Podemos resumir a seguinte teoria é transformação do objeto matemático pelo estudantes de ações materiais à mentais, não generalizada à generalizada,

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1 Dada a afirmação: A Atividade de Situações Problema em Matemática está orientada pelo objetivo de resolver situações problema na zona de desenvolvimento proximal num contexto de ensino aprendizagem onde existe uma interação entre o professor, o estudante e a situação problema, utilizando a resolução de problema em Matemática como metodologia de ensino, a tecnologia disponível e outros recursos didáticos, para transitar pelos diferentes estados do processo de assimilação Explicar a afirmação anterior para o cálculo de probabilidades de ocorrer um evento de um fenômeno (ou experimento) aleatório, com espaço amostral finito, considerando que todo evento elementar tem a mesma chance de ocorrer considerando o experimento de lançamento de um dado. Resposta: Segundo D Amore enfrentar as questões de ensino e da aprendizagem, em termos de didática, significa que a transmissão do conhecimento é um fenômeno complexo, que precisa de numerosas mediações, e que é necessário manter sempre juntos três polos, do professor, do saber e do aluno, mas sem reduzir a análise a apenas um dos três. A análises individual desse polos não faz parte, a rigor, da didática: O saber, o seu estudo, a sua definição pertence ao domínio dos especialista da disciplina, que estruturam, organizar o saber, a partir do que, que toma institucionalmente as decisões define é saber a ensinar. O conhecimento dos alunos pode revelar-se por meio de quatro tipos de abordagens, como sujeitos biológicos, afetivos, epistemológicos) psicológicos da aprendizagem) ou sociais. O professor pode ele próprios ser estudado como sujeito social, institucional (estatuto, funções), pedagógicos (os seus modelos implícitos) e efetivos O mesmo autor continua que a Didática da Matemática é vista principalmente com o seguintes enfoques: com divulgador de ideias, fixando a atenção na fase do ensino da Matemática e como pesquisa empírica, fixando a atenção na fase da aprendizagem, também conhecido como epistemologia da aprendizagem da Matemática. No primeiro o objeto de trabalho é essencialmente o ensino de Matemática. Seu objetivo é criar situações, nas aulas, atividades, objetos, ambientes entre outros, para melhor ensino da Matemática. O argumento é se o ensino melhora então a aprendizagem também melhorara. O ensino é um processo de instrução acrescido da hipóteses que estudantes deve absorver aquilo que se diz bem para ele.

2 No segundo caso sua atenção concentra-se no fenômeno da aprendizagem, não aceitando uma única teoria de aprendizagem. Embora, neste momento, a Psicologia Cognitiva pareça ser a candidata mais autorizada para assumir o papel organizadora da fundamentação de muitas experiências de investigação. O objetivo da Didática da Matemática é dirigir ações intencionais e conscientes com fins da aprendizagem eficaz de conteúdos matemáticos, utilizando estratégias metodologias e materiais didáticos para transitar pelos diferentes estados do processo de assimilação. A partir da teoria da Atividade de Leóntiev o saber se relaciona com o estudantes por meio de um sistema de ações através de operações para alcançar um objetivo de ensino, onde a motivação do estudante deve aproximar-se ao objetivo de ensino. O aprendizagem deve ser desenvolvido na "zona de desenvolvimento proximal" definido por Vigotsky como a distância entre o nível de desenvolvimento real, determinado pela capacidade de resolver um problema sem ajuda, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado através de resolução de um problema sob a orientação de um adulto ou em colaboração com outro companheiro Existe uma relação entre saber e sujeito através de um sistema de atividades de estudo, mas esta deve passar por cinco etapas qualitativas de definidas por Galperin que são: primeira etapas, formação da base orientadora da ação; segunda ação, formação da ação em forma material ou materializada; terceira ação; formação da ação verbal externa; quarta etapa; formação da ação externa para si e a última ação, formação ação interna. Outro elemento importante a considerar é o elemento motivacional deve permanecer permanente. Esta transformação do objeto matemático do externo ao interno se conhece como a teoria de formação por etapas das ações mentais e conceito de Galperin. Em outras palavras, na primeira etapa o professor elabora a base orientadora da ação a partir do nível de partida dos estudantes considerando o objetivo de ensino, posteriormente o professor orienta e estudante deve compreender, mas compreender não significa saber explicar. Na segunda etapa, o estudante deve realizar as ações, mas fazer não significa saber explicar. Na terceira etapa, o estudante deve saber explicar o sistema das ações sem a presenças do objeto matemático, mas saber explicar não significa que esteja preparado para transferir o sistema de ações para novas situações. Na quarta etapa, o nível de independência aumenta e o estudantes deve transferir o sistema de ações para contextos diferentes. Na última etapa deve alcançar-se a automatização das ações.

3 Podemos resumir a seguinte teoria é transformação do objeto matemático pelo estudantes de ações materiais à mentais, não generalizada à generalizada, detalhadas à comprimidas, compartilhadas à independente e de conscientes à automatizadas. O professor deve ser mediador na transformação da atividade da atividade externa à interna ou seja a metodologia do professor conduzir o processo de assimilação. Segundo Talízina a direção da atividade de estudo deve considerar os seguintes elementos: o objetivo de ensino; o estado de partida da atividade psíquica dos estudantes; as tarefas para garantir as etapas do processo de assimilação; o enlace de retorno ou retroalimentação e a correção do processo de estudo. Este processo deve cíclico e transparente. O ensino deve promover o desenvolvimento das capacidades intelectuais do estudante se ao mesmo tempo se formam suas necessidades e motivos cognitivos de estudo, se o escolar educa-se como uma personalidade integral. Porém, a organização deste processo de ensino é impossível sem o conhecimento das regularidades concreta do processo mental, como um processo de assimilação de conhecimentos e procedimentos da atividade mental. (Majmutov, 1983). O processo de ensino deve garantir as capacidades criativas dos estudantes através da atividade cognoscitiva independente que está relacionada com a obtenção de novos conhecimentos utilizando a resolução de problema. Todo processo mental é, por sua estrutura, um ato que esta orientada em busca da solução de uma determinada tarefa ou problema. O fator inicial do processo mental é, por regra geral, a situação problema. O pensar dá início normalmente com um problema, uma pergunta, um assombro, confusão ou uma contradição. Em muitas ocasiões os métodos de ensino e aprendizagem utilizada para a resolução de problemas matemáticos tem a característica principal de ser tradicionais, neste sentido utilizam ditas resoluções como aplicações dos conteúdos e não como conteúdos que resultam necessários para aplicar na ciência e na vida cotidiana. Frente a este dilema, o processo de ensino deve enfocar desde o ponto de vista do problema, pelo que cada problema deve situar-se no centro da aprendizagem dos alunos fundamentada sobre bases psicológicas. Portanto a resolução de problema como metodologia de ensino é uma opção interessante a ser utilizada, sem desconsiderar outras metodologias. O problema é uma forma subjetiva de expressar a necessidade de desenvolver o conhecimento científico. Este é o reflexo de uma situação problema, ou seja, de uma contradição entre o conhecimento e falta de conhecimento que objetivamente surge do processo da sociedade.

4 A força motriz do processo de ensino aprendizagem é a solução de contradições, mas é essencial definir o conceito de problema como categoria da lógica dialética. Consiste o conhecimento sobre o desconhecido, como variedade de perguntas, cuja resposta não está contida nos conhecimentos acumulados, senão, encaminhadas na obtenção dos novos conhecimentos. Mas o problema também é uma categoria psicológica quando reflete as contradições dentro do conhecimento do objeto e sujeito. O problema docente se relaciona com as necessidades cognoscitivas dos estudantes, com os motivos de aprendizagem, e expressa o transito do nível empírico da assimilação do conhecimento, ao teórico, o que sua vez se caracteriza por um elevado nível de atividade mental do estudante. O processo de assimilação de conhecimentos são as contradições internas que surgem como influencias das contradições externas. A ASP em Matemática está formada por um sistema invariante de quatro ações com suas respetivas operações que permitem solucionar várias classes de problemas matemáticos. A continuação é exposta o sistema de ações com sua respetivas operações (Mendoza, 2009, Mendoza et al.,2009, Mendoza; Tintorer, 2010) A primeira ação é compreender o problema e está formada pelas operações: ler o problema e extrair todos os elementos desconhecidos; estudar os dados e suas condições e determinar o(s) objetivo(s) do problema. A segunda ação é construir o modelo matemático onde é necessários determinar as variáveis e incógnitas; nominar as variáveis e incógnitas com suas unidades de medidas; construir o modelo matemático a partir das variáveis, incógnitas e condições e por último realizar a análise das unidades de medidas do modelo matemático. Solucionar o modelo matemático é a terceira ação formada pelas operações: selecionar o(s) método(s) matemático(s) para solucionar o modelo; selecionar um programa informático que contenha os recursos necessários do(s) método(s) matemático(s) para solucionar o modelo e solucionar o modelo matemático. Por último a quarta ação é interpretar a solução formada pelas operações: interpretar o resultado; extrair os resultados significativos que tenham relação com o(s) objetivo(s) do problema; dar resposta ao(s) objetivo(s) do problema; realizar uma reflexão baseado no(s) objetivo(s) do problema; analisar a partir de novos dados e condições que tenham relação direta ou não com o(s) objetivo(s) do problema existindo a possibilidade de reformular o problema e assim construir novamente o modelo matemático, solucionálo e interpretar sua solução.

5 Consideremos o problema No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair o número da face 3? 1ª Ação: Compreender o problema Temos como que encontrar qual é a probabilidade de sair a face 3 a partir das seis possibilidades está formada pelo conjuntos das faces {1,2,3,4,5,6} 2ª Ação: Construir o modelo matemático. Para construir o modelo matemático será realizado através da experimentação seguindo as orientações: Material. 10 dados comuns e papel milimetrado. Instruções. - Os lançamentos. A proposta aqui é fazer 1000 lançamentos. Para facilitar, no entanto, utilize um truque: em vez de fazer um lançamento por vez, faça 10 lançamentos em cada rodada, usando 10 dados idênticos. A cada vez que lançar os 10 dados imagine que lançou um único dado 10 vezes. Assim, você só precisará fazer, de fato, 100 lançamentos. Durante os lançamentos, anote os resultados numa tabela. Depois, com os resultados anotados, faça um gráfico. Instruções - a tabela. A tabela deve ser montada do seguinte jeito. Ela deve ter 4 colunas e 100 linhas. Cada linha corresponderá a uma rodada de lançamento simultâneo de 10 dados. Conteúdo das colunas: 1ª: indicação das rodadas: 1-10, 11-20, etc; 2ª: número de dados que saíram com a face 1 voltada para cima, na rodada correspondente à linha anotada; 3ª: total de vezes que a face 1 saiu desde o começo até a rodada correspondente à linha anotada; 4ª: divisão do valor anotado na terceira coluna pelo número total de lançamentos. Rodada Nº da face 3 Total Fração Instruções - o gráfico.

6 Depois de 100 rodadas você terá um experimento real com 1000 dados jogados. Aí poderá fazer um gráfico dos valores da quarta coluna em função da primeira. Use um papel milimetrado: tire cópias do papel fornecido ou compre um bloco numa papelaria. Deite o papel e construa o eixo das abscissas (o horizontal). Você deve escolher a escala de acordo com o número de lançamentos e o tamanho do papel. Usando 1mm por rodada, as 1000 rodadas ocuparão 10cm. No exemplo mostrado aqui, usamos uma escala de 2mm, que vai ocupar 20cm. Na ordenada (eixo vertical) seria interessante representar apenas os valores entre 0,1 e 0,2 que aparecem na quarta coluna (se o número estiver fora dessa faixa, simplesmente não coloque o ponto no gráfico). Se usar 10 cm para esse intervalo, então cada centímetro corresponderá a 0,01, e cada mm a 0,001 a olho nu, até 0,0005 é distinguível, sendo cuidadoso. 3ª Ação: Solucionar o Modelo Matemático A partir das informações na ação anterior os estudantes e completar a tabela e colocar construir o gráfico (observação: as informações preenchidas na tabela e utilizada no gráfico contém somente 300 rodadas) Rodada Nº da face 3 Total Fração , , ,1667

7 ,1533 Probalidade Face # 1 0,1800 0,1600 0,1400 0,1200 0,1000 0,0800 0,0600 0,0400 0,0200 0, ª Ação: Interpretar a solução Observa-se que os valores da fração começam oscilando os valores, mas quando vai aumentando a rodadas o valores começam a estabilizar-se em 0, Pode-se concluir que a possibilidade de sair a face 3 posterior a 1000 rodada é 0, A continuação é apresentado um plano de ensino onde considerar-se elementos da lógico dos conteúdos do cálculo da probabilidade e psicológico da aprendizagem que estaremos utilizando a teoria de formação por etapas das ações mentais de Galperin combinado com a resolução de problema como metodologia de ensino, manifestado através da ASP em Matemática. Também é considerado a direção da atividade de estudo de Talízina. Tabela 01: Plano de Ensino do Cálculo da probabilidade nº Conteúdo Objetivos TA H/A Etapa mental Possibilidade de 1 ocorrer um evento A num número finito de casos pos- AE 1 2 síveis. Eventos certos, impossíveis e mutuamente exclusivos. Problema do lançamento de um dado Compreender a o cálculo de ocorrer um evento A num número finito de casos possíveis. Resolver problemas para o cálculo de ocorrer um evento A num número finito de casos possíveis. AP 2 Orientação do sistema de ações da ASP em probabilidade a partir de problemas padrões do lançamento de um dado e / ou uma moeda (etapa de formação da BOA) A ação solucionar o modelo está vinculado com o objetivo do problema O estudante deve realizar (etapa material) detalhadamente o sistema de ações tomando como bases os problemas padrão.

8 3 Aplicar o cálculo da probabilidade AM 1 4 na resolução de problema. Cálculo de probabilidades. Propriedades. O método O método binomial. Aplicar o cálculo da probabi- binomial S 2 5 lidade na resolução de AP 4 problema em novos contextos (transferências) Legenda: AE: Aula Expositiva, AP: Aula Prática, AM: Aula Mista, S: Seminário. O professor deve controlar os sistema de ações e corrigir se é necessário As ações são consciente, compartilhadas, detalhada e não generalizadas. O estudante deve explicar (etapa verbal) o sistema de ações sem ajuda de objetos externos. As ações são consciente, compartilhadas, detalhadas e operações são automatizadas. O estudante deve saber aplicar o sistema de ASP em probabilidade ante novas situações (etapa verbal externa para si) As ações são, independente, comprimidas, automatizadas e generalizadas.