2 PROBABILIDADE Há várias definições para probabilidade. As três mais utilizadas são: Clássica, Frequentista e Axiomática Definição 2.1 (Clássica): Seja A um evento e Ω o espaço amostral finito, então se todos os resultados elementares de Ω sao equiprováveis a medida da probabilidade de ocorrência do evento P (A) = #A #Ω em que #A é a cardinalidade de A e #Ω é a cardinalidade de Ω Definição 2.2 (Frequentista): Seja A um evento, então n A P (A) = lim n n em que n A é o número de ocorrências do evento A em n realizações. A definição frequentista baseia-se na frequência relativa de um número grande n. Definição 2.3 (Axiomática - Axiomas de Kolmogorov): Probabilidade ou medida de probabilidade na σ-algebra F e a função P, definida em F, e que satisfaz os axiomas seguintes: 1. Para algum A F, existe um numero P (A) 0 2. P (Ω) = 1 3. (Aditividade finita). Se A 1, A 2,.., A n F são disjuntos (2 a 2), então ( n ) P A i = n P (A i ) Os eventos são disjuntos, ou disjuntos 2 a 2, se são mutuamente exclusivos, ou seja, A i A j = se i j
Probabilidade 2 2.1 ESPAÇOS DE PROBABILIDADE Definição 2.4: A tripla (Ω, F, P ) é um espaço de probabilidade se Ω é um espaço de amostral F é uma σ-álgebra dos subconjuntos (eventos) mensuráveis de Ω P é uma medida de probabilidade que satisfaz os axiomas de Kolmogorov. Intuitivamente quando se modela uma problema através de probabilidade, basicamente, o que se faz é especificar cada uma das componentes da tipla (Ω, F, P ), em que: Os eventos são os elementos de F, aos quais se pode atribuir probabilidade. Probabilidade é uma função cujo argumento é um conjunto. Portanto, não somente conjuntos, como também as operações sobre eles, têm uma importância fundamental em teoria da probabilidade. 2.2 PROPRIEDADES DE PROBABILIDADE Teorema 2.1 (Propriedades de probabilidade): Dado um espaço de probabilidade (Ω, F, P ) e considerando os eventos abaixo nesse espaço, tem-se as propriedades de probabilidade 1. P (A c ) = 1 P (A) 2. P ( ) = 0 3. 0 P (A) 1 (Consequência do Axioma 1 e Propriedade 1) 4. Se A 1 A 2 então P (A 1 ) P (A 2 ) 5. P (A 1 A 2 ) P (A 1 ) + P (A 2 ) 6. Regra da Adição de Probabilidades P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) P (A 1 A 2 ) Exemplo 2.1: Um aluno leva dois livros para ler durante as férias. A probabilidade de ele gostar do primeiro livro é de 0,5, de gostar do segundo livro é de 0,4 e de gostar de ambos os livros é de 0,3. Qual é a probabilidade de que ele não goste de nenhum dos livros? Seja o evento L i "Gostar do livro i". Então temos os seguintes eventos: gostar somente do livro 1 L 1 gostar somente do livro 1 L 2
Probabilidade 3 gostar de ambos os livros é L 1 L 2. gostar de pelo menos um livro L 1 L 2. não gostar de nenhum livro L c 1 L c 2. Assim, P (L c 1 L c 2) = P ((L 1 L 2 ) c ) = 1 P ((L 1 L 2 )) P ((L 1 L 2 )) = P (L 1 ) + P (L 2 ) P ((L 1 L 2 )) = 0, 5 + 0, 4 0, 3 = 0, 6 P (L c 1 L c 2) = 1 0, 6 = 0, 4 Exemplo 2.2: Considere o lançamento de um dado viciado, no qual a probabilidade de um numero ser impar é 0,6 e a probabilidade de um numero ser menor ou igual a 4 é 0,64. Qual é a probabilidade de se obter o numero "seis"? Sejam os eventos: A: o numero ser impar A = {1, 3, 5} B: o numero ser menor ou igual a 4 A = {1, 2, 3, 4} C: o numero ser igual a 6 Então temos que: C = (A B) c P (C) = P (A B) c = 1 P (A B) Assim, P (C) = 1 (P (A) + P (B) P (A B)) = 1 (0, 60 + 0, 64 P (A B)) = 1 1, 24 + P (A B) = P (A B) 0, 24 Não conhecemos P (A B), desta forma não é possível obter a probabilidade exata do evento C, mas como (A B) B, assim P (A B) P (B), ou seja P (A B) 0, 64. Assumindo P (A B) = 0, 64, temos P (C) = 0, 64 0, 24 = 0, 40 Assim 0 P (C) 0, 40
Probabilidade 4 2.3 PROBABILIDADE CONDICIONAL Definição 2.5: Seja (Ω, F, P ) um espaço de probabilidade. Se A e B F e P (B) > 0, então a probabilidade condicional de A dado B é definida por: P (A B) = P (A B) P (B) por Observações: Se A e B forem mutuamente exclusivos, então A B =, desse modo P (A B) = 0 Se B A então P (A B) = 1 É possível verificar que, para P (B) > 0, a função P 1 aplicada em conjuntos F B é definida P 1 (A) = P (A B) P (B) satisfaz os Axiomas de Kolmogorov sendo assim uma probabilidade. Desse modo, construímos um novo espaço de probabilidade (B, F B, P 1 ) partindo do original (Ω, F, P ). Consequentemente as propriedades de probabilidade são mantidas, por exemplo P (A c B) = 1 P (A B) Com o conceito de probabilidade condicionada é possível apresentar uma maneira de se calcular a probabilidade da interseção de dois eventos A e B em função destes eventos. Esta expressão é denominada de teorema da multiplicação P (A B) = P (B)P (A B) = P (A)P (B A) Exemplo 2.3: Em uma cidade onde se publicam três jornais A, B e C, constatou-se que entre 1000 famílias, os assinantes se dispõem da seguinte forma Jornais A B C A e B A e C B e C A e B e C Numero de familias 140 230 370 80 90 130 50 Qual a probabilidade de: a) Uma familia assinar o jornal A, dado que assinou o jornal B? P (A B) = P (A B) P (B) = 80/1000 230/100 = 80 230 = 0, 3478
Probabilidade 5 b) Uma familia assinar o jornal A, dado que assina pelo menos um dos outros2 jornais? P (A B C) = P (A (B C) P (B C) P (A (B C) = P ((A B) (A C)) = P (A B) + P (A C) P (A B C) = 80 + 90 150 1000 = 120 1000 P (B C) = P (B) + P (C) P (B C) = P (A B C) = 120 470 = 0, 2553 230 + 370 130 1000 = 470 1000 c) Uma familia assinar o jornal A, dado que assina pelo menos um dos 3 jornais? Exemplo 2.4: Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P (A) = P (B) = P (C) = 1/4, P (A B) = P (C B) = 0 e P (A C) = 1/8. Calcule a as seguintes probabilidades: a) P (A B) P (A B) = 0 pois P (A B) = 0 b) P (A C) P (A C) = P (A C) P (C) = 1/8 1/4 = 1 2 c) P (A (B C)) Temos que A (B C) = (A B) (A C) = (A C) = (A C) Assim P (A (B C)) = P (A C) = 1 8 2.3.1 Independência Definição 2.6: Seja o espaço de probabilidade (Ω, F, P ). Os eventos aleatórios A e B são independentes (estocastimente) se: P (A B) = P (A)P (B) Da definição de independência verifica-se que os eventos A e B sao independentes se P (A B) = P (A) e P (B A) = P (B)
Probabilidade 6 Exemplo 2.5: Se A e B são independentes, P (A) = 1 e P 3 (Bc ) = 1, determine P (A B) 4 P (B) = 1 P (B c ) = 1 1 4 = 3 4 P (A B) = P (A)P (B) = 1 3 3 4 = 1 4 P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 1 3 + 3 4 1 4 = 5 6 Quando dois eventos são independentes, a ocorrência de um não exerce nenhuma influência na probabilidade de ocorrência do outro Exemplo 2.6: Se P (A) = 1, P 2 (Bc ) = 1 e P (A B) = 3, A e B são independentes? 4 4 Logo os eventos não são independentes P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 3 4 = 1 2 + 1 P (A B) 4 3 4 = 3 P (A B) 4 P (A B) = 0 Teorema 2.2: Se A e B são independentes, então A e B c ; A c e B; A c e B c também são independentes. Definição 2.7: Os eventos aleatórios A 1, A 2,..., A n,são: independente dois a dois (pares) se P (A i A j ) = P (A i )P (A j ) coletivamente independentes se P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 )...P (A n ) Independência a pares não implica independência coletiva.
Probabilidade 7 Exemplo 2.7: Seja Ω = {w 1, w 2, w 3, w 4 } e P (W ) = 1 para todo w Ω. Sejam os eventos 4 A = {w 1, w 4 }, B = {w 2, w 4 } e C = {w 3, w 4 }. Então temos P (A) = P (B) = P (C) = 1 4 + 1 4 = 1 2 P (A B) = 1 4 P (A C) = 1 4 P (B C) = 1 4 = P (A)P (B) = P (A)P (C) = P (B)P (C) Então os eventos são independentes dois a dois, mas 2.3.2 Teorema de Bayes P (A B C) = 1 4 P (A)P (B)P (C) = 1 1 1 2 2 2 = 1 8 P (A B C) P (A)P (B)P (C) Definição 2.8: Uma partição do espaço amostral Ω é uma família de conjuntos A 1, A 2,..., A n mutuamente exclusivos, isto é: n A i = Ω A i A j =, para todo i j Teorema 2.3 (Teorema da Probabilidade Total): Se a sequencia de eventos aleatórios A 1, A 2,..., A n forma uma partição do espaço amostral Ω, então a probabilidade de um evento B contido em Ω e dada por P (B) = n P (A i )P (B A i ) Teorema 2.4 (Formula de Bayes): Se a sequencia de eventos aleatóriosa 1, A 2,..., A n forma uma partição do espaço amostral Ω, então P (A i B) = P (A i)p (B A i ) j P (A ij)p (B A j ) Exemplo 2.8: 8) Apenas uma em cada dez pessoas de uma população tem tuberculose. Das pessoas que tem tuberculose 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto apenas 30% dos que não tem tuberculose reagem positivamente. Uma pessoa da população e selecionada ao acaso e o teste Y é aplicado.
Probabilidade 8 a) Qual a probabilidade de que essa pessoa tenha tuberculose, se reagiu positivamente ao teste? Sejam os eventos: A o teste Y reagiu positivamente N o teste Y reagiu negativamente T a pessoa tem tuberculose NT a pessoa não tem tuberculose P (T ) = 1 10 = 0, 1 P (NT ) = 9 10 = 0, 9 P (A T ) = 0, 8 P (N T ) = P (A c T ) = 1 P (A T ) = 1 0, 8 = 0, 20 P (A NT ) = 0, 3 P (N NT ) = P (A c NT ) = 1 P (A NT ) = 1 0, 30 = 0, 70 P (A) = P (T A) + P (NT A) = P (A T )P (T ) + P (A NT )P (NT ) = 0, 80 0, 10 + 0, 30 0, 90 = 0, 08 + 0, 27 = 0, 35 P (T A) = P (T A) 0, 08 = = 0, 2286 P (A) 0, 35 b) Qual a probabilidade de que essa pessoa não tenha tuberculose, se reagiu negativamente ao teste? 2.4 EXERCÍCIOS 2.4.1 Teóricos 2.1) Mostre que para quaisquer A 1, A 2,.., A n F ( n ) P A i n P (A i ) 2.2) Mostre que: a) P (A 1 A 2 A 3 ) = P (A 1 )+P (A 2 )+P (A 3 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1 A 3 ) P (A 2 A 3 )+P (A 1 A 2 A 3 )
Probabilidade 9 b) P (A 1 A 2.. A n ) = n P (A i ) P (A i A j ) + P (A i A j A k )... j=1 i<j i<j<k +( 1) n+1 P (A 1 A 2.. A n ) c) P ( n i A i ) = P (A 1 )P (A2 A 1 )P (A3 A 1 A 2 )...P (A n A 1 A 2... A n 1 ) 2.3) Seja A B. Expresse as seguintes probabilidades da forma mais simples possível. P (A B), P (A B c ), P (B A), P (B A c ) 2.4) Se A i, i = 1, 2, 3,... são mutuamente exclusivos, mostre que: ( ) P A i B = P (A i B) 2.5) Seja P uma probabilidade sobre um espaço amostral e suponha que A é um evento com 0 < P (A) < 1. Mostre que A e B são independentes se e somente se P (B A) = P (B A c ). 2.6) Os eventos A, B e C são independentes. Prove que P (B A C) = P (B A C) = P (B). 2.7) Demonstre ou dê um contra exemplo: a) Se A é independente de B, e A é independente de C, então A é independente de B C b) Se A é independente de B, e A é independente de C, com B C = então A é independente de A B 2.8) Seja A um evento qualquer, mostre que: a) A e são independentes b) A e Ω são independentes 2.9) Demonstre que se P (B A c ) = P (B A), então P (B A) = P (B) 2.4.2 Práticos 2.1) Considere um círculo inscrito em um triângulo equilátero. Pergunta-se a) Se um inseto pousar no círculo, qual a probabilidade de que tenha pousado também no triangulo?
Probabilidade 10 b) Se um inseto pousar no triangulo, qual a probabilidade de que tenha pousado também no circulo? 2.2) Durante um período de 24 h, em algum momento X, uma chave é posta na posição "ligada". Depois em algum momento futuro Y (dentro do período de 24h) a chave é virada para a posição "desligada". Suponha que X e Y sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, com o início do período na origem da escala. O resultado do experimento é constituído pelo par de números (X, Y ). a) Descreva o espaço amostral. b) Descreva e marque no plano XY os seguintes eventos: 1. O circuito está ligado por uma hora ou menos. 2. O circuito está ligado no tempo Z, onde Z é algum instante no período de 24 h. 3. O circuito é ligado antes do tempo t 1 e desligado depois do tempo t 2 (t1 < t2) são 2 instantes durante o período de 24 h especificado). 4. O circuito permanece ligado 2 vezes mais tempo do que desligado 2.3) A probabilidade de um estudante ter o cartão de credito A é 0,5, de ter o cartão de credito B é 0,4 e de ter ambos os cartões é 0,25. Determine a probabilidade de: a) Um estudante ter pelo menos um dos dois cartões. b) Um estudante não ter nenhum dos dois cartões. 2.4) Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, e tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Qual a probabilidades de A ou C vencer?. 2.5) Escolha um ponto, ao acaso, no círculo unitário com centro na origem. Qual é a probabilidade da distância desse ponto à circunferência, que limita o círculo, ser inferior a 1/2. 2.6) Suponha que A e B sejam eventos independentes associados a um experimento. Se a probabilidade de A ou B ocorrerem for igual a 0,6 enquanto a probabilidade de ocorrência de A for igual a 0,4 determine a probabilidade da ocorrência de B. 2.7) Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P (A) = 0, 4 enquanto P (A B) = 0, 7. Seja P (B) = p. a) Para qual valor de p, A e B serão mutuamente excludentes? b) Se A e B não são disjuntos, para qual valor de p, A e B são independentes?
Probabilidade 11 2.8) As probabilidades de três motoristas serem capazes de guiar até em casa com segurança, depois de beber, são de 1, 1 e 1, respectivamente. Se decidirem guiar até em casa, depois de 3 4 5 beber numa festa, qual a probabilidade de todos os três motoristas sofrerem acidentes? Qual a probabilidade de pelo menos um dos motoristas guiar até em casa a salvo? 2.9) Sendo P (A) = 1 e P (A B) = 3, determine P (B) no seguintes casos: 2 4 a) A e B são independentes b) A e B são disjuntos c) A está contido em B 2.10) A probabilidade de fechar o i-ésimo rele em um circuito é dado por p i, i = 1, 23, 4 e 5. Se todos os reles funcionam independentemente. Qual a probabilidade da corrente passar entre os pontos A e B. 2.11) Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90% dis duas en que faz bom tempo. Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva, qual a probabilidade de chover? 2.12) Considere dois eventos A e B tais que: P (A) = 1 4, P (B A) = 1 2, P (A B) = 1 4 a) A e B são mutuamente excludentes? b) A e B são independentes? c) Determine P (A c B c ), P (A c B) + P (A B) e P (A B c ) 2.13) Um sistema é composto de três componentes 1, 2 e 3, com confiabilidade 0,9; 0,8 e 0,7, respectivamente. O componente 1 é indispensável ao funcionamento do sistema; se 2 ou 3 não funcionam, o sistema funciona, mas com um rendimento inferior. A falha simultânea de 2 e 3 implica o não funcionamento do sistema. Supondo que os componentes funcionem independentemente, calcular a confiabilidade do sistema. 2.14) Uma válvula a vácuo pode provir de 3 fabricantes, com probabilidade 0,25; 0,50 e 0,25. As probabilidades de que, durante determinado período de tempo, a válvula funcione bem são, respectivamente, 0,1; 0,2 e 0,4, para cada um dos fabricantes. Calcule a probabilidade de que uma válvula escolhida ao acaso funcione bem durante o período de tempo especificado.
Probabilidade 12 2.15) Um treinador de basquete tem duas jogadas em mente que podem ser úteis em momentos decisivos de uma partida. Ele acha que a probabilidade de que a jogada de ataque dê certo é de 0.5. Se a jogada de ataque dá certo, a chance do time roubar a bola na defesa é de 0,75; caso contrário, a probabilidade se reduz a 1/3. Determine: a) a probabilidade do time conseguir sucesso nas duas jogadas; b) a probabilidade de ambas jogadas darem errado; c) a probabilidade de somente a jogada de defesa ser bem sucedida. 2.16) Considere três conjuntos A, B e C, sendop (A) = P (B) = P (C) = 1/4, P (A B) = 1/8, P (A C) = P (B C) = 0. Determine a probabilidade de: a) somente um dos eventos ocorrer b) todos os eventos ocorrerem c) nenhum dos eventos ocorrer.