Controlo por Computador 25 Computer Control Parts, 2 J. Miranda Lemos Professor Catedrático do IST 205
Controlo por Computador 26 Programa da disciplina:. Estrutura de um sistema de Controlo por Computador 2. Modelos em Controlo por Computador 3. Identificação de modelos 4. Projecto de controladores
Controlo por Computador 27. Estrutura de um Sistema de Controlo por Computador Objectivo: Dar uma perspectiva sobre os temas abordados na disciplina e enquadrá-la no âmbito do controlo por computador. 3Franklin, Powell, Workman, Digital Control of Dynamic Systems, 3rd ed., cap
Controlo por Computador 28 Seguimento de um objecto com o robot NXT da LEGO d r Software Distância desejada r + - Erro e K=4 Comando do motor u Perurbação Motor e caixa de velocidade Velocidade v Sistema físico Relação entre a velocidade e a posição integral Distância d Sensor de distância
Controlo por Computador 29 r d e Tempo Software Distância desejada r + - Erro e K=4 Comando do motor u Perurbação Motor e caixa de velocidade Velocidade v Sistema físico Relação entre a velocidade e a posição integral Distância d u=ke Sensor de distância Aumentando o ganho K o excitação u do motor aumenta e o robot responde mais rapidamente.
Controlo por Computador 30 Exemplo simples: Modelo matemático do robot NXT Objectivo: Modelar o NXT a deslocar-se ao longo de uma recta, para ir para uma posição desejada num sistema de coordenadas fixado x a posição do NXT R a posição desejada Partimos o tempo às tiras de duração h Observamos a posição nos instantes 0 posição inicial, h, 2h, 3h,..., nh,... nh representa um instante de tempo genérico em que observamos o NXT Pretendemos relacionar as posições do NXT em instantes diferentes.
Controlo por Computador 3 Gráfico da posição do NXT em função do tempo x xn-h xnh x0 0 h 2h 3h 4h...... n-h Tempo Posição actual = Posição anterior + velocidade intervalo de tempo xn + h = xnh + αunhh u é o comando do motor 0 a 00%; αu é a velocidade do carro nh
Controlo por Computador 32 Qual o valor do parâmetro α? Fazem-se ensaios com o NXT. Observa-se que u = 00% corresponde a uma velocidade de m/s Logo 00 α = Logo α = 0,0
Controlo por Computador 33 Modelo do movimento do NXT: xn + h = xnh + αunhh Descrição do algoritmo de controlo Erro de seguimento diferença entre a posição desejada e a medida: enh = R xnh Comando do motor unh = Kenh Modelo do sistema controlado sistema em cadeia fechada xn + h = xnh + αkhr xnh
Controlo por Computador 34 Equações de diferenças xn + h = xnh + αkhr xnh xn + h = αkhxnh + αkhr Um caso concreto: α = 0,0 h = K = 60 então αkh = 0,6 e αkh = 0,4 A equação de diferenças fica xn + = 0,4xn + 0,6R Se soubermos a posição inicial x0 e o valor da posição desejada R, podemos calcular sucessivamente x a partir de x0, x2 a partir de x, x3 a partir de x2,...
Controlo por Computador 35 xn + = 0,4xn + 0,6 x0 = 0 x = 0,4x0 + 0,6 = 0,4 0 + 0,6 = 0,6 x2 = 0,4x + 0,6 = 0,4 0,6 + 0,6 = 0,84 x3 = 0,4x2 + 0,6 = 0,4 0,84 + 0,6 = 0,936 x4 = 0,4x3 + 0,6 = 0,9744 x5 = 0,4x4 + 0,6 = 0,98976 O melhor é usar um computador e uma linguagem como o MATLAB.
Controlo por Computador 36 Ponto de equilíbrio Podemos calcular o valor de equilíbrio em que passou muito tempo e a posição fica constante: Para a equação Este ponto satisfaz Ou seja xn + xn = x xn + = 0,4xn + 0,6R x = 0,4x + 0,6R x = 0,6 R = R 0,4
Controlo por Computador 37 Estabilidade Podemos mostrar que o erro tende para zero quando o tempo aumenta? Vamos obter uma equação para o erro e resolvemo-la. xn + h = xnh + αkhr xnh Multiplicamos ambos os membros desta equação por e somamos R a ambos os membros: R xn + h = R xnh αkhr xnh Usamos a definição do erro en + h = enh αkhenh en + h = [ Khα]enh
Controlo por Computador 38 Equação de erro en + h = [ Khα]enh Solução da equação de erro enh = e0 Khα n
Controlo por Computador 39 Equação de erro en + h = [ Khα]enh Solução da equação de erro enh = e0 Khα n Condição de estabilidade Khα < 0 < K < 2 hα Condição para que não haja oscilações 0 < K < hα
Controlo por Computador 40 Controlo por Computador Sinal de comando Sinal de comando do actuador Porto de Saída D/A u y Controlador Sistema a Controlar Variável Física de Porto de Entrada A/D Sensor saída Computador de Controlo Sinal proporcional à variável
Controlo por Computador 4 Sinal a amostrar Relógio Conversor A/D CC Hardware de aquisição de dados simplificado Impulsos do relógio b0 b b7 Porto de entrada Microcomputador INT Ao receber um impulso de relógio, o conversor A/D retém uma amostra do sinal e inicia a sua conversão para um número binário. Quando os bits b0 a b7 atingem o valor correcto, o sinal de conversão completa CC é activado e o pino de nterrupção do microcomputador é actuado. Se as interrupções não estiverem inibidas, a subrotina de interrupção começa a ser executada, sendo efectuada a leitura do porto de entrada, onde estão ligados os pinos do A/D.
Controlo por Computador 42 Estrutura do software para Controlo Digital cadeia de controlo Salta quando chega uma interrupção do relógio ->Inibe interrupções Programa principal ->Lê y no porto de entrada, ligado ao A/D ->Cálcula o controlo u ->Escreve u no porto de saída ligado ao D/A ->Desinibe interrupções ->Retorna ao programa principal
Controlo por Computador 43 Diagrama temporal do controlo por computador Sinal gerado pelo Relógio Activa interrupções no flanco ascendente Interrupção do relógio tn Lê y no A/D utn- Atraso de cálculo Calcula utn Variável Manipulada Intervalo de amostragem Escreve utn no D/A utn Espera nova interrupção Interrupção do relógio tn+ O computador apenas considera as variáveis nos instantes de amostragem; Há um atraso devido ao cálculo e aos tempos de conversão A/D e D/A
Controlo por Computador 44 Repare-se que: A variável manipulada u é constante por troços Isto significa que entre dois instantes de amostragem o sistema está a trabalhar em cadeia aberta, o que impõe um limite máximo ao intervalo de amostragem Existe um atraso entre o instante t n em que chegou a interrupção, e o instante em que se colocou o valor do controlo u no D/A. Este atraso é devido ao tempo de cálculo de u. O atraso de cálculo pode considerar-se desprezável se for muito pequeno relativamente ao intervalo de amostragem. Se o atraso de cálculo não for pequeno relativamente ao intervalo de amostragem, então deve ser tido em conta no modelo do processo como um atraso adicional.
Controlo por Computador 45 Objectivos de Controlo Sinal de comando Sinal de comando do actuador Perturbações Variável Física a controlar Porto de Saída Controlador D/A u Sistema a Controlar y Os objectivos de controlo dizem respeito à capacidade de efectuar as manobras Porto de Entrada Computador de Controlo A/D Sensor desejadas, tendo em conta a dinâmica do processo e as perturbações.
Controlo por Computador 46 Objectivos de controlo exemplos Manter y no valor desejado, mesmo em presença de perturbações regulação; Seguir referências para y, mesmo em presença de perturbações seguimento de trajectórias Estabilizar o sistema controlado; Impôr uma dinâmica conveniente ao sistema controlado; Optimizar o sistema por exemplo minimizar o consumo de energia, mantendo os objectivos - Controlo Óptimo!; Manter um comportamento constante do sistema controlado, mesmo face a variações da dinâmica Controlo Adaptativo
Controlo por Computador 47 Exemplo: Controlador Digital com acção integral Problema: Como actuar no comando do motor do avião para manter o impulso constante? Solução: Controlo proporcional R + - e K u y Será que, em regime estacionário, o impulso é igual ao impulso desejado? Repare-se que não. Se assim for o erro e será nulo e o comando será zero, ou seja o motor pára.
Controlo por Computador 48 Solução para erro estático nulo: Efeito integral Integrador R + e K sti u y - Quando o erro é nulo, a saída do integrador fica constante mas não necessariamente nula.
Controlo por Computador 49 A equação que descreve o controlador PI é: e r y t u t K e t T e d 0 Quando o erro é nulo o controlo vem dado pelo valor do integrador. As constantes K e T i são os ganhos do controlador, podendo ser escolhidas, por exemplo, de acordo com as regras de Ziegler e Nichols, ou outras mais adequadas. Desafio: usando a transformada de Laplace, mostre que se o controlador tiver um integrador pólo na origem o erro estático de seguimento é nulo. i
Controlo por Computador 50 R Uma revisão breve: Controlo por realimentação W U y Ks Gs - v Y cl KG KG R G W KG KG V KG KG é o ganho de malha
Controlo por Computador 5 O controlador Ks é projectado por forma a moldar o ganho de malha: Y cl Especificação relativa ao seguimento da referência e rejeição das perturbações KjwGjw KG G R W KG KG KG V KG Especificação devida ao ruído: Atenuação na alta frequência Para que o quadro seja completo temos de considerar a estabilidade e a incerteza no conhecimento do modelo.
Controlo por Computador 52 Como implementar em computador as equações do controlador PI? e r y Considere-se a equação do integrador: t u t K e t T e d 0 t u t T e d i 0 Derivando ambos os membros da equação: du dt i u nh u n h h i du dt i i T e t i
Controlo por Computador 53 Isto resulta nas seguintes equações de diferenças para o Algoritmo PI digital: enh = r ynh h u nh u n h T e nh i i u nh K u nh e nh n é o instante de amostragem número inteiro h é o interval de amostragem normalmente é omitido i i
Controlo por Computador 54 Pseudocódigo para PI digital No início de cada intervalo de amostragem, executar recursivamente:. Ler no porto de entrada ligado ao A/D a variável y 2.Calcular o erro e r y 3.Calcular a variável manipulada u por u i u ianterior u K u e i h T e i em que u ianterior é a saída do integrador no instante de amostragem anterior 4. Escrever u no porto de saída ligado ao D/A 5. Fazer u u ianterior 6. Esperar nova interrupção i
Controlo por Computador 55 Motivação para o Controlo Adaptativo Há situações em que a dinâmica do sistema a controlar varia ao longo do tempo. Isto pode ser devido, por exemplo, à existência de não linearidades nos actuadores ou no próprio sistema. Neste caso, a dinâmica linearizada vai variar com o ponto de trabalho por exemplo com a velocidade de equilíbrio. Pode ainda acontecer que a dinâmica varie devido a factores como o envelhecimento ou alterações do ambiente ou outros factores. Nesta situação, a afinação do controlador adequada a um ponto de trabalho pode não o ser para outro.
Controlo por Computador 56 Exemplo: Válvula não linear R + - Controlador PI Actuador Sistema u K+ Ti s f. Gs e y f u u 4 G s s 3 K 05. T i A resposta do sistema controlado depende do ponto de funcionamento. Um controlador bem afinado para um ponto de funcionamento pode não estar bem afinado para outro.
Controlo por Computador 57 As figuras seguintes mostram a resposta a um escalão na referência de amplitude 0., para duversos pontos de funcionamento, com um PI sintonizado em torno de r=0.2. 0.4 3.3 5.3 0.35 0.3 3.25 3.2 3.5 5.25 5.2 5.5 0.25 3. 5. 0.2 0.5 3.05 3 2.95 5.05 5 4.95 0. 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 00 2.9 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 00 4.9 0 0 20 30 40 50 60 70 80 90 00
Controlo por Computador 58 Exemplo de variação da dinâmica numa aeronave Num avião a dinâmica linearizada altera-se com as condições de voo. A figura mostra a dependência dos valores próprios do sistema com a velocidade de equilíbrio Extraída de Neves da Silva, R. 994. Controlo de Aeronave não tripulada usando técnicas LQG/LTR de ganho variável Tese de Mestrado, IST - Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores.
Controlo por Computador 59 Devido à variação da dinâmica com as condições de voo, utilizando um controlador de ganhos fixos, pode ter-se um bom comportamento numa gama de funcionamento e um mau funcionamento noutras zonas. Exemplo do controlo do ângulo de pitch com um controlador fixo quando a velocidade aumenta progressivamente:.extraído de Rato, L. M. 994. Técnicas de Controlo Adaptativo aplicadas a uma aeronave não tripulada Tese de Mestrado, IST - Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Controlo por Computador 60 Uma possibilidade consiste em adaptar os ganhos para compensar alterações da dinâmica devidas a variações da velocidade: Adaptador Ajuste dos ganhos do controlador Controlador u y
Controlo por Computador 6 O bloco Adaptador por ser obtido de vários modos: Tabela que altera os ganhos do controlador de um modo fixo, para cada valor de velocidade. Esta técnica denomina-se gain-schedulling. Identificação da dinâmica com o método dos mínimos quadrados, refazendose o cálculo dos ganhos repetidamente, em tempo real. Esta técnica denomina-se Controlo Adaptativo.
Controlo por Computador 62 "Gain-scheduling" V O valor da variável manipulada em Controlador V baixo x V V cada instante resulta resulta da combinação linear das variáveis calculadas pelos vários u Controlador V médio x V + u controladores. Por exemplo, a velocidades baixas, o V controlador respectivo é multiplicado Controlador V alto x V por um peso próximo de enquanto o controlador de velocidades altas é multiplicado por zero.
Controlo por Computador 63 Controlo Adaptativo vs. "Gain Scheduling" A solução do controlo de sistemas variáveis no tempo por "gain scheduling" é útil em muitas situações mas levanta problemas quando: Não é possível conhecer a priori qual o controlador a utilizar numa dada situação; É necessário recorrer a um número muito elevado de controladores. Uma outra possibilidade, que se estuda neste curso é o Controlo adaptativo.
Controlo por Computador 64 Controlo Adaptativo Numa das famílias de Controlo Adaptativo, o Adaptador é constituído por dois blocos: Identificador, que estima continuamente os parâmetros e. g. a posição dos pólos, dos zeros e o ganho de um modelo, a partir dos dados de entrada e saída medidos. Projecto do Controlador, que recalcula continuamente os ganhos do controlador tendo em conta as novas estimativas do modelo. Deste modo, quando a dinâmica do sistema se altera, o identificador dá conta desse facto e os ganhos do controlador são alterados para frazer face à nova situação.
Controlo por Computador 65 No caso do exemplo do controlo do ângulo de pitch, é possível, recorrendo ao Controlo Adaptativo, obter uma resposta com características razoavelmente constantes quando a velocidade varia de 0 a 40 m/s: Extraído de Rato, L. M. 994. Técnicas de Controlo Adaptativo aplicadas a uma aeronave não tripulada Tese de Mestrado, IST - Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Controlo por Computador 66 Isto é possível graças ao ajuste dos ganhos do controlador efectuado pelo adaptador: Extraído de Rato, L. M. 994. Técnicas de Controlo Adaptativo aplicadas a uma aeronave não tripulada Tese de Mestrado, IST - Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores. O adaptador actualiza constantemente o modelo melhor ajustado aos dados e recalcula os ganhos do controlador de acordo com esta estimativa do modelo.
Controlo por Computador 67 2 - Modelos para Controlo por Computador Objectivo: Introduzir a classe de modelos digitais que são empregues nesta disciplina para o projecto de controladores Bibliografia: Astrom e Wittenmark, CCS, Cap. 3, em especial as secções 3.2, 3.4, 3.5, 3.6 e 3.7 Franklin, Powell, Workman, Digital Control of Dynamic Systems, 3rd ed., caps. 3 a 6.
Controlo por Computador 68 SLITs em tempo discreto SLITs - Sistemas Lineares e Invariantes no tempo discreto uk SLIT yk Linearidade vale o Princípio de Sobreposição: u k y k u k y k 2 2 au k bu k ay k by k 2 2
Controlo por Computador 69 Invariância no tempo: u k y k u k k y k k 0 0
Controlo por Computador 70 Descrição de SLITs por equações de diferenças Equação de diferenças linear de coeficientes constantes: Coeficientes da Equação y k n ay k n any k Ordem da Equação b u k m b u k m b u k 0 m
Controlo por Computador 7 n Condições iniciais especificadas: y n y 0 Mostre que: A equação de diferenças linear, de coeficientes constantes descreve um sistema linear e invariante no tempo A solução da equação de diferenças com n condições iniciais especificadas existe e é única
Controlo por Computador 72 Exemplo de equações de diferenças yk + = 0,5yk + uk, Condição inicial y0 = 0 Resposta ao escalão k uk yk 0 0 condição inicial + 0,5 0 = 2 + 0,5 =,5 3 + 0,5,5 =,75 4 + 0,5,75 =,875 5 + 0,5,875 =,9375 6 + 0,5,9375 =,96875 Qual o número de que a saída se aproxima equilíbrio?
Controlo por Computador 73 Equilíbrio: yk + = 0,5yk + uk No equilíbrio, y é constante, pelo que y = 0,5y + y = 2 Fim do exemplo.
Controlo por Computador 74 Descrição de SLITs por equações de diferenças Equação de diferenças escrita com as amostras avançadas: y k n ay k n any k b u k m b u k m b u k 0 Equação de diferenças escrita com as amostras atrasadas: y k ay k any k n b u k n m b u k n m b u k n 0 Passa-se de uma para outra atrasando ou adiantando o tempo n passos. m m
Controlo por Computador 75 Exemplo yk + 2 + a yk + + a 2 yk = uk + Neste caso, n = 2, m =. Atrasando o tempo de 2 passos: yk + a yk + a 2 yk 2 = uk
Controlo por Computador 76 Causalidade do sistema Um sistema diz-se causal se yk depende apenas das entradas e saídas até ao instante k. Sistema descrito por equação de diferenças linear: y k n ay k n any k b u k m b u k m b u k 0 m Este sistema é causal se n m
Controlo por Computador 77 Atraso do Sistema Equação de diferenças escrita com as amostras atrasadas: y k ay k any k n b u k n m b u k n m b u k n 0 m Uma entrada aplicada no instante k apenas influencia a saída a partir do instante k+n-m Atraso do sistema
Controlo por Computador 78 De aqui em diante, consideram-se sempre sistemas causais. Para estes o atraso do sistema, d, é positivo: d nm 0 Em muitos casos, sem perda de generalidade porquê? admite-se d
Controlo por Computador 79 Um pequeno desvio: Transformada Z Considere-se a sucessão: f k, k 0,, 2, Esta sucessão é mapeada pela Transformada Z na função de variável complexa: F z k 0 f k z k
Controlo por Computador 80 Exemplo Determine a transformada Z da sucessão f k k 0,, 2, Ajuda definição da Transformada Z : F z k 0 f k z k Ajuda Soma da série geométrica: i r r i 0 para r
Controlo por Computador 8 Solução 2 0 0 z z z z k f z F k k k k z z z
Controlo por Computador 82 Exemplo Determine a transformada Z da sucessão f ahk k e k 0,, 2, Ajuda definição da Transformada Z : F z k 0 f k z k Ajuda Soma da série geométrica: i r r i 0 para r
Controlo por Computador 83 F z Solução ahk k e z k 0 k 0 e z ah k e z ah ah z z e
Controlo por Computador 84 Tabela de transformadas Z e de Laplace Tomar t kh
Controlo por Computador 85 Propriedades da Transformada Z.Linearidade z G z F k g k f Z 2.Deslocamento no tempo z F z k f q Z n n 0 n j j n n z j f z F z k f q Z Ex.: : n 0 f z F z k qf Z 2: n 2 2 0 z f f z F z k f q Z
Controlo por Computador 86 3.Teorema do valor final lim k f k lim z z F z 4.Convolução A convolução entre duas sucessões f k e k g é definida por f g k k j0 f j g k j Tem-se: Z f g F z. G z
Controlo por Computador 87 Resolução de equações de diferenças Pretende-se resolver a equação de diferenças y k ay k bu k com y 0 0 Segue-se a seguinte abordagem Equação de diferenças Transformada Z Equação algébrica? Difícil Fácil Solução da eq. diferenças Transformada Z inversa Solução da eq. algébrica
Controlo por Computador 88 Exemplo: Solução de uma equação de diferenças com a transformada Z Tomando a transformada Z Com y 0 0 : y k ay k bu k zy z zy0 ay z bu z b z Y z U z y0 z a z a b Y z U z z a
Controlo por Computador 89 Resposta ao escalão: 0, k k u z z z U z a z bz z U a z b z Y Decompondo em fracções simples: z z a z az z a b z a z z Y a b a ba k a b a k y
Controlo por Computador 90 Função de transferência discreta uk SLIT yk Assume-se o sistema modelado pela equação de diferenças y k n a y k n a y k b u k m b u k m b u k n 0 Tome-se transformada Z com condições iniciais nulas para obter a função de transferência discreta: m G z Y z U z m m b z b z b 0 n n n2 z a z a z a 2 m n
Controlo por Computador 9 Operador avanço É possível uma descrição compacta e facilmente manipulável de SLIts discretos usando o operador avanço Sucessão avançada Sucessão x k qx k Operador avanço
Controlo por Computador 92 Operador de transferência do sistema avanço Equação de diferenças: y k n ay k n any k b u k m b u k m b u k 0 n Substituindo y k n por q y k, e assim sucessivamente: n n q y k a q y k a y k b u k m b u k m b u k n 0 Ponto yk e uk em evidência, obtem-se o seguinte operador que descreve o sistema: m m b0q bq b mq bm y k n n u k q a q a q a n n m m
Controlo por Computador 93 m m b0q bq b mq bm y k n n u k q a q a q a n n Operador de transferência do sistema avanço Bq H q m m b q b q b q b 0 m n n q a q a q a n n m B q A q Aq
Controlo por Computador 94 Devido ao facto de o operador avanço transformar sequências limitadas majoradas e minoradas em sequências limitadas, pode ser manipulado algebricamente com grande liberdade.
Controlo por Computador 95 Operador atraso Analogamente, se pode usar o operador atraso: Sucessão atrasada Sucessão x k q x k Operador atraso
Controlo por Computador 96 Operador de transferência do sistema atraso Equação de diferenças: y k ay k any k n b u k n m b u k n m b u k n 0 n Substituindo y k n por q y k, e assim sucessivamente: n y k a q y k a q y k n 0 b u k n m b u k n m b u k n Pondo yk e uk em evidência, obtem-se o operador que descreve o sistema: m d b0 bq b mq y k q a q a q a q u k 2 n 2 n m m
Controlo por Computador 97 Polinómio recíproco Define-se o polinómio recíproco do polinómio A q como A * n q q A q Atenção: Em geral, o recíproco do recíproco não é a identidade! Operador de transferência do sistema em termos do operador atraso e do polinómio recíproco H q q b b q b q * d 0 m a q a q n m n q d * B q * A q
Controlo por Computador 98 A representação no operador avanço é mais adequada para o estudo da estabilidade; A representação no operador atraso é mais adequada para a implementação dos algoritmos;
Controlo por Computador 99 Exercício Considere os sistemas lineares e invariantes descritos pelas equações de diferenças Para cada uma delas: y k 0.5y k u k y k 2 2y k 3y k u k 4u k a Escreva a equação na forma em que a variável mais avançada é y k. b Determine a função de transferência, em potências de z e de c Diga qual o atraso puro do sistema. z.
Controlo por Computador 00 Modelo de estado de sistemas discretos Exemplo: Modelo de uma população A população assume-se dividida em estratos etários, cada um correspondente a um intervalo de tempo discreto. Assume-se: x i k é o número de indivíduos no estrato i no tempo k Índice do estrato: Tempo discreto: k i 0,,2,, n 0,,2, Este modelo é conhecido em língua Inglesa como Cohort population model.
Controlo por Computador 0 Se não houver mortos, todos os elementos da geração i no ano k estarão na geração i no ano x k : k xi k i i 0,,2,, n k=0 x 0 x x 2 x 3 x 4 x 0 k= k=0 k= k=2 k=3 k=2 x k=3 k=0 k= k=2 k=3
Controlo por Computador 02 Se existirem mortos à medida que o tempo passa, só uma parte da geração i no ano k estará na geração i no ano x k xi k k : i i 0 i i 0,,2,, n Os membros da população no estrato 0 resultam da reprodução dos elementos dos diversos estratos: x0 k 0x0 k x k n xn k
Controlo por Computador 03 k x k x i i i 0 i,,,2, 0 n i 0 0 0 k x k x k x k x n n Na forma matricial: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 2 0 k x k x k x k x k x k x k x k x n n n n k Ax k x
Capturas Controlo por Computador 04 80 60 40 20 0 90 992 Ano 93 94 2 3 6 5 4 Idade [ano] 7 Capturas de arenque no Mar do Norte entre 90 e 94 Hjort, 926. O desenvolvimento de modelos de populações é muito importante para a gestão do stock de peixe, optimizando a pesca.
Controlo por Computador 05 Exemplo: Modelo de Estado do servidor Apache J. Hellerstein, X. Diao, S. Parekh, D. Tilbury 2004. Feedback Control of Computing Systems. Wiley Interscience. pp. 229-234. Entradas: MaxClients MC, KeepAlive KA Saídas: CPU, MEM k KA KA KA k k u med 600 2 k MC MC k MC k u med 0.58 k CPU CPU k CPU k y med 55 0. 2 k MEM MEM k MEM k y med 0.00028 0.00025 0.00044 0.0085 0.63 0.026 0. 0.54 2 2 2 k u k u k x k x k x k x 0 0 2 2 k x k x k y k y
Controlo por Computador 06 Conclusão: Modelo de estado de sistemas lineares x k Ax k Bu k y k Cx k Du k Modelo de estado de sistemas não lineares x k f x k, u k y k h x k Em ambos os casos, a equação de saída modela os sensores.
Controlo por Computador 07 Conversão entre modelos lineares Como obter a função de transferência a partir do modelo de estado? Aplicar a transformada Z com condições iniciais nulas. xk + = Axk + Buk zxz = AXz + BUz zi AXz = BUz Xz = zi A BUz Yz = CXz = CzI A BUz Conclusão: A função de transferência discreta é Gz = Yz Uz = CzI A B
Controlo por Computador 08 Conversão entre modelos II Obtenção de uma realização de estado para um dada função de transferência Exemplo: Sistema sem zeros Obter uma realização de estado para a função de transferência Gz = b 0 z 3 + a z 2 + a 2 z + a 3 Corresponde à equação de diferenças yk + 3 = a yk + 2 a 2 yk + a 3 yk + b 0 uk
Controlo por Computador 09 yk + 3 = a yk + 2 a 2 yk + a 3 yk + b 0 uk Tomam-se como variáveis de estado a saída e os seus n primeiros avanços né a ordem do sistema. Neste caso, n = 3, pelo que o estado é x k = yk x 2 k = yk + x 3 k = yk + 2 Pela definição do estado: x k + = yk + = x 2 k x 2 k + = yk + 2 = x 3 k x 3 k + = yk + 3 Pela equação de diferenças, vem x 3 k + = a 3 x k a 2 x 2 k a x 3 k + b 0 uk
Controlo por Computador 0 x k + = x 2 k x 2 k + = x 3 k x 3 k + = a 3 x k a 2 x 2 k a x 3 k + b 0 uk Modelo de estado na forma matricial: x k + 0 0 x k 0 [ x 2 k + ] = [ 0 0 ] [ x 2 k] + [ 0 ] uk x 3 k + a 3 a 2 a x 3 k b 0 x k yk = [ 0 0] [ x 2 k] x 3 k
Controlo por Computador Sistemas com zeros Gz = b 0 z + b z 3 + a z 2 + a 2 z + a 3 Para efeitos de cálculo, parte-se o sistema numa parte sem zeros e numa parte só com zeros e tomam-se como variáveis de estado a saída do primeiro bloco e os seus n primeiros avanços tal como no exemplo anterior. u Sistema sem zeros x b 0 z+b y Apenas é afectada a equação de saída: yk = b x k + b 0 x 2 k
Controlo por Computador 2 Utilização do MATLAB na conversão de modelos lineares O MATLAB Control Systems Toolbox pode ser usado para definir modelos lineares e para converter umas representações noutras. Por exemplo: ss2tf converte o modelo de estado para a função de transferência; tf2tf converte a função de transferência para uma representação de estado note-se que esta representação de estado não é a que usamos tf permite definir um sistema pela função de transferência e depois manipulá-lo. series permite calcular a função de transferência em série de duas funções de transferência em série. Faça help destas funções para aprender como funcionam e conhecer mais funções
Controlo por Computador 3 Modelo de um sistema amostrado Relógio ukh D/A ut Gs Sistema yt A/D ykh Qual a função de transferência discreta vista pelo computador?
Controlo por Computador 4 Recorde-se que, para determinar a função de transferência, devemos: Aplicar um sinal à entrada do sistema, com condições iniciais nulas Observar a saída Determinar as transformadas Z da entrada e da saída correspondente Calcular a função de transferência como o quociente entre a transformada Z da saída e a transformada Z da entrada Que sinal de teste é mais conveniente aplicar?
Controlo por Computador 5 Se aplicarmos um escalão discreto à entrada, à entrada do sistema contínuo aparecerá também um escalão, o que facilita as contas Relógio ukh D/A ut Gs Sistema yt A/D ykh
Controlo por Computador 6 Relógio ukh D/A ut Gs Sistema yt A/D ykh y kh TL G s s y t TL G s s t kh A função de transferência discreta equivalente é G Z y kh z d Z u kh
Controlo por Computador 7 Sendo ukh um escalão discreto, a sua transformada Z é: Z u kh z kh t d s G s TL Z z z G
Controlo por Computador 8 Modelo de um SLIT amostrado com um ZOH Conclusão Relógio ukh D/A ut Gs Sistema yt A/D ykh Do ponto de vista do computador, I. e. entre a entrada e a saída discreta, este sistema é equivalente a um SLIT discreto com função de transferência G d z z ZTL G s s t kh
Controlo por Computador 9 Funções MATLAB Funções MATLAB para: Calcular o equivalente discreto de um sistema amostrado: c2d Operação inversa pode não ter solução única: d2c
Controlo por Computador 20 Modelo de sistema amostrado - Exemplo Qual a função de transferência discreta causal que se obtém quando se amostra o sistema contínuo com função de transferência Solução: G a s s a? Gd z z ZTL a s s a tkh
Controlo por Computador 2 Decompondo em fracções simples a s s a s s a s f t t 0 f kh k 0 F z z s a at f t e t 0 ahk f kh e k 0 F z e ah z
Controlo por Computador 22 Gd z z ah z e z G d z ah e z e ah z A região de convergência deve ser escolhida por forma a que o sistema seja causal.
Controlo por Computador 23 A resposta ao escalão do sistema contínuo coincide, nos instantes de amostragem, com a resposta do sistema discretizado. Isto não acontece para outro tipo de entradas, por exemplo uma sinusóide. 0.8 0.6 0.8 0.6 0.4 0.2 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8 0 0 2 3 4 5 6 7 8-0 2 3 4 5 6 7 8 Este facto motiva que se designe este método de discretização por método do escalão invariante.
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Controlo por Computador 26 Transformação dos pólos Na discretização com retentor de amostras de ordem zero os pólos são transformados de acordo com uma transformação exponencial. Um pólo em s i no contínuo é transformado num pólo z i no discreto, dado por z i s h e i h = intervalo de amostragem
Controlo por Computador 27 Exemplo de transformação de pólos
Controlo por Computador 28 Sistema de 2ª ordem com pólos complexos conjugados s 2 2 w 0 2 2w s w 0 0 Os pólos são transformados nas raízes do polinómio 2 z a z a 2 w 0h 2 a 2e cos w h 0 a 2 2 0 e w h Estas formulas são úteis para o estabelecimento de especificações.
Controlo por Computador 29 Transformação dos zeros A transformação dos zeros é muito mais complexa e não existe uma regra geral simples como a transformação exponencial dos pólos. Deve no entanto ser notado que um sistema contínuo de fase mínima pode dar origem, por amostragem com ritmo elevado, a um sistema de fase não mínima i. e. em que há zeros fora do círculo unitário. Este facto pode dar origem a problemas no controlo e sugere que nem sempre é bom aumentar o ritmo de amostragem ao contrário do que sugere a nossa intuição e do que sucede em problemas de Processamento de Sinal. Ver exemplos AW pp. 73-75
Controlo por Computador 30 Modelo de estado discreto Dado o modelo de estado em tempo contínuo: x t Ax t bu t y t Cx t qual o modelo visto em tempo discreto?
Controlo por Computador 3 Obtenção do modelo de estado discreto Definição dos instantes de amostragem h é o intervalo de amostragem: h t t k k Tendo em conta a fórmula de variação das constantes : k k k k k t t s t A k t t A k ds s bu e t x e t x Sendo u constante em cada intervalo de amostragem: k t t s t A k Ah k t bu ds e t x e t x k k k Ver Controlo em Espaço de Estados
Controlo por Computador 32 k t t s t A k Ah k t bu ds e t x e t x k k k Para calcular o integral, faz-se a mudança de variável s t k : h A h A t t s t A d e d d ds e ds e k k k 0 0 Assim: 0 k h A k Ah k t bu d e t x e t x
Controlo por Computador 33 Definindo x t h Ah A k e x tk e d bu tk 0 h 0 Ah e e A d b escreve-se o modelo de estado discreto x k x k y k Cx k u k
Controlo por Computador 34 Aproximação para amostragem rápida h pequeno: Ah I e Ah bh b A I b d e h h A 0 2 0 2 Isto corresponde a aproximar a derivada por diferenças finitas: k bu k Ax h k x k x
Controlo por Computador 35 Exemplo: Sistema de ª ordem x t x t u t 0, R e h h 0 e d e h h x k e x k k h e u
Controlo por Computador 36 Exemplo: Integrador duplo e dx dt Ah 0 0 TL x 0 y 0x si A 0 u t h si A s 0 s det si 2 A s tal como esperado!
Controlo por Computador 37 s s s s A si adj T 0 0 s s s A si A si adj A si 0 det 2 0 t A si TL
Controlo por Computador 38 0 h e Ah h h d d h h 2 0 0 2 0 0 Fim do exemplo
Controlo por Computador 39 3.Identificação paramétrica. Estimação de parâmetros. Métodos recursivos e não recursivos. Mínimos Quadrados e Máxima Verosimilhança. Referência: AW cap. 3, FP
Controlo por Computador 40 Ajuste de uma recta a dados experimentais Uma situação experimental: Pretende-se relacionar a corrente I com a tensão V no circuito da figura. Para tal são aplicados diversos valores de tensão à resistência e registados os dados Tensão [volt] Corrente [ma] V= I=2. V2=2 I2=3.9 V3=3 I3=6.2 V4=4 I4=7.9 I + V g=? -
I [ma] Controlo por Computador 4 Sob certas condições, a relação teórica o modelo existente entre a tensão V aplicada à resistência e a corrente I é: I gv em que g é um parâmetro que se pretende estimar a partir dos dados. Devido aos erros experimentais, os pontos experimentais não se encontram exactamente sobre a recta I gv mas têm desvios. Como decidir qual a recta melhor ajustada? 0 9 8 7 6 5 4 3 2 0 0 0.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 V [volt]
Controlo por Computador 42 De acordo com o Princípio dos Mínimos Quadrados é escolhida a recta que minimiza a soma dos quadrados dos desvios. De acordo com este princípio, a estimativa de g é tal que minimiza 2 39 2 6 2 3 7 9 4 2 2 2 2 J g. g. g. g. g O que efectivamente observamos O que esperamos que seja a corrente quando a tensão é 2 Depende da estimativa de g
Controlo por Computador 43 Custo J g associado ao critério de mínimos quadrados Jg g^ g
Controlo por Computador 44 Como J g é uma função quadrática de g, a estimativa de mínimos quadrados verifica a equação 2 dj dg gg 0 ou seja. g. g. g. g 2 2 39 2 3 62 3 4 7 9 4 0 Esta equação simplifica-se para 60g 20. 0 sendo a estimativa de mínimos quadrados dada por g 2. 00
Controlo por Computador 45 Ajuste de uma recta a dados experimentais Caso geral Suponhamos que a relação teórica entre duas grandezas X e Y é do tipo Y X em que é um parâmetro desconhecido que se pretende estimar. Repare-se que, conhecendo uma estimativa de podemos responder a perguntas do tipo "Se X valer quanto se espera que valha Y? "
Controlo por Computador 46 Suponhamos que são observados n pares Xi, Yi, i,, n correspondentes a outros tantos ensaios experimentais. Dispõe-se da tabela X Y X Y X 2 Y 2 X 3 Y 3 X 4 Y 4 X 5 Y 5
I [ma] Controlo por Computador 47 Pretende-se estimar a recta melhor ajustada aos dados experimentais, de acordo com o critério de mínimos quadrados. De acordo com esta critério, a estimativa é tal que minimiza a soma dos quadrados dos desvios: 0 9 8 7 6 Desvio i Yi n i J Y X i i 2 5 4 3 2 O que efectivamente observamos O que estamos à espera que seja Y i 0 0 0.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 V [volt] Xi
Controlo por Computador 48 A estimativa de mínimos quadrados verifica a equação eq. "normal": 2 dj d 0 ou seja Esta equação tem por solução n i X Y X i i i n i n i X Y i X 2 i i 0
Controlo por Computador 49 Mínimo ou não? A condição 2 dj d 0 não garante necessariamente que J seja mínimo para. É necessário impor uma condição na segunda derivada: 2 n d J 2 X 2 i 0 d i Neste exemplo, esta condição é verificada se for feita pelo menos uma medida com X 0 o que tem uma interpretação geométrica imediata. Veremos a seguir que se estimarmos mais do que um parâmetro a segunda derivada deixa de ser um escalar. A condição de mínimo é então a de que os dados sejam tais que a matriz de segundas derivadas seja definida positiva.
Controlo por Computador 50 Bom, ou apenas óptimo? A estimativa de mínimos quadrados é "óptima" no sentido em que minimiza um funcional de custo. No entanto, o funcional de custo pode não ser o mais adequado. Como caricatura, pode dizer-se que os bons relógios são os que estão parados pois dão horas absolutamente certas duas vezes por dia. Um outro exemplo é o de um caçador que vê dois pombos. Se disparar para o ponto que minimiza a distância média quadrática aos dois pombos Isto sugere que por vezes são necessários outros critérios.
Controlo por Computador 5 Outros critérios de Estimação Ops exemplos anterios sugerem a utilidade de utilizar critérios que ultrapassem as limitações dos Mínimos Quadrados. Um dos mais utilizados em Estimação é o critério de Máxima Verosimilhança. No entanto, quando a motivação é o Controlo Adaptativo, os Mínimos Quadrados gozam quando integrados num sistema de controlo em cadeia fechada de propriedades que os tornam suficientes para muitas aplicações. São além disso simples e de convergência robusta.
Controlo por Computador 52 Carl Frederich Gauss 777-855 utilizou pela primeira vez o critério de mínimos quadrados para a estimação de parâmetros em equações. Em 80, o astronomo italiano Piazzi observou pela primeira vez um pequeno planeta denominado Ceres. Infelizmente, a duração das observações era muito curta devido a Ceres se ser escondido atrás do Sol, pelo que estas eram insuficientes para estimar os parâmetros da sua órbita pelos métodos tradicionais. Recorrendo ao critértio dos mínimos quadrados, Gauss efectuou uma estimativa bastante diferente das obtidas pelos métodos clássicos que foi brilhantemente confirmada pelas observações experimentais.
Controlo por Computador 53 Qual a estimativa de mínimos quadrados da aceleração da gravidade g? 0 Modelo: h g t e 2 t [s] h [m] 8.49 2 20.05 3 50.65 4 72.9 5 29.85 6 7.56 2 ht
Controlo por Computador 54 Estimação de parâmetros em equações de diferenças Modelo: y t a y t a y t n b u t b u t m n 0 Problema: A partir das amostras de u e y, estimar os parâmetros ai, b m j u Sistema a Identificar y ESTIMADOR
Controlo por Computador 55 Exemplo Considere-se o sistema Dados recolhidos y k ay k bu k e k Ruído branco de média nula. Traduz erros no modelo 000 k y 2 k 30 000 k u 2 k 50 000 y k y k k 000 y k u k 36 k 000 y k u k 20 Determinar as estimativas de mínimos quadrados dos parâmetros a e b Escrever a funcional de mínimos quadrados Calcular as derivadas parciais em ordem aos parâmetros e igualar a zero k
Controlo por Computador 56 N J y k ay k bu k 2 k 2 J a N y k y k ay k bu k 0 k J b N u k y k ay k bu k 0 k N N N 30a 20b 2 a y k b y k u k y k y k N k k k 2 a u k y k b u k u k y k k k k N N a 0. 6 b 0. 964 20a 50b 36
Controlo por Computador 57 Notação matricial Se quisermos resolver o problema de estimação para um número arbitrário de parâmetros temos de usar a notação matricial. y t a y t a y t n b u t b u t m e t n 0 Define-se o regressor,,como t y t y t n u t u t m e o vector de parâmetros a estimar,,como a a b b n m m O modelo escreve-se: y t t e t
Controlo por Computador 58 Critério de Mínimos Quadrados Dadas N observações, estimar o vector de parâmetros o por um vector por forma a que o funcional seguinte seja mínimo: N J y t t 2N t 2
Controlo por Computador 59 y y y N N e e e N 2 0 2 y y y N N e e e N 2 0 2
Controlo por Computador 60 0 y e y 2 e 2 y N N e N y N N n p n p N O conjunto das N observações satisfaz: y
Controlo por Computador 6 Funcional de mínimos quadrados escrito matricialmente: Como: Vem: N 2 N 2 2 J y 2N y J y 2N y y J 2 y O funcional de mínimos quadrados é uma forma quadrática em
Controlo por Computador 62 A estimativa de mínimos quadrados satisfaz Gradiente da forma quadrática Recordando: Vem então J 0 x Ax x 2 x A 2N y y J 2 y J 2y 2 2N
Controlo por Computador 63 A estimativa de mínimos quadrados satisfaz pois a equação ou seja J 2y 2 2N y ou, transpondo y
Controlo por Computador 64 Equação Normal Em conclusão, a estimativa de mínimos quadrados do vector de parâmetros do modelo de regressão linear y t t e t satisfaz a equação matricial dita equação normal y Se existir a inversa de única, sendo dada por a estimativa de mínimos quadrados existe e é y
Controlo por Computador 65 Considere o sistema Exemplo - Invertibilidade da matriz y k b u k b u k 2 e k 0 Ruído de média nula adiga se é possível determinar estimativas dos parâmetros b 0 e b quando a entrada é sempre u k? be se se souber que b 0? c E se u 0 0 e u k k? Sugestão: Escreva a matriz acontece para valores de N superiores. k quando N=4 e depois considere o que
Controlo por Computador 66 Condições de Excitação Persistente Para que a estimativa de mínimos quadrados exista e seja única é necessário que a matriz seja definida positiva. Caso contrário o funcional de mínimos quadrados não tem um mínimo. A matriz é definida positiva se os dados forem suficientemenbte ricos, o que depende da entrada do sistema. As condições na entrada do sistema que levam a que condições de excitação persistente. 0 dizem-se
Controlo por Computador 67 Matriz de Covariância do Erro de Estimação e Matriz de Informação Define-se a matriz de covariância do erro de estimação como P E No caso em que os resíduos formam uma sequência branca, tem-se: ia estimativa de mínimos quadrados é centrada a média do erro é zero: E 0 iisendo a variância dos resíduos unitária: P
Controlo por Computador 68 Este último facto motiva que se denomine matriz de informação a matriz dada por P Note-se que o facto de as estimativas de mínimos quadrados não serem centradas quando o ruído é colorido não é necessariamente uma limitação em Controlo Adaptativo embora implique o recurso a outros métodos quando a motivação é outra, por exemplo a identificação do modelo por si só. Isto deve-se ao facto de o Controlo Adaptativo identificar o sistema em cadeia fechada. Posteriormente voltaremos a este aspecto.
Controlo por Computador 69 Estimador Recursivo Objectivo: Obter a estimativa combinando uma estimativa anterior com novos dados sem ter que reescrever a equação normal. Estimativa anterior t e variáveis auxiliares P t RLS Novos dados y t, t Novas, estimativa t e variáveis auxiliares P t Em inglês: RLS = Recursive Least Squares
Controlo por Computador 70 Estimador não recursivo dadas t observações: t Pode ser escrita como mostre!: y t k t t y k k em que a matriz de informação é dada por t t k k k
Controlo por Computador 7 Matriz de informação verifica t t t t Tem-se ainda t t y k k k t 2 e t t t y k k k 3 Pretende-se: Escreva t como função de t, de t, de y t e de t Sugestão: Isole o último termo do somatório em 2. Escreva 3 para t ; use ;
Controlo por Computador 72 t t y k k k t t t t y k k y t t k t t t y k k t t t t y t t k
Controlo por Computador 73 t t t t y t t t t t t Assim: t t t t t t t y t t t t t t y t t t
Controlo por Computador 74 As equações do estimador recursivo são: É necessário inverter uma matriz em cada iteração t t t t y t t t Nova estimativa Estimativa Ganho Diferença entre o que esperamos que seja yt anterior vectorial dada a estimativa e o qure observamos t t t t
Controlo por Computador 75 Será que podemos alterar o algoritmo para evitar inversão de matrizes? t t t t y t t t t t t t Se trabalharmos com a matriz de covariância as equações ficam: t t P t t y t t t P t t t t
Controlo por Computador 76 P t t t t Lema de inversão de matrizes A BCD A A B DA B C DA Aplique-se este lema com Obtém-se:, B t, C, D t A t P t P t P t P t t t P t t t P t Escalar
Controlo por Computador 77 Modelo: Estimador: Algoritmo de Mínimos Quadrados Recursivo RLS y t t e t o t t K t y t t t K t P t t "Ganho de Kalman" P t P t P t t t P t t P t t "Equação de Riccati"
Controlo por Computador 78 Alternativamente, o ganho de Kalman e a equação de Riccati podem ser escritos como demonstre!: K t P t t t P t t P t I K t t P t
Controlo por Computador 79 Exemplo: Estimação recursiva de um parâmetro 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2.5 0.5 Ganho de Kalman Ganho fixo=0.03 Ganho fixo=0.5 y t t e t 2 o o Ganho do estimador: Alto leva a convergência rápida mas a grande variância das estimativas em regime estacionário. Baixo leva a convergência lenta. O ganho de Kalman é alto no início e baixo no fim, variando no tempo. 0 0 20 40 60 80 00 20 40 60 80 200
Controlo por Computador 80 Programa MATLAB usado no exemplo thrls=0; thsm=0; thbig=0; p=0; theta0=2; tfinal=200; for t=:tfinal ppt=p; fi=+0.*rand; y=theta0*fi+0.2*randn; p=p-p*fi*fi*p/+fi*p*fi; kalm=p*fi; thrls=thrls+kalm*y-thrls*fi; thsm=thsm+0.03*y-thsm*fi; thbig=thbig+0.5*y-thbig*fi; stht,=thrls; stht,2=thsm; stht,3=thbig; end; axis[0 tfinal 0 5] hold on plotsth
Controlo por Computador 8 Este exemplo ilustra a convergência dos mínimos quadrados recursivos. Inicialmente, como a nossa incerteza sobre o valor verdadeiro do parâmetro a estimar é grande, escolhemos um valor elevado para a covariância. Neste caso, P 0. O ganho de Kalman é elevado inicialmente pelo que a convergência é rápida. Há medida que o tempo passa e vamos recebendo dados, P diminui e o ganho de Kalman também. Isto leva à convergência da estimativa pois o termo de correcção fica progressivamentre menor. 0 0 0 0-0 -2 0-3 0 20 40 60 80 00 20 40 60 80 200
Controlo por Computador 82 O estimador pode ser encarado como um mecanismo que reduz a nossa incerteza sobre o valor verdadeiro do parâmetro através das observações. A incerteza é medida por uma função densidade de probabilidade do erro na estimativa. Neste exemplo esta incerteza é gaussiana e com variância proporcional a P. 6 5 4 3 2 Parameter probability density given 200 observations Initial parameter probability density function 0 0 0.5.5 2 2.5 3 3.5 4
Controlo por Computador 83 Um exemplo com parâmetros não identificáveis y k b u k b u k 2 e k 0 Apenas a soma pode ser estimada 5 4 3 2 Densidade de probabilidade dos parâmetros 0 - -2-3 -4-5 -5-4 -3-2 - 0 2 3 4 5 Aumentando o número de observações, reduz-se a incerteza da soma mas mantém-se a incerteza na direcção perpendicular assume-se u constante.
Controlo por Computador 84 Um exemplo de não identificabilidade de parâmetros em cadeia fechada Modelo do processo: y t ay t bu t e t * A este sistema está acoplado o controlador: u t Ky t Seja uma constante arbitrária. Da equação do controlador Como a quantidade u t Ky t u t Ky t 0 0, podemos adicioná-la a * e obter: y t a K y t b u t e t
Controlo por Computador 85 Assim, o sistema, em conjunto com o controlador, é descrito pelo modelo y t a K y t b u t e t isto mostra que parâmetros tais que a a K b b conduzem à mesma relação entrada/saída. Eliminando, obtém-se a seguinte relação entre as estimativas e os parâmetros a estimar b b K a a Qualquer estimativa a, b que verifique esta condição descreve igualmente bem o comportamento entrada/saída.
Controlo por Computador 86 b ^ /K b a a^ As estimativas pertencem à recta, mas não são necessariamente proxímas dos valores verdadeiros. Para que o sejam, pode-se: Fazer variar o ganho K Adicionar um sinal externo ao controlo
Controlo por Computador 87 Adormecimento dos mínimos quadrados recursivos Se os dados forem adequados, os elementos do ganho de Kalman diminuem à medida que o tempo passa, tornando-se eventualmente muito reduzidos se o ruído for baixo. A partir daí, as estimativas tendem a tornar-se constantes. Se o sistema a identificar sofrer alguma alteração, será necessário muito tempo para que as estimativas convirjam para o novo valor. Diz-se que o algoritmo adormeceu.
Controlo por Computador 88 Esquecimento exponencial O adormecimento dos mínimos quadrados recursivos acontece porque o algoritmo pesa igualmente os dados recentes e os do passado remoto. Para o evitar, pode modificar-se o funcional de custo por forma a pesar menos os pontos do passado: t J y t k 2 t k k Peso exponencial, menor nos dados mais antigos A dá-se o nome de factor de esquecimento. Tem-se 0 2
Controlo por Computador 89 Memória assimptótica A memória assimptótica N dá-nos uma ideia do número de dados que influenciam a estimativa actual. N N 0.99 00 0.98 50 0.95 20 pequeno -> Poucos dados retidos; algoritmo "ágil" a seguir alterações grande-> Muitos dados retidos; algoritmo lento a seguir alterações mas mais preciso
Controlo por Computador 90 RLS com Esquecimento Exponencial Minimiza o custo com esquecimento exponencial. t t K t y t t t P t t K t t P t t P t I K t t P t / Demonstre que estas equações minimizam o custo exponencial. Observe que a matriz de informação é actualizada por t t t t
Controlo por Computador 9 Explosão da covariância covariance windup Pretende-se estimar os parâmetros a e b no modelo: y t ay t bu t 0. e t O valor verdadeiro dos parâmetros é a 06. b 0. o valor verdadeiro não se sabe na prática; aqui é usado apenas para comparação! Usa-se RLS com factor de esquecimento exponencial e 095. Consideram-se duas situações para a entrada: Entrada constante Entrada constante somada com ruído branco
Controlo por Computador 92 Resultados com a entrada do sistema constante a 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0 4 0 3 0 2 trp 0.4 0.3 0 0.2 0. 0 0 0 0 50 00 50 200 250 300 0-0 50 00 50 200 250 300 O traço de P dimunui inicialmente e a estimativa aproxima-se do valor verdadeiro a 06.. No entanto, devido a o sistema não ser excitado e a usarse o algoritmo de esquecimento, P aumenta o causa um aumento do ganho de Kalman e leva a fortes variações da estimativa.
Controlo por Computador 93 Resultados com a entrada do sistema variável a 0.7 0.6 0 4 0 3 0.5 0.4 0.3 0 2 0 0.2 0. 0 0 0 - trp 0 0 50 00 50 200 250 300 0-2 0 50 00 50 200 250 300 Quando a entrada é suficientemente excitante, o traço de P não volta a subir devido ao esquecimento e a estimativa mantém-se próximo do valor verdadeiro.
Controlo por Computador 94 Sistemas variáveis no tempo 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0. Lbd=0.95 Lbd=0.99 0 0 50 00 50 200 250 300 O parâmetro a muda em t=00 de 0.6 para 0.8. A figura mostra os resultados que se obtêm com dois valores diferentes do factor de esquecimento. Quando este é mais baixo, a transição da estimativa para o novo valor é mais rápida, mas em regime estacionário as fluctuações são maiores.
Controlo por Computador 95 Outro tipo de algoritmos de esquecimento Para evitar os problemas com o esquecimento exponencial utilizam-se outros algoritmos. Dois exemplos importantes: Esquecimento variável no tempo. O factor de esquecimento é quando a potência dos resíduos está abaixo de um dado limiar, sendo reduzido quando a potência aumenta. Deste modo eliminam-se os problemas com a explosão da covariância; Esquecimento direccional. O factor de esquecimento é diferente em diversas direcções do espaço de parâmetros, o que permite reduzir problemas devidos à não identificabilidade.