MESTRDO INTEGRDO EM ENG. INFORMÁTIC E COMPUTÇÃO 2016/2017 EIC0010 FÍSIC I 1o NO, 2 o SEMESTRE 30 de junho de 2017 Noe: Duração 2 horas. Prova co consulta de forulário e uso de coputador. O forulário pode ocupar apenas ua folha 4 (frente e verso) e o coputador pode ser usado unicaente para realizar cálculos e não para consultar apontaentos ou counicar co outros! Use g = 9.8 /s 2. 1. (4 valores) Ua barra reta, não hoogénea e uito estreita, de copriento L = 6 e assa = 6.2 kg, foi pendurada du teto horizontal, por eio de duas cordas de coprientos a = 4 e b = 3, ligadas nos dois extreos e da barra, tal coo ostra a figura. barra fica e equilíbrio quando os ângulos entre as cordas e o teto são α = 60 e β = 70. (a) Deterine os valores das tensões nas duas cordas quando a barra está nessa posição de equilíbrio. (b) Deterine a distância desde o centro de gravidade da barra até o ponto. a α L β b 2. (4 valores) equação de oviento ẍ + ( 3 x 2) ẋ 3 x + x 3 = 0 pode ser escrita coo sistea dinâico no plano xy. (a) Deterine a posição dos pontos de equilíbrio no plano xy. (b) Explique de que tipo é cada u dos pontos de equilíbrio. (c) Trace o retrato de fase do sistea. (d) Diga se o sistea te ciclos (soluções periódicas) e e que regiões do plano xy. PERGUNTS. Respostas certas, 0.8 valores, erradas, 0.2, e branco, 0. 3. Qual das seguintes equações podera ser ua das equações de evolução nu sistea predador presa? () ẏ = 5 x y + 2 y () ẏ = 2 y 2 3 y (C) ẏ = x + x y 2 (D) ẏ = 6 y y 2 (E) ẏ = 2 y 5 y 2 4. U bloco co assa = 5 kg encontra-se sobre a superfície de ua esa horizontal. Sobre o bloco atua ua força externa F, co ódulo de 80 N e direção que faz u ângulo α = 20 co a horizontal, tal coo ostra a figura. Calcule o ódulo da reação noral entre o bloco e a esa. α F 6. U jogador de golfe lança a sua bola co ua velocidade inicial de 36 /s, fazendo u ângulo de 25 co a horizontal. Desprezando a resistência do ar, deterine o raio de curvatura da trajetória descrita pela bola, no ponto inicial onde esta foi lançada. () 210.1 () 252.1 (C) 145.9 (D) 175.1 (E) 121.6 7. Calcule o oento de inércia dua esfera co raio de 1 centíetro e assa 17 graas, que roda à volta du eixo tangente à superfície da esfera, sabendo que o oento de inércia dua esfera de raio R e assa à volta do eixo que passa pelo centro é 2 R 2 /5. () 6.80 10 7 kg 2 () 1.36 10 6 kg 2 (C) 2.38 10 6 kg 2 (D) 1.21 10 6 kg 2 (E) 3.40 10 7 kg 2 () 76.36 N () 100.42 N (C) 21.64 N (D) 49.0 N (E) 2.42 N 5. força tangencial resultante sobre u objeto é s 2 s 2, onde s é a posição na trajetória. Sabendo que o retrato de fase do sistea te ua órbita hooclínica que se aproxia assiptoticaente do ponto (a, 0), deterine o valor de a. () -1 () 1 (C) 3 (D) 2 (E) -2 8. Coloca-se u carrinho nua rapa a ua altura inicial h e deixa-se descer livreente, a partir do repouso, chegando ao fi da rapa (altura zero) co velocidade v. ditindo que a energia ecânica do carrinho peranece constante (forças dissipativas desprezáveis, assa das rodas desprezável, etc) desde que altura inicial na rapa deveria ser largado o carrinho para que chegasse ao fi co velocidade v/3? () 6 h () h/3 (C) 9 h (D) h/9 (E) 3 h
9. figura ostra ua barra reta co copriento L que está a cair; enquanto a barra cai, o extreo desliza na superfície horizontal e o extreo desliza sobre a parede vertical. Qual é a relação entre os valores das velocidades dos dois extreos? (x e y edidos a partir de O) 13. Partindo da orige na sua trajetória e se velocidade inicial, ua partícula fica sujeita à aceleração tangencial 2 v 2 + 5, e unidades SI, onde v é o valor da velocidade. Deterine a posição da partícula na trajetória quando v = 30 /s. () 13.8 () 19.9 (C) 9.6 (D) 11.5 (E) 16.6 () v = v cos θ () v = 2 v (C) v = v θ O (D) v = v tan θ (E) v = v sin θ 14. Ua partícula desloca-se ao longo de ua elipse no plano xy. s coordenadas cartesianas da partícula são x e y e as suas coordenadas polares são r e θ. Na lista seguinte, quais são as possíveis variáveis que pode ser usadas para descrever os graus de liberdade do sistea? y 10. O vetor velocidade dua partícula, e função do tepo, é: 2 t 2 î + 0.4 t 2 ĵ (unidades SI). E t = 0 a partícula parte do ponto y = 7 no eixo dos y. Calcule o tepo que deora até passar pelo eixo dos x. () 3.27 s () 4.18 s (C) 5.92 s (D) 3.74 s (E) 2.6 s 11. figura ostra o retrato de fase du sistea não linear co dois pontos de equilíbrio, e (x, y) = ( 1, 1) e (x, y) = (2, 2). Qual é o sistea linear que aproxia o sistea não linear na vizinhança do ponto ( 1, 1)? y 3 2 1 0-1 -2 () ẋ = 3 x () ẋ = 3 x (C) ẋ = 3 y -3-2 -1 0 1 2 3 ẏ = 3 x x (D) ẋ = 3 x (E) ẋ = 3 y ẏ = 3 y 12. trajetória de ua partícula na qual atua ua força central é sepre plana e pode ser descrita e coordenadas polares r e θ. s expressões da energia cinética e da energia potencial central e questão são: E c = 2 (r2 θ 2 + ṙ 2 ) U = k r 5 onde é a assa do corpo e k ua constante. Encontre a equação de oviento para r () r 2 θ 2 5 k r4 () r θ 5 k r4 (C) r θ 2 5 k r4 (D) r 2 θ 2 5 k r4 (E) r θ 5 k r4 r θ () Duas variáveis (x, y) ou (r, θ). () s duas variáveis r e θ. (C) Ua única variável x ou y. (D) Ua única variável x, y ou θ. (E) s duas variáveis x e y. 15. s equações de evolução du sistea linear são: ẋ = 2 x y ẏ = 2 x Que tipo de ponto de equilíbrio te esse sistea? () foco repulsivo. () nó repulsivo. (C) centro. x (D) foco atrativo. (E) ponto de sela. 16. U objeto descreve ua trajetória circular de raio 1 ; a velocidade auenta e função do tepo t, de acordo co a expressão v = 4 t 2 (unidades SI). Deterine a expressão para o ódulo da aceleração. () 16 t 4 + 8 t () 256 t 8 + 64 t 2 (C) 16 t 4 + 64 t 2 (D) 4 t 2 + 8 t (E) 8 t 17. O espaço de fase du sistea dinâico é o plano xy. E coordenadas polares, as equações de evolução são θ = 3, ṙ = r 3 + 2 r 2 r. Que tipo de ponto de equilíbrio é a orige? () foco repulsivo () nó repulsivo (C) nó atrativo (D) ponto de sela (E) foco atrativo
FEUP - MIEIC FÍSIC 1 - EIC0010-2016/2017 Resolução do exae de 30 de junho de 2017 Problea 1. (a) figura ao lado ostra o diagraa de corpo livre da barra. Coo a barra está e equilíbrio, as soas das coponentes x e y das três forças deve ser nulas: T a cos(60 ) T b cos(70 ) = 0 T a sin(60 ) + T b sin(70 ) g = 0 Regente: Jaie Villate T a T b 60 C 70 g e a solução deste sistea é: g cos(70 ) T a = sin(60 ) cos(70 ) + sin(70 ) cos(70 ) = 27.1 N g cos(60 ) T b = sin(60 ) cos(70 ) + sin(70 ) cos(70 ) = 39.7 N (b) diferença de alturas entre os pontos e e a distância horizontal entre eles são (ver figura ao lado): h = 4 sin(60 ) 3 sin(70 ) = 0.6450 d = 6 2 h 2 = 5.965 soa dos oentos das forças e relação ao ponto deve ser nula e, coo tal, r cosθ r sinθ 0 g + d h T b cos(70 ) T b sin(70 ) = gr cosθ + T b (d sin(70 )) h cos(70 ) = 0 na qual r é a distância desde até o centro de gravidade C e θ é o ângulo que a barra faz co a horizontal. Substituindo os valores de, g, T b e cosθ = d/6, 60.41r = 213.55 = r = 3.535 r C d g T b h 70 Problea 2. (a) Introduz-se a variável auxiliar y = ẋ para tornar a equação diferencial de segunda orde nua equação de prieira orde. s equações de evolução do sistea dinâico são então, ẋ = y ẏ = ( x 2 3 ) y + 3x x 3 Os pontos de equilíbrio obtê-se resolvendo o sistea das duas expressões nos lados direitos iguais a zero. No Maxia escreve-se (%i1) e: y, (x^2-3)*y+3*x-x^3]$ (%i2) p: solve(e); x = 0, y = 0 ], x = 3, y = 0 ], x = 3, y = 0 ]] Existe então 3 pontos de equilíbrio (x, y): P 1 = (0,0) P 2 = ( 3,0) P 2 = ( 3,0) (b) a atriz jacobiana é 1
(%i3) j: jacobian(e, x,y]); 0 1 2xy 3x 2 + 3 x 2 3 E os valores próprios das atrizes das aproxiações lineares do sistea, na vizinhança dos 3 pontos de equilíbrio, são (%i4) ap (eigenvalues, akelist (subst(q,j), q, p)); ] ] 21 + 3 21 3,, 1, 1], ] ] 6i, 6i, 1, 1], 6i, 2 2 ] ] ] 6i, 1, 1] Coo 21 é aior que 3, P 1 é ponto de sela e P 2 e P 3 parece ser são abos centros. Os centros pode ser deforados e focos o nós, devido aos teros não lineares, as o retrato de fase corrobora que existe ciclos na vizinhança de P 2 e P 3 e, coo tal, abos são centros. (c) O retrato de fase obté-se co o coando: (%i5) plotdf (e, x, y], x, -3, 3], y, -3, 3])$ e traçando alguas curvas de evolução. figura seguinte ostra as curvas ais iportantes: C 1 e C 2 são dois dos ciclos que existe à volta de P 2 e P 3. s duas curvas de evolução que sae do ponto de sela aproxia-se desses ciclos as, coo não se pode cruzar co eles, conclui-se que existe dois ciclos liite, L 1 e L 2 à volta de cada u dos pontos P 2 e P 3. (d) Existe u núero infinito de ciclos, dentro dos dois ciclos liite L 1 e L 2 à volta de cada u dos pontos P 2 e P 3. 2
Perguntas 3. 6. C 9. D 12. C 15. D 4. 7. C 10. D 13. 16. 5. D 8. D 11. D 14. D 17. E Critérios de avaliação Problea 1 Equação da soa das coponentes x das forças 0.6 Equação da soa das coponentes y das forças 0.6 Obtenção dos valores das duas tensões 0.8 Deterinação das coordenadas dos pontos e e ângulo da barra co a horizontal 0.8 Equação da soa dos oentos das forças 0.4 Obtenção da distância até o centro de gravidade 0.8 Problea 2 Equações de evolução 0.4 Obtenção dos três pontos de equilíbrio 0.4 Cálculo da atriz jacobiana e valores próprios 0.8 Caraterização dos três pontos de equilíbrio 0.8 Retrato de fase 1.2 Identificação dos ciclos 0.4 3