ESFERA 1. (Espcex (Aman) 014) Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm, composta de 1 gomos exatamente Iguais. A superfície total de cada gomo mede: a) b) c) 4 π cm 4 π cm 9 4 π cm 4 π d) cm 9 e) 4 π cm. (Ufpe 01) Um cilindro reto de ferro é derretido, e o ferro obtido, que tem o mesmo volume do cilindro, é moldado em esferas com raio igual à metade do raio da base do cilindro. Se a altura do cilindro é quatro vezes o diâmetro de sua base, quantas são as esferas obtidas?. (Uem 01) Considere uma esfera, um cilindro circular reto e um cone, todos com o mesmo volume. Além disso, a altura do cilindro é igual à metade da altura do cone, e a altura do cone é igual ao raio da esfera. Assinale o que for correto. 01) O raio da base do cone é menor do que o raio da base do cilindro. 0) O raio da base do cone é igual ao dobro do raio da esfera. 04) A altura do cilindro é igual ao diâmetro da esfera. 08) A área da superfície da esfera é igual ao triplo da área da base do cilindro. 16) Se o raio da esfera mede 5 cm, a geratriz do cone mede 5 cm. www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 1
4. (Ufg 01) A figura a seguir representa um modelo esquemático aproximado para a estrutura interna da Terra em camadas concêntricas, da superfície ao centro, indicando as profundidades aproximadas das transições entre as camadas. Segundo modelos sísmicos, acredita-se que uma destas camadas é formada, predominantemente, por minerais metálicos, em altas temperaturas, e por duas partes, uma fluida e outra sólida, devido à altíssima pressão. A fração do volume da Terra ocupada por esta camada está entre a) 1 8 e 1 5 b) 1 5 e 1 4 c) 1 4 e 1 d) 1 e e) e 4 5. (Epcar (Afa) 01) Uma caixa cúbica, cuja aresta mede 0,4 metros, está com água até 7 8 de sua altura. Dos sólidos geométricos abaixo, o que, totalmente imerso nessa caixa, NÃO provoca transbordamento de água é a) uma esfera de raio dm. b) uma pirâmide quadrangular regular, cujas arestas da base e altura meçam 0 cm. c) um cone reto, cujo raio da base meça dm e a altura dm. d) um cilindro equilátero, cuja altura seja 0 cm. 6. (Fgv 01) Um reservatório tem a forma de uma esfera. Se aumentarmos o raio da esfera em 0%, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará a) 60% b) 6,% c) 66,4% d) 69,6% e) 7,8% www.nsaulasparticulares.com.br Página de 1
7. (Unesp 01) Para confeccionar um porta-joias a partir de um cubo maciço e homogêneo de madeira com 10 cm de aresta, um marceneiro dividiu o cubo ao meio, paralelamente às duas faces horizontais. De cada paralelepípedo resultante extraiu uma semiesfera de 4 cm de raio, de modo que seus centros ficassem localizados no cruzamento das diagonais da face de corte, conforme mostra a sequência de figuras. Sabendo que a densidade da madeira utilizada na confecção do porta-joias era de 0,85 g/cm e admitindo π, a massa aproximada do porta-joias, em gramas, é a) 66. b) 64. c) 60. d) 6. e) 68. 8. (Uerj 01) Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de sabão unidas. Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo tamanho, a parede de contato entre elas é plana, conforme ilustra o esquema: Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo raio R, unidas de tal modo que a distância entre seus centros A e B é igual ao raio R. A parede de contato dessas bolhas é um círculo cuja área tem a seguinte medida: πr πr πr 4πR a) b) c) d) 4 www.nsaulasparticulares.com.br Página de 1
9. (Fgvrj 01) Em uma lata cilíndrica fechada de volume bolas de tênis. a) Calcule o volume da lata não ocupado pelas bolas. b) Qual é a razão entre o volume das três bolas e o volume da lata? 5175 cm, cabem exatamente três 10. (Udesc 01) Seja S uma seção de uma esfera determinada pela interseção com um plano, conforme figura. Se S está a cm do centro da esfera e tem área igual a 16π cm, então o volume desta esfera é: a) 6π cm 56π b) cm c) 100 π cm d) e) 16π cm 500π cm 11. (G1 - ifpe 01) Um designer criou pesos para papel usando cubos e esferas. Nas peças criadas a esfera está inscrita no cubo, que tem aresta medindo 6 cm. Para dar um efeito visual, ele colocou na parte interna do cubo, e externa à esfera, um líquido vermelho. Com 1 litro desse líquido o designer pode confeccionar no máximo quantas peças? a) 9 b) 1 c) 18 d) 4 e) 7 www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 1
1. (Uepa 01) A ideologia dominante também se manifesta por intermédio do acesso aos produtos do mercado, sobretudo daqueles caracterizados por tecnologias de ponta. O Cubo Magnético é um brinquedo constituído por 16 esferas iguais e imantadas. Supondo que esse brinquedo possa ser colocado perfeitamente ajustado dentro de uma caixa, também no formato de um cubo, com aresta igual a 0 mm, a razão entre o volume total das esferas que constituem o Cubo Magnético e o volume da caixa que lhe serve de depósito é: π a) 6 π b) 5 π c) 4 π d) π e) 1. (Ufsm 01) Oscar Niemayer é um arquiteto brasileiro, considerado um dos nomes mais influentes na arquitetura moderna internacional. Ele contribuiu, através de uma doação de um croqui, para a construção do planetário da UFSM, um marco arquitetônico importante da cidade de Santa Maria. Suponha que a cobertura da construção seja uma semiesfera de 8 m de diâmetro, vazada por 1 partes iguais, as quais são aproximadas por semicírculos de raio m. Sabendo que uma lata de tinta é suficiente para pintar 9 m de área, qual a quantidade mínima de latas de tinta necessária para pintar toda a cobertura do planetário? (Use π ) a) 0. b) 6. c) 40. d) 5. e) 60. www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 1
14. (Ufg 01) Considere que o planeta Terra é aproximadamente esférico, tendo a linha do Equador um comprimento de, aproximadamente, 40.000 km e que 0% da área do planeta é de terras emersas. Dados: Área da esfera = 4π r Comprimento do círculo = π r π,14 Aproximando a atual população da Terra para um número inteiro de bilhões de pessoas, responda: a) Qual é a densidade demográfica nas terras emersas do planeta? b) Quantos metros quadrados caberiam a cada pessoa, se as terras emersas fossem divididas igualmente entre os habitantes da Terra? (Aproxime para um número inteiro de milhares de metros quadrados). 15. (Unesp 01) Diferentes tipos de nanomateriais são descobertos a cada dia, viabilizando produtos mais eficientes, leves, adequados e, principalmente, de baixo custo. São considerados nanomateriais aqueles cujas dimensões variam entre 1 e 100 nanômetros (nm), sendo que 1 nm equivale a 10 9 m, ou seja, um bilionésimo de metro. Uma das características dos nanomateriais refere-se à relação entre seu volume e sua área superficial total. Por exemplo, em uma esfera maciça de 1 cm de raio, a área superficial e o volume valem 4 π cm e (4/) π cm, respectivamente. O conjunto de nanoesferas de 1 nm de raio, que possui o mesmo volume da esfera dada, tem a soma de suas áreas superficiais a) 10 vezes maior que a da esfera. b) 10 vezes maior que a da esfera. c) 10 5 vezes maior que a da esfera. d) 10 7 vezes maior que a da esfera. e) 10 9 vezes maior que a da esfera. 16. (Enem 01) O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em uma espécie de jaula em forma de uma superfície esférica feita de aço, onde motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um globo da morte e, na Figura, uma esfera que ilustra um globo da morte. Na Figura, o ponto A está no plano do chão onde está colocado o globo da morte e o segmento AB passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao plano do chão. Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão colocado no ponto B e que um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, percorrendo uma circunferência que passa pelos pontos A e B. Disponível em: www.baixaki.com.br. Acesso em: 9 fev. 01. A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor representada por a) b) c) d) e) www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 1
17. (Ufrn 01) Um artesão produz peças ornamentais com um material que pode ser derretido quando elevado a certa temperatura. Uma dessas peças contém uma esfera sólida e o artesão observa que as peças com esferas maiores são mais procuradas e resolve desmanchar as esferas menores para construir esferas maiores, com o mesmo material. Para cada 8 esferas de 10 cm de raio desmanchada, ele constrói uma nova esfera. O raio da nova esfera construída mede a) 80,0 cm. b) 14, cm. c) 8,4 cm. d) 0,0 cm. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: A taça desenhada na figura tem a forma de semiesfera e contém líquido até uma altura de x cm. O volume de líquido contido na taça, em cm, depende da altura atingida por esse líquido, em cm. O gráfico a seguir mostra essa dependência, sendo que os pontos A e B correspondem à taça totalmente vazia e totalmente cheia, respectivamente. 18. (Insper 01) De acordo com os dados do gráfico, a taça tem a forma de uma semiesfera cujo raio mede a) cm. b),5 cm. c) 4 cm. d) 4,5 cm. e) 5 cm. www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 1
19. (Espm 011) Um reservatório de água é constituído por uma esfera metálica oca de 4 m de diâmetro, sustentada por colunas metálicas inclinadas de 60 com o plano horizontal e soldadas à esfera ao longo do seu círculo equatorial, como mostra o esquema abaixo. Sendo 1,7, a altura h da esfera em relação ao solo é aproximadamente igual a: a),40 m b),80 m c),0 m d),40 m e),60 m 0. (Ufsm 011) Um fabricante decidiu produzir luminárias no formato de uma semiesfera com raio de 0 cm. A parte interior, onde será alojada a lâmpada, receberá uma pintura metalizada que custa R$ 40,00 o metro quadrado; já a parte externa da luminária receberá uma pintura convencial que custa R$10,00 o metro quadrado. Desconsiderando a espessura da luminária e adotando o valor de π,14 o custo, em reais, da pintura de cada luminária é a),14. b) 6,8. c) 1,56. d) 18,84. e) 5,1. 1. (Pucsp 011) Um artesão dispõe de um bloco maciço de resina, com a forma de um paralelepípedo retângulo de base quadrada e cuja altura mede 0 cm. Ele pretende usar toda a resina desse bloco para confeccionar contas esféricas que serão usadas na montagem de 180 colares. Se cada conta tiver um 1 cm de diâmetro e na montagem de cada colar forem usadas 50 contas, então, considerando o volume do cordão utilizado desprezível e a aproximação π, a área total da superfície do bloco de resina, em centímetros quadrados é a) 150. b) 1480. c) 1650. d) 170. e) 1850.. (Ucpel 011) Uma esfera metálica de cm de raio é colocada em um congelador e, após algum tempo, acumula uma camada de gelo de cm de espessura, mantendo a forma esférica. Então, o volume do gelo acumulado é a) 198 π cm b) 15 π cm c) d) e) 5 π cm 07 π cm 5 π cm www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 1
. (Uff 011) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola de futebol deve passar por vários testes. Um deles visa garantir a esfericidade da bola: o seu diâmetro é medido em dezesseis pontos diferentes e, então, a média aritmética desses valores é calculada. Para passar nesse teste, a variação de cada uma das dezesseis medidas do diâmetro da bola com relação à média deve ser no máximo 1,5%. Nesse teste, as variações medidas na Jabulani, bola oficial da Copa do Mundo de 010, não ultrapassaram 1%. Se o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%, então o seu volume aumenta x %. Dessa forma, é correto afirmar que a) x [5,6). b) x [,). c) x = 1. d) x [,4). e) x [4,5). 4. (Fuvest 011) A esfera, de centro O e raio r > 0, é tangente ao plano. O plano é paralelo a e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de com e, como vértice, um ponto em, é igual a a) b) c) d) e) r 4 5 r 16 r 8 7 r 16 r www.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 1
5. (Enem ª aplicação 010) Se pudéssemos reunir em esferas toda a água do planeta, os diâmetros delas seriam: A razão entre o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da esfera que corresponde à água doce do planeta é 1 a) 4 1 b) 49 c) 1 7 d) 9 16 e) 16 0 www.nsaulasparticulares.com.br Página 10 de 1
Gabarito: Resposta da questão 1: [A] 60 : 1 = 0 A área total de cada gomo é a soma das áreas de um fuso esférico como as áreas de dois semicírculos. 0 4π 4 π 4 A 60 16π A 16π 64π 4 π A cm. Resposta da questão : Sejam r e h, respectivamente, o raio da base e a altura do cilindro. Como h 4 r 8r, segue que o volume do cilindro é igual a πr 8r 8πr. Sabendo que o raio de cada esfera mede r, podemos concluir que o volume de uma esfera é 4π r πr. 6 Portanto, o número de esferas obtidas é dado por Resposta da questão : 0 + 16 = 18. Sabendo que os volumes são iguais, temos 4 resf r 1 cil hcil rcon h con. Além disso, é dado que hcon hcil r esf. 8πr πr 6 48. www.nsaulasparticulares.com.br Página 11 de 1
[01] Incorreto. Temos 1 rcil hcil rcon hcil rcon r cil, o que implica em r con r cil. [0] Correto. Temos 4 resf 1 rcon resf rcon r esf. [04] Incorreto. Como hcil r esf, segue que esfera. [08] Incorreto. Sabendo que 4 resf resf rcil resf r cil, 8 resf D hcil D, 4 tem-se que a área da superfície da esfera é igual a 4 resf 4 rcil r cil. 8 Por outro lado, a área da base do cilindro é com D sendo o diâmetro da r cil e, portanto, rcil r cil. [16] Correto. De (0), vem r con 5 cm. Logo, sendo g con a geratriz do cone, pelo Teorema de Pitágoras, encontramos g con ( 5) ( 5) gcon 5cm. Resposta da questão 4: [A] A camada terrestre descrita no problema é a barisfera, ou seja, uma esfera de raio r dado por: r = 650 900 = 450 km. Admitindo o raio da esfera R = 6.50km, a razão entre o volume da barisfera e o volume da terra será dada por: 4 π 450 450 0,150 4 6450 π 6450 Logo, 1 x 1. 8 5 www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 1
Resposta da questão 5: [D] Calculando agora o volume de cada sólido dado, temos: Resposta da questão 6: [E] Seja r o raio da esfera. Logo, após aumentarmos r de 0%, teremos 4π 4π (1, r) r 100% (1,78 1) 100% 4π r 7,8%, ou seja, o volume do novo reservatório, em relação ao volume inicial, aumentará 7,8%. Resposta da questão 7: [D] V = Volume do porta-joias V c = Volume do cubo V e = Volume da esfera. V = V c - V e 4 V 10 4 π www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 1
V = 1000 56 V = 744 cm Utilizando a densidade da madeira para encontrar a massa m do porta-joias. m 0,85 m 6,4 g 6 g 744 Resposta da questão 8: [C] No triângulo retângulo assinalado, temos: R.R r R r 4 Logo, a área pedida será:.r. π.r A π.r π 4 4 Resposta da questão 9: a) Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio do cilindro. Como o raio de cada bola é igual ao raio do cilindro e h 6r, temos 175 πr 6r 5175 r. π Daí, segue que o volume de cada bola é igual a 4 4 175 π r π π 1150 cm. Portanto, o resultado é 5175 1150 175cm. b) A razão entre o volume das três bolas e o volume da lata é 450. 5175 www.nsaulasparticulares.com.br Página 14 de 1
Resposta da questão 10: [E] Considere a figura, em que O é o centro da esfera, C é o centro da seção e P um ponto de interseção de S com a esfera. Sabendo que a área da seção é igual a 16π cm, temos que πcp 16π CP 4 cm. Desse modo, como OP é o raio da esfera e OC cm, vem OP OC CP OP 4 OP 5 cm. Portanto, o volume da esfera é dado por 4πOP 4π5 500π cm. Resposta da questão 11: [A] V(líquido) = V(cubo) V(esfera) 4 π. V(líquido) = 6 (considerando π,14 ) V(líquido) = 10,96cm Número de peças com 1 Litro = Resposta: No máximo 9 peças. 1000cm 10,96cm 9,7 www.nsaulasparticulares.com.br Página 15 de 1
Resposta da questão 1: [A] Considere r como sendo o Raio da esfera. 6r 0. Logo, r 5/. Volume de cada esfera: 4 5 15π V π. 6 Razão entre os volumes das 16 esferas e o volume da caixa: 15π 16 6 4500π 5π π. 0 0 0 0 0 0 6 Resposta da questão 1: [B] A = área da semiesfera de raio 14 m: A = área de cada semicírculo lateral: 4 π 14 A 9 π m. π 9π A ' m. Área que será pintada: A A = 9π 9π 1 8π 1014( π ). Número de latas de tinta: 1014 6. 9 Resposta da questão 14: População aproximada da terra = 7.10 9 habitantes. Raio da terra= 40000 π 40000 Área emersa do planeta: 0,0 4 π 1,5 10 km π a) 7 10 9 1,5 10 8 47 habitantes por km 8 b) 8 1,5 10 9 7 10 1000 m www.nsaulasparticulares.com.br Página 16 de 1
Resposta da questão 15: [D] Raio de uma nanoesfera em cm: 10 9 m = 10 7 cm. Volume da nanoesfera em cm : 4 7 4 1 V π. 10 π.10 cm. Número n de nanoesferas necessárias para se obter o volume de uma esfera de 1 cm de raio: n. 4 1.10 cm π = 1 (4/) π n 10. Área superficial das n = 10 1 nanoesferas: vezes maior que a da esfera de raio 1 cm. Resposta da questão 16: [E] 1 7 10 7 4π 10 4π 10, portanto, [D] 10 7 O plano que contém o trajeto do motociclista é perpendicular ao plano do chão, portanto a projeção ortogonal do trajeto do motociclista no plano do chão é um segmento de reta. Resposta da questão 17: [D] 4 O artesão disporá de 8 10 cm π de material ao derreter 8 esferas menores. Com esse material ele poderá construir uma esfera de raio r, tal que 4 4 πr 8 π10 r 10 r 0cm. www.nsaulasparticulares.com.br Página 17 de 1
Resposta da questão 18: [D] Volume da semiesfera da taça 1 4 π R 60,75 π R 91,15 R 4,5 cm. Resposta da questão 19: [C] Considere a figura abaixo. Queremos calcular h PO' OO' OP. AD 10 Temos que O' A 5 m e Logo, AC O' A O'C 5 m. 4 OB m O'C. BC Do triângulo ABC, vem que tgbac ˆ BC tg60 1,7 5,19 m. AC Portanto, h 5,19,19,0 m. www.nsaulasparticulares.com.br Página 18 de 1
Resposta da questão 0: [C] Área de cada uma das partes (interna e externa): A.,14.(0,) 0,51 Logo, o valor total será: 0,51( 40 + 10 ) = R$ 1,56. Resposta da questão 1: [C] Número de esferas = 180 50 9000 4 1 Volume total das esferas = 9000 π 4500cm (considerando π ) Volume do bloco = x x 0 Logo, 0x 4500 x 5 x 15cm Calculando a área total, temos: A 15 15 15 0 15 0 1650 www.nsaulasparticulares.com.br Página 19 de 1
Resposta da questão : [C] Volume da esfera maior: Volume da esfera menor: Volume da camada de gelo: Resposta da questão : [D] 4 V 6 88cm 4 v 6cm V v 5 cm O volume (V) de uma esfera, em função do seu diâmetro (D), é dado por V D. 6 Se o diâmetro tem aumento de 1%, então o volume dessa esfera passa a valer V ' (1,01 D) 1,0001 D 1,0001 V. 6 6 Portanto, 1,0001 V V 0,0001V x% 100%,0% [, 4). V V Resposta da questão 4: [E] V V = 1 A b.h V = 1 6.r..r 4 r V= www.nsaulasparticulares.com.br Página 0 de 1
Resposta da questão 5: [A] Sejam V ds e V, d respectivamente, o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da esfera que corresponde à água doce do planeta. A razão pedida é dada por 4 r V ds ds rds 9 1 1. V 4 d r rd 0 7 4 d www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 1