4 FUNCÃO DE TENSÃO DE WESTERGAARD GENERALIZADA APLICADA A PROBLEMAS DE POTENCIAL 2D

Transcrição

1 57 4 FUNCÃO DE TENSÃO DE WESTERGAARD GENERALZADA APLCADA A PROBLEMAS DE POTENCAL D A Função de Tensão Complexa de Westergaard supõe uma trinca com abertura elíptica submetida a carregamento biaxial remoto. Após algumas modificações, esta função pode ser usada como solução fundamental no método híbrido dos elementos de contorno (Dumont e Lopes, 003). O comportamento local da função de Westergaard permite o cálculo dos fatores de intensidade de tensão e para problemas de elasticidade em estruturas contendo trincas internas retas e curvas. A grande vantagem do uso desta solução fundamental é o baixo esforço computacional exigido no cálculo dos fatores de intensidade de tensão. A idéia principal da formulação consiste em aproximar uma trinca de geometria ualuer por uma sucessão de elementos retos de trinca. Estes elementos devem se superpor para garantir ue todas as regiões da trinca sofram o efeito de abertura nas suas faces. Para a análise de contornos e trincas com certas particularidades tais como câmbios bruscos de direção, trincas externas e trincas com bifurcação é necessária uma generalização da função de tensão complexa de Westergaard, ue permita uma boa representação do contorno da trinca. Neste trabalho, apresenta-se uma função de tensão de Westergaard generalizada, baseada em uma trinca com abertura semi-elíptica, com eixo de comprimento a e rotação θ em relação à abscissa x do sistema cartesiano de coordenadas. A solução fundamental a ser usada, no método hibrido dos elementos de contorno consiste na superposição de efeitos de duas trincas semi-elípticas concêntricas de eixos a e a, e rotações θ e θ, respectivamente, ue para o caso particular de comprimentos iguais ( a = a ) e sentidos opostos ( θ = θ ± π ) a solução fundamental vem a ser exatamente igual à desenvolvida por Dumont e Lopes (003). Um caso ainda mais particular é da função de tensão complexa de Westergaard na sua forma original onde o eixo da trinca elíptica coincide com o eixo x, isto é θ = 0 e θ = π.

2 58 A presente formulação é apresentada em forma sistemática, de tal modo ue o procedimento possa ser usado para ualuer outra abertura da trinca (retangular, triangular, parabólica, etc.). Neste capítulo será tratada a aplicação da formulação a problemas de potencial, ue em principio, permita a solução de problemas convencionais do método híbrido dos elementos de contorno, tais como o cálculo numérico de potenciais e fluxos em pontos do domínio onde também é verificada a convergência do método. Posteriormente, é visada a aplicação da formulação em estruturas com trincas internas retas e curvas no meio infinito e trincas em um domínio finito. Para alguns casos particulares, calcula-se o fator de intensidade de tensão obtido a partir dos parâmetros p i, da ntegral e de aproximações polinomiais. 4.. Potencial e fluxos para uma trinca genérica A função de tensão complexa de Westergaard e ualuer função de tensão formulada a partir da abertura de uma trinca podem ser usadas para descrever o potencial u e os fluxos i = ku, i gerados em um domínio pela presença da trinca, mediante a seguinte expressão. u = ( Φ) k i( Φ Φ) k = ku = ( Φ ') i( Φ ' Φ ') x, x = ku = R( Φ') i( Φ ' + Φ'), (4.) Onde, Φ Φ ' = é a derivada parcial da função Φ em relação a z, ( ) e z R ( ) são as partes imaginária e real da função, respectivamente, e a função Φ representa á conjugada complexa da função Φ. A e. (4.) é válida somente se Φ é analítica (holomórfica para funções complexas), isto é, se Φ é infinitamente derivável em um determinado ponto, tem um único valor e é igual à expansão da série de Talor em torno a este ponto. Por exemplo, para a função de tensão de Westergaard da e. (.6), esta condição é cumprida em todo o continuo exceto para o ponto z = ± a.

3 Estabelecimento da função de tensão para uma trinca semi-elíptica O procedimento a seguir pode ser usado para a formulação da função de tensão de uma trinca com ualuer forma de abertura, desde ue a geometria da abertura seja dada por uma função f. Neste trabalho, utiliza-se uma função de tensão baseada em uma trinca semi-elíptica, cuja geometria é descrita pela função da e. (4.): a x f = (4.) a Para o caso particular de a = e para valores de x entre 0 e ( x = [0,] ) a e. (4.) toma a forma semi-elíptica representada na Figura 4.. Figura 4. - Abertura semi-elíptica para uma trinca com comprimento a = A seguinte função: Φ = 0 a 0 f dx z x π (4.3) permite obter a função de tensão para uma trinca com abertura dada pela função f (Tada et al, 993) da e. (4.), onde z = x + i é uma função complexa referida ao sistema de coordenadas cartesianas. A seguir, obtém-se uma função de tensão para o caso mais geral em ue a trinca de comprimento a tem uma rotação θ em relação ao eixo x do sistema global de coordenadas, tal como mostrado na Figura 4..

4 60 x a 0,5 x 0,5 Figura 4. - Abertura semi-elíptica para uma trinca com comprimento a e rotação θ A e. (4.3) deixa de ser válida para a trinca da Figura 4., sendo necessária a introdução de uma constante complexa T, ue considere tanto o comprimento a da trinca como a rotação θ. Pode-se então, substituir z da e. (4.3) por Z, obtendo-se a seguinte euação: Φ = a 0 f dx Z x π (4.4) onde Z é uma função ue considera o comprimento a e a rotação θ a través das seguintes expressões: Z = zt T = ( cos θ i sin θ ). a (4.5) A resolução da e. (4.4), levando em conta as e. (4.) e (4.5) conduz à seguinte função de tensão: + Z Z ln Z Z Φ =. (4.6) 4 π Derivando-se a expressão da e. (4.6) em relação a z, obtêm-se a derivada da função de tensão: + Z Z ln T Z π Φ ' = + + π Z Z (4.7)

5 6 Φ onde Φ ' =. z Para a implementação numérica usando a função de tensão da e. (4.6) e sua derivada [e. (4.7)], como solução fundamental no método híbrido dos elementos de contorno é necessária uma análise das funções ( Φ ), R( Φ ), ( Φ ') e R( Φ ') usadas no calculo do potencial e fluxos da e. (4.). A representação gráfica destas funções para o caso particular de a = e θ = 0 é mostrada na Tabela.. () R () Φ Φ ' Tabela 4. - Representação gráfica das funções ( Φ ), R( Φ ), ( Φ ') e R( Φ ') para o caso particular de Z = x + i Nos gráficos da Tabela 4., vê-se a descontinuidade das funções ( Φ ) e ( Φ ') no eixo da trinca e a existência de singularidades das funções, ( Φ ') e R( Φ ') na origem e na extremidade da trinca, as uais precisam ser levadas em conta para a implementação numérica.

6 Considerações das singularidades e descontinuidades Neste item faz-se uma análise das singularidades e descontinuidades do potencial e dos fluxos em pontos próximos à origem e à ponta da trinca semielíptica Expansão da função de tensão Φ em torno à origem A e. (4.6) representada por funções polinomiais expandidas em torno à origem ( Z = 0 ) resulta em: Z Z Z 5Z Z Z Z 5Z + ln() ln( Z ) + π 4π 6π 3π 56π π 4π 6π 3π 56π i iz iz iz 5 iz ( + Z ) i + csgn Z Z Z Z 5Z 59Z π 4 8π 64π 384π 644π (4.8) Levando ao limite uando Z 0, a expressão da e. (4.8) resulta em: ( + Z ) i lim( Φ ) = ln() ln( Z ) + csgn Z 0 π π Z π (4.9) Analisando a e. (4.9), observa-se ue em torno à origem se tem a singularidade logarítmica ln( Z ). A função complexa Z pode ser corretamente representada no sistema polar de coordenadas por: Z r i( θ θ ) = e (4.0) a levando em conta esta última relação o termo singular da e. (4.9) resulta em: ln( Z ) = ln( r) ln( a ) + i( θ θ ). (4.) Então a singularidade de Φ em torno à origem está no termo ln( r), ue π é uma função real ue independe da direção. Pelo ual esta singularidade não afeta o valor do potencial u, dado ue u = ( Φ ).

7 63 A função c sgn( ) da e. (4.8) é usada para determinar em ual meio-plano (esuerda ou direita) a expressão do valor complexo ( ) está. A função c sgn( ) é definida por: csgn( ) = se R ( ) > 0 ou R ( ) = 0 e ( ) > 0 csgn( ) = - se R ( ) < 0 ou R ( ) = 0 e ( ) < 0 (4.) Para o termo e θ θ θ csgn ( + Z ) Z i da e. (4.8), após considerar, r = r a iθ ( + r e ) = na e. (4.0), obtém-se csgn função de r e θ é apresentada na Figura 4.3: re iθ i, cuja gráfica em Figura Função c sgn( ) da expansão em séries de Φ em torno à origem valores: Para um valor de r 0, a função c sgn( ) da e. (4.8) toma os seguintes csgn( ) = for θ θ =0 csgn( ) = - for 0< θ θ π csgn( ) = for π < θ θ π Substituindo a e. (4.3) em (4.9) e (4.) obtemos: π -θ + θ π lim( u) = lim( ( Φ )) = r 0 r 0 π θ + θ π (4.3) para θ -θ = 0 e π < θ -θ π (4.4) para θ - θ π Tendo em conta a superposição de efeitos de duas trincas semi-elípticas concêntricas de comprimentos a e a, e de rotações θ e θ, respectivamente, o efeito combinado do campo potencial é dado por:

8 64 u = u u (4.5) Da substituição da e. (4.4) na e. (4.5) se obtêm as seguintes relações: π θ + θ π θ + θ θ θ = for 0 < π π π lim lim [ ( ) ] π θ + θ π θ + θ θ θ u = Φ Φ = = + for r 0 r 0 π π π π θ + θ π θ + θ θ θ = for < π π π (4.6) ou expresso de outra forma: θ θ π limu = lim [ ( Φ Φ ) ] = r 0 r 0 θ θ + π para um ponto fora do Ω para um ponto dentro do Ω (4.7) No caso ue seja reuerida a integral da função R( Φ ) em torno à origem, uma integração numérica imprópria de ln( r ) tem ue ser considerada. De fato, o valor de u = ( φ) na ponta da trinca é zero. Assim, expansões em séries indicam a presença de r multiplicando um termo polinomial, onde r é a distância desde a ponta da trinca. sto tem ue ser levado em conta se alguma integração numérica estivesse sendo calculada em torno a algum contorno ue inicia o termina na ponta da trinca Expansão da derivada da função de tensão Φ ' em torno à origem A e. (4.7) representada por funções polinomiais expandidas em torno à origem ( Z = 0 ) resulta em: TZ TZ 3TZ 5TZ 35TZ TZ TZ 3TZ 5TZ ln() ln( Z ) + π 4π 6π 3π 56π π 4π 6π 3π ( + Z ) i TZ itz itz itz itz itz ln( Z ) + csgn 56π Z T T TZ 7TZ 37TZ 533TZ π Z 4 8π 64π 384π 644π (4.8) Levando ao limite uando Z 0, da e. (4.8) se tem:

9 65 lim( ') T T π Z 4 Φ = (4.9) r 0 Para efeitos práticos expressamos a constante complexa T em coordenadas polares, sendo: iθ T = e (4.0) a Substituindo a e. (4.0) e (4.0) na e. (4.9) se obtêm: iθ iθ e e lim( Φ ') = lim( ). (4.) r 0 π r 0 r 4a Por tanto, o termo ue contém a parte singular r da trinca semi-elíptica independe do comprimento a e da direção θ. Então, a superposição de efeitos de duas trincas semi-elípticas concêntricas de comprimentos a e a, de rotações θ e θ, respectivamente, conduz aos seguintes gradientes: = ( Φ' Φ ' ) x = R( Φ ' Φ' ). (4.) Tomando em conta a e. (4.) e (4.), se tem: lim( ' ' ) e e iθ iθ Φ Φ = r 0 4a + 4a (4.3) As projeções do vetor unitário normal externo η ao longo da direção θ são: ηx = sin( θ) e η = cos( θ). Então, a gradiente normal ao longo das faces de cada uma das trincas está dada por: cos( θ θ ) lim( η ) = lim( xη x + η ) = +, no eixo da primeira trinca r 0 r 0 4a 4a cos( θ θ ) lim( η ) = lim( xη x + η ) = +, no eixo da segunda trinca r 0 r 0 4a 4a (4.4) Observe-se na e. (4.4) ue há um salto no valor de η na transição da primeira trinca para a segunda trinca semi-elíptica. Se θ θ = ± π, caso no ual o contorno na união das duas trincas é suave, os limites da e. (4.4) resultam em: lim( η ) =, no eixo da primeira trinca r 0 4a 4a lim( η ) =, no eixo da segunda trinca r 0 4a 4a (4.5)

10 66 a Se = a, η é constante ao longo das faces das duas trincas semielípticas, e assim, a integração de η ao longo das faces de toda a trinca resulta em uma fonte unitária. No desenvolvimento deste item, observou-se, ue as singularidades em torno à origem são eliminadas com a superposição de duas trincas semi-elípticas concêntricas Expansão da derivada da função de tensão Φ ' em torno à ponta A e. (4.7) representada por funções polinomiais expandidas em torno à ponta da trinca ( Z = ) resulta em: (3/ ) (5/ ) (7/ ) (9/ ) T 3 T Y 5 TY 7 TY 45 TY 77 TY Y ( ( Y ) ) i (4.6) (4 π ) T TY TY 46TY 9TY 547TY csgn Y + 4π 3π 5π 05π 63π 55π onde Y = Z. Para Y 0 temos a seguinte expressão: ( + ( Y + ) ) i T (4 + π ) T lim( Φ ') = csgn Y 0 4 Y Y + 4π (4.7) onde a função c sgn( ) toma o valor constante de ou, pelo ual a e. (4.7) contém uma singularidade do tipo r, a ual tem ue ser tomada em conta como uma integral numérica imprópria Formulação para um domínio finito A seguir, utiliza-se a função de tensão de Westergaard generalizada, apresentada nos capítulos anteriores como solução fundamental no método híbrido dos elementos de contorno na solução de problemas bidimensionais de potencial. Neste item desenvolve-se a aplicação da formulação para um domínio finito Ω, com um contorno. Esta formulação propõe ue um elemento de trinca formado pela superposição das aberturas de duas trincas semi-elípticas concêntricas seja a

11 67 solução fundamental. A Figura 4.4 fornece o exemplo de esta abertura para o elemento 3 do contorno da Figura a 4 a 3 a represents a Figura Abertura de um elemento de trinca formado por duas trincas semi-elípticas Deste modo uma trinca genérica pode ser aproximada por uma sucessão de elementos da solução fundamental. Estes elementos devem se superpor para garantir ue todas as regiões da trinca a ser modelada sofram o efeito de abertura de suas faces. A Figura 4.5 ilustra esta superposição, onde doze elementos de trinca são utilizados para discretizar o contorno. Estes elementos são numerados de a. length of the semi-ellipse axis a 3 a a a a 6 a 7 a number of element number of point + Ω a a a 9 a 0 0 a Figura Exemplo da discretização de um contorno com elementos de trinca O sentido da numeração dos elementos segue a mesma convenção dos elementos de contorno convencional, isto é, o sentido anti-horário (positivo) para contornos ue encerram um domínio Ω e sentido horário (negativo) para furos ou cavidades. Para checar a aplicabilidade e a consistência da formulação ue usa a função de tensão de Westergaard generalizada como solução fundamental no método híbrido dos elementos de contorno, analisa-se o problema de um

12 68 contorno submetido a uma fonte externa F tal como é apresentado no exemplo do item Exemplos Uma fonte de potencial logarítmico Φ = ln ( x + 0) + ( 5) π é aplicada em um ponto F do continuo infinito Ω, como é ilustrado na Figura 4.6. O potencial e os gradientes gerados por esta fonte são aplicados ao longo do contorno irregular da figura, criando o problema (para a euação de Laplace) com solução analítica conhecida. A esuina entrante (nó 7) e o furo interno da figura geram algumas dificuldades topológicas na simulação numérica. O contorno da Figura 4.6 tem 04 nós e segmentos lineares, os uais são proporcionalmente distribuídos entre os nós das esuinas indicadas, note-se ue o sentido da numeração do contorno externo é anti-horário e do furo é horário. Uma série de 5 pontos ao longo do segmento de linha AB são usados para representar alguns resultados numéricos do agora domínio finito Ω. 50 F A B 7 Coordinates point x A 5 0 B 5 8 F -0 5 x Figura Estrutura para avaliação do potencial e dos fluxos em pontos internos, devido a uma fonte externa F

13 69 Utilizando-se o método híbrido dos elementos de contorno são calculados os potenciais u i e os fluxos são comparados com a solução analítica. i em pontos internos. Estes resultados numéricos O problema é resolvido impondo-se as condições de contorno do tipo Neumann, onde somente a matriz H precisa ser calculada. H é uma matriz singular e os gradientes nodais euivalentes p são auto euilibrados, este problema admite uma única solução para p, a ser obtido com a ajuda dos conceitos de matrizes inversas generalizadas [Dumont (0b)]. A Figura 4.7 mostra os resultados numéricos e analíticos do potencial u. u potential -0,43-0,44-0,45-0,46-0,47-0,48-0,49-0,5-0,5-0,5 u potential along the line segment A-B, due to an external source F u ana. u num Number of the point along the line segment A-B Figura Potencial u ao longo da linha tracejada A-B da Figura 4.6 Analisando os resultados da Figura 4.7, vê-se ue a linha tracejada ue representa a solução numérica para o potencial u, praticamente coincide com a solução analítica. A Figura 4.8 mostra os gradientes x e tanto da solução numérica como da solução analítica.

14 x and gradients along the line segment A-B, due to an external source F x and gradients x ana. x num. ana. num Number of the point along the line segment A-B Figura Gradientes x e ao longo da linha tracejada A-B da Figura 4.6 Uma melhor análise dos resultados do potencial e dos fluxos pode ser feita a partir da Figura 4.9, ue mostra o erro da solução numérica em relação à solução analítica. Error (%), logarithmic scale Potential and gradients errors (%) along the line segment A-B Number of the point along the line segment A-B u erro(%) x erro(%) erro(%) Figura Erro do potencial u e dos fluxos Figura 4.6 x e ao longo da linha tracejada A-B da Os valores dos erros mostrados na Figura 4.9 são mostrados em escala logarítmica, isto permite uma melhor interpretação dos resultados. Estes erros são calculados pela seguinte expressão: valor numérico - valor analítico erro(%)=abs 00% (4.8) valor analítico

15 7 dos fluxos Nota-se ue o erro do potencial u, obtido pelo BHEM é menor a ± 0,%, e x e menores a ±,0%. sto mostra a obtenção de bons resultados da formulação para problemas com domínio infinito. Veja-se ue os resultados dos potenciais são melhores ue dos fluxos, como esperado, já ue os fluxos são valores obtidos da derivada do potencial. Estes bons resultados também têm a ver com a boa discretização dos contornos, mas, se esperaria melhores resultados para o caso da estrutura sem a presença do furo Formulação para uma trinca em um meio infinito Tendo desenvolvido e mostrado ue a função de tensão de Westergaard generalizada pode ser usada como solução fundamental para problemas no método híbrido dos elementos de contorno e especificamente para um domínio finito, a seguir faz-se uma particularização do método para o caso de trincas. No item interior analisou-se o caso de contornos fechados, isto é ue o ultimo nó de um determinado contorno coincide com o primeiro nó do mesmo contorno. Para o caso particular de uma trinca, tem-se um contorno aberto, com um nó inicial e outro final ue não coincidem. Para uma melhor compreensão analisa-se o problema de uma trinca com curvatura ualuer (Figura 4.0). length of the semi-ellipse axis a a 3 3 i=4 i=3... n- i=n a n n i=n+ a n+ a i= number of point i=n+ i= number of element Figura Trinca curva discretizada com n elementos A trinca da Figura 4.0 esta discretizada com n elementos, aos uais correspondem n + segmentos e n + nós, sendo a o comprimento do primeiro segmento ou primeira semi-elipse e a n + o comprimento do último segmento ou ultima semi-elipse.

16 7 A solução deste problema fica ainda mais simples, dado ue a Matriz H é calculada tomando em conta apenas os pontos fontes relacionados aos n elementos, mas tendo em consideração os efeitos das integrações ao longo dos n + segmentos do contorno, obtendo-se assim uma matriz H da ordem de n n. Esta matriz uadrada H n n não singular ao ter condições de contorno tipo Neumann sua solução recai na primeira igualdade da e. (3.58), de onde se obtém: T H p = p (4.9) Onde p é o vetor de gradientes nodais euivalentes nos pontos fonte dos elementos da trinca discretizada, este vetor é de ordem n. Assim p é a única incógnita a ser calculada, de ordem n. O cálculo do potencial e dos fluxos é efetuado a partir das componentes p i para ualuer ponto do domínio Ω exceto para os pontos ue coincidem com os nós da discretização do contorno. Para o cálculo do fator de intensidade de tensão aplicar a seguinte formula: ou a formula: no modo, basta p = π a (4.30) a pn = π an + (4.3) a n + dependendo do extremo da trinca onde se uer calcular o fator de intensidade de tensão. Os termos p a e p a + das e. (4.30) e (4.3), respectivamente, n n representam a meia do fluxo, aplicado ao longo do primeiro ou ultimo elemento da trinca discretizada, segundo seja o caso. Para mostrar a aplicabilidade desta formulação, é apresentado o problema de uma trinca reta e uma trinca curva em um domínio infinito Exemplos Analisa-se o problema de uma trinca reta em um domínio infinito, submetida a um fluxo normal unitário (Figura 4.).

17 73 = A a.0 Δ=0.05 B = Figura 4. - Trinca reta de comprimento a = submetida a um fluxo remoto unitário O problema principal deste exemplo consiste em calcular os parâmetros de p, usados no método híbrido dos elementos de contorno. A partir destes parâmetros p i são calculados os fatores de intensidade de tensão mediante as e. (4.30) e (4.3), ue ao se tratar de uma estrutura simétrica, os resultados duas euações são valores iguais. A solução analítica do fator de intensidade de tensão para este problema vem dada por = σ π a = π.77. A Figura 4. mostra os resultados obtidos pela análise. Várias discretizações da trinca foram utilizadas, variando-se a uantidade e a razão de distribuição (progressão geométrica) dos elementos ao longo das faces da trinca. Estas razões de distribuição começam nas extremidades da trinca e vão até o centro. numeric / analtic,07,06,05,04,03,0,0,00 0,99 0,98 0,97 stress intensit factors in terms of p Analtic Ratio Ratio.0 7 Ratio.04 Ratio.06 5 Ratio.08 Ratio number of elements along the crack Figura 4. Fatores de intensidade de tensão para a trinca da Figura 4.

18 74 Analisando os resultados mostrados na Figura 4., nota-se ue apenas um elemento de trinca seria capaz de reproduzir a solução analítica. A utilização de três elementos de trinca forneceu um erro de,0%, este resultado já era esperado, pois, não se consegue representar de maneira satisfatória uma elipse pela superposição de três outras. Para maiores discretizações de trinca e uma razão de distribuição de um, os valores calculados de se aproximam a um erro de + 6.0%, seguindo um mesmo padrão, mas não podendo ser comprovado a existência de uma convergência, a ual pode ser mais bem apreciada na Figura 4.3. error 7% 6% 5% 4% 3% % % 0% stress intensit factors error in terms of p Ratio.00 Ratio.0 Ratio.04 Ratio Ratio.08 9 Ratio number of elements along the crack - logarithmic scale Figura Erro dos fatores de intensidade de tensão para a trinca da Figura 4. Os erros calculados são desenhados em função do numero de elementos da trinca em escala logarítmica (Figura 4.3), isto para uma melhor interpretação dos resultados, a seguir faz-se uma análise detalhada dos valores obtidos nesta gráfica. Para todas as razões de distribuição apresentadas e numero de elementos de trinca maior a 5 e menor a 49, a natureza dos resultados seguem um mesmo padrão com uma tendência a ir acrescentando o erro. A linha ue representa uma razão de distribuição de,0 apresenta um máximo com uma discretização da trinca próxima aos 49 elementos, assim, para discretizações maiores o erro decresce. Pode-se ver ue a linha ue representa uma razão de distribuição de,08, também apresenta um máximo para um numero de elementos de trinca entre 49 e 99, a partir do ual o erro tende a diminuir.

19 75 Então, é esperado ue o comportamento de todas as razões de distribuição seja o mesmo, isto é, ue o erro do fator de intensidade de tensão aumente uando e maior a discretização da trinca, ate atingir um máximo, após do ual o erro irá diminuindo. Também foram testados exemplos nos uais as razões de distribuição iniciaram no segundo elemento, isto é considerando o primeiro e segundo elemento de igual comprimento, cujos resultados numéricos não presentearam melhoras em comparação com o exemplo deste item, motivo pelo ual não se considera necessária a apresentação dos resultados. Conclui-se ue a utilização de uma razão de distribuição diferente de,00 não melhora os resultados em forma significativa e ue para ualuer razão de distribuição não é possível garantir a convergência dos resultados de, motivo pelo ual o fator de intensidade de tensão não representa uma norma consistente para verificar a convergência da formulação, onde a exigência é ue o campo de gradientes esteja em euilíbrio. Para validar a convergência da formulação, realizou-se o estudo da obtenção dos fluxos em uma região bem próxima à ponta da trinca. Esta região é representada pela linha tracejada próxima à extremidade direita da trinca esuematizada na Figura 4., foram considerados varias discretizações da trinca com uma razão de distribuição de,00. Os resultados obtidos são mostrados na Figura ,40 gradient along the dashed vertical line Δ=0.05 gradient 3,0 3,00,80,60,40,0,00-0,0-0,05 0,00 0,05 0,0 Figura Convergência da gradiente Analtic 99 elements 49 elements 9 elements 7 elements 3 elements points along the dashed line ao longo da linha tracejada na Figura 4. Na Figura 4.4, vê-se ue os valores do fluxo melhoram com a discretização e os resultados numéricos tendem aos valores analíticos, ou seja,

20 76 ao campo de gradientes gerado por somente uma trinca elíptica. Para uma melhor visualização da convergência calculam-se os erros numéricos dos fluxos obtidos em relação ao valor analítico, os uais são desenhados na Figura 4.5. gradient error 3,0%,5%,0%,5%,0% 0,5% gradient error along the dashed vertical line Δ= elements 49 elements 9 elements 7 elements 3 elements 0,0% -,00 -,50 -,00-0,50 0,00 0,50,00,50,00 Figura Erro no gradiente points along the dashed line ao longo da linha tracejada da Figura 4. Analisando os resultados apresentados na Figura 4.5, vê-se ue para uma trinca discretizada com 3 elementos o erro do fluxo no ponto eixo vertical (interseção da linha tracejada com a projeção do eixo da trinca) é de ± 3,00%. Para uma trinca discretizada com 7 elementos o erro é de ±,00%, assim, o erro vai diminuindo até chegar a ± 0,0%, ue corresponde à trinca discretizada com 99 elementos. Verifica-se deste modo a convergência do campo de fluxos, isto é ue os resultados melhoram e tendem ao valor analítico uando maior é a discretização da trinca. Para demonstrar ue a convergência em termos do campo de fluxos não tem relação com a convergência em termos de fatores de intensidade de tensão, pode-se recorrer novamente à Figura 4.. Nesta Figura, toma-se a curva ue representa o comportamento de para uma razão de distribuição de,00, nesta curva analisa-se dois pontos: um ue corresponde a uma discretização de 7 elementos e outro a uma discretização de 9 elementos. Observa-se claramente ue o primeiro ponto fornece um erro de ± 0,00%, resultado bem melhor ue o segundo ue fornece um erro de ± 4,00%. Em contrapartida, na Figura 4.5 verifica-se ue uma

21 77 discretização com 9 elementos fornece um erro de ±,00%, melhor resultado ue a discretização com 7 elementos ue fornece um erro de ±,00%. sto prova ue fatores de intensidade de tensão não podem ser utilizados como norma de convergência para esta formulação. Contudo, os valores obtidos para o fator de intensidade de tensão erro ( ± 6,00 ). estão dentro de um limite satisfatório de Para verificar a convergência dos fluxos para ualuer geometria da trinca, apresenta-se um segundo exemplo. Neste segundo exemplo, apresenta-se uma trinca curva de raio R =, em um meio infinito submetido a um fluxo remoto unitário tal como esuematizado na Figura 4.6. = R= =0.0 = Figura Trinca curva de raio submetida a um fluxo remoto unitário A idéia deste exemplo consiste em calcular o fluxo da linha tracejada da Figura 4.6 e verificar sua convergência. em pontos ao longo gradient,4,3,, gradient along the dashed vertical line Δ=0.0 3 elements 7 elements 9 elements 49 elements 99 elements 0,9 0,8 - -,5 - -0,5 0 0,5,5 points along the dashed line Figura Convergência da gradiente. ao longo da linha tracejada da Figura 4.6

22 78 fluxo trinca. Analisando a Figura 4.7, verifica-se a convergência da componente de com o aumento do número de elementos utilizados na modelagem da A trinca da Figura 4.6 tem os modos de trincamento e relacionados aos fatores de intensidade de tensão e, respectivamente, isto para problemas de elasticidade. Para problemas de potencial se tem somente um valor relacionado a um fator de intensidade de gradiente ue não têm relação alguma com os fatores de intensidade de tensão ou. Conclui-se ue neste problema não é possível calcular os fatores de intensidade de tensão Formulação para uma trinca em um domínio finito Nos itens 4., 4. e 4.3 foram desenvolvidas as considerações básicas da função de tensão de Westergaard generalizada para seu uso como solução fundamental no MHEC. No item 4.4 viu-se a aplicação da formulação na solução de problemas em um meio finito. No item 4.5 desenvolveu-se a formulação para trincas em um meio infinito. Para o presente item toma-se como base o desenvolvido nos itens anteriores. Para o problema de uma trinca interna deve-se considerar na análise a superposição de efeitos ue introduza a influência de um contorno finito e uma trinca contida no domínio de este contorno. sto pode ser obtido com o uso da solução fundamental de Westergaard generalizada tanto nos pontos nodais do contorno externo da estrutura como nos nós utilizados para discretizar a trinca. No presente item, por efeitos de eficiência computacional e para avaliar o uso de duas formulações distintas em um mesmo problema, utiliza-se a solução fundamental de elvin nos pontos nodais do contorno externo da estrutura e a solução fundamental de Westergaard generalizada nos nós dos elementos usados para discretizar à trinca. Dado ue, a solução fundamental baseada na função de tensão de Westergaard generalizada demanda maior esforço computacional em relação à solução fundamental de elvin. Sendo assim, considera-se o índice (0) referente à solução fundamental de elvin, e o índice (c) referente à solução fundamental de Westergaard generalizada, as matrizes e vetores do sistema de e. (4.9) são dados por: H00 H0c p p0 H = p = p = Hc0 Hcc p c pc 0 [ ], { } e { } (4.3)

23 79 onde a matriz [ H ] é uadrada e singular. Na e. (4.3), as submatrizes de [ H ] são obtidas levando-se em consideração o seguinte: H 00 - Matriz referente à aplicação da solução fundamental de elvin nos nós utilizados para discretizar o contorno externo, sendo a integração realizada no contorno externo. H 0c - Matriz referente à aplicação da solução fundamental de elvin nos nós utilizados para discretizar o contorno externo, sendo a integração realizada no contorno da trinca. H c0 - Matriz referente à aplicação da solução fundamental de Westergaard generalizada nos nós utilizados para discretizar a trinca, sendo a integração realizada no contorno externo. H cc - Matriz referente à aplicação da solução fundamental de Westergaard modificada nos nós utilizados para discretizar a trinca, sendo a integração realizada no contorno da trinca. Os elementos do vetor p 0, uma das incógnitas do problema, são parâmetros singulares provenientes da aplicação das soluções de elvin no contorno externo da estrutura. Os elementos do vetor p c correspondem aos parâmetros da trinca, lembrando ue de estes parâmetros, ue representam as extremidades da trinca, é possível obter os fatores de intensidade de tensão Os termos p 0 e. p c são forças nodais euivalentes, sendo ue para trincas descarregadas (maioria dos casos) p c é nulo Exemplos Neste item é fornecido um exemplo ue comprova a aplicabilidade da formulação para trincas internas. Trata-se do cálculo dos fatores de intensidade de tensão de uma trinca de comprimento a, contida em uma placa de dimensões w x 6w (Figura 4.8).

24 80 x x B a H=w A L=6w Figura Trinca concêntrica em uma placa retangular submetida a um fluxo unitário Para a trinca da Figura 4.8 e varias relações de a w calcula-se o fator de intensidade de tensão em função do número de elementos usados para discretizar à trinca, os resultados numéricos são desenhados e mostrados na Figura 4.9. Para assegurar ue a influência da discretização do contorno externo na trinca seja da mesma ordem para diferentes valores de a w se utilizou uma discretização variável das arestas da placa também em função de a w, isto é, ue para uma relação maior de a w, os extremos da trinca estão mais próximos às arestas laterais da placa, assim será necessária uma maior discretização das arestas da placa, o resumo dos valores de a / w, assim como as diferentes discretizações do contorno da placa são apresentadas na seguinte tabela: Numero de elementos nas arestas a w a (und) w (und) Laterais (L) Superior/ Total na inferior (H) placa / / / / /,5, Tabela 4. - Dimensões e discretizações das arestas da placa da Figura 4.8 A solução aproximada para este exemplo foi apresentada por Castro & Meggiolaro (009), com uma precisão de ± 0.3% para h / w > 3, dada pela seguinte expressão: 4 σ π a a a π a = sec w w w A Figura 4.9 mostra os resultados fornecidos por esta análise. (4.33)

25 8 Analisando-se os resultados mostrados na Figura 4.9, comprova-se ue os valores do fator de intensidade de tensão seguem o mesmo padrão ue os obtidos para trincas em meio infinito. Para relações de a / w = / 0, a / w = / 0 e a / w = / 5 obtêm-se valores da relação numérico analítico bem próximos aos obtidos no meio infinito. Para valores a / w = / e a / w = /,5 o valor da relação numérico analítico cai.,0 stress intensit factors in terms of p numeric / analtic,05,00 0,95 0, analtic a/w=/0 a/w=/0 a/w=/5 a/w=/ a/w=/.5 0, number of elements along the crack Figura Fatores de intensidade de tensão para a trinca da Figura 4.8 Adicionalmente foram desenvolvidos exemplos com maiores discretizações do contorno da placa não apresentando melhora nos resultados, a partir do ual se conclui ue a ueda dos resultados numéricos nos valores de para relações de a / w = / e a / w = /,5 se deve à maior influência do contorno lateral próximo à ponta da trinca em análise ue à influencia do outro contorno lateral, ou seja, a relação ( w a) ( w + a) tende a ser peuena A ntegral no cálculo de fatores de intensidade de tensão A boa convergência dos fluxos i e a não convergência dos valores de, desenvolvidos nos itens anteriores, motivaram o uso de procedimentos e formulações alternativas para o cálculo do fator de intensidade de tensão, de tal modo a ter mais um parâmetro de comparação. Uma de estas formulações alternativas é usando a ntegral, a ual será desenvolvida neste capitulo.

26 8 O caminho de integração seguinte: ( ηx i i x ), d (4.34) = W T u foi proposta por Rice (968), a fim de medir a intensidade do campo de tensões próxima à ponta da trinca para um problema de elasticidade em material homogêneo e isotrópico. A direção x no sistema cartesiano de coordenadas é tangente ao eixo da trinca na sua ponta. A ntegral é aplicável ao caso de uma trinca descarregada, onde T i = 0 ao longo das faces da trinca e sem a presença de fontes de corpo. Este desenvolvimento também é aplicado para o caso de trincas simetricamente carregadas nas suas faces, isto é, se Ti = T, desde ue o termo Tu i i, x na e. + i (4.34) seja cancelado uando a análise e realizada ao longo das caras da trinca A integral para problemas de potencial Para problemas de potencial, a e. (4.34) se simplifica a: ( i, iη x iη i, x ) d (4.35) = u + u Onde u é a energia de deformação em termos do potencial u e do fluxo i = ku, i. i, i É possível verificar ue para um contorno fechado, ue não contem singularidades, o valor da ntegral é nulo. sto mediante a aplicação do teorema de Green na e. (4.35) a ual conduz à seguinte euação: ( ( i, i ) (, ), i x, ) Ω x i ( iu, ix i, iu, x iu, ix ) = u + u dω = + + dω = 0 Ω (4.36) Desde ue i, i = 0 no domínio Ω encerrado pelo contorno, ou seja, não existam fontes de corpo. como: Tendo em conta a e. (4.), a integral da e. (4.35) pode ser expandida ou, alternativamente, como: = Φ ( ηx + η ) + Φ ' ( ηx η ) 4k (4.37) ' i i d

27 83 ( ' ' ) ηx ( ' ' ) = i η d 4k Φ + Φ + Φ Φ ( ( ') ( ') ) ηx ( ') ( ') η d k R Φ Φ R Φ Φ (4.38) A e. (4.36) mostra ue a ntegral é nula, uando o contorno encerra um domínio sem singularidades. Dito de outra forma, = 0, se nenhuma descontinuidade é atravessada pelo caminho, isto é também valido para o caso de uma trinca interna completamente implícita em Ω (encerrada, mas não atravessada pelo contorno ). Uma generalização da condição expressada na e. (4.36) é de se corta à trinca um número par de vezes, é sempre possível transformar o problema em uma trinca ue esta completamente implícita no domínio Ω Relação da integral com o fator de intensidade de tensão Para problemas de estado plano de deformações, a ntegral é relacionada com a dureza da fratura no modo de carregamento em termos do fator de intensidade de tensão onde pela seguinte expressão: ν = G = (4.39) G G é a taxa critica de liberação de energia de deformação, G = E ( + ν ) é o modulo de elasticidade transversal e ν é o coeficiente de Poisson de um material elástico e homogêneo. expressão: A analogia da e. (4.39), com o problema de potencial conduz à O fator de intensidade de tensão expressado como: = (4.40) k é obtido a partir da e. (4.40) e = k (4.4)

28 Exemplos Neste item apresentam-se uma série de exemplos numéricos com o fim de ualificar e uantificar os valores do fator de intensidade de tensão, obtidos a partir de varias posições e tamanhos do contorno. Para isto, são analisadas, trincas em um plano infinito submetidas a gradientes normais unitárias ( = ). Também são analisadas trincas com a presença de um e dois furos próximos. Os resultados dos exemplos apresentados são valores de numérico analítico obtidos a partir da ntegral [e. (4.4)], e descritos em função de varias solicitações é configurações da trinca, nestes gráficos também são desenhados os valores da relação numérico analítico obtidos diretamente dos parâmetros p e p n, e da solução analítica. O primeiro exemplo trata-se de uma trinca reta em um domínio infinito bidimensional, submetida a um fluxo unitário remoto =. A Figura 4.0 mostra a configuração desta trinca e do contorno do cálculo numérico., assim como os resultados Stress intensit factors in terms of p and integral numeric / analtic,05,00 0,95 0,90 0, a n- 9 p n- a n p n a n+ b B analtic from pn from Number of elements along the crack A = a.0 B Figura a partir da ntegral, para varias discretizações da trinca Para fins de integração, o contorno de dimensões 0,06 x 0,06, foi discretizado com 6 elementos de igual comprimento (4 por lado). A distância b, da ponta da trinca (ponto B) ao ponto onde o caminho atravessa o eixo da trinca é dada por b = 0,05a n + ou expresso de outra forma b / a n + = 0,05.

29 85 Analisando os resultados da Figura 4.0, note-se ue para a trinca discretizada com um elemento, a solução numérica de solução analítica. coincidem com a Para a trinca discretizada com dois elementos, os resultados numéricos de apresentam erros muito grandes ( Erro 0% ). á para a trinca discretizada com três elementos os resultados melhoram ( erro 4% ), a partir do ual a tendência no erro dos valores de é crescente. Para discretizações maiores da trinca, o valor de se aproxima ao valor analítico, tendo-se, por exemplo, um erro de 0.3% para uma discretização de 9 elementos. Para discretizações da trinca ainda maiores o valor numérico de resulta sendo maior ao analítico, sendo assim o erro de + 0,3% para 49 elementos e erro de + 0,4% para 99 elementos. A partir dos resultados obtidos no presente exemplo conclui-se ue para maior discretização da trinca obtêm-se melhores resultados de, mas não se consegue verificar sua convergência. Então, surge a uestão de se os fatores de intensidade de tensão obtidos a partir da ntegral convergem para algum valor ou não, e se convergirem, para ual valor o fazem. Como segundo exemplo apresenta-se a mesma trinca do exemplo anterior discretizada com 49 elementos. Para este exemplo, o fator de intensidade de tensão é calculado em função da relação b a n + onde o contorno O contorno elementos (4 por lado)., isto é, para vários pontos corta à trinca. A Figura 4. mostra os resultados obtidos. de dimensões 0,06 x 0,06 foi discretizado com 6 Analisando-se os valores obtidos, encontra-se ue o valor de depende da relação b / a n +. Para uma relação de b / a n + = 0,005, o valor de tende ao valor obtido diretamente de se consegue um resultado de p n ( erro = + 4% ); para um valor de b / a n + = 0,06 próximo ao analítico ( erro = 0, % ); para valores próximos a ( b / a n + = 0,995 ) não se consegue obter um bom resultado ( erro = ± % ).

30 86 numeric / analtic,05 0,005 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,995,00 0,95 0,90 0,85 0,80 Figura 4. - a n- Stress intensit factors in terms of p and integral p n- a n p n a n+ b B analtic from pn from 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 ponto onde o caminho Ratio b/a n+ (Number of elements along the crack, n=49) A = a partir da ntegral, em função da distância da ponta da trinca ao corta à trinca a.0 B Como terceiro exemplo, apresenta-se ainda a mesma trinca dos exemplos anteriores discretizada com 49 elementos. Neste exemplo as dimensões do contorno 4.. numeric / analtic,08,06 são variáveis. Os resultados numéricos são mostrados na Figura,04 0,006 0, 0,4 0,6 0,8,5,0,00 0,98 0,96 0,94 0,9 0,90 Figura 4. - a n- p n- Stress intensit factors in terms of p and integral a n p n a n+ b B L L = 0 0,5,5 Different values for the length L in the contour A a.0 a partir de, em função das dimensões de B analtic from pn from Para a integração ao longo do contorno, usou-se 3 elementos (8 por lado) e um valor de b = 0,05a n+. Neste exemplo, obtêm-se bons resultados numéricos de para valores de L menores a 0, 4, sendo, o máximo erro neste trecho de + 0,3%. Para

31 87 valores de L maiores a 0, 4 o valor de aumenta, aumentando o erro ( erro = +,5% para L = ). Para valores ainda maiores de L o valor de diminui ( erro = 3, 4% para L = ). Como uarto exemplo apresenta-se uma trinca reta de comprimento a = em um plano infinito, submetida a um fluxo remoto unitário =. Esta trinca tem a influência de um furo próximo a sua extremidade direita. Neste exemplo, calculam-se os fatores de intensidade de tensão na extremidade esuerda (A) e direita (B) da trinca, segundo o mostrado na Figura 4.3 e Figura 4.4, respectivamente. Para os dois casos o contorno foi discretizado com 6 elementos (4 por lado). Para o cálculo de foi usado um valor de b / a = 0,0 na extremidade da esuerda (A), e de b / a = 0,03 na extremidade da direita. O furo foi discretizado como 40 elementos lineares e utilizou-se a solução fundamental de Westergaard generalizada tanto no contorno da trinca como no contorno do furo. numeric / analtic,0,05,00 0,95 0,90 0,85 0,80 Stress intensit factors in terms of p and integral - node A = b 0, A 0, p a a p,0,0 0,5 Analtic A B from p from Number of elements along the crack Figura furo próximo ponta A a partir de, para varias discretizações da trinca influenciada por um Para este exemplo os resultados analíticos (ou aproximações) são tomados de Rooke (976), sendo o fator de intensidade de tensão analítico na extremidade esuerda da trinca =, 494, e na extremidade direita da trinca =,747. B A

32 88 numeric / analtic,0,05,00 0,95 0,90 0,85 0,80 Stress intensit factors in terms of p and integral - node B a n- 9 p n- a n p n a n+ b B 0, ,,0 0,5 Analtic A B from pn from = Number of elements along the crack,0 Figura furo próximo - ponta B a partir de, para varias discretizações da trinca influenciada por um Analisando os resultados da Figura 4.3 verifica-se ue o comportamento dos resultados numéricos é similar ue de uma trinca sem a influência do furo, sendo assim ue para uma discretização da trinca com 99 elementos se obtém um erro = + 0,9%. Analisando-se a Figura 4.4 observe-se ue se os valores numéricos de melhoram com o aumento da discretização da trinca, já ue para uma discretização da trinca com 99 elementos, se obtém um erro = + 0, 4%. Para a trinca discretizada com um elemento se esperaria um fator de intensidade de tensão numérico igual ao valor analítico, mas isto não acontece para nenhum dos casos das duas últimas figuras, isto devido á influência do furo próximo. Como seguinte exemplo apresenta-se a mesma configuração da anterior estrutura. Nesta vez para vários pontos onde o caminho corta ao eixo da trinca. Os resultados deste exemplo se mostram na Figura 4.5 para o extremo A e na Figura 4.6 para o extremo B. O caminho elementos. é discretizado com 36

33 89,0 0,00 Stress intensit factors in terms of p and integral - node A numeric / analtic,05,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 0,06 Figura 4.5-0,00 A 0,06 0,00 b a p 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 a p Analtic from p from 0,800,0 0,5 0,900 0,999 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 Ratio b/a (number of elemenst along the crack = 49) A B = a partir de, para uma trinca com influencia de um furo próximo - varias posições do caminho,0 Analisando a Figura 4.5, verifica-se ue uando a relação b a é bem peuena ( b a = 0,00), os resultados numéricos de obtidos a partir de, se aproximam aos obtidos diretamente de p. Para uma relação de b a = 0, o resultado numérico de numeric / analtic é próximo ao analítico ( erro = + 0,8% ). Stress intensit factors in terms of p and integral - node B,0 0,00,05 0,00 0,00 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 0,900 0,999,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 Figura do contorno a n- p n- a n p n a n+ b B 0,06 0,06 Analtic,0 0,5 from pn A B from = 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 Ratio b/a n+ (number of elements along the crack = 49) para uma trinca com a influencia de um furo próximo - varias posições,0 Analisando os resultados da Figura 4.6 verifica-se ue, para uma relação de b a n + = 0,05 se obtêm valores próximos ao analítico ( erro =,% ).

34 90 Como seguinte exemplo, tem-se uma trinca com a presença de dois furos próximos. Os furos foram discretizado com 40 elementos retos cada um, e o contorno foi discretizado com 6 elementos retos. Nota-se ue os valores de, para o extremo esuerdo e direito da trinca são iguais, isto pela simetria do problema. Para este exemplo, a relação de b a n + = 0,0. numeric / analtic,0,05,00 0,95 0,90 0, a n- Stress intensit factors in terms of p and integral p n- a n 9 p n a n+ b B 0,06 0, Analtic from pn from Number of elements along the crack 0,5 A = 0,5 B Figura a partir de em função do numero de elementos discretizado de uma trinca com influencia de dois furos próximos O valor analítico (aproximado) do fator de intensidade de tensão é tomado de Rooke (976), sendo este valor: = =,043. A B Na Figura 4.7, verifica-se ue para uma maior discretização da trinca o valor numérico de tende para um valor próximo a,005 vezes o valor analítico uando a trinca é discretizada com 99 elementos. Na Figura 4.8, observa-se ue o resultado numérico de relação de b a n + = 0,0 é bem próxima ao analítico ( erro = + 0,3% ). para uma Dos exemplos apresentados neste item, pode-se concluir ue para o caso das trincas discretizada com um elemento de abertura elíptica o valor da ntegral independe do ponto por onde o caminho corta a trinca e das dimensões do contorno, se a trinca está em um meio infinito, a ntegral conduz á solução analítica do fator de intensidade de tensão, e se a trinca tem a influência de furos ou cavidades o valor do fator de intensidade de tensão numérico apresenta um desfaçamento em relação ao analítico.

35 9,0 0,00 Stress intensit factors in terms of p and integral numeric / analtic,05,00 0,95 0,90 0,85 0,80 0,75 Figura 4.8-0,050 0,00 0,00 a n- p n- a n p n a n+ b B 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,06 0,06 Analtic from pn from 0,800 0,900 0,999 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 Ratio b/a n (number of elements along the crack = 49) a partir de em função da posição do contorno influencia de dois furos próximos 0,5 A = 0,5 B, trinca reta com a Para o caso de trinca discretizada com vários elementos, os resultados da ntegral e do fator de intensidade de tensão contorno e do ponto por onde o caminho dependem das dimensões do corta o eixo da trinca o ual tem ue estar contido necessariamente no primeiro ou no último elemento discretizado da trinca. Fica extremamente complicado generalizar para ue valores de L (dimensões do contorno caminho ) e b (distância do ponto da trinca ao ponto onde o a atravessa) se obtém os melhores resultados de numérico. Sendo necessária uma análise especifica para cada caso Para o caso especifico dos exemplos apresentados neste item, obtêm-se bons resultados para valores de b entre 0,03a n+ a 0,0a n+, e valores de L menores ao comprimento da trinca obtendo-se para estes casos erros de até ± 5,00% Aproximações polinomiais para o cálculo do fator de intensidade de tensão Nos itens 4.4, 4.5 e 4.6 calcularam-se os valores numéricos dos fatores de intensidade de tensão diretamente dos parâmetros p ou p n obtendo-se erros menores a ± 6%. No item 4.7 usou-se a ntegral, obtendo-se erros

36 9 menores a ± 5% com uma adeuada escolha do caminho. Em nenhum destes casos se conseguiu uma norma ou regra de convergência. Assim, apresenta-se a seguir o cálculo do fator de intensidade de tensão a partir da abertura da trinca, aproximada por funções polinomiais. Para um domínio tridimensional elástico, os fatores de intensidade de tensão k podem ser expressos em termos da abertura próxima à ponta da trinca onde wl segundo a seguinte relação (Mear, 998): k π wl = kl lim 4 t 0 t 0 0 ν kl = G 0 0 ν 0 0 e t é a coordenada associada à direção da ponta ao interior da trinca. Adaptado a problemas de potencial, a e. (4.4) toma a seguinte forma: π k v = lim 4 x 0 x (4.4) (4.43) (4.44) onde k é a condutividade (por exemplo) e as variáveis v e x são usadas ao invés de w e t. Segundo Williams (95), a abertura da trinca na proximidade de sua ponta pode ser expressa pela seguinte expansão em series: ( α 0 α α ) v = x + x + x + (4.45) Aplicando a e. (4.45) para o caso particular de três pontos próximos à ponta da trinca (Figura 4.9) e segundo a adaptação feita a problemas de potencial se tem o seguinte sistema de euações: Na Figura 4.9, x x α 0 v x x x α = v x x3 x 3 α v3 x3 v é a função ue descreve a abertura da trinca e valor desta função no ponto associado à coordenada x i. (4.46) vi é o