudar o comportamento do escoamento em uma bomba centrífuga é um desafio, já que existe uma combinação de efeitos no escoamento, como a curvatura e rotação, alem da complexidade da geometria, que dificulta o desenvolvimento da modelagem matemática e numérica do escoamento. Muitas vezes, são necessários ensaios experimentais para a validação dos

23 6 resultados numéricos ou teóricos. Os resultados numéricos obtidos no presente trabalho foram comparados com dados experimentais obtidos por Amaral (2007). Nesse cenário, a contribuição do presente trabalho está no desenvolvimento de uma metodologia numérica para o estudo detalhado do escoamento monofásico em uma bomba centrífuga. Metodologia que pode ser estendida para o estudo do escoamento em bombas centrífugas sob diferentes condições de operação, como por exemplo, presença de fluidos viscosos ou de escoamentos bifásicos líquido-gás, situações que são comumente encontradas na produção de petróleo e gás em águas profundas. O presente trabalho é pioneiro de outros que estão sendo desenvolvidos no Laboratório de Ciências Térmicas (LACIT) da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR). Pesquisas estão sendo desenvolvidas, considerando como referência a metodologia desenvolvida no presente trabalho, com a finalidade de reproduzir detalhes do escoamento, monofásico ou bifásico, no interior de Bombas Centrífugas Submersas (BCS). 1.3 Estrutura do trabalho O presente trabalho está organizado da seguinte maneira: No capítulo 1 uma introdução e contextualização do tema são feitas, bem como apresentação do foco dos estudos na bomba centrífuga. O capítulo 2 apresenta uma revisão de trabalhos reportados da literatura que abordam o estudo do escoamento em bombas centrífuga, sob o enfoque experimental e numérico. No capítulo 3 são apresentadas as equações matemáticas que regem o escoamento no interior da bomba centrífuga, assim como o modelo de turbulência e hipóteses utilizadas. No capítulo 4 é descrita a metodologia numérica de modelagem do domínio, foco de estudo como, por exemplo, a confecção e delimitação da geometria utilizada nas simulações numéricas. No capítulo 5 são mostrados os testes numéricos de parâmetros importantes nas simulações como a malha espacial adequada, critério de parada, passo de tempo adequado para as simulações transiente, etc. No capítulo 6 estão mostrados os resultados obtidos das simulações numéricas do escoamento no interior do primeiro estágio da bomba centrifuga estudada. Os capítulos 7 e 8

24 7 reportam, respectivamente, às conclusões, juntamente com sugestões de trabalhos futuros e referências bibliográficas utilizadas.

25 8 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Nesse capítulo é mostrada uma revisão de alguns estudos, experimentais e numéricos, envolvendo bombas centrífugas. Como mencionado, até meados do século XX, os estudos envolvendo bombas centrífugas eram essencialmente experimentais e ocorreu um certo esgotamento de possibilidades de se otimizar a eficiência com melhorias de projeto. Uma revisão sobre fundamentos e estudos experimentais desenvolvidos com a finalidade de levantar ábacos e curvas de desempenho global em bombas centrífugas pode ser encontrada em Stepanoff (1957), Pfleiderer (1960), Hydraulic Institute (1983), Macintyre (1997) e Amaral (2007). Junto com desenvolvimento tecnológico, as técnicas experimentais foram sendo aprimoradas. Técnicas avançadas de visualização com a finalidade de observar detalhes do escoamento no interior das bombas centrífugas, como o LDV (Laser-Doppler Velocimetry, um anacrônico em língua inglesa que significa Velocimetria por Laser-Doppler), PIV (Particle Image Velocimetry, ou Velocimetria por imagens de partículas), câmeras de alta velocidade de obturação, entre outros, foram desenvolvidas. Essas informações fornecem ao projetista da bomba centrífuga subsídios para confecção de equipamentos mais eficientes. Neste contexto, Li (1999) fez um estudo experimental sobre a influência da viscosidade do fluido no desempenho de bombas centrífugas. Através de ensaios, utilizando medição de velocidade por LDV ele avaliou o desempenho de uma bomba centrífuga operando com dois fluidos distintos: primeiramente com água (ρ =1000 kg/m 3 e ν =1mm 2 /s) como fluido de trabalho e, posteriormente com óleo (ρ =851 kg/m 3 e ν =48mm 2 /s). Ele mostrou que o aumento da viscosidade do fluido, aumenta a altura de elevação da bomba centrífuga, diminui a eficiência e aumenta a potência consumida (ver Figura 2.1). Segundo Li (1999), o desempenho da bomba diminui, quando opera com fluidos de altas viscosidades, devido ao aumento nas perdas por atrito, tanto na sucção como na saída do rotor.

26 Potência [ kw ] Altura de Elevação [m] Altura Eficiência Potência Óleo Água Vazão [L/s] Figura 2.1 Desempenho de uma bomba centrífuga ao bombear fluidos de diferentes viscosidades (Li, 1999) Wuibaut et al. (2005) buscaram desenvolver técnicas experimentais de medição em bombas centrífugas submersas (BCS). Os experimentos foram feitos em um rotor de BCS conhecido da literatura (rotores SHF), sobre o qual muitos dados experimentais estão disponíveis, principalmente para validação de simulações numéricas. Os experimentos de Wuibaut et al. (2005) foram realizados utilizando as técnicas de visualização PIV-2D para a BCS operando com ar e LDV-2D para BCS operando com água. Devido à diferença das propriedades dos fluidos utilizados, bombas de tamanhos diferentes tiveram que ser construídas, porém, considerando que os escoamentos fossem semelhantes. Para a bomba operando apenas com ar, Wuibaut et al. (2005) não utilizaram difusor, nem voluta, diferentemente do que foi feito para o caso da bomba operando com água, onde um difusor e uma voluta industrial foram acoplados ao rotor. Apesar das pequenas diferenças de medição encontradas entre os dois testes, os campos de velocidades obtidos por eles foram similares. Eles concluíram que ambas as técnicas de medição utilizadas são satisfatórias para avaliação de campos de velocidade no interior de bombas centrífugas, por exemplo, para validação de técnicas numéricas. Güilich (1999) estudou o comportamento de bombas centrífugas operando com óleos pesados, utilizando um enfoque analítico-experimental. Em geral, o desempenho de bombas operando com óleos viscosos é estimado por comparação ao desempenho da bomba operando com água, através de fatores de correção da Eficiência [%] 9

27 10 vazão, altura da bomba e eficiência. Segundo ele, esses fatores de correção nem sempre correspondem à realidade. Ele fez um tratamento aprofundado das perdas existentes nas bombas, e as separou em quatro parcelas: perdas volumétricas, perdas hidráulicas, perdas por atrito e perdas mecânicas. Segundo Güilich (1999), as parcelas mais influenciadas pelo aumento da viscosidade foram as perdas hidráulicas e por atrito. Por meio de relações semi-empíricas, foram estimados os coeficientes de correção considerando somente essas perdas. Tais correlações foram validadas com sucesso. Ele concluiu que seus resultados foram bons e enfatiza que fazer um tratamento das perdas é vantajoso por poder ser aplicado a qualquer modelo de bomba. Amaral (2007), estudou experimentalmente o comportamento de uma bomba centrifuga comercial (Imbil ITAP /2) e dois modelos de bombas centrífugas submersas (BCS). O estudo realizado foi concentrado na determinação da faixa operacional de uma BCS operando com fluidos viscosos. Ele levantou experimentalmente as curvas de desempenho para diversas condições de operação e apresentou uma metodologia para a correção das curvas de desempenho de bombas centrífugas sob a presença de fluidos viscosos. Com o aparecimento da mecânica dos fluidos computacional e, também, com o desenvolvimento da informática, a pesquisa e o desenvolvimento de bombas centrífugas ganhou força. Surgiram diversos programas computacionais comerciais com enfoque específico na simulação de máquinas de fluxo (Ansys CFX, Flow3D, Fluent, entre outros) (Amaral, 2007). Os programas computacionais de dinâmica dos fluidos computacional possuem uma diversidade de modelos matemáticos que buscam descrever os comportamentos físicos presentes no escoamento real. Porém, sob certas condições, como por exemplo, em escoamentos turbulentos se faz necessária a utilização de modelos que busquem representar adequadamente esse fenômeno. Sempre que se utiliza um programa de mecânica dos fluidos computacional para simular escoamentos em bombas centrífugas, com fins de projeto ou de desenvolvimento, é necessário, posteriormente, validar os resultados obtidos com

28 11 um protótipo real. Isso é feito porque podem ocorrer pequenas divergências entre o modelo numérico e o fenômeno físico real. Nesse contexto, Asuaje et al. (2005) estudaram numericamente uma bomba centrífuga comercial com o objetivo de avaliar a influência da voluta nos campos de pressão e velocidade da bomba. Eles testaram três modelos de turbulência diferentes, k ε, k ω e SST, e concluíram que não houve diferenças significativas entre os resultados dos campos médios de velocidade e pressão. Para a bomba operando na vazão de projeto, eles mostraram que o escoamento é praticamente isento de recirculações desde a entrada até a saída da voluta. Para vazões menores que a condição de projeto, verificaram que ao sair do rotor o escoamento está sujeito a um gradiente adverso pronunciado, o que gera instabilidades e recirculações e conseqüentemente, resulta em perdas de rendimento. Por outro lado seus estudos mostram que quando a bomba centrífuga está operando em vazões maiores que a de projeto, não há um gradiente de pressão intenso, porém, devido à inércia do escoamento ser elevada ocorrem recirculações no interior da voluta, resultado de perdas de rendimento da bomba. Essas recirculações, aliadas à forma da voluta, geram uma força resultante que o fluido irá transmitir ao mancal onde a bomba centrífuga está apoiada. Asuaje et al. (2005) mostraram ainda que, para a vazão de projeto, a magnitude dessa força é menor quando comparada às demais. Muitos pesquisadores atentaram para a possível interação existente entre rotor e difusor de bombas centrífugas. Essa interação foi avaliada de diversas maneiras como, por exemplo, observando as variações das forças atuantes no rotor e difusor quando da alteração do número de aletas do difusor, das pás do rotor, da distância relativa entre esses componentes, etc. Feng et al. (2007) estudaram o comportamento transitório de uma bomba centrífuga, juntamente com a interação existente entre rotor e um difusor aletado. Eles fizeram um estudo de independência de malha e uma validação experimental da bomba estudada, em termos de altura de elevação versus vazão, onde obtiveram boa concordância. De maneira análoga aos estudos de Asuaje et al. (2005), Feng et al. (2007) simularam numericamente uma bomba centrífuga na condição de projeto e em duas vazões distintas (uma maior e outra menor). Seus resultados também

29 12 mostram que, para vazões inferiores ou superiores à de projeto, ocorrem recirculações no rotor e no difusor. Nos resultados apresentados por Feng et al. (2007), um estudo da distância relativa entre rotor e difusor foi feito. Para isso, eles simularam numericamente o escoamento em uma bomba centrífuga com frestas entre rotor e difusor de 3% e 10% do raio externo do rotor, respectivamente (Ver Figura 2.2 (a). Os resultados obtidos por eles são mostrados na Figura 2.2 (b), onde as curvas se referem à flutuação da altura de elevação em função da direção tangencial. Da Figura 2.2 (b), Feng et al. (2007) mostraram que quanto mais distante o difusor se encontra do rotor (maior fresta), menores são as amplitudes de oscilação das variáveis calculadas (altura de elevação, torque, etc) com o tempo, ou seja, menor é a interação entre rotor e difusor. (a) H [m] Fresta 3% Fresta 10% ϕ [graus] (b) Figura 2.2 Interação entre difusor aletado e rotor, no escoamento de uma bomba centrífuga. (Feng et al. (2007)). Posteriormente, Cheah et al. (2007) simularam numericamente a fluidodinâmica do escoamento em uma bomba centrífuga convencional de um estágio com rotor aberto e voluta em espiral. Na Figura 2.3, é evidenciada a diferença de escoamento entre a condição de projeto (Figura 2.3(a)) e uma condição de vazão maior (Figura 2.3(b)). Na condição de projeto, eles mostram que o escoamento é praticamente isento de recirculações, que se reflete em poucas perdas e, conseqüentemente, em maior eficiência. Para o caso onde a vazão é

30 13 maior, eles mostram que há recirculação na saída da voluta, reflexo de perdas de energia no interior da bomba centrífuga e conseqüente redução de eficiência. Velocidade Absoluta Velocidade Absoluta (a) (b) Figura 2.3 Estudo da fluidodinâmica do escoamento em uma bomba centrífuga apresentado por Cheah et al. (2007). (a) Vazão na condição de projeto e (b) vazão acima da condição de projeto. 2.1 Teoria de máquinas de fluxo aplicado a bombas centrífugas Devido à geometria complexa das partes internas de uma bomba centrífuga, alguns trabalhos focam no estudo ou modelagem de parâmetros específicos desse equipamento. Através da teoria de turbomáquinas são definidos diversos ângulos e termos que serão utilizados ao longo do presente trabalho. Figura 2.4 Volume de controle e componentes de velocidades do escoamento na entrada e saída de um rotor genérico

31 14 A Figura 2.4 mostra o desenho de um rotor, onde estão definidos o raio da pá, as componentes da velocidade do escoamento tanto na secção de entrada (denotada pelo índice 1) como na secção de saída do rotor (índice 2). Através do princípio da quantidade de movimento angular é possível obter uma equação que expressa o torque de eixo, T eixo, em função das componentes da velocidade do escoamento à entrada e saída do rotor, como mostra de forma escalar a equação (2.1). ( ) T = r V r V mɺ (2.1) eixo 2 t2 1 t1 A equação (2.1), denominada de equação de Euler para Turbomáquinas, pode ser utilizada para determinar a potência fornecida ao rotor, através da relação escalar W ɺ = ωt : eixo ( ) ɺ ( ) Wɺ = ωt = ω r V r V mɺ W = u V u V mɺ (2.2) eixo 2 t2 1 t1 2 t2 1 t1 Ao dividir-se a equação (2.2) por mg ɺ, se obtém a magnitude da energia transferida ao rotor em unidades de comprimento: W 1 H = ɺ U V U V mg ɺ = g ( ) 2 t2 1 t1 (2.3) A equação (2.3) apresentada a altura de elevação como função das componentes de velocidade na entrada e saída do rotor. Obviamente, as equações (2.1) a (2.3) exprimem de forma muito simplificada o comportamento de uma bomba centrífuga, uma vez que uma série de fenômenos não estão sendo considerados nessa modelagem. Porém, dessa modelagem é possível notar a importância das componentes de velocidade na obtenção dos valores de torque, potência e altura de elevação. Isso sugere que é necessário definir a forma com que o escoamento entra e sai do rotor, através do formato das pás. A Figura 2.5 mostra que na condição de projeto de uma bomba centrífuga, o escoamento é admitido como entrando e saindo tangencialmente ao perfil da pá do

32 15 rotor. O ângulo β é medido a partir da direção tangencial em direção à pá do rotor, no sentido oposto ao de giro do rotor. Esse ângulo é construtivo, ou seja, depende somente da geometria da pá do rotor. O ângulo α, por sua vez, é ditado pela condição de operação da bomba, ou seja, depende da magnitude da rotação imposta ao rotor. O ângulo α também é dependente da vazão que flui pela bomba, vazão esta, que é controlada por válvulas no sistema de bombeamento a que a bomba está conectada. (a) (b) Figura 2.5 Geometria e notação usadas para desenvolver diagramas de velocidade em bombas centrífugas. (a) Distribuição dos perfis de velocidade ao longo da pá do rotor e (b) os triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor. Com a definição das velocidades do escoamento, e os ângulos que elas formam, pode-se então avaliar o valor das componentes tangenciais, V t1 e V t2, em função das velocidades absolutas, V 1 e V 2, pelas seguintes relações: V V = V cos ( α ) ( α ) t1 1 1 = V cos t (2.4) Substituindo as relações dadas pela equação (2.4) na equação (2.1), do torque no eixo do rotor da bomba, tem-se: ( ( α ) ( α )) T = mɺ r V cos r V cos (2.5) eixo Com a equação (2.5) pode-se, assim, determinar a altura de elevação da bomba, através de parâmetros do escoamento e dimensões características do rotor. Portanto, substituindo a equação (2.5) na equação (2.3):

33 16 ω ω H = T = r V cos r V cos mg ɺ g ( ( α ) ( α )) eixo (2.6) Por a equação (2.6) se tratar de uma idealização do escoamento em uma bomba, é conveniente alterar a nomenclatura da altura de elevação para sinalizar que o resultado obtido será para um caso Ideal. Com isso, define-se Ht como sendo a altura de elevação teórica infinita. O índice t indica um processo sem perdas (teórico) e o índice sinaliza que a bomba possui infinitas pás. Assim: H = ω ω T r V cos r V cos mg ɺ = g ( ( α ) ( α )) t eixo (2.7) Da análise da equação (2.7), pode-se notar que a energia transferida ao fluido varia proporcionalmente com a velocidade angular (quanto maior a magnitude da rotação do rotor, maior é a quantidade de energia transferida ao fluido). Os dois termos entre parênteses têm sinal invertido, por isso, suas contribuições à quantidade de energia transferida são opostas. Portanto, a quantidade de energia específica, Ht, transferida ao fluido será máxima quando o termo negativo for nulo. Isto ocorre quando o ângulo α 1 =90. Isso faz com que a velocidade absoluta do fluido, na entrada do rotor seja perpendicular à direção tangencial. Na prática, devido às perdas envolvidas no processo de transferência de energia α 1 não é exatamente igual a 90, porém, é próximo desse valor, fazendo com que o termo negativo da equação (2.7), de fluxo de quantidade de movimento angular na entrada do rotor seja pequeno quando comparado com o fluxo de quantidade de movimento angular na saída do rotor, (V 2 r 2 cosα 2 ). Dessa forma, tem-se: 2 H = ω ω T r V cos( ) u α V mg ɺ = g = g t eixo t2 (2.8) onde V t2 é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido (na saída do rotor) e u 2 é a velocidade periférica do rotor, devido à rotação. A Figura 2.6 mostra o triangulo de velocidades na saída do rotor, com as componentes, tangencial e normal (ou radial), do vetor velocidade absoluta do fluido.

34 17 Figura 2.6 Componentes (tangencial e radial) da velocidade absoluta na secção de saída do rotor da bomba Observando a Figura 2.6 e a equação (2.8), pode-se notar que quanto maior a rotação ou o tamanho do rotor, maior será u 2 e quanto maior for a componente tangencial da velocidade absoluta da bomba, na saída do rotor, maior a altura de elevação, Ht. A formulação apresentada na equação (2.8), ainda não leva em conta características operacionais como a vazão nem mesmo construtivas do rotor como o valor do ângulo β, responsável pela geometria da pá do rotor. Para explicitar esses parâmetros na equação (2.8), com o auxílio da Figura 2.6, pode-se escrever a componente tangencial da velocidade absoluta em função componente normal da velocidade absoluta, ou seja: Vn2 Vn2 = w2sen( β2 ) w 2 = sen( β ) V = u w cos( β ) V = u V cot g( β ) t t2 2 n2 2 2 (2.9) Substituindo a equação (2.9) na equação da altura de elevação ideal (equação (2.8)): u H = ω ω T r V cos u V cotg mg ɺ = g = g ( ) 2 ( α ) ( β ) t eixo n2 2 (2.10) A componente normal da velocidade absoluta na saída do rotor, V n2, está relacionada com a vazão mássica que flui pela bomba. A Figura 2.7 apresenta um desenho esquemático da geometria do rotor de uma bomba centrífuga. Utilizando a

35 18 equação da conservação da massa e os dados fornecidos na Figura 2.7, pode-se escrever que: Figura 2.7 Corte axial do rotor de uma bomba centrífuga Qɺ Qɺ ρv A = mɺ V = V = (2.11) n2 2 n2 n2 A 2 2π r2b 2 Substituindo a equação (2.11) na equação (2.10), tem-se: H u = u Qɺ cotg ( β ) 2 t 2 2 g 2π r2b 2 (2.12) A equação (2.12) é mais interessante pois apresenta, explicitamente, as principais variáveis operacionais da bomba tais como vazão, geometria e rotação (apresentada através da velocidade tangencial). Analisando a equação (2.12), podese notar que a altura de elevação recebe uma influência quadrática da variação da rotação. Nessa formulação simplificada, a altura de elevação varia linearmente com o aumento da vazão. A forma da pá (ditada pelo ângulo β 2 ) determina se a vazão influencia negativamente (β 2 <90 ) ou positivamente ( β 2 >90 ) na altura de elevação. Se β 2 =90 a vazão não influencia na magnitude do valor d a altura de elevação. A curva característica de uma máquina de fluxo é, por definição, a curva que representa a dependência que existe entre a quantidade de energia transferida pela máquina (real ou idealizada) e a vazão do fluido. Ela se aplica a uma bomba de características geométricas conhecidas (valores especificados de r 2 e b 2, dimensões geométricas que aparecem na equação (2.12)), operando com rotação ω, também

36 19 especificada. A Figura 2.8 mostra a relação entre a altura de elevação e a vazão volumétrica da bomba, para diferentes ângulos β 2. Figura 2.8 Curva característica idealizada de uma bomba centrífuga A curva característica real de uma bomba centrífuga difere substancialmente destas curvas idealizadas, qualquer que seja o valor do ângulo β 2. A curva para β 2 <90º apresenta a mesma tendência da curva real: redução de Ht à medida em que a vazão aumenta. As curvas para β 2 =90º e β 2 >90º, entretanto, têm comportamento inverossímil. Na medida em que a vazão aumenta, é de se esperar que, nos escoamentos reais (viscosos), a energia dissipada (em perdas hidráulicas, por exemplo) aumente com o quadrado da vazão. Assim, parcela substancial da potência disponível no eixo é irreversivelmente dissipada, e a energia específica transferida não pode, indefinidamente, aumentar, ou mesmo se manter constante, com o aumento da vazão. A influência da magnitude do ângulo β 2 sobre a curva característica da bomba, e sobre as formas construtivas das pás dos rotores, entretanto, deve ser objeto de análise. As bombas centrífugas quase sempre apresentam rotores com pás curvadas para trás em relação ao sentido de rotação do rotor, isto é, β 2 <90º. Os valores usuais para β 2 estão por volta dos 30º. Em bombas mais antigas, de pequena potência e baixa responsabilidade, pode-se ainda encontrar rotores com

37 20 pás inteiramente radiais, com β 1 =β 2 =90º. Atualmente, este tipo de rotor está em desuso. Benra (2001) apresenta uma metodologia numérica para o desenvolvimento de rotores eficientes a serem utilizados em bombas centrífugas. Seus estudos se basearam na modelagem e simulação numérica do escoamento em rotores radiais isolados, ou seja, sem contabilizar volutas ou difusores. Seu principal objetivo foi avaliar a eficiência hidráulica, através da comparação do escoamento em dois rotores de mesmas dimensões, porém, com diferenças na configuração das pás. O primeiro rotor estudado por ele possuía pás com bordo de entrada alinhados com a entrada do rotor, como mostra a Figura 2.9 (a). Já o segundo rotor possuía pás com bordo de entrada inclinados em relação à entrada do rotor (Figura 2.9 (b). Essa diferença na geometria da entrada dos rotores reflete na forma com que a pá evolui da entrada até a saída do rotor. Bordo de entrada das pás (a) (b) Figura 2.9 Rotores estudados numericamente por Benra (2001). (a) Pás com bordo de entrada horizontal e (b) pás com bordo de entrada inclinadas em relação à entrada do rotor. No primeiro rotor, Benra (2001) observou que a evolução do ângulo β (ângulo construtivo do rotor) desde a entrada até a saída do rotor, no cubo, possuía uma grande oscilação. Já o segundo rotor não continha tais variações, sendo a transição de β suave desde a entrada até a saída. Como conseqüência dessas diferenças de geometria, o escoamento no segundo rotor apresentou menores instabilidades e recirculações para vazões fora da condição de projeto. Isso levou à conclusão de que a forma da entrada do rotor influencia no desempenho da bomba. Bacharoudis et al. (2008) estudaram o comportamento do escoamento em uma bomba centrífuga (composta de um rotor e uma voluta). O foco do trabalho foi avaliar as mudanças no comportamento da altura de elevação e eficiência da

38 21 bomba, quando da alteração do ângulo de saída das pás do rotor, β 2. Eles mostraram que quando há um aumento do ângulo de saída, há um aumento na altura de elevação da bomba, porém com redução na eficiência. Entretanto, esse comportamento não é observado em todo o campo operacional da bomba. Eles mostraram que para a bomba operando em vazões maiores que a de projeto, ao utilizar um ângulo de saída da pá maior, ocorre um aumento na eficiência em relação ao rotor original. Já para vazões inferiores à de projeto, utilizando um ângulo de saída da pá menor, observaram uma redução na eficiência, também em relação ao rotor original. Shoajaee e Boyaghchi (2007) também mostraram que aumentando o ângulo de saída de um rotor centrífugo, há um aumento na altura de elevação. Esses resultados estão em acordo com a equação (2.12), uma vez que quanto maior o ângulo β 2, menor será a contribuição do termo de sinal negativo no lado direito dessa equação. É importante salientar que a análise de resultados oriundos de simulações numéricas do escoamento em componentes isolados pode levar a conclusões que não correspondem efetivamente ao que acontece em uma bomba centrífuga real. Isso porque há interações entre os componentes desse tipo de equipamento, o que foi comprovado experimentalmente por Amaral (2007) e numericamente por Feng et al. (2007). Recentemente, Segala et al. (2008) apresentam um estudo preliminar do escoamento no rotor e difusor de uma bomba centrífuga em regime permanente. Nesse estudo, foi discutido que, para resolver o acoplamento entre rotor e difusor, uma metodologia numérica adequada deve simular ambos os domínios simultaneamente. Eles também apontam a necessidade de dados experimentais para o desenvolvimento de uma metodologia numérica confiável. Com o contínuo desenvolvimento da tecnologia, e a crescente capacidade de processamento dos computadores, tem sido possível simular numericamente escoamentos em equipamentos reais de interesse de engenharia, como bombas centrífugas, por exemplo. Os primeiros estudos numéricos envolvendo bombas centrífugas eram bastante simplificados devido à limitação computacional existente.

39 22 Atualmente é possível simular numericamente escoamentos em rotores com geometrias mais próximas do modelo real, o que torna esse tipo de abordagem versátil e interessante, pois, permite testar diversos parâmetros e configurações de rotores, por exemplo, de maneira simples e relativamente rápida. O presente trabalho visa desenvolver uma metodologia de simulação numérica de escoamentos em bombas centrífugas. Para isso, será utilizada a geometria de uma bomba centrífuga comercial, de onde foram extraídos dados experimentais por Amaral (2007). Esses dados experimentais servem de base de comparação e validação para a metodologia numérica desenvolvida no presente trabalho.

40 23 3 MODELAGEM MATEMÁTICA Para simular numericamente a fluidodinâmica do escoamento em bombas centrífugas, as equações de conservação da massa e da quantidade de movimento são utilizadas. Nesse tipo de equipamento, têm-se simultaneamente domínios rotativos (rotores) e estacionários (tubo de admissão da bomba centrífuga, carcaça, difusor, voluta, entre outros). Os programas comerciais de simulação numérica de escoamentos quando aplicados ao estudo de bombas centrífugas oferecem soluções de sistemas de múltiplos domínios, isto é, há um sub-domínio específico para cada parte do equipamento em estudo (seja rotativo ou estacionário), como mostra a Figura 3.1. Nos domínios rotativos, os efeitos da rotação são impostos por meio de termos fontes, aplicados às respectivas componentes da equação de quantidade de movimento. Figura 3.1 Vários sub-domínios co-existentes em um programa comercial de simulação numérica de escoamentos envolvendo máquinas de fluxo. Para acoplar os domínios rotativos aos estacionários existem modelos de interface que transferem as informações de um domínio ao outro. Nesse capítulo será apresentada a modelagem matemática das equações de conservação da massa e da quantidade de movimento utilizadas pelo programa computacional na simulação numérica do escoamento de uma bomba centrífuga, bem como as equações do modelo de turbulência escolhido.

41 Equações de conservação da massa e da quantidade de movimento escritas, para um sistema de coordenadas rotativo Para estudar o escoamento no interior de domínios providos de rotação é conveniente utilizar um sistema de coordenadas que acompanhe o giro desse domínio. Isso facilita a implementação de diversos parâmetros do programa numérico, como por exemplo, construção da malha, aplicação das condições de contorno e processamento dos resultados. Para contabilizar os efeitos de rotação em domínios desse tipo, necessita-se de termos adicionais nas componentes equações da quantidade de movimento, como está mostrado a seguir. Considerando o rotor mostrado na Figura 3.2 onde em seu eixo de rotação é acoplado um sistema de coordenadas não-inerciais (x,y,z), ou seja, que gira na mesma rotação do rotor. Um sistema de coordenadas inerciais (X,Y,Z) é estabelecido conforme mostrado na Figura 3.2. Z z y Y X x Figura 3.2 Sistema de coordenadas rotativo aplicado a uma bomba centrífuga Da Figura 3.2 e utilizando conceito de velocidade e aceleração relativa é possível obter as equações de conservação da massa e quantidade de movimento

42 25 escritas utilizando o sistema de coordenadas não-inercial como referencial, o que resulta em: V xyz = 0 (3.1) 1 ρ ( ) 2 p + ν Vxyz + g = 2ω Vxyz + ω ω r + DV Dt xyz (3.2) onde ρ é a massa específica do fluido, p é a pressão hidrostática, ν é a viscosidade cinemática, V xyz é a velocidade do fluido no sistema de coordenadas não-inercial, g é a aceleração da gravidade, ω é a velocidade angular do rotor e r é a posição de uma partícula fluida em relação à origem do sistema de coordenadas não-inercial. Os termos do lado esquerdo da Equação (3.2) são, respectivamente, o gradiente de pressão, a dissipação viscosa e o termo gravitacional. O último termo do lado direito da Equação (3.2) representa a representa a aceleração temporal e convectiva do fluido. O termo 2ω V é denominado de aceleração de Coriollis e surge devido à xyz mudança do sistema de coordenadas inercial para o não-inercial. O termo ω ω r, chamado de aceleração centrípeta também surge devido à mudança de ( ) referencial. O escoamento a ser estudado é considerado incompressível, com propriedades constantes, isotérmico e o rotor gira com velocidade angular constante em torno de um eixo fixo (sem movimento de translação). A equação da quantidade de movimento para os domínios estacionários (tubo de entrada, difusor) pode ser obtida da Equação (3.2) bastando atribuir ω = Modelagem da turbulência Da literatura sabe-se que a fluidodinâmica do escoamento no interior de máquinas de fluxo ocorre em regime turbulento. Portanto, é necessário incorporar tais efeitos na modelagem do problema estudado. De maneira resumida, os escoamentos em regime turbulento são intrinsecamente transientes, ou seja, os

43 26 valores de propriedades desse tipo de escoamento flutuam com o tempo. Porém, utilizando métodos estatísticos é possível observar uma certa coerência nesse tipo de escoamento. φ φ ' φ Figura 3.3 Propriedade genérica de um escoamento em regime turbulento em função do tempo, t Osbore Reynolds em 1895 observou que era possível escrever o valor de uma propriedade genérica do escoamento turbulento através de duas parcelas: uma média e uma flutuação, como está representado na Figura 3.3 e na Equação (3.3) (Wilcox, 1993). φ ( t) = φ + φ '( t) (3.3) onde φ ( t) representa uma propriedade genérica instantânea do escoamento em um ponto do espaço, φ é o valor médio no tempo dessa propriedade e φ '( t) é o valor da flutuação temporal dessa propriedade. Com essa forma de abordagem, Reynolds propôs um estudo da turbulência aplicando médias temporais às equações da conservação da massa e da quantidade de movimento resultado da substituição da Equação (3.3) nas variáveis velocidade e pressão, resultando em: V xyz = 0 t (3.4) onde DV ρ = p + τ ij (3.5) Dt

44 27 u u i j τ ij = µ + ρu iu j (3.6) x j x i onde o símbolo u i representa a componente do vetor de velocidade na direção coordenada i (x, y ou z). Analisando a Equação (3.5), pode-se dizer que os termos turbulentos de inércia se comportam como se a tensão total, τ ij, no sistema fosse composta de uma tensão viscosa newtoniana mais um tensor tensão turbulenta aparente ρ u iu j, denominado Tensor Tensão de Reynolds. Esse produto das flutuações médias é uma razão média temporal da transferência de quantidade de movimento devido à turbulência, sendo a prescrição desse fluxo de quantidade de movimento o grande desafio na modelagem da turbulência. A modelagem desses termos é necessária para resolver o sistema de equações (fechamento do problema da turbulência). Para resolver o problema de fechamento da turbulência Boussinesq propôs um modelo onde se assume que o produto médio das flutuações de velocidade ' ' ( ρ u u ) é proporcional à taxa de deformação média do fluido (Wilcox,1993), ou seja: i j ' ' u u i j ρ uiu j = µ t + (3.7) x j x i onde i e j são índices que representam as direções coordenadas (x, y ou z). O coeficiente µ t é denominado viscosidade dinâmica turbulenta e é uma característica do escoamento estudado. Para o presente trabalho, assume-se como hipótese escoamento turbulento de fluido newtoniano governado pelas equações de conservação da massa e da quantidade de movimento. Utilizam-se as equações médias de Reynolds e a hipótese de Boussinesq para a modelagem da turbulência. Sendo assim, as equações da conservação da massa e da quantidade de movimento em x, y e z assumem, respectivamente a forma: u v w + + = 0 x y z (3.8)

45 28 u uu uv uw 1 p u = + ( ν + ν t ) 2 + t x y z ρ x x x u v u w + ( ν + ν ) + + ( ν + ν ) + + S y y x z z x t t x (3.9) v vu vv vw 1 p v = + ( ν + ν t ) 2 + t x y z ρ y y y u v v w + ( ν + ν ) + + ( ν + ν ) + + S x y x z z y t t y (3.10) w wu wv ww 1 p w u = + + ( ν + ν t ) + + t x y z ρ z x x z w v w + ( ν + ν t ) + + ( ν + νt ) 2 y y z z z (3.11) onde u, v e w são as componentes médias de velocidade nas direções x, y e z, ν é a viscosidade cinemática do fluido, ν t é a viscosidade cinemática turbulenta dada por ν t = µ t / ρ, S x e S y são termos fonte. Para o caso de um sistema de coordenadas inerciais, esses termos fontes são iguais a zero. Considerando um sistema de coordenadas rotativo, com velocidade angular constante, tem-se: S = 2 ω. v ω x (3.12) 2 x z z S = 2 ω. u ω y (3.13) 2 y z z As barras sobre as componentes de velocidade e pressão são mantidas para denotar a aplicação das médias temporais de Reynolds. Para modelar o valor de µ = ρ. ν em cada ponto do domínio, surgiram diversos modelos ao longo dos anos. t t Dentre esses, os denominados modelos de turbulência a duas equações são bastante utilizados. No presente trabalho, é utilizado o modelo de turbulência a duas equações κ ε padrão de Launder e Spalding (1974).

46 Modelo de Turbulência a duas equações κ ε padrão O modelo de turbulência a duas equações κ ε padrão é, talvez, o mais conhecido dos modelos de turbulência. A idéia principal desse modelo é estabelecer uma relação entre a variável ν t e duas outras propriedades turbulentas do escoamento, que para esse modelo são as variáveis κ e ε : 2 C µ κ ν t = (3.14) ε onde κ é a energia cinética turbulenta, ε é a componente isotrópica da taxa de dissipação de energia, C µ é uma constante do modelo. Como já mencionado, duas equações diferenciais adicionais são utilizadas nesse modelo, uma para calcular κ e outra para calcular ε. As equações para κ e ε em coordenadas cartesianas são, respectivamente, Dκ = D + ε κ Pκ Dt (3.15) Dε ε = Dε + ( Cε 1Pκ Cε2ε) (3.16) Dt κ onde o lado esquerdo das equações (3.15) e (3.16) estão contemplados os termos de variação temporal e transporte convectivo das propriedades turbulentas, D κ e D ε são termos difusivos de κ e de ε, respectivamente e P κ é o termo de produção de κ. C ε 1 e C ε 2 são coeficientes do modelo. Os termos D k, D ε e respectivamente por: P k são dados D κ ν t κ ν t κ ν t κ = ν + + ν + + ν + x σκ x y σκ y z σκ z (3.17) D ε ν t ε ν t ε ν t ε = ν + + ν + + ν + x σε x y σε y z σε z (3.18)

47 30 onde σ k e u v u w v w Pκ = ν t + + y x + z x z y (3.19) u v w x y z σ são os números de Prandtl turbulento para κ e ε, respectivamente. ε Os coeficientes adotados pelo modelo κ ε padrão são C µ = 0,09, C ε 1 = 1,44, C ε 2 = 1,92, e os números de Prandtl turbulentos são σ = 1,0 e σ = 1,30. Uma restrição a esse modelo é que ele não pode ser utilizado em regiões muito próximas à parede. Uma discussão sobre as conseqüências dessa limitação é feita com maiores detalhes no capítulo 6. k ε Condições de contorno do problema As condições de contorno do problema, mostradas esquematicamente na Figura 3.4, são: condição de não-deslizamento e de impermeabilidade sobre todas as superfícies sólidas do domínio ( u = v = w = 0 ) parede. O valor da energia cinética turbulenta κ, deve também ser nulo sobre todas as superfícies sólidas. A condição de contorno para a dissipação da energia cinética turbulenta, ε, em superfícies sólidas é calculada através da relação empírica mostrada por Versteeg e 3 / 4 3 / 2 Malalasekera (1995) dada por C. ( y. ) ε = κ κ. À entrada do domínio da bomba µ p centrífuga, é imposta uma pressão de referência constante e igual a zero (P ref. = 0 Pa) e à saída é imposta vazão constante, sob forma de uma velocidade média constante em toda área de saída do domínio. As distribuições de k e ε devem ser conhecidas na entrada, porém, quando não se conhece essa distribuição (maioria dos casos), faz-se uma estimativa. No programa Ansys CFX, há diversas maneiras de como isso pode ser feito. Uma dessas maneiras usa o conceito de intensidade turbulenta (I). O valor de I na entrada é normalmente assumido entre 0 e 0,10. O v

48 31 2 valor de κ é calculado através da relação κ = ( 3 2)I V e ε é calculado por ( 1000I ) C. Nas interfaces dos domínios de cálculo (tubo/rotor, 2 ε = ρ µ κ µ rotor/difusor, etc) são impostos modelos de interface para possibilitar a conexão de um domínio ao outro (detalhes desses modelos são mostrados no capítulo 5). Entrada Fluido Pressão Ref. (P = 0 Pa) 2 Interface dos Domínios (Modelos Interface) Superfícies Sólidas u = v = w = κ = 0 ( ) Rotor Difusor ω=cte Saída de Fluido Vazão Constante (Velocidade Média) Extensão Difusor Figura 3.4 Esquema das condições de contorno impostas aos sub-domínios do primeiro estágio da bomba estudada. O programa computacional utilizado nas simulações numéricas possui uma interface gráfica onde são inseridos os dados de entrada tais como: geometria do problema, a malha computacional, parâmetros do escoamento, modelo de turbulência utilizado, etc. O capítulo seguinte descreve como foram confeccionados os domínios de interesse e atenta para algumas simplificações feitas nas geometrias da bomba estudada.

49 32 4 MODELAGEM GEOMÉTRICA E NUMÉRICA Uma vez estabelecidas as hipóteses e as equações governantes que regem o problema estudado, os domínios geométrico e numérico, que no presente trabalho compreende o primeiro rotor e o difusor da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, são definidos. Contudo, apesar do foco dos estudos estar no rotor e no difusor, dois domínios auxiliares são utilizados nas simulações numéricas, um à entrada do rotor e outro à saída do difusor, com o intuito de minimizar efeitos das condições de contorno nos domínios de interesse. Na primeira parte deste capítulo é descrita a construção dos domínios de cálculo do problema. Em seguida apresenta-se a metodologia empregada pelo programa computacional Ansys CFX 11.0, utilizado na solução numérica do problema. 4.1 Definição das Geometrias do primeiro estágio da bomba centrífuga Antes de se implementar a geometria desejada no programa computacional, é necessário proceder alguns passos quanto à modelagem mecânica das partes envolvidas (rotor, difusor) e também das extensões do domínio à entrada e saída. Uma descrição detalha é feita a seguir Geometria do rotor do primeiro estágio da bomba centrífuga O rotor estudado é radial do tipo fechado, isto é, possui tampas que envolvem ambos os lados das pás. A essas tampas dão-se os nomes de cubo e coroa. O cubo é a região inferior do rotor e que está em contato direto com o eixo que transmite

50 33 movimento. A coroa localiza-se na região oposta ao cubo, como mostra a Figura 4.1. As pás do rotor estudado são voltadas para trás em relação ao sentido de giro do rotor e são em número de oito. O primeiro rotor da bomba possui diâmetro de entrada de 80,1 mm, diâmetro de saída de 206,6 mm e altura do canal na saída de 12,0 mm. A Figura 4.1 mostra o primeiro rotor da bomba centrífuga Imbil ITAP /2 modelado em realidade virtual com o auxílio do programa computacional de SolidWorks Para fins ilustrativos, a Figura 4.1(a) mostra o rotor com as duas tampas (cubo e coroa) e a Figura 4.1(b) apresenta o mesmo rotor sem a tampa superior (coroa), onde é possível visualizar as pás e o cubo. Coroa Pás Cubo (a) (b) Figura 4.1 Rotor do primeiro estágio da bomba IMBIL ITAP /2. (a) Rotor na sua forma original com coroa e (b) rotor sem a coroa superior para facilitar a visualização de partes internas. Uma réplica do rotor utilizado nos testes experimentais foi obtida junto à Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Nesta réplica, foram efetuadas diversas medições com intuito de determinar a geometria das partes internas do rotor. A Figura 4.2 mostra o rotor do primeiro estágio da bomba, utilizado nos estudos numéricos.

51 34 Figura 4.2 Rotor real sem a tampa inferior (cubo). Rotor utilizado na determinação da curvatura das pás e confecção do modelo virtual. Após uma modelagem geométrica preliminar do rotor, diversos ajustes foram efetuados para que o rotor fosse o mais fidedigno possível ao modelo real. Isso foi feito devido à grande complexidade da geometria das pás do rotor. A geometria das partes sólidas do rotor (pás, cubo e coroa) foi utilizada para obtenção do domínio fluido de cálculo, mostrado na Figura 4.3. Esse domínio foi utilizado na geração da malha computacional que finalmente foi fornecida ao programa de dinâmica dos fluidos computacional Ansys CFX 11.0 para a simulação numérica do escoamento. Figura 4.3 Domínio fluido de cálculo do rotor Uma aproximação feita no domínio numérico do rotor foi considerar as pás menores que o diâmetro externo do rotor, como mostra a Figura 4.4. Isso foi feito com objetivo de melhorar o acoplamento entre o domínio de rotor e difusor. O manual do programa Ansys CFX sugere que o valor numérico da área na secção de

52 35 saída do rotor seja igual ao da área de secção de entrada do difusor. O programa tolera pequenas variações, porém, campos distorcidos podem ser gerados caso haja diferenças muito grandes na área de contato em rotor e difusor. Para evitar esse problema, o rotor foi confeccionado com as pontas das pás 2mm menores, em diâmetro, do que o modelo real. Procedimento análogo foi feito ao difusor para a área de contato entre os dois domínios fosse igual. Figura 4.4 Detalhe das pás do rotor e aletas do difusor. Tanto as pás do rotor quanto as aletas do difusor não tocam a superfície de contato entre os domínios Geometria do difusor do primeiro estágio da bomba centrífuga Para a modelagem do difusor, localizado à saída do primeiro rotor da bomba, são utilizadas técnicas de medição semelhantes às aplicadas na modelagem do rotor. O difusor é composto por doze aletas, que tem a função principal de organizar o escoamento na saída do rotor. As aletas possuem 16,1mm de altura por 3,0mm de espessura. A Figura 4.5 mostra uma réplica do difusor utilizado nos testes experimentais.

53 36 Figura 4.5 Difusor do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2 Em comparação ao rotor, o difusor não apresenta grandes dificuldades para a determinação de sua geometria. O difusor mostrado na Figura 4.5 é uma peça única confeccionada por fundição. Por isso as aletas do difusor possuem variações dimensionais entre si. Isso não foi levado em consideração no modelo virtual, ou seja, foram tomados valores médios das medições. Por exemplo, a espessura e o comprimento das aletas foram escolhidos de modo que todos os canais do modelo virtual fossem exatamente iguais. A Figura 4.6 mostra o resultado dessa modelagem. Figura 4.6 Modelo virtual do difusor da bomba centrifuga Imbil ITAP /2 Analogamente ao que foi realizado para determinação do domínio fluido do rotor, um domínio fluido do difusor foi confeccionado, para também ser utilizado como dado de entrada no programa Ansys CFX O resultado final desse tratamento é mostrado na Figura 4.7.

54 37 Figura 4.7 Domínio fluido do difusor da bomba centrífuga Imbil ITAP /2 O primeiro rotor e o difusor da bomba centrífuga Imbil ITAP /2 constituem o foco de estudos do presente trabalho. Porém, para eliminar efeitos de condições de contorno nesses componentes, pequenas extensões nos domínios à entrada e à saída foram implementadas. Detalhes dessa técnica estão mostrados na secção 4.1.3, a seguir Geometrias auxiliares utilizadas nos estudos numéricos Como foi visto no Capítulo 2, quando a bomba centrífuga está operando fora da condição de projeto, surgem recirculações no interior do rotor e difusor. No caso de haver recirculações em regiões próximas às fronteiras do domínio (entradas ou saídas), pequenas extensões do domínio devem ser aplicadas na modelagem. García e Vicent (2007) realizaram estudos numéricos preliminares na bomba centrífuga Imbil ITAP /2 e mostraram que os resultados são melhorados com a aplicação de um tubo de pequeno comprimento na região de entrada da bomba. Essa técnica também foi utilizada por Mañez e Vicent (2009) que além de um tubo de entrada, utilizou uma pequena extensão à saída do difusor. Em concordância aos trabalhos realizados por García e Vicent (2007) e Mañez e Vicent (2009), dois domínios foram implementados. O primeiro trata-se de um tubo com diâmetro idêntico a entrada do primeiro rotor e um comprimento de 100,0 mm e o segundo é uma extensão da saída do difusor.

55 38 No caso da extensão à saída do difusor, foram necessários alguns estudos para se determinar a extensão adequada do domínio. Na saída do difusor real, há uma peça denominada de Indutor. O indutor é composto de seis aletas e tem a função de preparar o escoamento para o segundo rotor. Como já mencionado, o objetivo do estudo do presente trabalho é avaliar o escoamento no primeiro rotor e no difusor. Por isso, foi confeccionada uma peça simplificada que se assemelha à forma do indutor, porém que não possui aletas, como mostra a Figura 4.8. Uma análise da escolha da peça que melhor se adequasse à realidade do escoamento à saída do difusor está mostrada na secção 5.1. Saída do Indutor Entrada do Indutor Figura 4.8 Extensão do domínio à saída do difusor. 4.2 Discretização das equações de conservação Nessa secção é mostrado como as equações de conservação da massa, equação da quantidade de movimento e as provenientes dos modelos de turbulência são tratadas numericamente. A metodologia numérica utilizada consiste na divisão dos domínios de interesse em diversos pequenos volumes de controle, gerando uma malha computacional. Em cada um desses volumes de controle, são aplicadas as

56 39 equações que regem o escoamento na bomba (conservação da massa, quantidade de movimento e modelo de turbulência). Essas equações são linearizadas e integradas ao longo de cada um dos volumes de controle do domínio, no tempo e no espaço, resultando em um sistema algébrico de equações. Há, basicamente, quatro tipos de malhas computacionais que podem ser utilizadas para mapear problemas numéricos de mecânica dos fluidos: malha cartesiana, malha cilíndrico-polar, malhas ajustadas ao corpo e malhas nãoestruturadas, como mostrado na Figura 4.9. As malhas cartesianas, cilíndricopolares e ajustadas ao corpo são classificadas como malhas-estruturadas, pois todos os volumes de controle internos ao domínio possuem a mesma quantidade de vizinhos. Nas malhas cartesianas (Figura 4.9(a)), os volumes de controle são paralelepípedos, sendo as variáveis espaciais dadas por x, y e z, orientadas nas direções das três arestas desses volumes de controle. Nas malhas cilíndrico-polares (Figura 4.9(b)), os volumes de controle são prismas retos de base formada por um setor circular, sendo as variáveis espaciais dadas por r (raio), θ (direção angular) e z (direção axial). Malhas ajustadas ao corpo (Figura 4.9(c)) possuem volumes de controle com formatos análogos a prismas, porém, suas arestas não são formadas por retas, mas sim curvas que se ajustam ao formato da geometria estudada. As variáveis espaciais ξ 1, ξ 2 e ξ 3 mapeiam o domínio com malhas ajustadas ao corpo e são obtidas pela teoria de transformação de coordenadas. As malhas nãoestruturadas, mostrada na Figura 4.9(d) possuem volumes de controles com orientações variadas e não há uma lei de formação definida para esses volumes, como ocorre para os demais tipos de malhas.

57 40 Figura 4.9 Tipos de malhas computacionais aplicadas em mecânica dos fluidos e transferência de calor e massa. (a) Malhas Cartesianas, (b) Malhas Cilíndrico- Polares, (c) Malhas Ajustadas ao Corpo e (d) Malha não-estruturada. No caso apresentado pela Figura 4.9(d), devido as particularidades da geometria, não há garantia de que os volumes de controle possuam uma quantidade fixa de vizinhos, e também não há o conceito de orientação do volume de controle em determinada direção coordenada. A escolha do tipo de sistema de coordenadas mais adequado depende da forma geométrica do problema estudado. O programa computacional Ansys CFD possui um gerador de malha denominado Ansys ICEM CFD que é capaz de gerar tanto malhas estruturadas como não-estruturadas. O programa computacional Ansys CFX 11.0 utiliza o método de discretização dos Volumes Finitos baseado em Elementos Finitos. Esse método consiste em mapear a geometria com elementos tetraédricos, hexagédricos, prismáticos ou piramidais (vide Figura 4.10). A Figura 4.11 mostra de maneira esquemática um desses volumes de controle da malha gerada. Nos vértices ou nós de cada elemento gerado são armazenadas todas as variáveis do problema e propriedades do fluido. No centróide das faces de cada elemento é discriminado um ponto, denominado Elemento Face-

58 41 Centrado. Ao redor de cada nó é construído um volume de controle unindo os Elementos Face-centrados ao ponto médio da aresta de cada elemento circunvizinho ao nó considerado. (a) (b) (c) (d) Figura 4.10 Tipos de elementos finitos utilizados na confecção de uma malha computacional não-estruturada. (a) Tetraedro, (b) Hexaedro, (c) prisma triangular e (d) pirâmide. Elemento Superfície do Volume de Controle Nó Figura 4.11 Volume de controle de uma malha não-estruturada

59 42 As equações de conservação, apresentadas no capítulo 3, são integradas ao longo do volume de controle hachurado da Figura 4.11 e o teorema de divergência de Gauss é aplicado para converter algumas integrais de volume em integrais de superfície. Assim, as equações resultantes assumem a seguinte forma: SC ( Vjdn j ) = 0 (4.1) ρ + ρ = + µ + + V V i j V jdv VjVi dn j Pdn j eff dn j S dv t VC SC SC SC x j xi VC (4.2) φ ρφ + ρ φ = + Γ + φ dv Vj dn j Pdn j eff dn j S dv t x VC SC SC SC j VC (4.3) onde VC e SC denota, respectivamente, integração no volume de controle e na superfície de controle, dn j são diferenciais das componentes cartesianas do vetor normal de área que aponta para a fora da superfície de controle. O primeiro passo na solução numérica dessas equações diferenciais é criar um sistema acoplado de equações lineares algébricas. Isso é feito convertendo cada termo das equações (4.1) a (4.3) na forma discreta. A Figura 4.12 mostra uma das faces de um elemento da malha e evidencia os denominados Pontos de Integração, Pi n, que estão localizados na fronteira entre dois volumes de controle, no centro de cada segmento que compõem a face que circunda o nó.

60 43 Nó1 Pi1 Nó2 Ponto Integração Elemento face-centrado Setores Pi3 Pi2 Nó3 Figura 4.12 Elemento de malha Da Figura 4.12, para integrar os termos volumétricos da Equação (4.2) e (4.3) de um nó são contabilizadas as contribuições de cada setor a que esse nó está circunscrito. Os termos de fluxo são convertidos na sua forma discretizada primeiramente aproximando seus fluxos através dos Pontos de Integração e posteriormente contabilizados ao nó a que estão circunscritos. A forma discretizada das equações de conservação é: 0 ( ) Pi ( Vj n j ) = 0 ( ) ( ) Pi Pi (4.4) i i i j Pi i i eff j Vi t Pi Pi Pi x j x i Pi Pi V V V V ρ V + mɺ V = P n + µ + n + S V (4.5) 0 ( ) φi φi φ i ρ V + mɺ Pi ( φ i ) = Pi Γeff n j + SφV (4.6) t Pi Pi x j Pi onde V é o volume de controle, e t é o passo de tempo, n j é componente discretizada do vetor de área da superfície de controle, o sob-escrito P i denota a avaliação da variável no ponto de integração. O termo temporal é discretizado com um esquema de interpolação de primeira ordem que utiliza o resultado da variável no passo de tempo anterior (sobre-escrito 0 ). A vazão mássica discretizada através de

61 44 uma superfície de controle, simbolizada por por: ( ) Pi j j Pi mɺ Pi nas equações (4.5) e (4.6), é dada mɺ = ρv n (4.7) Para resolver as equações (4.4) a (4.6) é necessário determinar o valor das propriedades do escoamento fora dos nós, onde estão armazenados os valores das variáveis. Para isto, são utilizadas as funções de forma do Método dos Elementos Finitos para calcular o valor de uma variável φ no interior de um elemento da seguinte forma: φ = N nós Ni φi (4.8) i = 1 onde N i é uma função de forma para o nó i e φ i é o valor da variável φ no nó i. O comportamento da função de forma N i é tal que: N nós N = Ni = 1 (4.9) i = 1 De acordo com a Equação (4.9), as funções de forma N foram concebidas para que nos vértices dos elementos o valor da variável φ seja exatamente o valor φ i daquele nó. Pode-se concluir que a equação (4.8) representa uma interpolação de todos os vértices do elemento em relação ao ponto interno onde se está determinando a propriedade desejada. Essas funções de forma são escritas em termos de variáveis paramétricas s, t e u que assumem valores reais entre 0 e 1. Cada tipo de elemento (tetraédrico, hexaédrico, prismático ou triangular) possui um conjunto de funções de forma específico para a interpolação de φ no interior daquele elemento. Um exemplo dessas funções de forma para o elemento tetraédrico é mostrado na Figura 4.13.

62 45 Nó4 Funções de forma (tetraédros): Nó3 Nó1 Nó2 N1(s,t,u)=1-s-t-u N2(s,t,u)=s N3(s,t,u)=t N4(s,t,u)=u Figura 4.13 Exemplo de funções de forma utilizadas em elementos tetraédricos para ponderação de valores internos. Com auxílio dessas funções é possível calcular o valor de qualquer variável dentro de uma posição arbitrária do elemento considerado, inclusive em termos de gradientes. Dessa maneira, os termos de gradiente de pressão e os gradientes difusivos da Equação (4.5) e (4.6) são determinados. Para completar a discretização das equações de conservação, é necessário avaliar o valor assumido pelos termos advectivos. O programa Ansys CFX possui um esquema de interpolação de Alta Ordem, que pondera escolha do valor de φ para cada ponto de integração, utilizando princípio análogo ao esquema híbrido de interpolação descrito por Patankar (1980), porém, com a adição de termos e funções interpoladoras de alta ordem. Esse esquema foi escolhido para as simulações numéricas do presente trabalho. O programa computacional resolve o sistema de algébrico de equações através de um método de solução proposto por Rhie e Chow (1983). A equação da conservação da massa é modificada, estabelecendo uma equação para a pressão, que é resolvida de maneira implícita com a equação da quantidade de movimento. Cada nó tem um sistema de equações do tipo: (Maliska, 2009) onde viz viz ai φ i = bi (4.10) viz

63 46 a viz i auu auv auw aup avu avv avw a vp = awu awv aww awp apu apv apw app (4.11), e φ viz i u v = w p viz (4.12) bu b v bi = bw b p i (4.13) φ é a variável calculada, os a são os coeficientes oriundos das equações de conservação discretizadas, i representa o número do nó considerado (cada nó é identificado por um número inteiro que o discrimina dos demais nós da malha computacional), viz representa a contribuição dos vizinhos ao nó considerado e também a contribuição do próprio nó. Todas as matrizes dos nós são resolvidas de forma acoplada e simultânea através de um sistema da forma: [ bi ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ φ ] i a i [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] =.... [ ] [ ] [ ] [ ].... (4.14)

64 47 INÍCIO RESOLVER AVANÇO DA MALHA AVANÇAR PASSO DE TEMPO NÃO TEMPO FÍSICO MÁXIMO ATINGIDO SIM NÃO RESOLVER SISTEMA HIDRODINÂMICO RESOLVER EQUAÇÕES DE TURBULÊNCIA SIM CRIT. PARADA / N ITERAÇÕES ATINGIDOS TRANSIENTE NÃO NÃO CRITÉRIO DE PARADA / N ITERAÇÕES ATINGIDO SIM FIM SIM Figura 4.14 Fluxograma simplificado de resolução do sistema de equações do programa Ansys CFX 11.0 Os coeficientes a das equações de algébricas (4.10) a (4.14) são calculados através de parâmetros da malha (tamanho dos volumes de controle, etc) e do valor variáveis do escoamento (pressão, velocidade, temperatura, etc). Quando o programa computacional resolve a matriz dada pela equação (4.14), novos valores dessas variáveis são obtidos e então, os coeficientes a são atualizados e o processo iterativo se reinicia até que a convergência seja alcançada. A Figura 4.14 mostra de maneira esquemática e simplificada o fluxograma de solução das equações no programa Ansys CFX. Tendo definido o problema a ser estudado numericamente (geometria, malha computacional, etc) e com os dados de entrada, inseridos no programa, a simulação numérica é iniciada. O programa lê um campo inicial das variáveis a serem calculadas (estimativa fornecida pelo usuário ou gerada pelo próprio programa) e segue uma série de testes lógicos até que a convergência do problema seja alcançada, como mostra a Figura A seguir é mostrado como foi definida geometria a ser simulada numericamente no presente trabalho, bem como são mostrados os diversos parâmetros numéricos que foram determinados como dados de entrada nas simulações (critério de parada, número de nós da malha computacional, etc).

65 48 5 AVALIAÇÃO DE PARÂMETROS E TESTES DE MALHA Neste capítulo, é descrita a metodologia utilizada para determinação dos parâmetros utilizados nas simulações numéricas. Mostra-se como foi definida a geometria à saída do difusor, o teste de critério de convergência, o teste de malha, o teste do passo de tempo e o teste da influência do arquivo iniciador nas simulações em regime transiente. 5.1 A escolha da configuração geométrica adequada para as simulações numéricas Para a escolha da geometria do domínio a ser anexada a saída do difusor, foram propostas quatro configurações diferentes e alguns testes numéricos foram realizados para observar a influência de cada uma delas nos resultados. A primeira configuração, mostrada na Figura 5.1, simula o escoamento no rotor e no difusor da bomba, sem a presença de extensão de domínio à saída do difusor, impondo pressão de referência igual a zero na entrada do tubo de admissão e vazão na carcaça do difusor (sob forma de um perfil uniforme de velocidades ao longo da área de saída), como se a direção do escoamento à saída do difusor estivesse em um plano transversal ao eixo de rotação do rotor.

66 49 Pref = 0Pa Tubo de entrada Rotor Difusor Vazão Velocidade Constante Constante Figura 5.1 Configuração 01 ( Radial ) de escoamento entre rotor e difusor da bomba centrífuga IMBIL, modelo ITAP /2 A segunda configuração é semelhante à primeira, porém a saída do difusor tem direção axial, como mostrada na Figura 5.2. Como conseqüência dessa saída axial, no raio externo do difusor (carcaça), foi considerado o escoamento junto a uma parede sólida com condição de não-deslizamento. Pref = 0Pa Tubo de entrada Rotor Difusor Parede com condição de não-deslisamento Vazão Velocidade Constante Constante Figura 5.2 Configuração 02 ( Axial para baixo ) de escoamento entre rotor e difusor da bomba centrífuga IMBIL, modelo ITAP /2 A terceira configuração, mostrada na Figura 5.3, é uma extensão do domínio do difusor com objetivo semelhante ao tubo de admissão do rotor, ou seja, afastar a condição de contorno da região de interesse. Como a bomba é composta por dois estágios, um dimensionamento preliminar do indutor (região localizada entre o

67 50 difusor e o segundo rotor) foi feito e as medidas principais (como altura do indutor e diâmetro externo) foram utilizadas para confecção dessa extensão de domínio. A quarta e última configuração é uma variante da configuração 3, como mostrada na Figura 5.4. A diferença entre essas duas configurações está no diâmetro de saída do escoamento, ou seja, na configuração 4 foi utilizado um diâmetro de saída menor do que na configuração 3. No indutor da bomba centrífuga estudada, há uma redução de área na região superior do domínio (ver Figura 5.4) que também foi determinada e implementada no modelo numérico. No indutor real, há também um conjunto de 6 aletas igualmente espaçadas ao longo da direção tangencial, entretanto, essas aletas não estão contabilizadas na configuração 4. A função dessa extensão continua sendo a de afastar a condição de contorno de saída da região de interesse. Pref = 0Pa Velocidade Vazão Constante Tubo de entrada Rotor Difusor Parede com condição de não-deslisamento Extensão Difusor Figura 5.3 Configuração 03 ( Extendido ) de escoamento entre rotor e difusor da bomba centrífuga IMBIL, modelo ITAP /2

68 51 Pref = 0Pa Velocidade Vazão Constante Tubo de entrada Rotor Difusor Extensão Difusor Parede com condição de não-deslisamento Figura 5.4 Configuração 4 ( Indutor sem aletas ) de escoamento entre rotor e difusor da bomba centrífuga IMBIL, modelo ITAP /2 Nas Figuras 5.1 a 5.4, pode-se observar a presença de vários sub-domínios distintos, que juntos compõem o domínio completo a ser simulado numericamente. Além das condições de contorno comumente utilizadas como vazão, pressão de referência e condição de não deslizamento em superfícies sólidas, é necessário informar ao programa computacional o acoplamento entre os domínios (tubo de entrada, rotor, difusor). No problema estudado existem dois tipos de interfaces a serem analisados. A primeira trata-se de um domínio fixo em contato com outro domínio também fixo, como é a interface da saída do difusor com a entrada do indutor. Para esse caso, o programa Ansys CFX oferece um modelo simples que comunica ambos domínios sem maiores dificuldades. O segundo caso diz respeito a um domínio em movimento de rotação em relação a outro. Para interfaces de domínios onde há movimento relativo de rotação, o programa computacional Ansys CFX 11.0 possui três modelos distintos: O modelo Estágio ou Segmento (do inglês, Stage ), O modelo Rotor-Congelado (do Inglês, Frozen-Rotor ) e o modelo Transiente. O modelo Estágio e o modelo Rotor-Congelado são modelos de regime permanente, isto é, o rotor assume uma posição fixa em relação ao difusor. Nesses

69 52 dois modelos de interface, não há variação da posição do rotor em relação ao estator, ou seja, o domínio numérico que compreende o rotor não altera sua posição angular com o tempo, gerando um campo médio de pressão e velocidade. A diferença básica entre esses dois modelos de interface está na maneira com que ambos tratam a variável pressão na interface dos domínios. O modelo Estágio aplica uma média circunferencial da pressão na interface dos domínios de modo que não haja variação da pressão na direção tangencial da interface dos domínios, o que não é feito no modelo Rotor-Congelado. Como conseqüência, o modelo Estágio não é indicado para situações onde ocorram recirculações no interior do domínio. O modelo Transiente leva em conta o efeito da variação da posição angular do rotor em relação ao difusor. A desvantagem desse modelo frente aos dois primeiros modelos citados está no alto custo computacional e também no grande volume de dados gerados nas simulações numéricas. Para verificar o efeito das quatro configurações mostradas nas Figuras 5.1 a 5.4 nos resultados foi utilizado o modelo de interface Rotor-Congelado. Uma malha computacional grosseira foi construída para realização dos testes. Apesar disso, espera-se uma certa concordância com os resultados experimentais, uma vez que as geometrias de rotor e difusor, bem como a malha gerada (ainda que não seja refinada), são próximas da geometria do modelo real. A tabela 5-1 mostra os resultados de diferença de pressão no rotor e difusor para as várias configurações, os resultados experimentais e os desvios em relação aos valores experimentais, para a vazão de projeto, 36m 3 /h, e rotação nominal, 1150rpm.

70 53 Tabela 5-1 Tabela comparativa da diferença de pressão no rotor e difusor da bomba centrífuga estudada para 4 configurações de saída do escoamento. vazão de 36m 3 /h de água Config. Geometria P Rotor Desvio (%) P Rotor P Difusor Desvio (%) P Difusor [Pa] [Pa] - Experimental 62549, ,3 - (Amaral, 2007) 01 Saída Radial 62018,4 0, ,6 44,41 02 Axial p/ baixo 59352,0 5, ,1 43,54 03 Extendido 61404,1 1, ,1 11,97 04 Indutor s/ aletas 60785,2 2, ,9 15,57 O valor dos desvios relativos foram calculados utilizando a Equação (5.1) ( Valor Numérico) ( Valor Experimental ) ( Valor Experimental ) Desvio(%) = Absoluto 100% (5.1) Observa-se na Tabela 5-1 que as variações dos resultados para a diferença de pressão no rotor são inferiores a 6,0 %. Já para a diferença de pressão no difusor houve maiores discrepâncias. As configurações 01 e 02 tiveram variações muito pronunciadas em relação ao valor experimental além de apresentarem alto custo computacional. Várias intervenções por meio de alteração de parâmetros das simulações foram necessárias para obtenção da convergência. Por essas razões, estas configurações foram desconsideradas. Para escolha da geometria mais indicada, foi feita uma simulação numérica adicional com uma vazão diferente da de projeto, 46m 3 /h, também com rotação de 1150 rpm. Para essa vazão os resultados estão apresentados na Tabela 5-2, para as configurações 03 e 04.

71 54 Tabela 5-2 Tabela comparativa da diferença de pressão no rotor e no difusor para as configurações 3 e 4. Vazão de 46m 3 /h de água Config. Geometria P Rotor Desvio Experimental - (Amaral, 2007) P Difusor [Pa] (%) P Rotor [Pa] Desvio (%) P Difusor 57538, ,6-03 Extendido 57606,1 0, ,1 15,94 04 Indutor s/ aletas 57290,8 0, ,9 13,17 Analisando as tabelas 5-1 e 5-2, nota-se que os resultados entre as configurações 3 e 4 são muito semelhantes. No presente trabalho, foi escolhida a configuração 4, pois a condição de saída está mais longe da região de interesse (rotor e difusor) em relação a configuração 3. Uma vez defina a geometria a ser utilizada nas simulações numéricas (ver Figura 5.5) constituída por tubo de admissão, rotor do primeiro estágio, difusor e a extensão à saída do difusor, diversos outros parâmetros foram avaliados de maneira a verificar a consistência dos resultados. Nas secções seguintes, avalia-se o critério de parada, a malha numérica utilizada e o passo de tempo. Figura 5.5 Modelo numérico da bomba centrífuga Imbil ITAP /2

72 Critério de parada O critério de parada é um parâmetro utilizado para avaliar a convergência alcançada nas simulações numéricas. O critério de parada indica a magnitude dos resíduos obtidos na solução das equações discretizadas. A literatura sugere utilizar como critério de parada o valor máximo dos resíduos (RES MAX ) das variáveis calculadas (u, v, w e P) como sendo menor que (Asuaje et al, 2005). Para avaliar o critério de parada adequado, foram feitos testes da bomba centrífuga operando na vazão de projeto fornecida pelo fabricante (vazão de 36m 3/ h na rotação de 1150 rpm). A Tabela 5-3 mostra os resultados para diferentes critérios de parada. Tabela 5-3 Comparativo de resultados da diferença de pressão no rotor e difusor versus critério de parada do programa Ansys CFX 11.0 RES MAX P Rotor P Difusor Desvio % Desvio % [Pa] [Pa] (Rotor) (Difusor) 1x , , x , ,7 22,98 11,84 1x , ,1 0,30 1,01 1x , ,9 0,01 0,03 Os desvios percentuais que aparecem na Tabela 5-3 são calculados de acordo com a Equação (5.2). Essa equação compara dois critérios de parada consecutivos, por exemplo, 1x10-1 (i) e 1x10-2 (i+1). i i + 1 ( P ) ( P ) i + 1 ( P ) Desvio (%) = Absoluto 100% (5.2) Da tabela 5-3, pode-se notar que a variação entre o valor da diferença de pressão tanto no rotor, quanto no difusor não sofreu alteração significativa a partir da utilização de um RES MAX de 1x10-3. Tal valor foi adotado como sendo o critério de parada para as simulações do presente trabalho. Para avaliar se esse valor de critério de parada é realmente aceitável, foram levantados perfis de velocidade e pressão em algumas regiões do domínio da

73 56 bomba. A Figura 5.6 mostra o perfil de velocidade relativa no interior de um dos canais do rotor em uma posição arbitrária. No eixo das ordenadas, a cota z corresponde à direção axial (paralela ao eixo da bomba) e está adimensionalizada pela largura do canal na saída do rotor, b. Da Figura 5.6 pode-se observar que praticamente não há distinção dos perfis de velocidade para RES MAX de 1x10-3 e de 1x10-4, o que se conclui que utilizar um critério de parada em 1x10-3 não trás prejuízos aos resultados z / b Res Max 0,1 Res Max 0,01 Res Max 0,001 Res Max 0, Velocidade Relativa [m/s] Figura 5.6 Perfil de velocidade relativa em um dos canais da bomba centrífuga estudada. Comparativo de diferentes critérios de parada A Figura 5.7 apresenta a variação de pressão com a direção tangencial, no raio de saída do rotor. Nessa figura é possível notar que a partir da utilização de um critério de parada inferior à 1x10-2 não há mudanças significativas nos resultados.

74 Pressão [ Pa ] Res Max 0,1 Res Max 0,01 Res Max 0,001 Res Max 0, Direção Tangencial [ ] Figura 5.7 Variação de pressão na direção tangencial, no raio de saída do rotor. Comparativo de diferentes critérios de parada 5.3 Teste de Malha Esta é uma etapa importante na análise do problema para evitar que os resultados fiquem dependentes da malha utilizada. Primeiramente, foi necessário adquirir experiência com a utilização de malhas não-estruturadas, uma vez que algumas particularidades são impostas na confecção dos volumes de controle desse tipo de malha. A grande influência que o parâmetro de tamanho da aresta dos volumes tetraédricos exerce no número final de pontos de cálculo do domínio é um exemplo da sensibilidade adquirida na confecção de malhas não-estruturadas, no presente trabalho. Pequenas variações nesse parâmetro implicavam na geração de um número exagerado de volumes no domínio. O programa utilizado para a geração da malha computacional foi o Ansys ICEM CFD. Com esse programa é possível gerar malhas tanto estruturadas como não-estruturadas. No caso das malhas estruturadas, a complexidade da geometria é determinante para a utilização dessa opção.

75 58 Os programas comerciais de geração de malhas não-estruturadas trabalham basicamente com quatro tipos de elementos ou volumes de controle: os elementos tetraédricos e hexaédricos que têm função de preenchimento e são versáteis a praticamente qualquer tipo de geometria ou complexidade (cantos vivos, frestas, furos, etc); os elementos prismáticos que são utilizados como forma de refinar a malha em regiões próximas a superfícies sólidas e; os elementos piramidais que formam uma transição entre os elementos prismáticos e tetraédricos em geometrias muito complexas. De um modo geral, a quantidade de volumes de controle envolvida em uma simulação numérica quando se utilizam malhas não-estruturadas é muito maior em comparação ao que se utiliza para malhas estruturadas. Feng et al. (2007), por exemplo, em seus estudos utilizaram cerca de 1,5 milhões de elementos em suas simulações numéricas. A geometria utilizada por eles é semelhante à utilizada no presente trabalho. Portanto, esse valor foi tomado como referência na quantidade de volumes de controle do domínio. Também se observa que em termos de altura de elevação ou diferença de pressão entre entrada e saída da bomba, malhas grosseiras produzem resultados bem semelhantes a malhas mais refinadas. Figura 5.8 Corte transversal da malha computacional utilizada no rotor e difusor. Detalhe ampliado mostra a distribuição dos prismas ao longo das pás do rotor e aletas do difusor.

76 59 A Figura 5.8 mostra um plano transversal ao eixo de rotação da bomba, evidenciando o formato dos volumes de controle e a disposição da malha ao longo do domínio do rotor e do difusor. É possível notar a presença de camadas de prismas próximo às pás do rotor e, também, das aletas do difusor. No tubo de admissão da bomba centrífuga e no domínio localizado a saída do difusor, por serem geometrias simples, foi possível gerar malhas com relativa facilidade. A malha gerada nesses dois domínios (ver Figura 5.9), apesar de aparentar ser estruturada, é também não-estruturada devido à arquitetura numérica utilizada pelo programa computacional Ansys CFX (a) (b) Figura 5.9 (a) Malha no indutor. (b) Malha no tubo de entrada O teste de malha foi efetuado de maneira que a quantidade de elementos de cada refinamento fosse aproximadamente o dobro da malha anterior. Na tabela 5-4, está mostrada a quantidade de elementos de cada malha testada, bem como as quantidades de pontos em cada um dos seus componentes (tubo de admissão, rotor, difusor e indutor):

77 60 Tabela 5-4 Quantidade de elementos utilizada nos testes de malha Elementos (Tetraedros, Prismas, Pirâmides e Hexaedros) Domínio Malha Inicial Malha 01 Malha 02 Malha 03 Tubo Rotor Difusor Indutor Total Para avaliar a independência do problema frente à malha computacional, foram levantados perfis de velocidade e pressão em algumas posições do rotor e do difusor e com isso foi possível comparar se a cada refino de malha ocorria alguma mudança significativa nos resultados obtidos. As Figuras 5.10 e 5.11 mostram, respectivamente, um perfil de velocidade relativa no rotor e pressão, tomados no raio de 40,0 mm e na metade da largura axial do canal do rotor. Pode se notar que os resultados entre as malhas 02 e 03 praticamente não sofrem alteração. 5 Velocidade Relativa [ m/s ] Malha Inicial Malha 01 Malha 02 Malha θ [ ] Figura 5.10 Perfil de velocidade relativa versus direção tangencial, tomado no raio R=40,0mm e z=6,0mm (metade da largura do canal do rotor)

78 61 Ainda na Figura 5.11, o valor médio de pressão entre a malha inicial e a malha 01 sofreu uma alteração de 28%. Essa variação caiu para 3% comparando os valores médios entre as malhas 01 e 02 e ficou em 0,47% comparando as malhas 02 e 03. Nas Figuras 5.10 e 5.11, é possível notar que os perfis tanto de velocidade quanto de pressão não possuem o mesmo comportamento de um canal do rotor para o outro. Isso acontece devido a presença do difusor à saída do rotor e também da diferença na quantidade de aletas do difusor em relação às pás do rotor, 12 aletas versus 8 pás. Essa configuração sugere uma periodicidade do escoamento a cada 90, como pode ser observado nas Figuras 5.10 e Em uma outra região do rotor, foi traçado um perfil de velocidade relativa do escoamento versus a posição axial, em um raio de 64,41mm e uma posição angular aproximadamente eqüidistante de duas pás consecutivas do rotor e os resultados estão mostrados na Figura Nessa Figura, o eixo das ordenadas aparece adimensionalizado pela altura do canal do rotor, b=12,0mm Pressão [Pa] Malha Inicial Malha 01 Malha 02 Malha θ [ ] Figura 5.11 Perfil de pressão versus direção tangencial, tomado no raio R=40,0mm e z=6,0mm (metade da altura do canal do rotor)

79 z / b [ ] Malha 03 Malha 02 Malha 01 Malha Inicial Velocidade Relativa [m/s] Figura 5.12 Perfil de velocidade relativa do escoamento no rotor versus a direção axial, em R=64,41mm e entre duas pás consecutivas do rotor. O difusor apresentou comportamento semelhante em relação à sensibilidade da malha. De maneira análoga ao que foi feito no rotor, um perfil de pressão versus direção tangencial foi avaliado em um raio de 110,0mm (o que corresponde a aproximadamente metade do comprimento do canal do difusor). Discrepâncias em termos de pressão média foram ainda menores quando comparadas as diversas malhas simuladas, mas mostram novamente que os resultados das malhas 02 e 03 estão próximos, (ver Figura 5.13). A pressão média da malha inicial quando comparada com a malha 01 sofreu uma variação 1,75%. Já na comparação relativa entre a malha 01 com a malha 02 essa variação é de 1,09% e para as malhas 02 e 03, de 0,12%. Com isso, a malha 02 é satisfatória para avaliações tanto de perfis de velocidade quanto de pressão, sem que os resultados obtidos sejam dependentes da malha.

80 Pressão [Pa] Malha Inicial Malha 01 Malha 02 Malha θ [ ] Figura 5.13 Perfil de pressão no difusor versus direção tangencial, tomado no raio R=110,0mm e z=6,0mm A independência dos resultados em relação à malha foi testada tomando o valor da pressão em um ponto qualquer do domínio e comparados os resultados de todas as malhas. Os resultados estão mostrados na tabela 5-5. Tabela 5-5 Valor de pressão em um ponto específico do difusor Malha Pressão [Pa] Inicial 68142,5 Desvio (%) ,1 1, ,7 1, ,2 0,45 Outra maneira de avaliar essa independência de malha é calculando uma variável secundária do escoamento no rotor da bomba, como por exemplo, o torque que o eixo da bomba estará submetido na direção axial.

81 64 Tabela 5-6 Valor calculado do torque que o escoamento aplica ao eixo da bomba,, na vazão de projeto e para as várias malhas propostas. Malha Torque [N.m] Inicial -7,867 Desvio relativo (%) 01-8,219 4, ,120 1, ,107 0,17 Das tabelas 5-5 e 5-6 pode se inferir que a malha 02 é suficiente para os cálculos de engenharia tais como torque no eixo da bomba, altura de elevação, etc. Outro ponto a ser salientado é a economia computacional ao se utilizar a malha 02 para as simulações numéricas, principalmente quando a simulação for transiente. Todas as simulações numéricas realizadas foram feitas em um computador pessoal com processador Intel Core 2 Quad de 2,4GHz e 3,23GB de memória RAM. Para a malha Inicial, o tempo de simulação foi de 11 minutos, partindo de um campo inicial de pressão e velocidade igual a zero. Para a malha 01, o tempo de simulação foi de 17 minutos utilizando como ponto de partida os resultados obtidos na simulação da Malha Inicial. O tempo de simulação da malha 02 foi de 56 minutos utilizando como campo inicial o campo da malha 01 e o tempo de simulação para a malha 03 foi de 96 minutos, utilizando o campo da malha 02 com ponto de partida. 5.4 Teste de Passo de Tempo Em todas as simulações numéricas realizadas nos testes de malha da seção anterior o modelo de interface Rotor-Congelado do programa computacional Ansys CFX 11.0 foi utilizado para conectar o rotor ao difusor e ao tubo de entrada. Porém, uma limitação desse tipo de modelo de interface é não permitir contabilizar em uma mesma simulação numérica os efeitos da posição relativa entre rotor e difusor

82 65 (devido à presença de aletas no difusor). Por isso, no presente trabalho optou-se por utilizar o modelo de interface Transiente, com o objetivo de capturar essas oscilações. Apesar da operar em regime estacionário, ou seja, com uma vazão e rotação constantes, espera-se que, devido à presença de um número finito de pás do rotor e aletas do difusor, a pressão em um ponto qualquer na bomba oscile com o passar do tempo e que essa oscilação seja periódica, isto é, se repetirá após um determinado período. No programa Ansys CFX 11.0, há uma opção para simulação da bomba centrífuga em regime transiente. Entenda-se aqui regime transiente como sendo a variação da posição angular do rotor em relação ao difusor em cada instante de tempo. Portanto, é necessário informar quanto tempo físico se deseja calcular e qual é o intervalo de tempo mínimo entre dois instantes consecutivos. Como ponto de partida para a escolha desses parâmetros utilizou-se o valor da rotação nominal da bomba (1150rpm) e com isso foi calculado o tempo físico necessário para que o rotor completasse duas voltas completas. A sub-divisão desse tempo para contabilizar os instantes intermediários foi feita de modo que, em uma simulação numérica preliminar, o rotor deslocasse 30 a cada in stante de tempo. Nessa configuração, para cada volta do rotor foram contabilizados 12 instantes iguais de tempo, armazenados pelo programa para posterior avaliação. O manual do programa Ansys CFX 11.0 informa que para capturar os efeitos transientes ou periódicos necessita-se de no mínimo 20 passos de tempo dentro do período. Para quantificar a magnitude dessa periodicidade do escoamento, a geometria e a configuração rotor-difusor foi analisada. O rotor possui oito pás e o difusor possui doze aletas ao longo dos 360. Sabendo q ue o máximo divisor comum entre oito e doze é quatro, imagina-se que o escoamento seja periódico a cada 90, como foi comentado anteriormente. Portanto é de se esperar que essa primeira simulação numérica utilizando passos de tempo equivalentes ao giro de 30 não seja suficiente para representar a periodicidade temporal do escoamento. Nas simulações seguintes, foram feitos refinos no passo de tempo, de modo que uma nova simulação tivesse metade do passo de tempo da anterior.

83 66 As Figuras 5.14 e 5.15 mostram os resultados da diferença de pressão entre entrada e saída do difusor para os vários casos simulados. Foram utilizados como condições iniciais das simulações numéricas transientes os resultados obtidos para regime permanente (com o modelo de interface Rotor-Congelado). Por isso, há uma influência oriunda dessa condição inicial ao longo da primeira metade de volta do rotor. Isso ocorre por o escoamento utilizando o modelo Rotor Congelado não contabilizar os efeitos temporais da simulação transiente. Os resultados foram separados em duas figuras e mostrados a partir da primeira volta do rotor para facilitar a visualização. Note que os resultados para os três primeiros casos (30, 15 e 7,5 ) ainda não são consis tentes, ou seja, há ainda muita diferença de comportamento das curvas obtidas. Na Figura 5.15 pode-se notar uma tendência de estabilização dos resultados à medida que passos de tempos menores foram utilizados Diferença Pressão Difusor [Pa] N Voltas do Rotor Figura Teste de malha temporal (Parte 1) 7,

84 67 Diferença Pressão Difusor [Pa] N Voltas do Rotor Figura 5.15 Teste de malha Temporal (Parte 2) 7,5 3,75 1,88 0,94 Os resultados médios da diferença de pressão no difusor estão mostrados na Tabela 5-7. Na primeira coluna dessa tabela é mostrada a magnitude do intervalo de tempo utilizado nas simulações numéricas transientes. Na segunda coluna, tem-se o ângulo percorrido pelo rotor a cada passo de tempo. Na terceira coluna, pode-se observar a quantidade de intervalos de tempo necessária para o rotor percorrer duas voltas. A quarta coluna mostra a quantidade de intervalos de tempo presente a cada 90 (Deslocamento angular onde se imagina uma periodicidade do escoamento com o tempo). Pode-se observar que os desvios relativos da diferença de pressão média no difusor para duas linhas consecutivas são menores de 2% a partir de intervalos de tempo menores do que 1,087x10-3 s (giro de 7,5 do rotor). No presente trabalho escolheu-se o passo de tempo de 0,5435x10-3 (giro de 3,75 do rotor). Nos estudos de Feng et al. (2007), por exemplo, foram utilizados 290 passos de tempo para cada volta do rotor o que equivale a aproximadamente 0,8 por ins tante de tempo. Porém, foi observado, no presente trabalho, que a partir de passos de tempo menores, a diferença dos resultados é muito pequena e o custo computacional se torna muito alto. Na prática, para o caso do passo de tempo escolhido, são necessários aproximadamente 1 dia e 15 horas de cálculo computacional, já para o caso em que o rotor percorre 0,94º a cada passo de tempo, o tempo de cálculo computacional

85 68 sobe para 5 dias. Assim, têm-se definido o critério de parada, a malha espacial e o passo de tempo adequados. Tabela 5-7 Comparativo dos resultados médios de diferença de pressão no difusor da bomba centrífuga estuda para diferentes intervalos de tempo. t x 10-3 [s] Giro do rotor a cada t [ ] N total de Intervalos t s a cada 90 P difusor médio [Pa] Desvio relativo (%) 4, , ,81 1,0870 7, ,12 0,5435 3, ,82 0,2717 1, ,32 0,1359 0, , Influência da condição inicial Em todas as simulações transientes, foram utilizados os resultados de campos de velocidade e de pressão em regime permanente obtidos com o modelo de interface Frozen-Rotor (que é um modelo de regime permanente). Foi observado que nas simulações utilizando o modelo de interface Transient-Rotor-Stator há uma certa influência dessa condição inicial nos resultados para os primeiros passos de tempo das simulações transientes, como mostra a Figura 5.16.

86 Pressão [kpa] t / Período de uma volta Figura 5.16 Pressão versus tempo na entrada do difusor do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, na vazão de 36m 3 /h e rotação de 1150rpm. Na simulação numérica correspondente à Figura 5.16, foram impostas quatro voltas completas no rotor para observar a variação dos resultados com relação ao tempo. O ponto monitorado está localizado na interface de rotor e difusor. Foi observado que após um giro de cerca de meia volta do rotor essa influência já não é mais sentida nos resultados. Com isso, pode-se garantir que ao simular duas voltas do rotor tem-se uma solução periódica e, conseqüentemente, independente da condição inicial. As etapas descritas no capítulo 5 são fundamentais para se observar e controlar as diversas influências existentes em uma simulação numérica. Dessa análise preliminar são extraídos os principais dados numéricos de entrada que posteriormente serão utilizados nas simulações numéricas do problema, com posterior economia de tempo. No capítulo seguinte, de posse dos parâmetros adequados de malha, passo de tempo e critério de convergência, são mostrados os resultados obtidos nas simulações numéricas efetuadas no primeiro estágio da bomba, em 4 rotações distintas e diversas vazões.

87 70 6 RESULTADOS Uma vez definida a malha utilizada nas simulações numéricas, bem como o passo de tempo necessário para capturar os efeitos transientes do escoamento na bomba, os valores de vazão e rotação do rotor foram estabelecidos para as simulações numéricas do escoamento no rotor e difusor. A bomba centrífuga estudada no presente trabalho foi testada experimentalmente por Amaral (2007). Por isso, para facilitar comparações entre os resultados do presente trabalho e os obtidos por Amaral (2007), foram utilizadas as mesmas rotações e a mesma faixa de vazão. Nesse capítulo estão mostrados os resultados obtidos das simulações numéricas realizadas tendo como foco o primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2. São mostrados gráficos de altura de elevação, potência e eficiência em função da vazão volumétrica para o primeiro estágio. Os campos de pressão e de velocidade do escoamento no interior do rotor e do difusor para várias vazões volumétricas simuladas são também apresentados juntamente com o comportamento transiente do escoamento no interior da bomba. Nos trabalhos realizados por Amaral (2007), a bomba centrífuga foi testada em quatro rotações distintas: 1150rpm (rotação nominal), 1000rpm, 806rpm e 612rpm. Ele levantou experimentalmente as curvas de ganho de pressão versus vazão volumétrica em cada componente da bomba, isto é, diferença de pressão no primeiro rotor, no difusor, no indutor, no segundo rotor e na voluta. A faixa de vazão simulada vai de 10,0 a 50,0m 3 /h. Para todos os casos mostrados a seguir foi realizada simulação em regime transiente com o modelo de interface transiente para conectar o rotor ao difusor e o rotor ao tubo de entrada.

88 Altura de elevação versus vazão volumétrica O objetivo principal do presente trabalho é reproduzir o comportamento da 3 bomba centrífuga operando com água ( ρ = 998kg/ m e µ = 0,001Pa.s ). A Figura 6.1 mostra o ganho de pressão no primeiro rotor, para as quatro rotações escolhidas e diversas vazões volumétricas. Pode-se observar na Figura 6.1 que os resultados numéricos seguem a mesma tendência dos respectivos resultados experimentais. O desvio médio relativo entre esses resultados numéricos e os valores experimentais é da ordem de 7,0%. A Figura 6.2 mostra a diferença de pressão no difusor em função da vazão volumétrica, para as quatro rotações simuladas. Analisando os resultados mostrados na Figura 6.2, pode-se notar que a tendência dos resultados numéricos é semelhante a dos resultados experimentais, entretanto, o desvio médio relativo entre esses resultados numéricos e os valores experimentais é da ordem de 20%. P Rotor [ kpa ] Q [ m 3 / h ] Presente Trabalho rpm Amaral (2007) rpm Presente Trabalho rpm Amaral (2007) rpm Presente Trabalho - 806rpm Amaral (2007) - 806rpm Presente Trabalho - 612rpm Amaral (2007) - 612rpm Figura 6.1 Ganho de pressão no primeiro rotor da bomba centrífuga Imbil ITAP /2. Dados experimentais obtidos por Amaral (2007)

89 72 P Difusor [ kpa ] Q [ m 3 / h ] Presente Trabalho rpm Amaral (2007) rpm Presente Trabalho rpm Amaral (2007) rpm Presente Trabalho - 806rpm Amaral (2007) - 806rpm Presente Trabalho - 612rpm Amaral (2007) - 612rpm Figura 6.2 Ganho de pressão no difusor da bomba centrífuga Imbil ITAP /2. Dados experimentais obtidos por Amaral (2007) Para se obter a curva da altura de elevação correspondente ao primeiro estágio da bomba, basta somar o resultado das curvas das Figuras 6.1 e 6.2 e utilizar a Equação (6.1) para converter o valor de pressão em termos de altura de elevação. Para fins práticos de engenharia, expressar o ganho de pressão sob a forma de altura de elevação facilita na visualização da capacidade de bombeamento do equipamento estudado, devido a maior sensibilidade sobre a variável de altura em relação à variável de pressão. Protor + Pdifusor H = (6.1) ρg onde g é aceleração da gravidade. A Figura 6.3 mostra o resultado os resultados de altura de elevação da bomba, tanto numérico quanto experimental. Foi observada boa concordância entre ambos os resultados.

90 73 H [ m ] Q [ m 3 / h ] Presente Trabalho rpm Amaral (2007) rpm Presente Trabalho rpm Amaral (2007) rpm Presente Trabalho - 806rpm Amaral (2007) - 806rpm Presente Trabalho - 612rpm Amaral (2007) - 612rpm Figura 6.3 Altura de elevação do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2. Dados experimentais obtidos por Amaral (2007) 6.2 Obtenção de uma curva unificada de altura de elevação para qualquer vazão e rotação De uma maneira geral, em aplicações industriais onde haja a necessidade de um sistema de bombeamento, nem sempre se tem uma bomba centrífuga disponível no mercado com as características exatas de rotação e altura de elevação desejadas. Por isso, os fabricantes de bombas centrífugas costumam disponibilizar como opções, rotores de tamanhos diferentes para cada modelo de bomba, de maneira a aumentar o campo de aplicação de cada equipamento sem perda significativa de desempenho. A Figura 6.4 mostra a curva de altura de elevação total em função da vazão volumétrica fornecida pelo fabricante da bomba centrífuga Imbil ITAP /2.

91 H [ m ] Q [ m 3 / h ] Figura 6.4 Altura de elevação total versus vazão volumétrica da bomba centrífuga IMBIL ITAP /2, na rotação de 1150 rpm. Dados fornecidos no catálogo do fabricante (Fonte: site Imbil) Na Figura 6.4, os números que acompanham as linhas tracejadas são as opções oferecidas pelo fabricante do equipamento para o diâmetro externo do segundo rotor com unidades em milímetros. Como o segundo rotor está dentro de uma voluta, há flexibilidade de tamanhos que, conseqüentemente, irão influenciar na altura de elevação total disponibilizada pelo equipamento, como está mostrado na Figura 6.4. Ainda assim, outra maneira de modificar o campo de aplicação de uma bomba centrífuga está em alterar a rotação de trabalho do equipamento. Isso pode ser usado, quando se deseja reutilizar uma bomba centrífuga em uma outra aplicação, evitando assim a necessidade de compra de uma nova bomba. Quando se utiliza uma mesma bomba centrífuga em rotações diferentes da nominal devem-se utilizar relações de similaridade para se obter a curva de altura de elevação corrigida para a nova rotação. Essas relações de similaridade são apresentadas nas equações (6.2) a (6.4) (Fox e MacDonald, 2001): H H Q Q ω = (6.2), ω ω = ω (6.3)

92 75 Wɺ Wɺ ω = ω 1 3 (6.4), onde os sub-escritos 1 representam os valores de vazão, altura de elevação e potência, conhecidos em uma determinada rotação (por exemplo, na rotação nominal fornecida pelo fabricante do equipamento) e 2, a nova condição de trabalho. O símbolo W ɺ representa a potência necessária para o funcionamento da bomba em uma determinada vazão e rotação. Com o objetivo de verificar se os resultados numéricos apresentados na Figura 6.3 são similares entre si, as equações (6.2) e (6.3) são aplicadas à curva de altura de elevação para a rotação de 1000 rpm de modo a obter a transposição desses resultados para a rotação de 1150rpm. O mesmo é realizado para as curvas de 806 e 612rpm, gerando como resultado a Figura 6.5. Vale ressaltar que a aplicação das equações (6.2) a (6.4) está baseada na hipótese de isoeficiência do escoamento nas duas condições. 10 H similar [ m ] Presente Trabalho rpm Presente Trabalho rpm Presente Trabalho - 806rpm Presente Trabalho - 612rpm Q [ m 3 / h ] Figura 6.5 Aplicação das equações de similaridade às curvas de 1000, 806 e 612 rpm transpondo-as para a rotação de 1150 rpm. Da Figura 6.5 é possível notar que os resultados para as curvas de 1000, 806 e 612 rpm, são muito próximos àqueles apresentados para a curva de 1150 rpm. Isso indica que os resultados são similares. Note que as curvas de 612, 806 e 1000rpm quando transpostas por similaridade à rotação de 1150rpm apresentam

93 76 uma faixa de vazão diferente das suas curvas originais. Isso acontece devido à aplicação da Equação (6.2) que tem a função de garantir que o ponto transposto à nova rotação seja semelhante ao original, ou seja, o comportamento do escoamento no interior da bomba centrífuga à 10m 3 /h e 612rpm é semelhante ao escoamento 18,8m 3 /h e 1150rpm. Para avaliar se essa premissa estava sendo observada no modelo numérico, primeiramente foi considerado o par ordenado ( Q; H ) ( 29,0[ m 3 / h]; 1,78[ m] ) 612rpm =, extraído da curva de 612rpm que, quando transposto à rotação de 1150rpm gerou o par ordenado ( Q; H ) ( 54,49[ m 3 / h ]; 6,28 [ m] ) 1150rpm =. Posteriormente, utilizando a vazão de 54,49m 3 /h, foi realizada uma simulação numérica adicional para a rotação de 1150rpm de modo a conferir se o valor obtido para altura de elevação seria próximo de 6,28m. O valor obtido foi de 6,34m, o que corresponde a um desvio de 1,0% em relação ao valor obtido anteriormente por similaridade. Uma vez que os pontos são similares é possível obter uma curva de altura de elevação que seja função da vazão e também da rotação de modo a contemplar, por exemplo, rotações diferentes das originalmente simuladas. Com os resultados numéricos obtidos através das simulações da bomba operando a 1150 rpm, foi realizado um ajuste utilizando um polinômio de segundo grau, obtendo-se: 2 H = aq + bq + c (6.5) onde a, b e c são valores constantes que foram determinadas e estão mostradas na tabela 6-1, a altura de elevação é dada em metros e a vazão, Q, em m 3 /h. A Equação (6.5) foi determinada para a rotação de 1150rpm, porém, para que seja possível obter valores de altura de elevação para outras rotações são necessárias algumas manipulações matemáticas que envolvem as Equações (6.2), (6.3) e (6.5), de onde obtém-se a seguinte relação: 2 2 (, ) H Q ω = aq + d ω Q + e ω (6.6)

94 77 sendo d e e valores constantes que foram determinados e também mostrados na tabela 6-1. Tabela 6-1 Valores das constantes das equações (6.5) e (6.6) a -0, b 0,0626 c 7,966 d 5,441x 10-5 e 6,023 x 10-6 A Equação (6.6) mostra a altura de elevação como função da vazão volumétrica e, também, da rotação. Observando as constantes a e e das equações (6.5) e (6.6) pode-se avaliar o comportamento da altura de elevação com as variáveis Q e ω. Como a < 0, espera-se que a altura de elevação diminua com o aumento da vazão. Em contrapartida, com o aumento da rotação, valores mais pronunciados de altura de elevação são esperados, pois e > 0. A faixa de validade da Equação (6.6) é dada para valores de vazão e rotação de modo que: 10 Q 54 < < 1150 ω 1150 ou 0, ω< Q <0,0470. ω (6.7) onde a vazão é dada em m 3 /h e a rotação em rpm. Como pode-se notar da Figura 6.4, a faixa de vazão contemplada pelo fabricante vai de 10m 3 /h a 54m 3 /h, para o caso do segundo rotor com 260,0 mm (rotor utilizado por Amaral, 2007). A Equação (6.7) tem o objetivo de transpor essa faixa de vazão para qualquer rotação, de modo a manter as mesmas características do escoamento na nova condição de operação. O ajuste utilizando do polinômio de segunda ordem da Equação (6.6) apresentou um desvio médio relativo de 0,8% em relação aos valores de altura de elevação obtidos pelas simulações numéricas e um coeficiente de determinação R 2 =0,995. A Equação (6.6) ainda está sob a hipótese de que o rendimento hidráulico é o mesmo para qualquer rotação utilizada. Para que essa hipótese seja sempre

95 78 atendida, não se devem utilizar valores de rotação muito superiores ou muito inferiores à 1150rpm. 6.3 Potência e Eficiência Hidráulica Outros parâmetros de engenharia importantes no contexto de máquinas de fluxo são a potência necessária para o acionamento da bomba centrífuga e sua eficiência. O cálculo dessas grandezas depende de diversos parâmetros do sistema, como altura de elevação, vazão, massa específica do fluido, torque sofrido pelo eixo do rotor e rotação. Para o cálculo da eficiência global da bomba, são contabilizadas todas as perdas envolvidas no processo de conversão da energia fornecida pelo motor da bomba em energia de pressão, porém, no presente trabalho não há como mensurar perdas por atritos nos mancais da bomba ou perdas por fugas ou vazamento do equipamento, mas somente a perda hidráulica da bomba, como está mostrado na Equação (6.8): Wɺ saída ρg Q H η h[%] = = 100% Wɺ T ω Entrada (6.8), onde T é o torque no motor da bomba centrífuga. Na Equação (6.8) é mostrada a relação entre potência de saída e de entrada fornecida ao escoamento através da rotação do rotor. No programa Ansys CFX é possível extrair o torque que o eixo do rotor está sentindo devido à rotação e a passagem do escoamento por esse componente. Com isso foram contabilizados todos os torques que as superfícies sólidas que compõem o rotor estavam sentindo, em relação ao eixo de giro do rotor, para a rotação de 1150 rpm e o resultado está mostrado na Figura 6.6.

96 T numérico [ N.m ] Q [ m 3 / h ] Figura 6.6 Torque numérico versus vazão no primeiro rotor da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, para uma rotação de 1150 rpm Com os torques obtidos é possível calcular a potência de entrada numérica através da relação Wɺ = T. ω. Para aplicação da relação anterior, uma hipótese, Entrada assumida nesse trabalho, é de que toda a potência fornecida pelo motor é disponibilizada ao rotor. A Figura 6.7 mostra um gráfico de potência de entrada versus vazão volumétrica para a rotação de 1150rpm. Não é possível estabelecer uma comparação direta entre resultados numéricos e experimentais para a potência de entrada, uma vez que não se tem a informação de qual percentual do torque global medido experimentalmente foi proveniente do primeiro estágio da bomba.

97 W entrada [ Watt ] Q [ m 3 / h ] Figura 6.7 Potência de entrada numérica versus vazão no primeiro rotor da bomba Imbil ITAP /2, para um rotação de 1150 rpm Com os resultados de altura de elevação versus vazão, obtidos das simulações numéricas, é possível construir a curva da potência de saída do primeiro estágio da bomba. A potência de saída ajuda a identificar qual é a parcela de energia entregue ao rotor que efetivamente é transferida ao fluido sob forma de energia de pressão, através da relação Wɺ Saída = ρgqh. A Figura 6.8 mostra uma comparação entre as potências de saída experimental e numérica. Como esperado há uma forte semelhança entre as curvas, já que a potência está intrinsecamente ligada aos valores de altura de elevação, cuja comparação foi muito boa, conforme observado na Figura 6.3.

98 81 W saída [ Watt ] Presente Trabalho Amaral (2007) Q [ m 3 / h ] Figura 6.8 Potência de saída numérica versus vazão no primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, para rotação de 1150 rpm. Uma vez determinada a curva de potência de entrada e de saída do primeiro estágio da bomba, é possível determinar a eficiência hidráulica desse estágio, com auxílio da Equação (6.8). A curva de eficiência hidráulica do primeiro estágio da bomba está mostrada na Figura 6.9, onde também está mostrada a eficiência global da bomba fornecida pelo fabricante. Novamente, não é possível uma comparação direta entre os resultados de eficiência obtidos numericamente e os fornecidos pelo fabricante, pois, estes últimos incluem efeitos globais da bomba, bem como irreversibilidades mecânicas, como atritos dos mancais, perdas por vazamentos, etc. Como foi mencionando, o segundo rotor possui diâmetro externo maior do que o primeiro rotor, porém, ambos rotores possuem mesmo diâmetro de entrada. Isso faz com que os rotores não sejam geometricamente idênticos. Além disso, há componentes distintos à entrada e saída dos dois rotores, fazendo com que os estágios sejam diferentes entre si. Observe na Figura 6.9 que a vazão onde a eficiência hidráulica é máxima, obtida como resultado das simulações numéricas no primeiro estágio da bomba, está próxima de 44m 3 /h, diferente da vazão de projeto apresentada pelo fabricante, em 36m 3 /h. Uma das razões possíveis dessa discrepância está no fato de se contabilizar apenas o primeiro estágio da bomba no estudo numérico.

99 82 η [ % ] Presente Trabalho Fabricante Q [ m 3 / h ] Figura 6.9 Eficiência hidráulica numérica do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2 e Eficiência global fornecida pelo fabricante. Analisando os resultados experimentais apresentados por Amaral (2007), para vazões altas, o indutor (elemento localizado à saída do difusor) apresenta perdas de pressão grandes. Para vazões acima de 36m 3 /h, essas perdas possuem a mesma ordem de grandeza da variação de pressão no difusor, isto é, para vazões elevadas uma grande parcela do acréscimo de pressão adquirida pelo fluido no difusor é perdida no indutor. Com essas observações, espera-se que ao simular numericamente o escoamento na bomba centrífuga Imbil ITAP /2, contabilizando todos os componentes (os dois rotores, difusor, indutor e voluta) os resultados de eficiência hidráulica tenham comportamento mais próximos aos apresentados pelo fabricante.

100 6.4 Propriedades do escoamento no interior da bomba centrífuga estudada 83 Um dos objetivos do presente trabalho é capturar a periodicidade do escoamento que, como mencionado no capítulo 5, foi assumida estar a cada 90, devido a características geométricas do rotor e do difusor. A Figura 6.10 mostra de maneira esquemática o rotor e o difusor da bomba centrífuga estudada, evidenciando o instante de tempo no qual a pá do rotor está alinhada com a aleta do difusor. São definidas as faces de pressão (FP) e sucção (FS), tanto da pá do rotor quanto da aleta do difusor. Essas faces têm essa nomenclatura devido à distribuição da pressão ao longo da pá ou da aleta, onde, para o caso de rotores com pás curvadas para trás a face convexa apresenta pressões maiores em relação à face côncava. Figura 6.10 Instante de tempo no qual a pá do rotor e a aleta do difusor estão alinhadas. Definição das Faces de Pressão (FP) e Faces de Sucção (FS) A Figura 6.11 mostra a variação da pressão na interface entre rotor e difusor, no centro do canal do rotor, no instante de tempo descrito pela Figura Na região inferior do gráfico, os quadrados indicam a posição das aletas do difusor, e na região superior, os losangos sinalizam a posição das pás do rotor. Para analisar a periodicidade do escoamento, os valores correspondentes às faixas 90 < θ < 180,

101 < θ < 270 e 270 < θ < 360 foram transportados para a faixa 0 < θ < 90, como está mostrado na Figura P Interface Rotor/Difusor [ kpa] θ [ ] Figura 6.11 Pressão versus direção tangencial no raio de saída do rotor para o caso de pá do rotor alinhada com a aleta do difusor P Interface Rotor/Difusor [ kpa] ω (FP) (FS) (FS) (FP) θ [ ] 0 a a a a 360 Figura 6.12 Periodicidade da pressão com a direção tangencial na saída do primeiro rotor da bomba centrífuga Imbil ITAP /2. Vazão 35m 3 /h e rotação de 1150rpm.

102 85 Apesar das pequenas variações observadas na Figura 6.12, é nítida a periodicidade angular do escoamento no primeiro estágio da bomba. Nota-se que em regiões próximas à face de pressão da aleta do difusor, a pressão atinge valores mais elevados, pois o fluido ao abandonar o rotor se choca com as aletas do difusor, sendo desacelerado nessa região e conseqüentemente recuperando pressão. Como o movimento das pás do rotor se processa da esquerda para a direita (na Figura 6.12) é de se esperar que os picos de pressão se localizem na face convexa da aleta do difusor (face de pressão), como pode ser observado para os ângulos de 30 e 60. Para os ângulos de 0 e 90 esse pico não é a centuado pois, a presença da pá do rotor nessas posições contribui para que haja maior interação com a aleta do difusor. A Figura 6.12 comprova que o escoamento possui simetria espacial. Com relação à variável tempo, a Figura 6.13 mostra o resultado da pressão em um ponto localizado no bordo de entrada da aleta como função do tempo em uma simulação numérica com vazão de 36m 3 /h e rotação de 1150rpm. Pode-se notar que após a primeira volta do rotor a flutuação da pressão é periódica com relação ao tempo, como era esperado. A partir da segunda metade da primeira volta os resultados numéricos mostram que a bomba centrífuga atingiu o regime de operação, ou seja, apesar da variação de pressão não ser a de regime, essa variação é periódica. Não significa dizer que após a partida de uma bomba real, depois do deslocamento angular de apenas meia volta do rotor, a bomba já estará operando em regime, pois, nessa situação há parâmetros que não foram considerados no presente trabalho, como a aceleração angular (no intervalo de tempo da partida do rotor da bomba), ou ainda, uma mudança repentina de vazão. Os valores de pressão como função do tempo da primeira metade da primeira volta do rotor não são reais e sim representam o efeito da condição inicial imposta nas simulações numéricas.

103 86 P Bordo entrada aleta difusor [ kpa] t / período de uma volta [ ] Figura 6.13 Pressão versus tempo em um ponto localizado no bordo de entrada da aleta do difusor da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, para a rotação de 1150 rpm e vazão de 35m 3 /h. É possível notar também, que o período de oscilação da pressão com o tempo é determinado pela passagem das pás pela aresta da aleta na entrada do difusor, uma vez que no intervalo da primeira para a segunda volta são identificados oito ciclos de oscilação da pressão, sinalizando a passagem de todas as oito pás do rotor por esse ponto. Vale ressaltar que o valor da pressão absoluta apresentada na Figura 6.13 tem pouca relevância quando analisada isoladamente no presente trabalho, pois como hipótese das simulações numéricas foi considerada escoamento incompressível e sem mudança de fase. Isso torna o valor pontual da pressão pouco expressivo, pois o interesse maior se concentra em diferenças de pressão entre entrada e saída da bomba. No entanto, em estudos numéricos onde o efeito de cavitação em máquinas de fluxo é considerado, por exemplo, a condição de contorno de pressão, bem como os valores absolutos de pressão são relevantes. As Figuras 6.15 e 6.16 mostram a distribuição de pressão ao longo da pá, desde a entrada até a saída do rotor. Na Figura 6.15 foram tomados os valores de pressão na interseção da pá com o cubo do rotor, e na Figura 6.16 esses valores foram tomados na intersecção da pá com a coroa (parte superior do rotor). O eixo das abscissas nas Figuras 6.15 e 6.16 são definidos, de acordo com o esquema mostrado na Figura 6.14, de modo que em zero tem-se a entrada da pá do rotor e

104 87 em 1 tem-se a saída da pá do rotor, tanto para a região do cubo (Figura 6.15) quanto para a região da coroa (Figura 6.16). Bordo de entrada 0 Coroa 0 1 Bordo de saída 1 Cubo Figura 6.14 Localização do bordo de entrada e saída do rotor da bomba. Nas Figuras 6.15 e 6.16 é possível observar a interação existente entre rotor e difusor, principalmente na região próxima à saída do rotor e quando a pá do rotor está praticamente alinhada com a aleta do difusor. Nota-se quando a pá do rotor se afasta da aleta do difusor a pressão praticamente não é alterada. 70 P [ kpa ] Alinhado 3,75 7,50 11,25 15,00 Superfície de Pressão 10 Superfície de Sucção ( r - R Pá entrada cubo ) / (R Sai rotor - R Pá entrada cubo ) [ ] Figura 6.15 Distribuição de pressão na pá do rotor desde a entrada até a saída na altura da raiz da pá (ou cubo) Os resultados de distribuição de pressão ao longo da pá do rotor, no cubo (Figura 6.15) e na coroa (Figura 6.16) mostram poucas diferenças entre si. A diferença mais significativa está região de entrada da pá do rotor. Na entrada, a pá é

105 88 fixada no cubo, em um diâmetro de aproximadamente 36,0 mm, e também na coroa do rotor, em um diâmetro de 80,1 mm. Por isso, a diferença de pressão entre a face de pressão e a face de sucção da pá do rotor é menos significativa na região de entrada do cubo, por haver um campo centrífugo menor quando comparado a região da coroa. Na saída do rotor, nota-se que a pressão sofre alterações a cada instante de tempo. Ao longo da pá do rotor, essas mudanças na magnitude da pressão são pouco influenciadas pela posição relativa entre rotor e difusor. P [ kpa ] Alinhado 3,75 7,50 11,25 15,00 Superfície de Pressão Superfície de Sucção ( r - R Pá entrada coroa ) / ( R Sai rotor - R Pá entrada coroa ) Figura Distribuição de pressão na pá do rotor desde a entrada até a saída na altura da coroa, para o rotor girando a 1150 rpm e na vazão de 35m 3 /h As Figuras 6.17 a 6.19 mostram o campo de pressão no interior do primeiro estágio da bomba, para três vazões distintas na rotação de 1150 rpm: 20, 35 e 50m 3 /h. Comparando o campo de pressão gerado para essas três vazões pode-se visualizar qualitativamente que na vazão de 20m 3 /h o ganho de pressão no primeiro estágio da bomba é maior quando comparado com as demais vazões (35 e 50m 3 /h). Pode-se observar, também a interação existente entre rotor e difusor, por exemplo, pela deformação das linhas de iso-pressão na saída do rotor. É possível notar, também, para todas as vazões que, na superfície côncava do difusor, no bordo de entrada da aleta há uma região onde a pressão sofre uma

106 89 leve queda e que, como foi visto, altera o perfil de pressão na ponta da pá do rotor ao passar por essa região. O motivo dessa queda localizada de pressão pode estar relacionado a um ajuste no ângulo da velocidade do escoamento ao sair do rotor, sendo o fluido obrigado a contornar o bordo de entrada da aleta do difusor. As partículas fluidas que são defletidas para a parte côncava da aleta ficam sujeitas a um ressalto hidráulico (que pode ser de grande ou de pequena intensidade, dependendo da magnitude da vazão). Para vazões menores que a de projeto, como 20m 3 /h, devido à inclinação insuficiente do escoamento em relação as aletas do difusor, esse ressalto hidráulico pode ser uma fonte de instabilidades e recirculações no interior do difusor. Figura 6.17 Campo de pressão no interior do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, vazão de 20m 3 /h e rotação de 1150 rpm.

107 90 Figura 6.18 Campo de pressão no interior do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, vazão de 35m 3 /h e rotação de 1150 rpm. Figura 6.19 Campo de pressão no interior do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, vazão de 50m 3 /h e rotação de 1150 rpm.

108 91 Observando as Figuras 6.17 a 6.19 que mostram que a medida que a vazão aumenta e o ganho de pressão diminui, observa-se a possibilidade de cavitação em vazões mais elevadas. Obviamente que os estudos do presente trabalho não foram feitos levando em consideração tal efeito, pois, se considerou escoamento incompressível, isotérmico e sem mudança de fase. Em todas as simulações numéricas realizadas, foi imposta condição de contorno de pressão constante de referência ( P = 0 [ Pa] ) na entrada do tubo de admissão da bomba. Entretanto, ref como é conhecido na prática, há uma redução da pressão na entrada da bomba que é função de parâmetros geométricos do sistema como a diferença de nível entre o reservatório e a entrada da bomba, pressão do reservatório e principalmente em função características dinâmicas como perdas por atrito estabelecidas ao longo da tubulação de entrada devido à presença de válvulas, acessórios e conexões. Essas perdas por atrito são tanto maiores quanto maior é a vazão estabelecida. Todas essas perdas podem, eventualmente fazer com que haja condições de operação indesejáveis como a cavitação, principalmente para vazões muito acima da condição de projeto onde a pressão na entrada tende a ser reduzida a valores críticos. Nos experimentos apresentados por Amaral (2007), por exemplo, uma bomba centrífuga adicional foi instalada à entrada da bomba centrífuga Imbil ITAP /2 (utilizada nos testes experimentais) com o objetivo único de garantir que a pressão absoluta na entrada da bomba testada não atingisse valores críticos de cavitação. Na busca de maior compreensão dos fenômenos presentes no escoamento monofásico existente no interior da bomba, os campos de velocidades no difusor e no rotor foram analisados, nas três vazões mencionadas anteriormente, 20, 35 e 50m 3 /h e também para a vazão onde se obteve a maior eficiência hidráulica numérica, 44m 3 /h. Devido à complexidade da geometria foram estabelecidos diversos planos de corte ao longo dos canais do rotor e do difusor para melhor visualização do comportamento do escoamento. A Figura 6.20 mostra a forma como esses planos foram distribuídos ao longo dos canais do rotor e do difusor. Os planos N1, N2, N3 e N4 estão dispostos de maneira a capturar o comportamento do campo de velocidades em planos aproximadamente normais as aletas do difusor. Os planos

109 92 T1, T2 e T3 estão dispostos, respectivamente, próximo à superfície inferior de rotor e difusor, no centro do canal e próximo à superfície superior. Figura 6.20 Planos de corte da visualização do escoamento, obtido numericamente, no rotor e difusor do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP /2 As Figuras 6.22 a 6.26 mostram o comportamento do escoamento no interior do rotor e do difusor sob a forma de linhas de corrente dispostas nos planos de corte mostrados na Figura As Figuras 6.22 e 6.26(d) dizem respeito à vazão de 50m 3 /h. Nessa vazão, devido à alta inércia do escoamento, nota-se que praticamente não há recirculações ou perturbações no escoamento tanto no rotor como no difusor. O mesmo pode ser observado para a vazão de melhor eficiência hidráulica numérica, 44m 3 /h, através das Figuras 6.23 e 6.26(c). Para vazões mais baixas, o aparecimento de instabilidades e perturbações no escoamento é observado, principalmente no interior do difusor. Há várias regiões e fenômenos envolvidos na nucleação dessas instabilidades. A face convexa da aleta pode ser um desses nucleadores, pois ao sair do rotor, o escoamento não recebe energia de nenhuma fonte, escoando apenas por inércia da energia que recebeu do rotor. Em vazões mais baixas essa inércia recebida pelo fluido é menor e a face convexa da aleta tende a ser um obstáculo ao escoamento, podendo haver descolamento do escoamento da face da aleta, com conseqüente aparecimento de recirculação nessa região, como é mostrado nas Figuras 6.24 e 6.25 no plano T2. Outro fator está relacionado com a configuração da interface entre rotor e difusor (ver Figura 6.21). Na bomba centrífuga estudada, há uma mudança repentina

110 93 de área entre a saída do primeiro rotor e entrada do difusor. Em todas as vazões, é observada, no plano T3, uma perturbação do escoamento, em maior ou menor intensidade. Essa perturbação do escoamento nessa região pode estar associada a duas razões. A primeira delas, pela mudança de áreas na interface de rotor e difusor e a segunda pela configuração da geometria do difusor, que tem sua saída de fluido na região inferior, fazendo com que a região mostrada por T3 seja mais afetada pela presença de instabilidades no escoamento. A presença da saída do difusor na região inferior do mesmo, no caso do plano T1, age como um inibidor de instabilidades, uma vez que o escoamento é forçado a defletir para essa região, e assim minimizando os efeitos de mudança de áreas nessa região do escoamento. Outro efeito importante é de que quando uma bomba centrífuga opera fora de sua condição ideal de trabalho, o escoamento não entra no difusor tangenciando as aletas, isto é, o vetor velocidade absoluta do escoamento não é tangente à entrada das aletas do difusor. Portanto, se a vazão volumétrica assumida for maior que a vazão de projeto, o escoamento irá tender a se chocar com a face côncava da aleta do difusor. Para vazões de trabalho menores que a vazão de projeto, a angulação do escoamento será insuficiente e o escoamento tenderá a colidir com a face convexa da aleta do difusor. As conseqüências dessas duas situações são distintas. Para vazões maiores, o escoamento tende a ser defletido, em maior intensidade, pela superfície côncava da aleta e, também por esse motivo, não são observadas recirculações ou instabilidades, pois, superfícies côncavas tendem a inibir perturbações no escoamento. Entretanto, para vazões mais baixas, a angulação insuficiente do escoamento em relação à entrada da aleta do difusor força o escoamento a colidir com a face convexa da aleta. Ao ser defletido por essa face (que possui uma tendência de nucleação de instabilidades) e aliado ao fato de o escoamento possuir baixa inércia, recirculações tendem a ser mais pronunciadas.

111 94 Figura Esquema da saída do rotor e entrada do difusor que mostra a diferença de áreas entre esses dois componentes.

112 95 Figura 6.22 Linhas de corrente do escoamento no interior da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, na rotação nominal e vazão de 50m3/h. (a) escoamento no plano T1, (b) escoamento no plano T2 e (c) escoamento no plano T3. Figura Linhas de corrente do escoamento no interior da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, na rotação nominal e vazão de 44m3/h. (a) escoamento no plano T1, (b) escoamento no plano T2 e (c) escoamento no plano T3.

113 96 Figura Linhas de corrente do escoamento no interior da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, na rotação nominal e vazão de 35m3/h. (a) escoamento no plano T1, (b) escoamento no plano T2 e (c) escoamento no plano T3. Figura 6.25 Linhas de corrente do escoamento no interior da bomba centrífuga Imbil ITAP /2, na rotação nominal e vazão de 20m3/h. (a) escoamento no plano T1, (b) escoamento no plano T2 e (c) escoamento no plano T3.