Economia Espacial Aula 4: Equiĺıbrio espacial dentro de uma cidade: O Modelo Alonso-Mills-Muth

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1 Economia Espacial Aula 4: espacial dentro de uma cidade: O Modelo Alonso-Mills-Muth André Luis Squarize Chagas achagas@usp.br 12 de agosto de 2016

2 Agenda Agenda Agenda Introdução O modelo A função bid rent e a função tamanho do lote Extensões Tecnologias de transporte Construção de casas

3 Introdução O modelo desenvolvido por Alonso (1964), Mills (1967) e Muth (1969) (modelo AMM) representa o modelo básico de economia urbana. Ele contempla o trade-off entre acessibilidade e escolha de residências pelas famílias A cidade é monocêntrica O centro da cidade é pré-estabelecido e chamado de central business district (CBD) O CBD concentra os empregos Por simplicidade, o CBD é um ponto no espaço, que é homogêneo (exceto pela distância ao CBD) Por essa característica, o modelo pode ser tratado como unidimensional O modelo tem características que lembram o modelo de Thünen

4 O modelo Elementos do modelo A cidade é formada por um contínuo de N idênticos trabalhadores/consumidores que viajam diariamente, ida e volta, ao CBD, onde recebem sua renda Y Cada consumidor tem uma utilidade U que depende de um bem composto z, disponível ao preço 1, independente do local de residência, e do tamanho do lote de residência, s U é estritamente crescente em ambos os bens, z e s, duas vezes continuamente diferenciável e estritamente quase-côncava Adicionalmente, s é um bem normal

5 O modelo Se os consumidores residirem a uma distância r do CBD, sua restrição orçamentária será dada por z + R(r)s + T (r) = Y, onde R(r) é o aluguel por unidade de terra em r T (r) é o custo de viajem a partir e até r Sem custos adicionais de congestionamento, T (r) é estritamente crescente na distância, 0 T (0) < Y < T ( )

6 O modelo O problema do consumidor é portanto onde max U(z, s) s.t. z + sr(r) = Y T (r) (1) r,z,s Y T (r) é a renda ĺıquida em r. A diferença desse problema em relação ao problema habitual é que o consumidor deve escolher um local de residência, r 0. Essa escolha é restrita pelo aluguel da terra que ele paga, o custo de comutação e sua restrição orçamentária Esse problema envolve o trade-off entre acessibilidade [T (r)] e uso da terra, s

7 A função bid rent e a função tamanho do lote Como os consumidores são idênticos em preferências e renda, no equiĺıbrio eles devem ter a mesma utilidade, u, independente da localização Esse pressuposto é fundamental e caracteriza o equiĺıbrio espacial do modelo Pode-se definir uma função Bid-rent, Ψ(r, u), do consumidor como sendo o aluguel máximo por unidade de terra que ele está disposto a pagar, na distância r, para um dado nível de utilidade, u: Ψ[Y T (r), u] Ψ(r, u) { } Y T (r) z = max, s.t.u(z, s) = u (2) z,s s

8 A função bid rent e a função tamanho do lote { } Y T (r) z Ψ[Y T (r), u] = max, s.t.u(z, s) = u z,s s Para o consumidor que reside à distância r e consome a cesta (z, s), Y T (r) z representa a quantidade de moeda disponível para o gasto com o aluguel da terra. Portanto, [Y T (r) z]/s representa a renda disponível, por unidade de terra, à distância r A função bid-rent é obtida quando essa renda é maximizada escolhendo a cesta de consumo apropriada, (z, s) sujeita à restrição U(z, s) = u.

9 A função bid rent e a função tamanho do lote Diferente da função bid-rent do modelo de Von Thünen, em que se assumiu implicitamente o lucro de equiĺıbrio da atividade i como zero, nesse caso o nível de utilidade é endógeno, tornando o mercado de terra entre localidades interdependentes. A forma como as preferências dos consumidores são assumidas, permite que o modelo seja resolvido também como uma minimização de custos, condicionada pela utilidade

10 A função bid rent e a função tamanho do lote Como U é estritamente crescente em z, pode-se definir a quantidade Z(s, u) do bem composto z, que resolve U(s, z) = u. Uma análise padrão mostra que Z(s, u) é estritamente decrescente, estritamente convexa em s, tal que lim s 0 Z(s, u) =, e estritamente crescente em u. Consequentemente (2) pode ser reescrita como Ψ(r, u) = max s Y T (r) Z(s, u) s (3)

11 A função bid rent e a função tamanho do lote Segue de (3) que a cesta de consumo de equiĺıbrio de um consumidor localizado em r é obtida no ponto de tangência da linha de restrição orçamentária, com inclinação igual a Ψ(r, u), e a curva de indiferença de nível u. Para cada r em que a renda ĺıquida Y T (r) é positiva, a solução única de (3) é denotada por S(r, u). Figura: A cesta de consumo de equiĺıbrio em r

12 A função bid rent e a função tamanho do lote Defina o preço do bem composto como 1. A utilidade indireta, quando a renda da terra é R e a renda ĺıquida é I [I = Y T (r)], é denotada por V (R, I ). Pela definição da bid rent u = V [Ψ(r, u), Y T (r)] (4) Denotando por ŝ(r, I ) a demanda Marshalliana pela terra e por s(r, u) a demanda Hicksiana por terra, pode-se obter a bem conhecida identidade S(r, u) ŝ[ψ(r, u), Y t (r)] s[ψ(r, u), u] (5) Essa equação define a função de demanda pelo tamanho do lote.

13 A função bid rent e a função tamanho do lote Aplicando o teorema do envelope a (3) Ψ(r, u) u Ψ(r, u) r = 1 S(r, u) = T (r) S(r, u) < 0 Z(s, u) u Como T é estritamente crescente em r e Z(s, u) é estritamente crescente em u, usando (5): S(r, u) r < 0 (6) = s Ψ(r, u) = s T (r) R r R S(r, u) > 0 (7) Porque a( demanda) Hicksiana é sempre decrescente no aluguel s da terra R < 0.

14 A função bid rent e a função tamanho do lote Além disso, S(r, u) = s Ψ(r, u) > 0 (8) u R u Porque a demanda Marshalliana pela terra é sempre decrescente no aluguel da terra devido à normalidade da terra. Portanto, Proposição A função bid rent é continuamente decrescente tanto em r quanto em u (até tornar-se zero). Ademais, a função que caracteriza o tamanho do lote é continuamente crescente tanto em r quanto em u.

15 A função bid rent e a função tamanho do lote Quando T (r) é linear ou côncava na distância, Ψ(r, u) é estritamente convexa em r, pois, nesse caso, a derivada segunda será maior ou igual a zero em todo o intervalo Isso pode ser visto diferenciando (6) com respeito a r e usando (7)

16 Considere agora as condições de equiĺıbrio para uma cidade monocêntrica com N homogêneos consumidores, cada um tendo uma renda igual a Y. Assume-se que os proprietários da terra são externos à cidade A utilidade de equiĺıbrio u é a que é obtida quando a renda da terra é R (r) Usando (4), u = V [Ψ(r, u), Y T (r)] u = max V [R (r), Y T (r)] (9) r que é o nível de utilidade comum a todos os consumidores.

17 Se diferenciarmos (4) com respeito a r e usando o lema de Roy [S(r, u) = ( V / R)/( V / I )], a escolha da localização que maximiza a utilidade do consumidor no equiĺıbrio espacial do modelo implica que S(r, u ) dr (r) dr + dt (r) dr = 0 R (r) = T (r) S(r, u ) (10) que é o equiĺıbrio residencial. Mudanças no custo da terra avaliados no ponto de utilidade máxima são balanceados pelas correspondentes mudanças nos custos de deslocamentos.

18 Em particular, quando o tamanho do lote é fixo (s = 1, por exemplo), (10) se resume a R (r) + T (r) = 0, portanto R (r) + T (r) = r(0) onde r(0) é uma constante. Neste caso, o aluguel da terra é oposto à função de custo de transporte. No caso em que T (r) = tr, o gradiente da renda da terra será linear: R(r) = r(0) tr/s onde S = S(r, u )

19 Denote por n(r) a densidade de consumidores à distância r no equiĺıbrio. Então R (R) = Ψ(r, u ) se n(r) > 0. Se as terras marginais, não ocupadas pelos consumidores, são ocupadas pela agricultura, ao aluguel de R A 0, então Ψ(r, u ) = R A (11) A cidade terá um raio, partindo do CBD, igual r. Consequentemente, o mercado de aluguéis será dado por { R Ψ(r, u (r) = ) para r r R A para r > r

20 Como não há terra vazia dentro do espaço urbano, então n(r) = 2πr/S(r, u ) para r r (12) Portanto, a população total, N, será r 0 2πr S(r, u dr = N (13) ) Em resumo, o equiĺıbrio residencial é descrito por R (r), n (r), u e r, satisfazendo as condições de (11) a (13).

21 Denotando a densidade populacional em r por δ(r) n (r)/2πr, então δ(r) = 1/S(r, u ) Em outras palavras, a densidade populacional de equiĺıbrio é decrescente do CBD para a franja da área urbana Os consumidores trocam mais (menos) espaço para residência por maior (menor) acessibilidade ao CBD. Em termos monetários, os consumidores pagam um maior (menor) preço pela terra em troca de baixo (alto) custo de transporte. Essa compensação não é necessariamente um para um, pois o consumo do bem composto (z) também varia com a distância. Na verdade, os consumidores residindo nos extremos da cidade têm um maior consumo de terra e um menor consumo do bem composto.

22 Figura: Gradiente dos aluguéis - São Paulo [Fonte: Hermann (2003)]

23 No caso em que T (r) = tr, R A = R(r ) r(0) tr /S = r(0) t S NS π = R A + t S Assim a renda da terra será igual a ( ) R(r) = R A + t NS S π r NS π

24 Extensões Um conjunto de extensões ao modelo é factível Algumas delas incluem Tecnologias de transporte Construção de casas

25 Extensões Uma extensão do modelo é assumir múltiplos tipos de transporte Uma forma simples de introduzir isso é assumir diferentes funções de custo, onde a tecnologia de transporte ótima é escolhida conforme a distância. Nesse caso, o resultado que R (r) = T (r) S(r, u ) ainda é verdadeiro.

26 Extensões Uma forma de ver isso é assumir duas tecnologias de transporte Uma envolve apenas um custo variável alto por distância: T A outra envolve um custo fixo de K e um custo variável menor por unidade de distância, T. O custo fixo pode ser pensado como o automóvel, que requer um gasto expressivo mesmo se ele não for utilizado. A tecnologia sem custo fixo pode ser um transporte público ou a caminhada.

27 Extensões Como as pessoas minimizam o custo de transporte, elas escolherão a tecnologia de custo fixo se e somente se T r > T r + K, ou se eles morarem a uma distância maior que K/(T T ) Pessoas que moram próximas a seus trabalhos caminharão ou utilizarão o transporte público Pessoas que moram longe estarão dispostas a pagarem o custo fixo para reduzir o o custo variável do deslocamento. O resultado geral que R (r) = T (r)/s implica que o gradiente declinará em valor absoluto com a distância ao CBD. Para casas que estão a menos que K/(T T ) unidades do centro, a inclinação do gradiente será T /S Para casas mais distantes, T /S.

28 Extensões Se NS/π é maior que K/(T T ), então alguma pessoa na cidade usará a tecnologia de custo fixo, então o gradiente de renda da terra será igual a ( ) R(r) = R A + T NS S π r para distâncias entre 0 e K/(T T ), e ( ) R(r) = R A + K S + T NS S π r para distâncias maiores que K/(T T ). Esse resultado pode ser generalizado para o caso de mais tecnologias de transporte.

29 Extensões O congestionamento pode produzir um resultado semelhante (Solow e Vickrey, 1971) Se o custo de transporte aumenta com o número de pessoas usando as rodovias, então, como mais pessoas usam a rodovia próximo ao centro da cidade, maior é o custo de transporte nessa localidade Por exemplo, assuma que o custo por unidade de distância é t(q), onde q representa o número de migrantes pendulares da rodovia. O número de migrantes pendulares usando a rodovia à distância r é o conjunto de pessoas que vivem além desse ponto. Tal como na cidade linear, onde N pessoas vivem e consomem uma unidade de terra cada, então o número de migrantes pendulares no ponto r é N/π r, assim o custo de comutar é igual a t( N/π r), que significa que custos de transporte são menores quanto mais distante do centro e o gradiente da renda da terra é mais uma vez achatado.

30 Extensões Nesse modelo, a utilidade é definida sobre o consumo de bens e moradia, U(C, H) A moradia é uma função de capital (K) e terra (S). Seja p(r) o preço da moradia - o aluguel. A condição de primeira ordem para moradia é p(r)u 1 (Y tr p(r)h, H) = U 2 (Y tr p(r)h, H) A equação de indiferença espacial é agora t = p (r)h. A mudança em relação ao modelo anterior é que a oferta é dada pela tecnologia F (K, S), onde o preço do capital, K, é exógeno e fixo em p k e o preço da terra é endogenamente determinado, R(r).

31 Extensões Do ponto de vista da firma, o problema é max p(r)f (K, S) p k K R(r)S Construtores escolhem capital e um mix de terra para produzir o montante de casa que maximizem o lucro. Desde que a entrada e saída são livres, vale a condição de lucro zero. A condição de primeira ordem para esse modelo estabelece que p(r)f K (K, S) = p(r)f S(K, S) = 1 p(r)f (k) = p k p k R(R) No equiĺıbrio devem valer: p(r)f (K, S) = p k K + R(r)S (14) p(r)f (k) = p k k + R(r)

32 Extensões Essas duas últimas expressões conectam mudanças na intensidade de uso do capital (K/S = k) com mudanças na distância, r e na renda da terra. Diferenciando as duas equações com respeito a r e p (r)f (k) = R (r) < 0. k r = (r) f (k) p p(r) f (k) < 0 A segunda derivada dessa expressão resulta em p (r)f (k) p (r) 2 p(r) f (k) 2 f (k) = R (r) > 0 (15) O fato desse resultado ser positivo significa que a resposta do capital a mudanças na distância e mudanças no preço da teerra implicará que o gradiente da renda terra é menos íngreme que o gradiente do preço da moradia.

33 Extensões Economia Espacial Aula 4: espacial dentro de uma cidade: O Modelo Alonso-Mills-Muth André Luis Squarize Chagas achagas@usp.br 12 de agosto de 2016