Apresentação. Calculo e Instrumentos Financeiros Parte 1. Docentes. Conteúdo programático. João Sousa Couto (jcouto@fep.up.pt)

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1 Calculo e Instrumentos Financeiros Parte 1 Pedro Cosme Costa Vieira Apresentação Faculdade de Economia da Universidade do Porto 2013/ Docentes João Sousa Couto (jcouto@fep.up.pt) José Manuel Peres Jorge (jjorge@fep.up.pt) Conteúdo programático Pedro Cosme Costa Vieira (pcosme@fep.up.pt) 3 4

2 Objectivos da Disciplina 1ª Parte (12 aulas) Taxa de juro, capitalização e desconto Instrumentos financeiros sem risco: depósitos e créditos bancários; obrigações Transformação de stocks financeiros em fluxos financeiros (rendas / amortizações) Medidas de desempenho de um investimento os preços correntes e preços constantes Objectivos da Disciplina 2ª Parte (10 aulas) Risco do negócio. Modelos estatísticos. Instrumentos financeiros com risco: seguros, acções e obrigações com risco de falha Carteiras de activos: diversificação e alavancagem 5 6 Objectivos da Disciplina 3ª Parte (2 aulas) Aplicações dos conceitos a instrumentos financeiros com e sem cobertura de risco. Aluguer Opções, Obrigações Contingentes Swaps Avaliação 7 8

3 Avaliação Avaliação por Exame (2 épocas) Avaliação Distribuída Um teste sobre a 1ª parte (45%) 22 Novembro Um teste sobre as 2ª e 3ª partes (45%) Um trabalho individual (10%) entrega: 15 Outubro O trabalho só conta se a nota for melhor que a dos testes Para fazer avaliação contínua têm que frequentar pelo menos 75% das aulas (18). O segundo teste é parte do exame Fazendo o 1º teste, pode fazer o exame contando a melhor nota desta parte. 9 Avaliação Cálculo da Nota da Avaliação Distribuída: Nota dos testes / exame normal: 0.5 max {teste 1; parte 1 do exame} + 0.5*teste 2 Nota final: max {0.9 Nota dos testes/exame trabalho; Nota dos testes/exame} Aplica-se a mesma fórmula no exame de recurso (mesmo para melhoria de nota) 10 Material de apoio Material de estudo Existem disponíveis em formato digital Uma página um texto que segue as aulas Um texto sobre o sistema monetário Um ficheiro Excel com os exercícios do texto As apresentações das aulas em Power Point Cadernos de exercícios resolvidos 11 12

4 Material de estudo Página do ano passado Testes Exemplos de trabalhos Notas Primeira Aula 24 Set O contrato de débito/crédito Os contratos de débito/crédito = contratos de mútuo Existem três razões principais para transaccionar créditos/débitos. O ciclo de vida das pessoas Poder ocorrer um período de desemprego ou de despesas acrescidas (e.g., doença) O capital ser produtivo e as pessoas estarem especializadas em aforradores e investidores 15 16

5 O ciclo de vida O Ciclo de Vida Uma das mais obvias razões para a existência de empréstimos é o ciclo de vida das pessoas. As pessoas precisam de consumir sempre Existem longos períodos em que não têm rendimento (quando crianças e velhos ) O ciclo de vida O ciclo de vida As pessoas, quando crianças, não têm rendimento suficiente para sobreviver, pedindo recursos emprestados Em média, é-se criança durante 20 anos Quando trabalham, pagam as dívidas (de criança) e poupam alguns recursos (para a velhice) Em média, é-se activo durante 45 anos 19 20

6 O ciclo de vida Quando reformados, não geram rendimento suficiente para sobreviver, mas têm os recursos que pouparam Em média, a reforma dura 20 anos Esses recursos vão-se esgotando Risco de Redução do rendimento e Aumento da despesa O desemprego O trabalho é a fonte mais importante de rendimento das famílias. 55% do PIB são salários São 67% do produto interno liquido Existe o risco da pessoa pode ficar desempregada. A probabilidade será de 10%/ano O desemprego E, depois, demora alguns meses a encontrar novo emprego Em média, 12 meses E o salário é menor que o anterior Inicialmente ganha-se menos 15% Será necessário poupar recursos para essa eventualidade. Deverá haver uma poupança 12 salários

7 Cataclismos Podem ocorrer imponderáveis O indivíduo pode adoecer, ficando sem poder trabalhar (menos rendimento) e necessitando de tratamento médico (mais despesa). Pode ter um acidente de automóvel, necessitando de pagar a reparação. Pode ter um incêndio em casa. É necessário ter uns activos de lado (ou pedir emprestado na adversidade) O capital é produtivo O capital é produtivo O trabalho torna-se mais produtivo se for auxiliado por capital máquinas e ferramentas, solo agrícola, etc. Se um indivíduo pedir poupar aumentando a quantidade de capital, aumenta o seu rendimento O capital é produtivo Também existem bens que custam muito dinheiro e duram muito tempo Casas, carros, frigoríficos, televisores, etc. Estes bens produzem utilidade As pessoas, sem dinheiro, estão disponíveis para pedir empréstimos e pagar um pouco todos os meses

8 Os stocks degradam-se Os stocks degradam-se Não é possível guardar coisas para quando formos velhos, A comida apodrece A roupa passa de moda Os automóveis ganham ferrugem Não é possível ter stock negativo. As crianças não podem antecipar o rendimento futuro com um stock negativo Os stocks degradam-se Poupar é principalmente emprestar, Os adultos activos emprestam às crianças e as criança pagam as dividas quando se tornarem activas Os adultos activos fazem uma poupança de segurança emprestando a outras pessoas Os aforradores emprestam aos empreendedores Comprar um frigorífico também é poupar A moeda 31 32

9 O empréstimo em dinheiro Numa sociedade atrasada, Armazenam-se bens Emprestam-se bens e serviços Numa sociedade com moeda, emprestamse somas denominadas em moeda A moeda é a unidade de valor mas não é o recurso poupado. 33 O empréstimo em dinheiro Poupar dinheiro não é o mesmo que poupar recursos escassos Para pouparmos dinheiro, primeiro temos que deixar de consumir recursos (B & S) A pessoa a quem emprestamos vai consumir esses recursos escassos. 34 O empréstimo em dinheiro Poupar em termos agregados reduz-se a Aumentar os stocks Aumentar o capital Máquinas, Ferramentas, imóveis, estradas, portos, electrodomésticos, carros (todo o bem que dura mais do que um ano). Aumentar a escolaridade É o capital humano Inovação e desenvolvimento tecnológico O empréstimo em dinheiro Como as relações entre moeda e crédito fazem confusão nas pessoas Os alunos têm o texto: Vieira, PCC (2013), Fundamentos de um sistema monetário, pp. 1-25, FEP:Porto 35 36

10 A taxa de juro A taxa de juro Como as pessoas são heterogéneas, haverá sempre algumas que precisam de pedir dinheiro emprestado As crianças, os desempregados e as vítimas de acidentes Os empreendedores Outras que precisam de guardar dinheiro Os indivíduos activos e empregados A taxa de juro O mercado de financiamento tem a taxa de juro como preço e a quantidade de poupança/crédito como quantidade. É a taxa de juro que equilibra o mercado Se houver menos pessoas a querer poupar ou mais pessoas a querer endividarem-se, a taxa de juro sob para equilibrar as vontades dos agentes económicos A desenvolver na Microeconomia 10% 8% 6% 4% 2% 0% A taxa de juro Procura de crédito (investimento) Oferta de crédito (poupança)

11 10% 8% 6% 4% 2% 0% A taxa de juro Enfraquecimento da poupança A taxa de juro Quando o BCE aumenta a quantidade de moeda em circulação A taxa de juro não diminui porque a moeda não é um recurso escasso não existe mais poupança de recursos escassos nem menos pedidos de crédito A moeda tem efeito no Nível Geral de Preços (inflação) e não na taxa de juro A taxa de juro Quando eu empresto uma quantidade de dinheiro, não vou receber a mesma quantidade A diferença denomina-se por JURO O Juro é a remuneração de o aforrador adiar o consumo, é o custo do devedor antecipar o consumo. A taxa de juro Por exemplo, eu empresto 5000 a um familiar O que eu poupo são os recursos que deixei de consumir para ter esta soma de dinheiro O que empresto são esses recursos Daqui a 10 anos É o capital, 5000, mais 2500 de juros (50%)

12 A taxa de juro O juro, em tese, tanto poderá ser positivo como negativo. Há razões para justificar ser positivos e razões para justificar ser negativo Historicamente é positivo A taxa de juro Hoje faço anos e deram-me 1000 Hipótese 1: entregam-mos agora. Hipótese 2: entregam-mos daqui a 10 anos. Qual das hipóteses será preferível? A taxa de juro Quem preferir a hipótese 1 então, exige uma taxa de juro positiva Podia depositá-lo, recebendo juros O dinheiro vai desvalorizar O doador pode morrer (e a oferta falhar) 47 A taxa de juro É historicamente positiva por três razões Existe uma remuneração real As pessoas preferem o presente ao futuro O capital é produtivo: existem empreendedores Há concorrência pelo capital escasso Há inflação Se o capital é denominado em euros, como os preços aumentam, há necessidade de corrigir a perda de poder de compra dos euros. Há risco de incumprimento É uma lotaria 48

13 Juro real Quantifica o aumento do poder de compra A taxa de juro real Quando emprestei os 5000, esse dinheiro dava para viver durante 200 dias. Quando receber os 7500, penso conseguir viver 250 dias. Então, o juro real durante os 10 anos é de viver 50 dias, 25% Juro real A taxa de juro real tende a ser positiva porque o capital é produtivo. e.g., um agricultor se cavar com uma enxada consegue produzir mais do que se o fizer com apenas um pau. O capital é escasso Como o crédito são recursos escassos poupados, existe concorrência por esses recursos. Juro real É preferível consumir hoje. As pessoas preferem o Presente ao Futuro No Futuro estamos mortos No Futuro estamos velhos pelo que não retiramos tanta utilidade do consumo Quem faz o sacrifício de não consumir no presente precisa ser remunerado. Quem tem o benefício de consumir o que não tem (ainda) tem que pagar

14 Juro real Inicialmente tenho V 0 euros Supondo que os preços se mantêm e que não existe risco, para uma taxa de juro r% Terei no fim do período V 1 = V 0 (1+ r) A Inflação Ex., para V 0 = e r = 10%, terei V 1 = (1+ 10%) = Inflação O crédito é denominado em euros O valor do dinheiro resulta de podermos comprar bens e serviços. Como existe inflação, a quantidade de bens que posso comprar com um Euro diminui com o tempo. Para comprar o mesmo, preciso receber mais dinheiro A taxa de juro tem que incluir a inflação Inflação Inicialmente tenho V 0 euros Os preços, em média, aumentam π%. Para no fim do período poder comprar os mesmos bens temos esta igualdade: V0 / P = V1 / [P x (1+ π)] Então: V 1 = V 0 (1+ π) 55 56

15 Inflação A taxa de juro, R, tem que incluir a parte real e a parte nominal (a inflação): com V 1 = [V 0 (1+ r)] (1+ π) V 1 = V 0 (1+ r) (1+ π) V 1 = V 0 (1+ R) R = (1+ r) (1+ π) - 1 Inflação Por exemplo, quero uma remuneração real de 7.5% e uma correcção da inflação que é de 5%. Emprestando 5000 quero receber V 1 = [5000 (1+ 7.5%)] (1+ 5.0%) = R = (1+ 7.5%) (1+ 5.0%) 1 = % Segunda Aula Risco de incumprimento 59 60

16 Risco de incumprimento O Futuro é incerto. Quando eu empresto dinheiro, estou a pensar receber o dinheiro mais os juros Mas posso não receber nenhum deles Ou receber apenas parte A obrigação pode não ser cumprida Risco de incumprimento Vamos supor que eu emprestei V 0 euros e vou receber (penso eu) V 1 euros. Existindo a probabilidade p de eu não receber nada, para, em média, ficar equivalente, terei que contratar uma taxa que corrija este risco V 0 = 0 x p + V 1 x (1 - p) V 1 = V 0 / (1 - p) p >= 0 V 1 >= V Risco de incumprimento O risco acresce à taxa de juro real e à correcção da taxa de inflação V 1 = {[V 0 (1+ r)] (1+ π)}/(1- p) Então, a taxa de juro contratada será V 1 = V 0 (1+ i) i = (1+ r) (1+ π) / (1- p) - 1 Risco de incumprimento Para taxas de juro pequena podemos aproximar (1+ r) (1+ π) / (1- p) 1 r + π + p Mas é uma aproximação

17 Risco de incumprimento Exercício 1) Eu empresto 1000 pretendo uma taxa de juro real de 6% a inflação prevista é de 8% o risco de incumprimento é de 10%. Qual deverá que ser a taxa de juro exigida neste contracto? Qual o capital final? Risco de incumprimento i = (1+ 6%) (1+ 8%) / (1-10%) 1 = 27.2% V 1 = 1000 (1+ 6%) (1+ 8%) / (1-10%) = 1000 ( %) = 1272 A taxa de juro é 27.2% 6% + 8% + 10% = 24% é bastante < 27.2% Risco de incumprimento O Credit Scoring é uma técnica de estimação da probabilidade de incumprimento de cada cliente. O Score é um índice que resulta de somar os efeitos de várias variáveis Este tema será desenvolvido em Gestão da Informação 67 68

18 A taxa de juro Evolução histórica Poderá a taxa de juro ser negativa? Haver deflação Haver poucas criancinhas e poucos empresários, não há a quem emprestar dinheiro i.e., se não houver crescimento económico Haver muito risco de os bens e dinheiro que guardo em casa poderem ser roubado A taxa de juro Se eu puder guardar notas sem custo (não haver risco de roubo), a taxa de juro de somas denominadas na moeda nunca poderá ser negativa A taxa de juro Historicamente, os efeitos negativos são menores que os efeitos positivos Há uma tendência secular de crescimento económico Historicamente, a taxa de juro é positiva 71 72

19 A taxa de juro 7% Tx.Cresc.PIB 6% 5% 4% 3% 2% 1% 0% 11/20 21/30 31/40 41/50 51/60 61/70 71/80 81/90 91/00 00/10 Evolução da taxa de crescimento do PIB português 1910/2010 (fonte: Freitas, Miguel Lebre, 2004, Acumulação de capital e crescimento económico em Portugal: , UA-WP, 20, Quadro 1) 73 14% 12% 10% 8% 6% 4% 2% 0% A taxa de juro Portugal Alemanha Evolução da taxa de juro da divida pública portuguesa e alemã a 10 anos Jan1993/Jul2013 (dados: Banco Central Europeu, Long-term interest rate for convergence purposes... ) 74 A taxa de juro Os preços das coisas são /kg Unidades do juro O preço do crédito (o juro) é uma percentagem por unidade de tempo. e.g., 0.10 por cada 1.00 e por cada ano É uma taxa de juro de 10% por ano 75 76

20 A taxa de juro Como o juro incorpora 3 elementos A remuneração do capital (o juro real) A inflação O risco de não cobrança Em termos de taxas temos, num ano V final = V inicial x (1+ π) x (1 + r) / (1 - p) 1+ i = (1+ π) x (1 + r) / (1 - p) Exercício 2) Eu empresto 1000, durante 1 ano. A inflação (prevista) é de 2% por ano O juro real (acordado) é de 1.5% por ano O risco de não cobrança é de 3% por ano Qual deverá ser a taxa de juro? Quanto dinheiro devo acordar receber? Exercício A taxa de juro deve ser de 6.687%: 1+i = ( ) x ( ) / (1 0.03) i = 6.687% por ano Devo exigir receber (daqui a um ano) V 1 = 1000 x ( ) x ( ) / (1 0.03) V 1 = 1000 x ( % ) = Os juros serão Exercício A soma das parcelas daria 6,500% 2%+1.5%+3% = 6.5% A taxa calculada é 6.687% Quanto mais pequenas forem as parcelas, menor será a diferença 79 80

21 A taxa de juro Ajustamentos da taxa de juro Assumir um juro proporcional à duração do tempo e à quantidade emprestada tem problemas O risco de grandes somas é mais que proporcional ao risco das pequenas somas Por causa da diversificação do risco O risco de longos prazos é mais que proporcional ao risco dos curtos prazos O futuro distante é menos previsível A taxa de juro Mesmo assim, usa-se como referência para o juro uma taxa por unidade de tempo, normalmente o ano. e.g. 4.47%/ano Taxas de referência Podendo haver ajustamentos ao prazo e ao valor 83 84

22 EURIBOR É a taxa de juro por ano que os bancos sem risco (first class credit standing) emprestam euros entre si De todos os contractos retiram-se os melhores e os piores 15% Reuters calcula a média dos restantes 70% É uma referência nos contratos com taxa de juro variável (e.g., crédito à habitação). 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% EURIBOR EURIBOR a 3 meses entre Jan1994 e Ag2013 0% EURIBOR EURIBOR dependendo do prazo do contrato (Escalas: esquerda; direita) Taxa EURIBOR EURIBOR Como é uma taxa sem risco, os particulares acrescem um Spread à sua taxa que é a previsão que o credor tem do risco de não cobrança de cada cliente. Os depositantes recebem menos que a EURIBOR pagam os serviços bancários 87 88

23 A taxa de juro do BC Taxa de desconto do Banco Central O BC controla a quantidade de moeda em circulação, i.e., controla a inflação, o nível geral de preços Não tem qualquer efeito real Quando é definida, e.g., 4%/ano, o BC aceita liquidez a 3.5%/ano e cede liquidez a 4.5%/ano denomina-se janela de desconto 89 A taxa de juro do BC Taxa de desconto do Banco Central não é uma boa medida da taxa de mercado sem risco A cedência de liquidez é de último recurso. Ao fim de 60 dias, a taxa de juro aumenta 1 ponto percentual (está suspenso) Ao fim de 120 dias, aumenta mais 1 pp.. (actualmente este aumento está suspenso) 90 A taxa de juro do BC Terceira Aula 1 Out 91 92

24 Capitalização Capitalização A taxa de juro é referida a uma unidade de tempo, normalmente um ano. Se a duração do contrato for de vários anos mas os juros forem pagos no final de cada ano Estamos sempre a voltar à situação inicial. Esta é a situação dita normal Capitalização Emprestei 1000 em 1/1/2013 à taxa de juro de 3.500%/ano pelo prazo de 5 anos. Data Recebo Capital 31/12/2013 -> /12/2014 -> /12/2015 -> /12/2016 -> /12/2017 -> Capitalização Se os juros forem pagos apenas no fim do prazo contratado (de vários anos) Cada ano, o capital em divida vai aumentando Esta é a situação capitalizada. 96

25 Capitalização simples Capitalização simples Neste caso, desprezamos os juros dos juros. É como se cada ano recebêssemos os juros Capitalização simples No final de n anos, receberemos J total = V inicial n i V final = V inicial +J total = V inicial (1+ n i) i total = n i Exercício Ex.1.4. Um empréstimo de 10M a 3 anos em que os juros são pagos no fim do período, capitalização simples. Spread de 2 pontos percentuais A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente. Qual a quantia a pagar?

26 Exercício Exercício R. Os juros serão J = 10M (5.754% % %) = O capital final será V = = C3: =B3*B$1 C6: =SUM(C3:C5) C7: =C6 + B Período de tempo fraccionário Se a duração do empréstimo for menor que a unidade de tempo (normalmente, o ano), com capitalizaçã0 simples, divide-se o juro proporcionalmente ao tempo. Ex. Emprestei 1000 durante 25 dias à taxa de juro de 2%/ano. Com capitalização simples, quanto vou receber no fim do prazo? 1000 x ( x 25/365) = Conta Corrente Numa CC vamos lançando os movimentos ao longo do tempo capitalizando os valores. Uma conta é remunerado à taxa de 2%/ano, capitalização simples, a creditar em 1Jan do ano seguinte. 104

27 Exercício Exercício E5: =A6-A5 F5:=D5*E5/B$2*B$1 D6:=C6+D5 C15: =SOMA(F5:F14) Capitalização Composta Neste caso, são contabilizados os juros dos juros. Capitalização Composta

28 Capitalização Emprestei 1000 em 1/1/2013 à taxa de juro de 3.500%/ano pelo prazo de 5 anos. Ano Capital Juros Capital Final ,00 35, , ,00 36, , ,23 37, , ,72 38, , ,52 40, ,69 Capitalização C2: =B2*3,5% D2: =B2+C2 B3: =D2 Depois, copio estas formulas ao longo das colunas e elas vão-se adaptando Capitalização Composta Cada ano, os juros acrescem ao capital J t+1 = V t i V t+1 = V t + V t i = V t (1+ i) No ano seguinte, vencem juros. V t+2 = V t+1 (1+ i) = V t (1+ i) (1+ i) = V t (1+ i) 2 Capitalização Composta A capitalização simples despreza uma parcela ( i 2 = os juros dos juros). V 2 t+2 = V t (1+ i) V t+2 = V t (1+2 i + i 2 ) Se i for pequeno, i 2 é insignificante

29 Capitalização Composta Cada ano, os juros acrescem ao capital, no final de n anos, receberemos V final = V inicial (1 + i) n, A taxa de juro total a receber no final dos n anos vem dada por: V inicial (1 + i total ) = V inicial (1 + i) n, i total = (1 + i) n - 1 Exercício Ex.1.6. Emprestando 25M, a 5 anos à taxa de 5% ao ano, juros a pagar no fim dos 5 anos com capitalização composta. i) Qual o capital final a receber ii) Determine a taxa de juro dos 5 anos e compare com a capitalização simples Exercício i) O capital final a receber será de (1 + 5%) 5 = ii) A taxa de juro do contrato será (1+5%) 5 1 = % com capitalização simples seria menor = 5x5% = 25% Conta Corrente Ex.1.7. Um empréstimo de 10M a 3 anos em que os juros são pagos no fim do prazo, capitalização composta. A taxa de juro foi 5.754%/ano; 6.217%/ano e 6.765%/ano, respectivamente. Qual a quantia a pagar?

30 Conta Corrente O valor a receber será V ( ) ( ) ( ) = D2: =B2*C2 E2: = B2+D2 B3: = E2 Conta Corrente Quarta Aula Tempo fraccionado

31 Período de tempo fraccionário Na expressão da taxa de juro capitalizada de forma composta: i total = (1 + i) n - 1 O número de anos é inteiro. No entanto, podemos extrapolar o conceito de capitalização a fracções do ano. Exercício A taxa anual é a capitalização 12 meses da taxa mensal (1+ i.anual) = (1 + i.mensal)^12 Ex. Uma taxa de juro mensal de 1%/mês corresponde a: (1+1%)^12 1 = %/ano Período de tempo fraccionário Posso passar de uma unidade de tempo qualquer para outra, por exemplo, ano para trimestre. Ex. Emprestei 1000 durante 3 meses a uma taxa anual de 5%/ ano, quanto vou receber de juros (c. composta): Período de tempo fraccionário i = (1 + 5%) = 1,227% 3 meses correspondem a 0.25 anos. Vou receber 12,27 de juros Se capitalizasse esta taxa 4 vezes, obtinha os 5% ( %) 4 1 = 5%

32 Período de tempo fraccionário Ex Num empréstimo de 100M foi acordado o pagamento mensal de juros à taxa média do último mês da EURIBOR a 3 meses e o capital no fim do prazo acordado. Supondo um mês em que a taxa de juro foi de 5.735%/ano, quanto foi pago de juros? Período de tempo fraccionário R. A taxa mensal será ( %) 1/12 1 = % Um mês corresponde a 1/12 anos de juros referentes ao mês Período de tempo fraccionário Ex Num empréstimo a 5 anos, foi acordada uma taxa de juro total de 25%. Supondo que os juros são pagos trimestralmente, qual será a taxa de juro trimestral? Período de tempo fraccionário R. Um trimestre será 1/20 do período total do contrato pelo que a taxa de juro trimestral será dada por (1 + 25%)^(1/20) 1 = 1.122%/trimestre. Vou passar de 5anos para trimestral

33 Valor Futuro = Valor capitalizado Valor Futuro Muitas vezes eu tenho que comparar recursos escassos disponíveis em períodos de tempo diferentes. O mais simples é comparar uma soma disponível no presente com outra soma disponível daqui a n anos Valor Futuro Ex Umas tias propõem-se a dar-vos agora 1000 ou 1200 quando acabarem a licenciatura. Valor Futuro = Valor capitalizado Para comparar vou usar a taxa de juro como taxa de câmbio entre o presente e o futuro. É preciso comparar estas duas somas que estão disponíveis em instantes diferentes? O que será melhor? O valor futuro é o valor capitalizado do valor presente

34 Valor Futuro Ex Umas tias propõem-se a dar-vos agora 1000 ou 1200 quando acabarem a licenciatura. Supondo que conseguem financiamento / depositar a uma taxa de juro de 10%/ano, qual a soma de dinheiro mais apetecível? 133 Valor Futuro R. O valor futuro dos actuais 1000 daqui a 3 anos será 1000 (1+10%)^3 = 1331 que é maior que os 1200 Os 1000 agora valem mais que os 1200 daqui a 3 anos Então, será melhor receber os 1000 já. 134 Obrigação Uma obrigação é o título pelo qual o devedor se obriga a pagar um valor periodicamente (o cupão) e uma soma final (o valor de resgate). A obrigação tem um valor nominal (o Par) Vamos ver um exemplo de obrigação com cupão zero Obrigação Ex Foram colocadas à venda obrigação do SCP de valor nominal de 5.00 por Sabendo que o SCP resgata a obrigação ao par (i.e., paga os 5 ) daqui a 3 anos com cupão zero, qual a taxa de juro desta aplicação?

35 Obrigação R. O valor futuro dos 4.05 do presente serão 5.00 pelo que a taxa de juro resolve: (1 + i) = 5 i será 7.277%/ano: = (5 / 4.05) 1/3 1 Fazer em casa Exercício Exercício Ex.1.8. Durante o ano, um indivíduo no início de cada mês fez os seguintes movimento bancário: +250; +100; 50; +125; 150; +250; 350; 25; 10; +50; 0; 200. Para uma taxa de juro constante de 0.165%/mês, determine o saldo da conta no fim do ano com capitalização mensal composta

36 Exercício B1: =(1+B2)^12-1 C4: =B4; D4: =C4*B$2; E4: =C4+D4 e copiava C5: = B5+E4 e copiava F4: = =B4*(1+B$2)^(13-A4) e copiava F16: =sum(f4:f15). Quinta Aula 8 Out Valor Futuro Ex Um indivíduo deposita no início de cada mês 1000 durante 60 meses. As prestações são antecipadas Antecipada -> paga no principio do período Postecipada -> paga no fim do período Valor Futuro Ex Um indivíduo deposita no início de cada mês 1000 durante 60 meses. As prestações são antecipadas Para uma taxa de juro é de 4%/ano, determine o valor futuro total das parcelas poupadas (i.e., quanto dinheiro terá no fim dos 60 meses)

37 Valor Futuro Vou calcular o valor futuro de cada prestação: O valor futuro de 1000 depositados no início do mês m é VF m = 1000.(1 + (60 m+ 1) /12 4%) Valor Futuro Tenho que somar as 60 parcelas O valor futuro total valerá VF = 60 (60 i+ 1) /12 { 1000 (1 + 4%) } i= 1 Resolvo no Excel. O +1 é por o deposito ser antecipado Valor Futuro C2: =B2*(1+4%)^((60-A2+1)/12) e copio em coluna C62: =Sum(B2:B61)] Valor Futuro Usar em casa com uma conta corrente 147 G3=(1+G2)^(1/12)-1 C2: =B2*$G$3 D2: =B2+C2 B2: =D2+$G$1 Copiar em coluna 148

38 Desconto Valor Actual Desconto Sendo que capitalizar é andar para a frente no tempo Descontar é andar para trás no tempo É, na taxa de juro capitalizada de forma composta: i total = (1 + i) n - 1, assumir um número negativo de anos Desconto = Valor passado Em termos económicos, pode traduzir o valor passado de uma quantidade de dinheiro presente Eu recebi hoje 1000 de um valor que emprestei há 10 anos a 4% ao ano. Qual o capital que eu emprestei? Desconto = Valor actual 1000 = V.(1 + 4%) V V = 1000.(1 + 4%) = Também pode traduzir o valor actual (no presente) de uma quantidade de dinheiro que vou ter disponível no futuro

39 Desconto = Valor actual No meu emprego, vão-me dar de prémio 100, pagos daqui a 10 anos. Para uma taxa de juro de 6% ao ano, esses 100 de daqui a 10 anos valem no presente 100 x = Desconto = Valor actual Ex Um estudante, quando terminar o curso, vai receber de umas tias um prémio de Supondo que pensa terminar o curso daqui a 30 anos e que a sua taxa de desconto é de 5% ao ano, qual será o seu valor actual? Desconto = Valor actual V = (1 + 5%) V = Posso vender este activo e receber no presente (a outra pessoa que tenha uma taxa de desconto <=5%). Desconto = Valor actual Ex Um indivíduo depositou num banco em 1940 uma soma. Sendo que esse banco devolveu 1milhão em 2008, qual terá sido a soma depositada? Taxa de desconto de 3.5%/ano

40 V Desconto Valor actual = ( %) V = R. Descontando 1milhão para 1940, temos = Desconto = Valor actual Ex Um sortudo ganhou numa lotaria um prémio e deram-lhe a escolher receber 350k agora ou 1000 no fim de cada mês dos próximos 50 anos. Determine a taxa de juro implícita nesta opção Desconto = Valor actual Desconto = Valor actual R. Vou descontar cada um dos 1000 ao presente, somá-las todas e aplicar a ferramenta atingir objectivo. B2: =(1+B1)^(1/12)-1; B6: =B$3; C6: =B6*(1+B$2)^-A6; C4: =SOMA(C6:C605)

41 Desconto = Valor actual Sexta Aula Goal Seek = Atingir Objectivo Menu Data+ Data Tools + what if analysis Rendas Pagamento da dívida Rendas / amortizações Já consideramos duas possibilidades para o pagamento da dívida. 1) Os juros são pagos periodicamente e o capital é pago no fim do prazo contrato. 2) O capital mais os juros são pagos no fim do prazo contrato

42 Rendas Vamos explorar uma outra possibilidade É paga uma prestação em cada período No final do prazo não há mais nada a pagar Cada prestação contêm juros e amortização do capital Denominamos este plano como uma Renda Rendas Uma renda transforma uma determinada soma de dinheiro num rendimento. Um stock num fluxo Rendas As prestações podem ser regulares ou irregulares no tempo constantes ou variáveis no valor haver ou não diferimento de alguns períodos terem duração limitada ou serem perpétua Rendas Emprestamos um capital que recuperamos na forma de uma renda e.g., saiu-nos a lotaria e queremos um rendimento mensal Pedimos um capital que pagamos na forma de uma renda e.g., um crédito à habitação que amortizamos mensalmente

43 Rendas Pagamos uma renda que recebemos no final na forma de um capital e.g., depositamos uma quantia mensal para comprar um barco a pronto no futuro Recebemos uma renda que pagamos no fim na forma de um capital e.g., termos um rendimento mensal à custa de uma herança que vamos receber no futuro Rendas Receber uma renda que pagamos na forma de renda e.g., pagamos os estudos com um financiamento mensal que amortizamos no futuro com uma prestação mensal Rendas Obtemos o valor actual da renda descontando todos os recebimentos ao instante de tempo presente. Para efeito de comparação, podemos usar outro instante de tempo qualquer mas tem que ser o mesmo para todas as prestações Rendas Temos que clarificar o que é um instante de tempo e um período de tempo O tempo é uma linha contínua

44 Rendas Cada ponto é um instante de tempo e.g., às 12h00 do dia 15 de Janeiro de Um intervalo de tempo é o segmento que medeia dois instantes de tempo, e.g., o semestre que medeia entre as 12h00 do dia 15 de Janeiro de 2010 e as 12h00 do dia 15 de Julho de O instante final de um período é sempre o instante inicial do período seguinte. e.g. o fim de 2010 é igual ao início de Rendas Ex No sentido de se licenciar, um estudante necessita uma renda antecipada cuja prestação mensal é de 300 /mês e a duração de 36 meses. Supondo uma taxa de juro de 5%/ano, utilize o Excel para calcular o valor actual dessa renda 174 Rendas Rendas B4: =B$2 C4: =B4*(1+B$1)^-((A4-1)/12) e copiava C40: =SUM(C2:C37). Em vez de calcular a taxa de juro mensal, utilizei partes fraccionadas nos anos, (A4-1)/ Ex O Jardel, aos 26 anos de idade, ganhava 300mil por mês. Poderia ter constituído um depósito de 1.5 milhões de euros e Receber, a partir dos 35 anos, 600 prestações mensais de 5000 cada. Determine a taxa de juro implícita. 176

45 Rendas F2: =(1+F1)^(1/12)-1 C2: =B2*(1+$F$2)^-(A2-A$2) e copiava até C602; F3: =Sum(C2:C602). Definir F3 para atingir o valor 0 por alteração da célula F1. Rendas Ex Uma família adquiriu uma habitação mediante um empréstimo bancário de 150mil à taxa de juro de 5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação mensal a pagar? / mês Rendas Rendas Na coluna A estão os meses, na B as quantias recebidas, na C as quantias descontadas ao presente B3: =E$3; C3: =B3/(1+$E$1)^A3 e depois copiamos ambas em coluna. C603: =Sum(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12) 1. Usava a ferramenta atingir objectivo definindo C603 para 0 por alteração de E

46 Rendas Fazer em casa os dois exercícios anteriores com uma conta corrente Conta corrente Ex Uns comerciantes de frutas e legumes numas alturas podem poupar e noutras não. Como, em média, conseguem poupar 325 /mês, quando o filho fez 15 anos, pensando que precisará de 750 /mês quando for para a universidade, decidiram constituir uma conta poupança. Numa folha de Excel lancei a data e os movimentos (colunas A e B). A taxa de juro quando o saldo é negativo (taxa de juro activa) é de 5%/ano e quando os saldo é positivo (taxa de juro passiva) é de 2%/ano Conta corrente Sétima Aula 15 Out C2: =B2 D2: =(A3-A2)/365 E2: =C2*((1+SE(C2>0;J$3;J$2))^D2-1) F2: =C2+E2 C3: =B3+F2 e copiava em coluna B84=-F

47 Renda perpétua Expressão analítica de uma renda Numa renda perpétua, recebe-se uma prestação para sempre. Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fim de cada período (i.e., postecipada), é uma situação idêntica a um depósito em que no fim de cada período, são pagos apenas os juros Renda perpétua postecipada V = P (1 + i) + P (1 + i) + P (1 + i) 1 V = P (1 + i) + i 1 1 V = P (1 + i) + V (1 + i) ( P (1 + i ) + P (1 + i ) +... ) (1 + i ) V (1 + i) = P + V V + V i = P + V P V = i 187 Renda perpétua Como os juros de cada período valeriam J = V i Com P e i podemos determinar o valor da renda (ou da taxa de juro implícita com P e V) P = prestação, i = tx.juro, V = valor actual da renda P P = V i V = i = i P V 188

48 Renda perpétua Ex Um agricultor arrendou um terreno por 50 /mês para sempre. Supondo uma taxa de juro de 5% ao ano, qual será o valor presente do terreno? Renda perpétua Primeiro, calculo a taxa de juro mensal i.mensal = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407% Depois, aplico a expressão V = 50 / 0.407% = Renda perpétua Ex Um eucaliptal produz, a cada 10 anos, 12kg/m2 de madeira. Supondo um preço de 0.03 /kg de madeira e uma taxa de juro de 3%/ano, qual será o valor actual do eucaliptal? Renda perpétua R. Calculo a taxa de juro por 10 anos, (1+3%)^10 1= %, e aplico essa taxa na expressão da renda perpétua postecipada: V = ( )/34.392% = 1.05 /m

49 Renda perpétua Se a renda for antecipada (a prestação é paga no princípio do período), teremos que somar uma prestação inicial P P V = P + V = ( 1+ i) i i Renda perpétua Se houver deferimento de 2 períodos (tempo em que não é paga prestação), a renda terá que ser descontada ao presente: Renda perpétua Se houver diferimento de n períodos (tempo em que não é paga prestação), a renda terá que ser descontada n períodos ao presente: V P = (1 + i) i n Só se começa a receber daqui a n+1 períodos (a expressão p/i é a renda postecipada) 195 Renda perpétua Se a renda for antecipada, aplica-se a correcção: V P = (1 + i) (1 + i) i n Começa-se a receber daqui a n períodos A renda antecipada diferida 5 anos é uma renda postecipada diferida 6 anos 196

50 Renda de duração limitada Renda de duração limitada Com o conhecimento da expressão da renda perpétua Também se chama perpetuidade Podemos calcular o valor de uma renda de duração limitada Compondo duas rendas perpétuas: uma a somar e outra a subtrair Renda de duração limitada Recebemos a prestação R entre o presente e o período N (postecipada). É equivalente a receber uma renda perpétua a começar agora e pagar uma renda perpétua a começar no período N, Descontado tudo ao presente. V Renda de duração limitada = P i P i (1 + i) N = P i [1 (1 + i) Se a renda for paga no princípio do período (i.e., antecipada)? Teremos que somar uma parcela. Descontar menos um período N ]

51 V Renda de duração limitada = = = P + P i P i (1 + i ) (1 + i ) P i [ 1 (1 ) ] ( N 1) + i ( N 1) [ ] N 1 (1 + i) (1 + i) Renda de duração limitada Ex Um agricultor arrendou um terreno por 50 /mês, pago no fim do mês, até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e., daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de juro anual de 5%, qual será o valor presente do terreno? Renda de duração limitada Já não preciso do Excel r = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407% V = 50/0.407% x ( ) = x = Renda de duração limitada Verificar em casa o resultado com o uso do Excel Mas podemos usá-lo para verificar

52 Renda de duração limitada Renda de duração limitada Ex Uma obrigação com o valor nominal de 100 paga trimestralmente 1 de cupão e o par (i.e., os 100 ) mais o cupão do trimestre final ao fim de 10 anos. Determine a taxa de juro desta obrigação. C2: =B2*(1+$D$2)^-A2 C302=sum(C2:C301) Renda de duração limitada R. No trimestre final recebemos não só o cupão mas também o par, logo i 40 = [1 (1 + i ) ] + 100(1 + i ) 40 Renda de duração limitada R. Resulta i.t = 1%/trim i.a = (1 + 1%)^4-1 = 4.06%/ano Simplificando a expressão 1001 [ ] (1 + i) = [1 (1 + i) ] i

53 Renda de duração limitada Oitava Aula Ex o Figo, entre os 25 e os 35 anos, depositou 100mil /mês (i.e., 120 prestações). Com essa poupança vai receber uma renda de valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600 prestações). Para uma taxa de juro anual de 3%, quanto vai receber por mês? Renda de duração limitada Vamos usar como instante de referência os 25 anos (acabados de fazer) Vamos somar Duas rendas de duração limitada Ou quadro rendas perpétuas Nota: Sem perda, vou usar anos para descontar e meses para a renda 211 Renda de duração limitada 100mil 0.247% x = 0.247% 100mil x = = / mês ( 1 ( %)^ 120) ( 1 ( %)^ 600) ( %)^120 = ( 1 ( %)^ 120) (1 + ( 1 ( %)^ 600) 0.247%)^120 = 212

54 Obrigações a taxa fixa Obrigações de taxa fixa Já foi referido que uma obrigação consiste num activo que condensa uma entrega inicial e recebimentos futuro. Recebe-se o cupão ao longo do tempo e uma soma no final (o valor de remissão) O valor da obrigação é o valor actual dos recebimentos futuros Altera-se com o decorrer do tempo e da tx.jr de mercado Obrigações a taxa fixa Obrigações a taxa fixa Como valor da obrigação é o valor actual dos recebimentos futuros, O seu valor altera-se com o decorrer do tempo Porque se aproxima a data de remissão Porque a taxa de juro de mercado altera-se

55 Obrigações a taxa fixa Ex Uma obrigação a 10 anos de valor nominal de 100 reembolsável ao par (i.e., serão pagos 100 daqui a 10 anos) cupão zero, vai ser vendida em leilão. 1) Para uma remunerado a uma taxa média de 7.5%/ano, qual o preço máximo que o investidor está disponível a pagar? Obrigações a taxa fixa 1) Vamos descontar os 100 ao presente: V = = Obrigações a taxa fixa 2) Passados 5 anos, qual será o valor da obrigação? 3) Se o mercado justificar um aumento da taxa de juro em um ponto percentual, qual a desvalorização da obrigação? Obrigações a taxa fixa 2) Já só faltam 5 anos para receber os 100 V = = ) O aumento da taxa de juro desvaloriza a obrigação em 4.5% V = =

56 Obrigações a taxa fixa Obrigações a taxa fixa 4) Se o investidor adquiriu a obrigação a 45, qual a taxa de juro que pensava receber? 5) E qual será se vender a obrigação depois da desvalorização? 4) A taxa de juro prevista era V = 100(1 + i) 10 5) E passou a ser V = 66.50(1 + i) / 45 = (1 + i) i = (66.50 / 45) 5 1/5 = 45 i = = 8.13% = 8.31% Obrigações a taxa fixa Resolver em casa Ex Uma obrigação soberana (i.e., emitida por um Estado) a 50 anos emitida em 2010 cujo par é 1000 paga um cupão anual de 25 postecipado e o par mais o cupão no fim do prazo. Qual a taxa de juro da obrigação se for adquirida ao par?

57 Obrigações a taxa fixa ( ) ( ) (1 + r) r = r Podemos simplificar a expressão obtendo uma renda perpétua: 50 ( 1 (1 + r) ) = 1000 ( 1 (1 + r) ) r r = Obrigações a taxa fixa Decorridos 6 meses, no mercado secundário a obrigação está a ser transaccionada a 900 Para que taxa de juro aumentou a remuneração desta obrigação? > De 2.500%/ano para 5.418%/ano Obrigações a taxa fixa Usava a ferramenta Goal Seek do Excel Nona Aula 22 Out C2: =B2*(1+F$1)^-A2 e copiava em coluna C12: = Sum(C2:C11)

58 TAEG implícita no contrato TAEG Taxa anual efectiva global TAEG Taxa Anual Efectiva Global Actualmente, é obrigatório nos anúncios (de venda a crédito) que seja afixado o preço a pronto pagamento e a taxa de juro implícita efectiva calculada com todas as despesas a incorrer pelo cliente (global) Também é referido o total de encargos do cliente TAEG implícita no contrato A TAEG é a taxa de juro anual que faz a soma do valor actual de todos os pagamentos igual ao preço de pronto pagamento. TAEG implícita no contrato Ex Um televisor (ppp de 1190 ), a crédito paga na entrega 119 mais 12 prestações trimestrais de 100. Tem que pagar no fim do primeiro ano mais 50. Determine a TAEG deste contrato de crédito

59 TAEG implícita no contrato TAEG implícita no contrato Podemos indicar algebricamente o resultado (1 (1 + i) i 12 ) 50(1 + i) 4 = 0 Mas o mais fácil é determina-lo no Excel TAEG implícita no contrato B2: = ; B3: 100; B6: -150 C2: =B2*(1+E$2)^(-A2) e copiar em coluna. C15: =Sum(C2:C14) Definimos a célula C15 para o valor 0 alterando E2. TAEG implícita no contrato % = ( %) /(1 (1 p) p) = ( %) /( %) p = 4.879% Se a EURIBOR for 5.5%/ano, qual é a probabilidade de incumprimento implícita neste contrato de crédito?

60 TAEG implícita no contrato Ex Um anúncio dizia Telefone que lhe emprestamos 5000 por apenas 150 mensais (durante 60 meses, TAEG=29.28%). Confirme a TAEG. TAEG implícita no contrato R N V = [1 (1 + i) ] i = [1 (1 + i ) i [1 (1 + i) i ] ] = 0 Tem que se determinar no Excel TAEG implícita no contrato Preços correntes e constantes i = 2.175% i = (1 + i) anual 12 1 = 29.46%

61 Preços correntes e constantes A inflação (i.e., a subida generalizada dos preços dos bens e serviços) não tem efeito na afectação dos recursos escassos. Apenas a alteração dos preços relativos tem efeito. 241 Preços correntes e constantes Quando comparamos preços de um bem disponíveis em instantes de tempo diferentes é preciso ver a evolução do nível médio de preços A ponte D Luís custou 1850 Março 1884 A ponte 25-de-abril custou 11milhões Setembro 1964 A Ponte Vasco da Gama custou 680milhões Novembro Preços correntes e constantes As somas seriam equivalentes se 1850 (em 1884) -> 11milhões (em 1964) Capitalização à taxa de 11.4%/ano 11M (em 1964) -> 680M (em1996) Capitalização à taxa de 12.5%/ano O Índice de Preços Calcula-se em cada ano o preço de uma capaz de compras representativo do consumidor médios (pesos de 2005). Rúbricas\ano Pesos Habitação % Alimentação % Vestuário % Transportes % Preço médio B6: =B2*$G$2+B3*$G$3+B4*$G$4+B5*$G$

62 O Índice de Preços O IPC é a passagem do preço do cabaz ao valor 100 no ano base. B7: =B6/$B$6*100 Rúbricas\ano Pesos Habitação % Alimentação % Vestuário % Transportes % Preços IPC 100,00 103,79 107,80 106,67 101, O Índice de Preços Em teoria, o índice de preços refere-se a um instante de tempo Mas não é possível medir todos os preços no mesmo instante Então, é um valor médio do período IP = preço médio em 2010 na base O Índice de Preços O preço médio normalizado denominase por Índice de Preços no Consumo, havendo outros índices de preços índice de preços na produção índice de preços nos mais pobres índice de preços no interior norte índice de preços na construção etc. Preços correntes e constantes Os preços dos bens ou serviços observados no dia a dia denominam-se de preços correntes (ou preços nominais ) e variam ao longo do tempo. e.g., há um ano a gasolina tinha um preço diferente do preço que actualmente vigora

63 Preços correntes e constantes Os preços corrigidos da inflação denominam-se de preços constantes ou preços reais. Preços correntes e constantes Para transformar preços correntes em preços reais utilizamos o índice de preços. Temos os preços correntes do período J, PJ, que queremos em preços reais com base no ano T, P T J PJ P T J Preços correntes e constantes Para transformar preços correntes em preços reais utilizamos o índice de preços. Um bem custava P2005 = 100, IP = 100 e custa actualmente P2012 = 250, IP = 237 Compare os preços em termos reais Preços correntes e constantes Posso passar os 250 de 2012 para 2005 P = 250 * 100 / 237 = Ou o preço de 2005 para 2012 P = 100 * 237/ 100 = > Em termos reais, o bem custa hoje mais 5.49% que custava em / = / =

64 Preços correntes e constantes Em termos de notação algébrica, é difícil memorizar mas basta fixar que: Se o índice de preços aumentou (o mais normal), 1) trazer preços nominais do passado para o presente, aumenta o seu valor 2) levar preços nominais do presente para o passado, diminui o seu valor 253 Preços correntes e constantes Transformamos PJ P T J Multiplicando o preço corrente pelo índice de preços do período T, IP T T, e dividindo pelo índice de preços do período J, IP T J: PT J = PJ IPT T IP J T Não interessa a base do IP pois dá-se uma mudança de base. 254 Preços correntes e constantes Décima Aula Ex O preço de um frigorífico diminuiu de em 2006 para em Com IP = IP = Quais os preços na base 2005? Qual o preço de 2006 na base 2010? Qual foi a variação em termos nominais e reais do preço?

65 Preços correntes e constantes R. em 2005 o IP vale 100 porque é o ano base P = / = P = / = Para 2010 ocorre mudança da base P = / = Preços correntes e constantes Em termos nominais temos / = 4.77% ( )/ = 4.77% Em termos reais temos Variação = / = 5.98% Var. média anual (1 5.98%)^(1/4) 1 = 1.53%/ano Preços correntes e constantes Podíamos usar outro ano base qualquer e.g., 2010 Variação = / = 5.98% Preços correntes e constantes Ex O salário mínimo em 1974 era de 16,46 e em 2010 é de 475,00. IPC é e IPC é 126,62. compare, em termos reais (de 2010), o poder aquisitivos do SM nesses dois anos e a taxa de variação anual em termos nominais e reais

66 Preços correntes e constantes Se quiséssemos comparar em termos de preços reais do ano 2010 fazemos os de 1974 valem a preços de 2010 SM = = 520,65 Que é maior que os actuais SM = , Preços correntes e constantes R. Relativamente à taxa de variação, no espaço de 36 anos, em termos nominais o SM aumentou (475/16.46)^(1/36) 1 = 9,79%/ano em termos reais, diminuiu (15.02/16.46)^(1/36) 1 = 0,25%/ano Preços correntes e constantes A taxa de inflação é calculada pelo INE com base no IPC e tem periodicidade mensal. Taxa de inflação homóloga compara o IPC do mês corrente com o IPC do mês igual do ano anterior. Taxa de inflação média é a média das 12 taxas de inflação homóloga. 263 Preços correntes e constantes Taxa de inflação acumulada é a variação percentual do IPC desde o princípio do ano. A taxa de inflação mensal anualizada é a variação percentual entre o IPC no mês anterior e o IPC no mês actual anualizada: (1+π) A taxa de inflação em cadeia é a taxa de inflação mensal (ou trimestral) sem anualizar 264

67 Preços correntes e constantes Interessará retirar a inflação da análise de equivalência das somas de valores dinheiro obtidas em instantes de tempo diferentes. e.g., precisamos saber se a renda de 60mil mensais dará ou não para comprar alguma coisa quando o Figo tiver 85 anos. Taxa de Inflação Taxa de inflação Sendo IP T J e, IP T J-1 os índice de preços no período J e J-1, respectivamente Calculamos a taxa de inflação durante o período J, π J, por: π J = IP T J IPT J IP J 1 T 1 = IPT J 1 IP J 1 T Preços correntes e constantes Se, por exemplo, em Março de 2005 o IPC valia e em Março 2006 passou a valer 131.4, Então, a taxa de inflação homóloga de Março entre estes dois instantes foi de 131.4/ = 2.1%

68 Taxa de inflação Se, por exemplo, em 2005 o IPC valia e em 2006 valia 131.4, então a taxa de inflação em 2006 foi de 131.4/ = 2.1%. Neste exemplo, refere-se à média do IPC de Jan., Fev.,, Dez. de 2005 Taxa de inflação Como a taxa de inflação é calculada com o índice de preços, podemos utilizá-la na transformação de preços correntes em preços reais Ou mesmo a refazer o IPC ( 1+ π ) ( 1+ π )... ( 1 ) p ( T n) = p( T ) T + 1 T T + n + π Preços correntes e constantes Décima primeira Aula 29 Out Se o preço corrente de um bem em 2006 foi de 150, podemos saber a quanto correspondia em 2005 em termos reais (constantes) descontando este preço com a taxa de inflação O preço do bem, a preços de 2005, seria 1 ( % ) p = 150 =

69 Preços correntes e constantes O preço de um bem era p2005 = 1.25 e passou para p2006 = Sendo que em 2006 a inflação foi de 2.1% será que o preço deste bem aumentou em termos reais? Preços correntes e constantes O preço, em termos reais, aumentou 1.86% Vou ver quanto vale 1.30 de 2006 em 2005 e comparo com 1.25 : p = 1.30 ( % ) / = 1.86% 1 = Exercício Ex No exercício 1.31, vimos que o planeamento da reforma do Figo se traduz numa prestação mensal a preços correntes de até aos 85 anos. Prevendo-se uma taxa de inflação de 2% ano, i) Determine a preços constantes de agora, qual será o valor desse prestação (faltam 50 anos). Exercício Vamos descontar ao presente com a taxa de inflação de 2%/ano como taxa de desconto: R = (1 + 2%) 50 = Em termos reais, corresponde a apenas 37% do valor nominal

70 Análise a preços constantes Análise a preços constantes Ex.1.42.ii) Supondo as mesmas entregas, determine um plano de reforma que mantenha o poder aquisitivo (igual em termos reais) Análise a preços constantes Posso fazer a análise a preços correntes aumentando as prestações na taxa de inflação prevista Ou a preços constantes retirando a taxa de inflação da taxa de juro Fica a taxa de juro real mais a correcção do risco. 279 Análise a preços constantes Fazemos a análise a preços reais retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal. A taxa de juro real mensal é %= ((1+3%)/(1+2%))^(1/12)-1. x ( x = ) = x = 29453,05 280

71 Preços correntes e constantes A preços correntes, uso o Excel: Preços correntes e constantes B3: =$E$1*(1+$E$4)^A3; C3: =B3*(1+$E$5)^-A3 e depois copiamos em coluna; C603: =Sum(C2:C602) e usamos a ferramenta Atingir objectivo, definir a célula C603 para o valor 0 por alteração da célula E Preços correntes e constantes Retirada a taxa de inflação à taxa de juro nominal ( preços constantes ), deu o mesmo resultado Fazer em casa o exercício usando uma conta corrente

72 Compatibilização de tramos da série com diferentes bases Com o acesso a fontes diferentes de informação e com o decorrer do tempo, as séries de preços mudam de base. Nessa alturas, o índice sofre uma quebra porque salta do valor do antigo tramo da série para 100 e são alterados os pesos relativos dos grupos agregados no índice (a representatividade de cada grupo no índice). Compatibilização de tramos da série com diferentes bases Quando é preciso utilizar o número índice ao longo de todos os períodos, torna-se necessário compatibilizar os vários tramos da série à mesma base. A redução não é uma mudança para a mesma base porque não se tem em consideração que existem alterações dos ponderadores mas permite fazer uma transição suave entre os vários tramos da série Compatibilização de tramos da série com diferentes bases No sentido de tornar possível a compatibilização dos tramos, estes sobrepõem-se (pelo menos) durante um período. Temos que usar os períodos de sobreposição para calcular o valor do salto em termos relativo entre as séries e reduzi-lo a zero. Vejamos um exemplo de uma mudança de base. Compatibilização de tramos da série com diferentes bases

73 Compatibilização de tramos da série com diferentes bases Ex A série do IPC do banco mundial WB2008 (base o ano 2000) vale 4.00 para 1974 e vale para 2002, e a série do INE (base o ano 2002) vale para 2009 (media até Abril), compare, em termos reais, o salário mínimo de 1974 (16.46 /mês) com o SM actual ( /mês). Compatibilização de tramos da série com diferentes bases R. Há uma salto em 2002 entre as séries pelo que o valor da série do INE compatibilizado ao da série do Banco Mundial será /100 = O valor a preços de 2009 dos /mês será /4.00 = /mês Décima segunda Aula 30/31 Out Aplicações Análise de investimentos

74 Análise de investimentos Um investimento é uma entrega de recursos em períodos mais próximos do presente que permite ter recebimentos mais afastados para o futuro Análise de investimentos A Análise passa por condensar os pagamentos e recebimentos num número Referimos todas entregas e recebimentos ao mesmo instante de tempo. Será necessário capitalizar uns valores e descontar outros Análise de investimentos Sendo que a análise é financeira, interessa saber as entregas e os recebimentos em dinheiro (i.e., saber o cash flow) sem atender aos fundamentais económicos da empresa (os custos e proveitos). Análise de investimentos Diferença entre economia e finança. Uma criança nasce e, numa perspectiva financeira, cada vez deve mais dinheiro. Comida, tomar conta, estudos, roupa, etc. Mas em termos económicos, cada vez tem mais valor. Tem maior stock de conhecimento Aproxima-se o tempo em que vai trabalhar

75 Valor actual líquido No Valor Actual Valor Actual Líquido Agregar todas as parcelas ao instante presente, descontadas ao presente É Liquido porque o Capital é amortizado Valor actual líquido Apesar de não haver um horizonte temporal de encerramento de uma empresa O risco aconselha a usarmos um horizonte temporal limitado. Lojas e pequenos investimentos -> 3 anos Investimentos normais -> 5 a 10 anos Infra-estruturas -> 25 a 50 anos Barragens ->50 anos 299 Valor actual líquido Ex Num investimento são previstas as seguintes entregas e recebimentos (em milhares de ): i) Somando as entregas e os recebimentos qual o saldo do investimento? 300

76 Valor actual líquido O saldo seria de 175 mil Valor actual líquido O VAL será de 2921 ii) Determine, para uma taxa de remuneração do capital de 10%, qual será o Valor Actual Líquido deste investimento 301 B5: =B4-B3; B6: =B5*(1+$B$1)^-B2 e depois copiar em linha; B7: =Sum(B6:L6). As funções NPV e XNPV também calculam o VAL N periods Present Value 302 Valor actual líquido Valor actual líquido Nos primeiros anos a análise financeira indica um período de falta de dinheiro Mas depois, a empresa gera recursos financeiros que podem ser usados para amortizar as dividas contraídas A taxa de juro usada é elevada porque os recebimentos são incertos as entregas são certas A taxa de juro contém o risco do negócio o VAL do investimento é comparável a um activo sem risco (e.g., depósito a prazo). Para investimentos diferente, a taxa de juro será diferente

77 Taxa interna de rentabilidade Valor Actual Líquido Quantifica a taxa que torna o VAL igual a zero. Estando o modelo implementado no Excel, determina-se a TIR facilmente com a ferramenta Atingir objectivo. Podemos usar as funções irr() e xirr() Internal rate of return Taxa interna de rentabilidade Q de Tobin

78 Q de Tobin Q de Tobin O q de Tobin é uma medida relativa que incorpora o risco de cada investimento Uma mistura de VAL com TIR Calcula-se pelo quociente entre o valor actual dos recebimentos e o valor actual dos investimentos Terá que ser maior ou igual a 1 B8: =B3*(1+$B$1)^-B$2 e copiava B10: =SOMA(B9:L9)/SOMA(B8:L8) Exercício -1 Exercícios de recapitulação e Dúvidas Suponha que empresto A inflação (prevista) é de 2.0% / ano O juro real (acordado) é de 2.0% / ano O risco de não cobrança é de 7.0% / ano i) Quanto devo pedir de taxa de juro?

79 A taxa de juro seria: Exercício -1 1+i = ( ) x ( ) / (1 0.07) i =11.869% ii) Se acordar receber os 1000 em 12 prestações trimestrais caindo a primeira depois de decorridos 2 anos do empréstimo, de quanto deve ser a prestação? 313 A renda é antecipada Exercício -1 N [ 1 (1 + i) ].(1 + ) P. i i E começa daqui a dois anos P i N 8 [ (1 + i) ].(1 + i).(1 + i).1 A taxa de juro trimestral é ( ) = % 314 Exercício -1 Exercício -1 P P = [ ] =

80 Exercício -2 Emprestando 25M, a 5 anos à taxa de 4% / ano. A meio do prazo, recebo 5 M. Qual o capital final que vou receber? Exercício -2 O capital final a receber será de (1 + 4%) (1 + 4%) 2.5 = = 24901,22. [25000.(1 + 4%) ].(1 + 4%) 2.5 = = 24901, Exercício -3 Vou receber 1000 daqui a 10 anos. Para uma taxa de juro de 4 /ano, qual o valor actual dessa soma? Exercício -3 R. O valor dos 1000 no presente resolve: 1000 (1 + 4%) 10 =

81 Exercício -4 Um indivíduo deposita, durante 40 anos, 100 /mês para receber uma reforma mensal durante 15 anos. Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano e a inflação de 2.5%, determine o valor da reforma a preços correntes e a preços constantes de agora. Exercício -4 Vou somar quatro rendas perpétuas ou duas de duração limitada: 480 R 180 [ (1 + i ) ].1 [ (1 + i ) ] (1 + i ) = i [ 1 (1 + i) ] [ 1 (1 + i) ](1 + i) R = 100. i Exercício -4 A preços correntes, i = 0,327%/mês R = /mês A preços reais, i = [(1+4%)/(1+2.5%)] 1/12-1 i = 0.12%/mês Exercício -5 Num investimento de 1000 prevê-se que as vendas aumentem 25% ao ano e que o custo das vendas sejam 60%. As amortizações são constantes a 5 anos Calcule o VAL e a TIR R = /mês

82 Exercício -5 Exercício Exercício -5 Exercício -5 D6: =C6*(1+$B$1) C7: =C6*$B$2 C8: =C6-C7 C9: =$B$3/5 C10: =C8-C9 C11: =C10*25% C12: =C10-C11 C13: =C12+C9 C14: =C13*(1+$B$4)^(-C5) B15: =SOMA(B14:G14) Aplico agora o modelo para determinar a TIR