Prof. Carlos R. Paiva Departaento de Engenharia Electrotécnica e de Coputadores Instituto Superior Técnico
y b z a x Seja (, u ipulso à entrada z = do guia de secção rectangular operado no odo fundaental TE. ditaos, ainda, que este ipulso odula ua portadora de frequência (angular ω. O capo eléctrico está polarizado linearente segundo y, tendo-se ( x, z =, = yˆ E y ( x, z =, E, ( co ( x z, = E F( x ( E y =,, (, (, (, exp( j ω =. (3 Coo o regie é onoodal, TE. Te-se F( x representa a variação transversal do odo fundaental
π F( x = sin x (4 a onde a é a largura do guia segundo o eixo x. Para calcular o capo eléctrico nu ponto transforada de Fourier do capo e z =. Então, introduzindo z >, vai-se coeçar por calcular a ω = exp( jωt ω = exp( jωt dt, (5 dt, (6 assi coo as transforadas inversas correspondentes, = dω, (7 π ( z ω exp( jωt, = dω, (8 π ( z ω exp( jωt infere-se das Eqs. ( e (3 que E y, (9 ( x, z =, ω = E F( x (, ω. ( (, ω = (, ω ω Sendo = ( ω a constante de propagação longitudinal do odo fundaental, te-se E y, ( ( x, z, ω = E F( x (, ω z ω = (, ω exp[ j( ω z]. ( Deste odo, nu ponto z >, o capo eléctrico será
( x, z, yˆ E y ( x, z, E =, (3 co ( x z, E F( x ( z E y =,. (4, De acordo co a Eq. (, te-se, = } dω. (5 π ( z (, ω ω exp{ j [ ωt ( ω z] Então, introduzindo o desvio de frequência Ω e relação à portadora, tal que Ω = ω ω, (6 ve π exp ( z exp( jω (, Ω { j [ Ωt ( ω + Ω, = z]} dω. (7 O cálculo do integral na Eq. (7 fica consideravelente siplificado quando se introduz u desenvolviento e série de Taylor para ( ω + Ω. Co efeito, fazendo ( ( ω + Ω = + Ω = + = P Ω, (8! e que ( =, (9 ω pode-se escrever 3
exp[ j ( ω t z ] =, (, = } dω. ( π ( z (, Ω exp{ j [ Ωt P( Ω z] Note-se, desde já, a copatibilidade das Eqs. ( e ( co a Eq. (3. utilidade da definição de de acordo co a Eq. ( é a seguinte: enquanto é ua função rapidaente variável no tepo, te-se << ω que exp j ω t. t Ω e geral, pelo que ( j Ω ( é ua função lentaente variável no tepo. De facto, exp oscila co ua frequência uito enor do Os coeficientes, introduzidos na Eq. (8, são dados por ( =,, =. ( ω ω=ω ssi, e particular, te-se = v g ( ω, (3 = v g ( ω v g ω ω=ω, (4 onde v = g. (5 ω representa a velocidade de grupo. o coeficiente dá-se o noe de coeficiente da DVG (dispersão da velocidade de grupo. s Eqs. (4 e ( perite escrever 4
( x, z, E F( x [ j ( ω t z ] E y exp =. (6 Trata-se, agora, de calcular a Eq. (. Definindo (co =,, a partir de (,. Para coeçar há, portanto, que calcular π ; ( z Ω (, Ω Q t Ω, = dω (7 e que (,; Ω = exp ( Ω exp( Ω Q z t jr z j t, (8 resulta da Eq. ( que = j z =!. (9 No caso de se considerar a existência de perdas e representando por de atenuação, deverá reescrever-se a Eq. (9 na fora α o coeficiente = j z =! α t. (3 Por outro lado, te-se = j, (3 =, (3 3 = j 3, 3 (33 5
4 = 4. (34 4 E geral, pode-se escrever (co =,, = j. (35 ssi, das Eqs. (3-(34 e (35, obté-se j z =! + +α =. (36 Esta equação diferencial linear perite calcular a partir de (,. Coo, e geral, os ipulsos são de banda estreita (i.e., Ω << ω considerar coo razoável a truncatura, é possível R ( Ω =Ω+ Ω (37 e desprezar todos os restantes teros de orde superior. Nesse caso a Eq. (37 reduz-se a + j + α =. (38 z Quando se despreza os efeitos dispersivos, te-se = para. Eq. (38 reduz-se então a (co α = =. (39 z No doínio das transforadas de Fourier esta equação escreve-se siplesente na fora 6
z = j ω (, ω z (4 cuja solução é ω. (4 = (, ω exp( j ω z ssi, te-se, = [ ω π ] d (4 ( z (, ω exp j ω( t z donde se infere iediataente que (, t z =. (43 Eq. (43 te ua interpretação óbvia: na ausência de efeitos dispersivos o ipulso propaga-se se distorção co ua velocidade de grupo v g =, (44 tal coo já se tinha estabelecido na Eq. (3. O desprezo de não é, poré, aceitável na aioria das situações práticas. o tero, dado pela Eq. (4 dá-se o noe de coeficiente da dispersão da velocidade de grupo ua vez que é proporcional à derivada da velocidade de grupo e orde à frequência. Para ipulsos ultra-curtos ou para situações e que 3 ainda que considerar o tero., há 7