Universidade Federal de Roraima Licenciatura em Matemática Didática da Matemática II.

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1 Universidade Federal de Roraima Licenciatura em Matemática Didática da Matemática II. A didática de resolução de problema fundamentada na teoria de Aprendizagem Significativa Processo de assimilação segunda a teoria de Aprendizagem Significativa e a Resolução de Problema Prof. Dr. Héctor José García Mendoza 1

2 Relações Métrica no triangulo retângulo ABC~ DBA~ DAC Da semelhança entre ABC e DBA AB = DB BC BA c = m a c c2 = am (I) Da semelhança entre ABC e DAC AB = DA BC AC c = h ah = bc (II) a b AC = DC BC AC b = n a b b2 = an III Da semelhança DBA e DAC DA = DC h = n DB DA m h h2 = mn IV De I e III obtemos a 2 + b 2 = c 2 (V) As igualdades I até V são chamadas relações métricas no triângulo retângulo. Objetivo de ensino: Aplicar as relações métricas no triângulo retângulo na resolução de problemas Como organizar o processo de ensino aprendizagem para a formação do pensamento teórico matemático na resolução de problemas e conceitos matemáticos? Tarefas Tarefa n 1: Um caminhão sobe uma rampa inclinada em relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m de comprimento e seu ponto mais alto está 5m de altura, qual é a distância da rampa até inicio da base da altura? Tarefa n 2: Calcule a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa no triangulo retângulo de catetos 8 cm e 12 cm Tarefa n 3: Em um triângulo retângulo a medida de um cateto é 12 cm e a medida da hipotenusa é 20 cm. Determine as medidas do outro cateto, a altura em relação à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Tarefa nº4 Uma torre é sustentada por três cabos de aço de mesma medida. Calcule a altura da torre, sabendo que a medida da cada cabo é de 30 m e os ganchos que prendem os cabos estão a 15 m do centro da base da torre... N - Tarefas

3 3 Formas de Aprendizagem Significativa

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6 A relação da experiência sensorial com a essência revelada nos conceitos, constitui uma importante condição da unidade do sensorial e o racional. Esta unidade se relaciona com o pensamento, cujo nível, igual ao nível do conhecimento racional, se determina pelo grau de generalização dos conceitos. Portanto, o processo do conhecimento é o reflexo dos objetos e fenômenos da realidade na consciência humana incluindo a atividade transformadora e criadora do homem. Nosso conhecimento da realidade objetiva dá início com as sensações e as percepções, mas não acaba com elas e daí passa para o pensamento. Partindo das sensações e as percepções, o pensamento supera os limites do sensorial intuitivo e amplia o campo do nosso conhecimento. O descobrimento das relações e conexões entre os objetos é uma tarefa essencial do pensamento e través das relações o conhecimento é cada vez mais profundo. (MAJMUTOV, 1983, p ).

7 Operações racionais do pensamento Análises e sínteses Comparação Generalização e classificação Abstração e concretização Os conceitos, os juízos e conclusões Assimilação dos conceitos Compreensão Solução de Problemas Racionais Qualidades do pensamento

8 Análise e Síntese A análise e a síntese são operações racionais antagônicas que tomam partes de todo o pensamento e estão ligados entre se inseparavelmente de qualquer tipo de atividade mental. A análise é a divisão mental das partes do todo ou qualidades dos aspectos do todo dos objetos ou fenômenos. A sínteses é a unificação, a reunião mental das a partes dos objetos ou fenômenos, ou suas qualidades e aspectos. A execução dos atos práticos com objetos ajuda a divisão mental e é ponto de apoio para as análises e a sínteses como operações do pensamento. (MENCHINSKAIA, 1961, p ).

9 Comparação A separação mental de distintas partes ou qualidades dos objetos permitem comprara-los um com outros, estabelecer a semelhança ou diferença ente elos. O analises é das partes constituintes e indispensáveis da comparação. Sem embargo, a comparação não se reduze a umas análises, com ele sempre estabelece uma relação determinada entre os objetos ou entre as qualidades. Portanto, a comparação é ao mesmo tempo, uma comparação sintética, ou seja, que inclui entre se as sínteses como uma de suas partes indispensáveis. (MENCHINSKAIA, 1961, p ).

10 Generalização e Classificação A generalização é a separação mental do geral dos objetos ou fenômenos da realidade e baseando-se em ela, é unificado mentalmente. Ou seja, são separados os elementos essências que caracterizam um conjunto de objetos ou fenômenos que podem ser agrupados num mesmo grupo que conduzem a formação dos conceitos e descobrimentos de leis. A classificação dos objetos e fenômenos é a distribuição em grupos e subgrupos segundo as semelhanças (caráteres essenciais) e a diferencia que existem entre elos. A comparação dos objetos é uma premissa indispensável para a classificação. (MENCHINSKAIA, 1961, p ).

11 Abstração e Concretização Na abstração o sujeito generaliza os objetos ou fenômenos separando as caraterísticas essências e fazendo omisso das qualidades que os diferenciam entre se. A concretização é o oposto a abstração, se concreta sobre o particular que corresponde ao geral. A concretização do geral permite compreender melhor aquilo que não é dado na experiência sensorial. (MENCHINSKAIA, 1961, p ).

12 Relações Métrica no triangulo retângulo ABC~ DBA~ DAC Da semelhança entre ABC e DBA AB = DB BC BA c = m a c c2 = am (I) Da semelhança entre ABC e DAC AB = DA BC AC c = h ah = bc (II) a b AC = DC BC AC b = n a b b2 = an III Da semelhança DBA e DAC DA = DC h = n DB DA m h h2 = mn IV De I e III obtemos a 2 + b 2 = c 2 (V) As igualdades I até V são chamadas relações métricas no triângulo retângulo. Objetivo de ensino: Aplicar as relações métricas no triângulo retângulo na resolução de problemas Como organizar o processo de ensino aprendizagem para a formação do pensamento teórico matemático na resolução de problemas e conceitos matemáticos? Operações do pensamentos Análises e sínteses Comparação Generalização e classificação Abstração e concretização Tarefas Tarefa n 1: Um caminhão sobe uma rampa inclinada em relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m de comprimento e seu ponto mais alto está 5m de altura, qual é a distância da rampa até inicio da base da altura? Tarefa n 2: Calcule a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa no triangulo retângulo de catetos 8 cm e 12 cm Tarefa n 3: Em um triângulo retângulo a medida de um cateto é 12 cm e a medida da hipotenusa é 20 cm. Determine as medidas do outro cateto, a altura em relação à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Tarefa nº4 Uma torre é sustentada por três cabos de aço de mesma medida. Calcule a altura da torre, sabendo que a medida da cada cabo é de 30 m e os ganchos que prendem os cabos estão a 15 m do centro da base da torre... N - Tarefas

13 Conceitos, Juízo e Conclusão Os conceitos se formam sobre a base da generalização, é consequência do reflexo no cérebro das qualidades gerais e essenciais dos objetos e fenômenos da realidade. Saber um conceito significa ter um conjunto de conhecimento sobre o objeto a que este se refere. O juízo é o reflexo das conexões entre objetos e fenômenos ou alguma de suas qualidades. A conclusão é a obtenção de um juízo a través de outros, sobre a base de um juízo se manifesta outro. A conclusões pode ser indutiva e dedutivas, a indução é a conclusão do particular para o geral, a dedução é conclusão que se formula sobre um caso particular partindo do geral. (MENCHINSKAIA, 1961, p ).

14 Assimilação de Conceitos Assimilar um conceito não é somente saber as caraterísticas essências dos objetos e fenômenos que abarca, senão ter a possibilidades de utilizá-lo na prática e operar com ele. Significa que a assimilação de um conceito inclui não somente o caminho de abaixo acima, ou seja, dos casos particulares para a generalização, senão também o caminho oposto, de acima abaixo, do geral ao particular. (MENCHINSKAIA, 1961, p. 250).

15 A compreensão Como toda atividade racional, a compreensão desde um olhar fisiológico, é uma atividade analítico sintético do cérebro. A análises é a separação do fundamental, e a sínteses, ou seja, a atualização das conexões formadas pelas experiências passadas ou conexão nova que se combinam entre se inseparavelmente e condicionam o êxito. (MENCHINSKAIA, 1961, p. 254)

16 A compreensão A compreensão se apoia em conexão inseparável do abstrato e o concreto, do particular e o geral e não se pode alcançar fora desta conexão. Na compreensão se inclui indispensavelmente o passo do concreto e particular ao abstrato e geral; também o descobrimento do fundamental nos objetos e fenômenos reais e o passo contrário do geral e abstrato para particular e concreto, já que sem isto não se pode compreender o geral e o essencial. (MENCHINSKAIA, 1961, p. 256)

17 Relações Métrica no triangulo retângulo ABC~ DBA~ DAC Da semelhança entre ABC e DBA AB = DB BC BA c = m a c c2 = am (I) Da semelhança entre ABC e DAC AB = DA BC AC c = h ah = bc (II) a b AC = DC BC AC b = n a b b2 = an III Da semelhança DBA e DAC DA = DC h = n DB DA m h h2 = mn IV De I e III obtemos a 2 + b 2 = c 2 (V) As igualdades I até V são chamadas relações métricas no triângulo retângulo. Objetivo de ensino: Aplicar as relações métricas no triângulo retângulo na resolução de problemas Como organizar o processo de ensino aprendizagem para a formação do pensamento teórico matemático na resolução de problemas e conceitos matemáticos? Operações do pensamentos Os conceitos, os juízos e conclusões Assimilação dos conceitos Compreensão Tarefas Tarefa n 1: Um caminhão sobe uma rampa inclinada em relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m de comprimento e seu ponto mais alto está 5m de altura, qual é a distância da rampa até inicio da base da altura? Tarefa n 2: Calcule a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa no triangulo retângulo de catetos 8 cm e 12 cm Tarefa n 3: Em um triângulo retângulo a medida de um cateto é 12 cm e a medida da hipotenusa é 20 cm. Determine as medidas do outro cateto, a altura em relação à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Tarefa nº4 Uma torre é sustentada por três cabos de aço de mesma medida. Calcule a altura da torre, sabendo que a medida da cada cabo é de 30 m e os ganchos que prendem os cabos estão a 15 m do centro da base da torre... N - Tarefas

18 As contradições do conhecimento no processo de ensino Todo processo mental, é por sua estrutura, um ato mental orientado para a solução de uma determinada tarefa ou um determinado problema com a finalidade de uma atividade mental do indivíduo, na qual está vinculada com as condições da formulação do problema. O fator inicial do processo mental é, por regra geral, a situação problema. O homem começa a pensar quando sente a necessidade de compreender algo. O pensar começa normalmente com o problema ou com uma questão, com um assombro ou com uma confusão, com uma contradição. Toda situação problema conduz a que se inicie o processo mental e está orientado a solução de qualquer problema. (RUBINSTEIN, 1967, p. 386).

19 As contradições do conhecimento no processo de ensino Tarefas O problema docente como categoria psicológica é a causa primária do pensamento, o inicio da atividade mental. Elementos Conhecidos Situação Problema Docente Elementos Desconhecidos A contradição objetiva de uma tarefa, entre os dados e as condições, pode converter-se na força motriz do pensamento somente em caso de que se transforme na consciência do estudante, na contradição entre o conhecido e desconhecido. Como categoria lógica é a forma fundamental de avance do pensamento desde o desconhecido para o conhecido. Analises da Situação Problema Docente Formulação do Problema Docente Por conhecido se tem em consideração os dados da tarefa, os conhecimentos anteriores e a experiência pessoal do estudante; por desconhecido, não só aquilo que não se dá nas condições e nos objetivos, senão na incógnita, e no procedimento para alcançar o objetivo, ou seja, o método de resolver o problema. Isto significa que a tarefa, despois de receber na consciência do estudante um conteúdo novo, se transforma em um fenômeno totalmente novo,, o Problema Docente. Solução do Problema Docente Posteriormente é realizado um plano de solução do problema que inclui a seleção de variante de solução que pode ser através de métodos analíticos ou heurísticos. 19

20 As contradições do conhecimento no processo de ensino Elementos Conhecidos Tarefas Situação Problema Docente Elementos Desconhecidos Analises da Situação Problema Docente Formulação do Problema Docente Solução do Problema Docente A situação problema se descreve como o ponto de partida do pensamento, não deve entender-se o problema existente já concluso desde o princípio, sem que antes houvesse chegado à reflexão e que o processo mental se inicie despois de haver-se formulado o problema. A situação problema pode surgir com sentimento de assombro, no plano da ação ou solução de uma tarefa cognoscitiva e na realização do próprio trabalho prático (RUBINSTEIN, 1967, p. 391). A regra didática para a formulação do problema docente são: Separação do conhecido e o desconhecido. Localização do desconhecido. Determinação das condições possíveis para a solução independente do problema. A existência de indeterminação no problema. (MAJMUTOV, 1983, p. 195) 20

21 As contradições do conhecimento no processo de ensino Elementos Conhecidos Tarefas Situação Problema Docente Elementos Desconhecidos Analises da Situação Problema Docente Formulação do Problema Docente Solução do Problema Docente O problema docente é um fenômeno subjetivo e existe na consciência do estudante em forma ideal, no pensamento, da mesma maneira que qualquer julgamento, enquanto não seja perfeito logicamente e se expresse na linguagem ou nas letras do escrito. Esta formulação linguística de um problema é o que se denomina tarefa A tarefa, como categoria didática, se diferencia do problema como categoria psicológico didático e lógica, pelo fato que ela (a tarefa) é a expressão externa do problema O problema docente, como conceito independente, reflete uma esfera específica da realidade, uma etapa plenamente determinada do processo aprendizagem do estudante. Precisamente por esta razão, o problema docente é uma importante categoria psicológica didática, cujo utilização na investigação do processo de ensino pode contribuir para a revelação de regularidades novas ou a precisão das que já se conhecem (MAJMUTOV, 1983, p ). 21

22 As contradições do conhecimento no processo de ensino Elementos Conhecidos Tarefas Situação Problema Docente Elementos Desconhecidos Analises da Situação Problema Docente Formulação do Problema Docente Solução do Problema Docente A formulação do problema significa o começo da solução, não obstante a solução é uma etapa independente da atividade docente cognoscitiva. Existem três tipos de problemas docentes O primeiro tipo de solução a ser resolvido não existe nenhuma experiência anterior, o estudante avança com o ensaio e erro até que uma das provas o conduz à solução. No segundo tipo de solução o estudante conhece certas fórmulas e esquema mediante outro tipo de experiências. Neste caso, a solução acontece mediante o reconhecimento da situação proposta nos esquemas existentes. No terceiro tipo de solução consiste que o estudante tem experiência, mas sua experiência não lhe permite resolver o problema dado. A solução consiste neste caso, que se cria sobre as bases da análise das condições da tarefa, nasce um esquema de solução que não existia com anterioridade (MAJMUTOV, 1983, p ). 22

23 As contradições do conhecimento no processo de ensino Tarefas Elementos Conhecidos Situação Problema Docente Elementos Desconhecidos Analises da Situação Problema Docente Formulação do Problema Docente Solução do Problema Docente Para a solução de problemas relacionados ao conhecimento existem dois procedimentos analítico-lógico e/ou heurístico. O procedimento analítico - lógico da atividade mental se relaciona ao resolver problema através de algoritmo de solução. As análises e sínteses, a generalização e abstração e concretização são operações mentais que sucedem uma atrás da outra em ordem determinando, como etapas, elevando-se cada vez em busca da solução do problema. O pensamento heurístico está relacionado com o pensamento intuitivo, a busca dos procedimentos de solução é através da formulação de hipóteses, geralmente usando a intuição, como resultado de uma conjetura repentina (MAJMUTOV, 1983, p ). 23

24 As contradições do conhecimento no processo de ensino Elementos Conhecidos Tarefas Situação Problema Docente Elementos Desconhecidos Analises da Situação Problema Docente Formulação do Problema Docente Solução do Problema Docente Os problemas docentes podem manifestar-se como uma categoria didática e psicológica. Os problemas docentes como categoria didática podem aparecer como problemas de uma disciplina, interdisciplinar, de uma aula, fora da aula, de ajuda, teóricos, práticos, sociológicos práticos, científicos, para um grupo, por grupo e individual. O problema docente como categoria psicológica revela-se a partir da relação do sujeito com o objeto e da contradição do conhecido e desconhecido, enquanto a caráter de nível dificuldade, solução e sua correlação (MAJMUTOV, 1983, p ). 24

25 Qualidade do pensamento A pesar que os pensamentos de todas as pessoas regem por leis gerais, mas se diferençam segundo sua amplitude e profundidade, independência e flexibilidade e por último consecutividade e rapidez. A amplitude do pensamento na possiblidade de abarcar um amplo círculo de questões y de pensar de uma maneira criadora sobre problemas teóricos e práticos. A profundidade do pensamento permite penetrar na essência dos problemas, descobrir a causa dos fenômenos; admite considerar os problemas de diferentes olhares e assim como compreender a variedade de relações e conexões que há entre os fenômenos. (MENCHINSKAIA, 1961, p ).

26 Qualidade do pensamento A independência do pensamento não busca soluções preparadas, aborda o conhecimento da realidade de maneira criadora, busca e encontra novos médios para estudar os fatos e formula novas explicações e teorias. A flexibilidade do pensamento consiste na possiblidade de cambiar os médios para encontrar a solução quando isto resultam equivocados, ou seja, renunciar a soluções anteriores e buscar outras. A consecutividade do pensamento é estritamente lógica, aceita como exata uma teoria formulada com decisão e conclusão. A rapidez do pensamento acontece quando o sujeito pensa com pressa, fundamentando-se na primeira suposição que passou pela mente, sem comprová-la e sem os dados fundamentais indispensáveis para resolver a questão. É necessário que a rapidez do pensamento na deve ir além das qualidades de amplitude, profundidade e consecutividade. (MENCHINSKAIA, 1961, p ).

27 Relações Métrica no triangulo retângulo ABC~ DBA~ DAC Da semelhança entre ABC e DBA AB = DB BC BA c = m a c c2 = am (I) Da semelhança entre ABC e DAC AB = DA BC AC c = h ah = bc (II) a b AC = DC BC AC b = n a b b2 = an III Da semelhança DBA e DAC DA = DC h = n DB DA m h h2 = mn IV De I e III obtemos a 2 + b 2 = c 2 (V) As igualdades I até V são chamadas relações métricas no triângulo retângulo. Objetivo de ensino: Aplicar as relações métricas no triângulo retângulo na resolução de problemas Como organizar o processo de ensino aprendizagem para a formação do pensamento teórico matemático na resolução de problemas e conceitos matemáticos? Operações do pensamentos Solução de Problemas Racionais Qualidades do pensamento Tarefas Tarefa n 1: Um caminhão sobe uma rampa inclinada em relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m de comprimento e seu ponto mais alto está 5m de altura, qual é a distância da rampa até inicio da base da altura? Tarefa n 2: Calcule a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa no triangulo retângulo de catetos 8 cm e 12 cm Tarefa n 3: Em um triângulo retângulo a medida de um cateto é 12 cm e a medida da hipotenusa é 20 cm. Determine as medidas do outro cateto, a altura em relação à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Tarefa nº4 Uma torre é sustentada por três cabos de aço de mesma medida. Calcule a altura da torre, sabendo que a medida da cada cabo é de 30 m e os ganchos que prendem os cabos estão a 15 m do centro da base da torre... N - Tarefas

28 Atividade de Situações Problema Docente Formular o problema docente. analisar a situação problema para determinar os elementos conhecidos e desconhecidos; estudar os dados e as condições da situação problema, reconhecer o buscado a partir de problema fechado (objetivo definido) ou aberto (objetivo não preciso). Construir o núcleo conceitual determinar o nível de partida dos estudantes relacionado com os conhecimentos sobre o elemento conhecido e sua atualização se for necessário encontrar nexos entre os conhecidos e desconhecido desde os pontos de vista conceitual e procedimental através de novas tarefas mais simples como realização de experimentos, analogia, intuição e suposição de hipóteses. Solucionar o problema docente aplicar o método lógico analítico ou heurístico ou combinação de ambos para determinar os nexos entre o conhecido e desconhecidos e determinar o buscado. Interpretar a solução verificar se a solução corresponde com o buscado e as condições do problema analisar os resultados obtidos para encontrar possíveis novas relações conceitual e/ou procedimental com elementos anteriormente conhecidos. 28

29 Relações Métrica no triangulo retângulo ABC~ DBA~ DAC Da semelhança entre ABC e DBA AB = DB BC BA c = m a c c2 = am (I) Da semelhança entre ABC e DAC AB = DA BC AC c = h ah = bc (II) a b AC = DC BC AC b = n a b b2 = an III Da semelhança DBA e DAC DA = DC h = n DB DA m h h2 = mn IV De I e III obtemos a 2 + b 2 = c 2 (V) As igualdades I até V são chamadas relações métricas no triângulo retângulo. Objetivo de ensino: Aplicar as relações métricas no triângulo retângulo na resolução de problemas Como organizar o processo de ensino aprendizagem para a formação do pensamento teórico matemático na resolução de problemas e conceitos matemáticos? ASP em Relações Métrica no triangulo retângulo Formular o problema docente. Construir o núcleo conceitual Solucionar o problema docente Interpretar a solução Tarefas Tarefa n 1: Um caminhão sobe uma rampa inclinada em relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m de comprimento e seu ponto mais alto está 5m de altura, qual é a distância da rampa até inicio da base da altura? Tarefa n 2: Calcule a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa no triangulo retângulo de catetos 8 cm e 12 cm Tarefa n 3: Em um triângulo retângulo a medida de um cateto é 12 cm e a medida da hipotenusa é 20 cm. Determine as medidas do outro cateto, a altura em relação à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Tarefa nº4 Uma torre é sustentada por três cabos de aço de mesma medida. Calcule a altura da torre, sabendo que a medida da cada cabo é de 30 m e os ganchos que prendem os cabos estão a 15 m do centro da base da torre... N - Tarefas

30 Referencia Bibliográfica Ausubel, D. P. (2003). Aquisição e Retenção de Conhecimentos: Uma Perspectiva Cognitiva. Lisboa: Edições Técnicas Plátano. Ausubel, D. P., Novak, J., & Hanesian, H. (1999). Psicologia Educativa: Un punto de vista cognoscitivo. México, D. F.: Trillas. DANTES, L. R. Matemática: contextos e aplicações. São Paulo: Atica, 2009 MAJMUTOV, M. J. La Enseñanza Problémica. Habana: Pueblo y Revolución, MENCHINSKAIA, N. A. El Pensamento. In: A. A. Smirnov; A. N. Leontiev; S. L. Rubinstein; B. M. Tieplov. Psicologia. Habana: Ediciones Pedagogica, MENDOZA, H. J. G.; TINTORER, O. A contribuição do ensino problematizador de Majmutov na formação por etapas das ações mentais de Galperin. Revista Obutchénie, v. 2, p , 2018 Moreira, M. A. (2011). Teorias de Aprendizagem (2ª ed.). São Paulo: EDU. Moreira, M. A. (2012). Aprendizagem significativa: a teoria e textos complementares. São Paulo: LF. RUBINSTEIN, J. L. Princípios de Psicologia General. Habana: Revolucionaria, 1967.