Representação de Sinais Periódicos em Séries de Fourier

Sinais e Sistemas Representação de Sinais Periódicos em Séries de Fourier lco@ist.utl.pt Instituto Superior Técnico Sinais e Sistemas p.1/39

Resumo Resposta de SLITs a exponenciais complexas Sinais e Sistemas p.2/39

Resumo Resposta de SLITs a exponenciais complexas Série de Fourier de sinais contínuos (CFS) Sinais e Sistemas p.2/39

Resumo Resposta de SLITs a exponenciais complexas Série de Fourier de sinais contínuos (CFS) Convergência da série de Fourier Sinais e Sistemas p.2/39

Resumo Resposta de SLITs a exponenciais complexas Série de Fourier de sinais contínuos (CFS) Convergência da série de Fourier Propriedades da CFS Sinais e Sistemas p.2/39

Resumo Resposta de SLITs a exponenciais complexas Série de Fourier de sinais contínuos (CFS) Convergência da série de Fourier Propriedades da CFS Série de Fourier de sinais discretos (DFS) Sinais e Sistemas p.2/39

Resumo Resposta de SLITs a exponenciais complexas Série de Fourier de sinais contínuos (CFS) Convergência da série de Fourier Propriedades da CFS Série de Fourier de sinais discretos (DFS) Propriedades da DFS Sinais e Sistemas p.2/39

Resumo Resposta de SLITs a exponenciais complexas Série de Fourier de sinais contínuos (CFS) Convergência da série de Fourier Propriedades da CFS Série de Fourier de sinais discretos (DFS) Propriedades da DFS A série de Fourier e os SLITs Sinais e Sistemas p.2/39

Resumo Resposta de SLITs a exponenciais complexas Série de Fourier de sinais contínuos (CFS) Convergência da série de Fourier Propriedades da CFS Série de Fourier de sinais discretos (DFS) Propriedades da DFS A série de Fourier e os SLITs Filtragem Sinais e Sistemas p.2/39

Objectivo Problema: precisamos uma forma eficaz de determinar a saída de um SLIT quando na sua entrada tem um sinal periódico. Sinais e Sistemas p.3/39

Objectivo Problema: precisamos uma forma eficaz de determinar a saída de um SLIT quando na sua entrada tem um sinal periódico. Solução: vamos começar por estudar a resposta do SLIT a exponenciais complexas. Sinais e Sistemas p.3/39

Analisador de Fourier Sinais e Sistemas p.4/39

Jean-Baptiste Fourier (1768-1830) Tendo um conjunto completo de funções de base, qualquer função arbitrária pode ser descrito como uma combinação linear dessas funções. Sinais e Sistemas p.5/39

Função Própria de um Sistema p(t) será uma função própria de um sistema caracterizado pela transformação T( ) se: T(p(t))=P p(t) neste caso P é o valor próprio associado à função própria p(t). Sinais e Sistemas p.6/39

Funções Próprias dos SLITs Os sinais exponenciais complexos são funções próprias dos SLITs x(t)=e st y(t)= + h(τ)e s(t τ) dτ=e st + h(τ)e sτ dτ } {{ } H(s) ou seja: y(t)=h(s)e st em que H(s) é o valor próprio associado à função própria e st. Sinais e Sistemas p.7/39

Função de Transferência H(s)= + h(t)e st dt No caso geral, H(s) pode ser um valor complexo: H(s) = H R (s)+ jh I (s) = H(s) e j H(s) Sinais e Sistemas p.8/39

Soma de Exponenciais Complexas Para analisar SLITs é útil decompor o sinal de entrada em termos de uma soma de funções próprias: x(t)= a k e s kt Neste caso, a saída poderá ser obtida através de: y(t)= a k H(s k )e s kt k k Sinais e Sistemas p.9/39

Combinação Linear de Exponenciais Conjunto das funções de base exponenciais complexas harmonicamente relacionadas: φ k (t)=e jkω 0t = e jk(2π/t)t, k Sinais e Sistemas p.10/39

Combinação Linear de Exponenciais Conjunto das funções de base exponenciais complexas harmonicamente relacionadas: φ k (t)=e jkω 0t = e jk(2π/t)t, k Todas estas exponenciais têm período T (embora não sendo o período fundamental). Sinais e Sistemas p.10/39

Combinação Linear de Exponenciais Conjunto das funções de base exponenciais complexas harmonicamente relacionadas: φ k (t)=e jkω 0t = e jk(2π/t)t, k Todas estas exponenciais têm período T (embora não sendo o período fundamental). A combinação linear destas exponenciais tem também período T: x(t)= + a k e jkω 0t = + a k e jk(2π/t)t k= k= Sinais e Sistemas p.10/39

Série de Fourier Contínua (CFS) À representação de um sinal periódico pela combinação linear de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas dá-se o nome de série de Fourier: x(t)= + k= a k e jkω 0t Sinais e Sistemas p.11/39

Série de Fourier Contínua (CFS) À representação de um sinal periódico pela combinação linear de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas dá-se o nome de série de Fourier: x(t)= + k= a k e jkω 0t em que x(t) tem como período fundamental: T 0 = 2π ω 0 Sinais e Sistemas p.11/39

Série de Fourier Contínua (CFS) À representação de um sinal periódico pela combinação linear de exponenciais complexas harmonicamente relacionadas dá-se o nome de série de Fourier: x(t)= + k= a k e jkω 0t em que x(t) tem como período fundamental: T 0 = 2π ω 0 aos pesos a k da combinação linear dá-se o nome coeficientes de Fourier Sinais e Sistemas p.11/39

Determinação dos Coeficientes T 0 T 0 T 0 x(t)e jnω 0t = x(t)e jnω 0t dt = x(t)e jnω 0t dt = x(t)e jnω 0t dt + k= T a k e jkω 0t e jnω 0t + 0 k= + k= = a n T a k [ T a k e jkω 0t e jnω 0t dt 0 ] e j(k n)ω0t dt Sinais e Sistemas p.12/39

Série de Fourier Contínua x(t) = a k = 1 T + k= T a k e jkω 0t x(t)e jkω 0t dt Sinais e Sistemas p.13/39

Condições de Dirichlet O somatório da série de Fourier converge se se verificarem as seguintes condições: Condição 1: x(t) tem de ser absolutamente integrável num período: x(t) dt< T Sinais e Sistemas p.14/39

Condições de Dirichlet O somatório da série de Fourier converge se se verificarem as seguintes condições: Condição 1: x(t) tem de ser absolutamente integrável num período: x(t) dt< T Condição 2: x(t) tem um número finito de máximos e mínimos em cada período. Sinais e Sistemas p.14/39

Condições de Dirichlet O somatório da série de Fourier converge se se verificarem as seguintes condições: Condição 1: x(t) tem de ser absolutamente integrável num período: x(t) dt< T Condição 2: x(t) tem um número finito de máximos e mínimos em cada período. Condição 3: x(t) tem um número finito de discontinuidades num intervalo de tempo finito e essas discontinuidades são finitas. Sinais e Sistemas p.14/39

James Beauchamp (1964) Harmonic Tone Generator Gerador de seis harmónicas com frequência fundamental de 0 a 2000 Hz. Controlo das amplitudes das seis harmónicas, da frequência fundamental e da fase da segunda harmónica. A frequência fundamental era controlada por um teclado externo ou por geradores que produziam vibrato e outros efeitos. Sinais e Sistemas p.15/39

Propriedade da Linearidade Se e então: x(t) CFS a k y(t) CFS b k Ax(t)+ By(t) CFS Aa k + Bb k Sinais e Sistemas p.16/39

Propriedade do Deslocamento x(t t 0 ) x(t)e jlω 0t CFS a k e jkω 0t 0 CFS a k l Sinais e Sistemas p.17/39

Propriedade do Deslocamento x(t t 0 ) x(t)e jlω 0t CFS a k e jkω 0t 0 CFS a k l O deslocamento temporal só afecta a fase dos coeficientes da CFS. O seu módulo mantém-se inalterável. Sinais e Sistemas p.17/39

Inversão Temporal x(t) x( t) CFS a k CFS a k Sinais e Sistemas p.18/39

Inversão Temporal x(t) x( t) CFS a k CFS a k A inversão temporal resulta na inversão da sequência dos coeficientes de Fourier. Sinais e Sistemas p.18/39

Propriedade da Multiplicação x(t) y(t) x(t)y(t) a k CFS b k CFS CFS + l= a l b k l Sinais e Sistemas p.19/39

Propriedades do Conjugado x (t) x ( t) CFS a k CFS a k Sinais e Sistemas p.20/39

Propriedades de Simetria R[x(t)] CFS a ke = 1 2 [a k+ a k ] ji[x(t)] CFS a ko = 1 2 [a k a k ] x e (t)= 1 2 [x(t)+ x ( t)] CFS R[a k ] x o (t)= 1 2 [x(t) x ( t)] CFS ji[a k ] Sinais e Sistemas p.21/39

Relação de Parseval A relação de Parseval para sinais periódicos contínuos vale: 1 + x(t) 2 dt= a k 2 T T k= Sinais e Sistemas p.22/39

Sequências Periódicas x(n) é uma sequência periódica de período N: x(n+ N)= x(n) Sinais e Sistemas p.23/39

Sequências Periódicas x(n) é uma sequência periódica de período N: x(n+ N)= x(n) A série de Fourier é uma soma pesada de exponenciais complexas harmónicas: x(n)= a k e j 2π N kn k=<n> Sinais e Sistemas p.23/39

Exponenciais Complexas Discretas N=8 2 π N e j 2π N (k)n = e j 2π N (k+ln)n Sinais e Sistemas p.24/39

Exponenciais Complexas Discretas N=8 2 π N e j 2π N (k)n = e j 2π N (k+ln)n 1 N N 1 n=0 e j 2π N kn = { 1 se k=mn, 0 no caso contrário. Sinais e Sistemas p.24/39

Série de Fourier Discreta (DFS) Análise: a k = 1 N N 1 n=0 x(n)e j 2π N kn Síntese: x(n) = N 1 k=0 a k e j 2π N kn x(n) DFS a k Sinais e Sistemas p.25/39

Propriedade da Linearidade Se e então: x(n) DFS a k y(n) DFS b k Ax(n)+ By(n) DFS Aa k + Bb k Sinais e Sistemas p.26/39

Propriedade do Deslocamento x(n m) x(n)e j 2π N nl a k e j 2π N km DFS DFS a k l Sinais e Sistemas p.27/39

Propriedade do Deslocamento x(n m) x(n)e j 2π N nl a k e j 2π N km DFS DFS a k l O deslocamento temporal só afecta a fase dos coeficientes da DFS. O seu módulo mantém-se inalterável. Sinais e Sistemas p.27/39

Propriedades do Conjugado x (n) x ( n) DFS a k DFS a k Sinais e Sistemas p.28/39

Propriedades de Simetria R[x(n)] DFS a ke = 1 2 [a k+ a k ] ji[x(n)] DFS a ko = 1 2 [a k a k ] x e (n)= 1 2 [x(n)+ x ( n)] DFS R[a k ] x o (n)= 1 2 [x(n) x ( n)] DFS ji[a k ] Sinais e Sistemas p.29/39

Propriedade da Multiplicação x(n) y(n) x(n)y(n) a k DFS b k DFS l=<n> a l b k l DFS Sinais e Sistemas p.30/39

Relação de Parseval A relação de Parseval para sinais periódicos discretos: 1 N n=<n> x(n) 2 dt= k=<n> a k 2 Sinais e Sistemas p.31/39

SLITs Contínuos Se o sinal de entrada contínuo estiver representado na forma de uma série de Fourier, a saída de um SLIT pode ser calculada por: x(t)= + a k e jkω 0t = y(t)= + a k H( jkω 0 )e jkω 0t k= k= em que H( jω) é a resposta em frequência do sistema com resposta impulsiva h(t): H( jω)= + h(t)e jωt dt Sinais e Sistemas p.32/39

SLITs Discretos No caso dos SLITs discretos, se o sinal de entrada estiver representado na forma de uma série de Fourier, podemos determinar a sua saída com: x(n)= a k e jkω0n = y(n)= a k H(e jkω 0 )e jkω 0n k=<n> k=<n> em que H(e jω ) é a resposta em frequência do sistema com resposta impulsiva h(n): H(e jω )= + n= h(n)e jωn Sinais e Sistemas p.33/39

Filtragem Tipos de filtros Filtros de balanceamento em frequência: servem para moldar o espectro de um sinal (por exemplo, o controle de graves e agudos de um amplificador) Sinais e Sistemas p.34/39

Filtragem Tipos de filtros Filtros de balanceamento em frequência: servem para moldar o espectro de um sinal (por exemplo, o controle de graves e agudos de um amplificador) Filtros selectivos em frequência: seleccionam ou removem componentes em frequência do sinal (por exemplo, o ruído de 50 Hz). Sinais e Sistemas p.34/39

Filtros selectivos 1 H( jω) ω c 0 ω c H( jω)= { 1, ω ωc 0, ω >ω c Rejeição Passagem Rejeição Os filtros selectivos apresentam bandas de passagem e bandas de rejeição. Sinais e Sistemas p.35/39

Tipos de Filtros Selectivos Passa-baixo: deixam passar as componentes com frequência abaixo de um dado valor. Sinais e Sistemas p.36/39

Tipos de Filtros Selectivos Passa-baixo: deixam passar as componentes com frequência abaixo de um dado valor. Passa-alto: deixam passar as componentes com frequência acima de um dado valor. Sinais e Sistemas p.36/39

Tipos de Filtros Selectivos Passa-baixo: deixam passar as componentes com frequência abaixo de um dado valor. Passa-alto: deixam passar as componentes com frequência acima de um dado valor. Passa-banda: deixam passar as componentes com frequência dentro de uma dada gama. Sinais e Sistemas p.36/39

Tipos de Filtros Selectivos Passa-baixo: deixam passar as componentes com frequência abaixo de um dado valor. Passa-alto: deixam passar as componentes com frequência acima de um dado valor. Passa-banda: deixam passar as componentes com frequência dentro de uma dada gama. Rejeita-banda: rejeitam as componentes com frequência dentro de uma dada gama. Sinais e Sistemas p.36/39

Conclusões A série de Fourier decompõe uma sequência periódica numa combinação linear de exponenciais complexas com frequências harmónicas. Sinais e Sistemas p.37/39

Conclusões A série de Fourier decompõe uma sequência periódica numa combinação linear de exponenciais complexas com frequências harmónicas. As exponenciais complexas são funções próprias dos SLITs Sinais e Sistemas p.37/39

Conclusões A série de Fourier decompõe uma sequência periódica numa combinação linear de exponenciais complexas com frequências harmónicas. As exponenciais complexas são funções próprias dos SLITs Os coeficientes da série de Fourier do sinal à saída de um SLIT podem ser obtidos multiplicando os coeficientes do sinal de entrada pela resposta em frequência do SLIT. Sinais e Sistemas p.37/39

Conclusões A série de Fourier decompõe uma sequência periódica numa combinação linear de exponenciais complexas com frequências harmónicas. As exponenciais complexas são funções próprias dos SLITs Os coeficientes da série de Fourier do sinal à saída de um SLIT podem ser obtidos multiplicando os coeficientes do sinal de entrada pela resposta em frequência do SLIT. Os filtros são SLITs com uma resposta em frequência apropriada para remoção ou alteração de componentes em frequência do sinal de entrada. Sinais e Sistemas p.37/39

FIM Sinais e Sistemas p.38/39

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