Henrque M. J. Barbosa Insuo de Físca USP hbarbosa@f.usp.br
Amosfera Esem odas as freqüêncas e odas podem ser mporanes devdo as nerações não lneares E.: vórces urbulenos e convecção aconecem em escalas muo menores e mas rápdas que 00km ou hora Em modelos clmácos é bom flrar as alas freqüênca para elmnar o ruído (queremos o comporameno médo) Resulados de Raupp & Slva Das mosram que é mporane a neração enre escalas (durna->madden Julan). E.: Super-paramerzação => MJ, El no,...
Equações Dferencas
Equações Dferencas Classfcação quano ao número de varáves Ordnáras = só em uma varável ndependene dg( ) F( ) d Parcas = em mas de uma varável ndependene G(, ) ug(, ) 0
Equações Dferencas Classfcação quano ao grau e ordem Ordem = nível da dervada mas ala Grau = poênca da dervada mas ala G ug G D ª ordem e º grau
Equações Dferencas Classfcação quando a homogenedade Homogêneas = não aparecem as varáves ndependenes eplcamene G G D ão homogêneas = varáves ndependenes eplícas G 3
Equações Dferencas Classfcação quando a lneardade Lneares = a varável dependene e suas dervadas só aparecem em ermos de º grau e não há produo enre elas G ug 0 ão lneares = esem ermos de º ou maor grau e/ou produos enre varáves dependenes e suas dervadas u u u 0
Eemplo: amosfera Eq. da conservação e ermodnâmca q vq Dq Eq de momeno (aver-sokes) v vv v q F q P S g q Parcal º ordem º grau Homogênea Lnear Parcal º ordem º grau Homogênea ÃO-Lnear
Equações Dferencas: Solução
Dfculdades a frene... Como resolver uma equação complcada? v D F S De uma vez só, ou seja, enconrar (,y,z,)? Quando emos város processos físcos aconecendo ao mesmo empo? Dadas as lmações auas dos compuadores?
Separação de Operadores O que se faz é resolver separadamene cada um dos processos. Por eemplo, um modelo numérco calcula separadamene: dnâmca, radação, convecção, ec... T T+Δ T+Δ
Separação de Operadores Eemplo, a equação de advecção-dfusão v D F S Operaor-spl nos ermos de advecção-dfusão v D Operaor-spl nos ermos forçanes e, n R n F S
Separação de Operadores ( v ) D e, n R n F S Resolver esas equações seqüencalmene é uma apromação da solução complea! Ese méodo em parcular é chamado de méodo dos nervalos fraconáros. Alguns modelos rocam a ordem em,y,z enre dos me-seps para consegur uma solução mas ndependene da separação dos operadores.
Separação de Operadores Em alguns modelos, como o CPTEC-AGCM, a equação é separada anda mas: ( v) D Transpore Dfusão Molecular e, n R n F S Físca sub-grade
Equações Dferencas: Solução Mesmo para esas equações smples, a solução anda não é rval.
Solução de uma Eq. Df. Para resolvê-las precsamos de condções de conorno. As CC podem ser de város pos e depende de qual problema esamos resolvendo Eemplo: Podemos resolver d/d=f() se soubermos 0 =(=0) Ese po de CC é uma condção ncal (C.I.) de um problema de valor ncal.
Solução de uma Eq. Df. Quando precsamos da CC nas duas eremdades do domíno, emos um problema de valor de conorno. Eemplo: Para resolver u u u 0 Precsamos de u(,=0) e ambém u(0,) e u(l,) Problema de C.I. em e problema de CC em Eemplo: o nudgng do BRAMS nas froneras do domíno
Equações Dferencas: Solução São equações dferencas e represenam uma conservação local! São conínuas e váldas em odos os ponos do espaço físco (,y,z,) Como resolver numercamene?
Dscrezação
Dscrezação: Lmações Quando dscrezamos no empo e no espaço emos que usar nervalos fnos e por sso a solução numérca não represena odos os movmenos da amosfera. Escala Δ Δ Meso escala 5 5 km 5 s Regonal 50 50 km mn Global 50 50 km 30 mn
Samplng Theorem Seja h() uma função conínua no empo. Se medmos h() a cada Δ segundos, ese uma freqüênca críca f c, freqde yqus Máma que pode ser observada com essa amosragem. Mnmamene amosrado com o dobro da freqüênca do fenômeno
... Ou eorema de yqus Seja h() uma função conínua no empo. Se medmos h() a cada Δ segundos, ese uma freqüênca críca f c, freqde yqus Máma que pode ser observada com essa amosragem. Caso de subamosragem (freq menor)
Modelo Clmáco Teorema Seja h() e sua ransformada de Fourer H(f), se H(f)=0 qualquer que seja f >fc, enão h() é compleamene deermnada se for amosrada em nervalos Δ<=/fc. Eemplo: f c 30mn 0.0Hz T hora f c 00km 0.005km 00km
Turbulênca A equação de aver-sokes é não lnear v vv v P Isso produz caos na solução U(,) e mplca em escoameno urbuleno. Apenas em condções especas o fluo é lamnar. U(,) fluua aleaoramene em escalas menores que mm e mas rápdas que 0Hz! Impossível de resolver nos modelos (aé mesmo em um L.E.S.) g
Anemômero sônco
A méda de Reynolds A concenração eaa em (, y, z, ) Onde a méda no volume do grd-bo e no me-sep é V V ( r, ddvol Vol ) V
A méda de Reynolds depende do grd-bo e do passo de empo e é o valor prevso/calculado pelo modelo! Por defnção fluua em orno de 0 e =0 Podemos fazer a mesma decomposção para a velocdade: V V V E enão subsuímos ambas nas equações orgnas ' ( ')( v v') D ( ' )
Epandndo a equação Epandndo e omando a méda ( e ), para o º ermo: Fazendo o mesmo para os demas ermos, emos: S F D ') ' ( ) ( v v ' ' ' Advecção pelo veno médo Fluo urbuleno cnemáco. É o efeo sub-grade!!
Epansão urbulena A dfusão urbulena é muo maor que a molecular, enão sobra apenas: ( v ) ( v' ' ) Para a equação da connudade concenração específca q vq a vq F S Para a equação da connudade em densdade v v 0 a a F S Precsamos paramerzar!!
Paramerzação O modelo resolve e conhece apenas os valores médos em cada grd-bo, v e q, como enão podemos esmar o fluo urbuleno <v q >?? Fazendo uma analoga com a le de Fck Fψ D Assume-se que o fluo urbuleno é proporconal ao gradene (eora K ou eora do ranspore dos gradenes) u' q' q
Teora K O fluo urbuleno de um parâmero é relaconado ao gradene do valor médo do parâmero. Assm, os ermos do fluo cnemáco urbuleno fcam: u K h, em Onde K h é um coefcene de dfusão urbulena (Para energa e momeno: cm s - ). Assm, q v K F S v q K q F S a h a, h
Marz de dfusão Kh é a marz de dfusão e K, Ky e Kz são os coefcenes de dfusão urbulena. K h K h, 0 0 0 K h,yy 0 0 0 K h,zz Os ermos cruzados dão uma covarânca enre o ranspore urbuleno em dreções dferenes e em geral são assumdos nulos. A dagonal dá o ranspore do gradene devdo a msura urbulena
O que fala? Decompomos o fluo em orno da méda do grdbo......mas anda emos uma EDP conínua. Como resolver as dervadas? q v q K q F S a a h
Dferenças Fnas Trocamos os valores conínuos por dscreos nas equações u??
Dferenças Fnas Defnmos as dferenças Δu no pono u u u u u u u u u dferença cenrada dferença avançada dferença arasada Esamos apromando a dervada pela angene: u u u u
Dferenças Fnas Cenrada (AC) Avançada (BC) Arasada (AB)
Epandndo em Taylor em orno do pono, calculamos o valor em + Epansão em sére de Taylor Ou em orno de... 6 3 3 3... 6 3 3 3 Iguas de snas oposos
Assm, emos que Epansão em sére de Taylor Que pode ser rearranjado para Desprezando ermos de a ordem e superores É apromação de a ordem para a segunda dervada... 4 4 4 O... 4 4 O
Agora vamos subrar as duas equações. Os ermos pares cancelam... Epansão em sére de Taylor Rearranjando, emos Onde runcamos da mesma manera É uma apromação de segunda ordem para a prmera dervada... 3 3 3 3 O... 6 3 3 O
Dferenças fnas ª dervada em Apromação de ª ordem arasada em Apromação de ª ordem avançada em
Dferenças fnas Dervada no empo () O h h h O() h h O() h h
Resumo Equação complcada v D F S +Reynolds Dfusão v K F S h Operaor Splng v Dferenças fnas u u
E essa solução funcona?!? u u
Créros Uma solução numérca para uma equação dferencal reproduz a solução analíca apenas se város créros forem sasfeos Convergênca Conssênca Ordem da apromação Convergênca geral Esabldade numérca
() Convergênca A epressão em dferenças fnas deve convergr para a forma dferencal no sendo do eorema cenral do lme: lm 0
() Conssênca Ao fazer a epansão em sére de Taylor, jogamos fora ermos de ala ordem... Para a apromação em dferenças fnas ser válda, o erro no runcameno deve r para zero: lm T.E. 0 0 Maemacamene, se () enão () e vce-versa
(3) Convergênca geral Além de que as epressões em dferenças fnas convergem para as dferencas, precsamos que a solução numérca convrja para a solução analíca lm e,, f,,, 0 0
(4) Ordem da apromação A ordem da apromação é a menor poênca em Δ ou Δ deada de for a na epansão de Taylor. É precso que a apromação seja da mesma ordem em odas as varáves para haver esabldade e convergênca.
Esabldade A dferença enre a solução numérca e analíca não deve crescer com o empo lm e,, f,, C Condconalmene esável Esável para Δ < Δ Tma Incondconalmene esável: É sempre esável qualquer que seja o Δ Incondconalmene nsável: Insável qualquer que seja o Δ Convergênca e esabldade de pare da solução (splng) não garane convergênca geral!
Eemplo Equação de advecção dfusão apenas em (u) Uma possível represenação em dferenças fnas, fazendo eplíco no empo, sera u u k+ k - + A manera como dscrezamos deermna a esabldade. k-
Problemas numércos Dfusão numérca Um pco se espalha arfcalmene pelos grdboes Osclação numérca Podem surgr ondas dspersas arás ou na frene de um pco ão-monoônco Os gradenes não são preservados durane o ranspore
Enrando em dealhes...
Dscrezação Queremos negrar a equação numercamene,.e., enconrar (+Δ) em função de () (u) Há rês maneras dferenes de fazer a dscrezação no empo que levam a soluções conceualmene dferenes: Eplíca calcula-se + em função apenas dos valores pré calculados:, -,... Implíca calcula-se + em função apenas dos valores desconhecdos em + Sem-mplíco calcula-se + com base ano em +, quano, -,...
Esquema eplíco o lado dreo da equação aparecem apenas ermos no empo () E a solução para + é rval: Com apenas um laço =,ma resolvemos o problema! K u u K u u K u ) (
( u) K Esquema eplíco u u K Essa solução é de ª ordem avançada no empo e de ª ordem cenrada no espaço. O problema é que esa solução é Condconalmene esável apenas para K pequeno Incondconalmene nsável para K=0 ou K grande
Esquema mplíco o lado dreo da equação aparecem apenas ermos no empo (+) E a solução para + é não-rval e acopla, - e +. Agrupando os ermos, emos K u ) ( K u u K u
Esquema mplíco Fazendo o mesmo para os ouros ermos, emos Que é um ssema de equações dferencas acopladas. Que podem ser resolvdas na forma marcal... u K K u K C B A A B C
Solução Marcal Onde já ncluímos a condção de conorno devdo ao fluo de superfíce (é precso dscrezar de uma manera um pouco dferene na nerface) M sfc M M M M M M M M M F B A C B A C B A C B A C B A C B 3 3 3 0 0 0 0 0 0 Ssema rdagonal. Resolvdo com elmnação de Gauss
Dscrezação As soluções da equação de dfusão são, em geral: Condconalmene esáves, se o esquema é eplco ou sem-mplíco Condconalmene ou ncondconalmene esáves, se o esquema é mplíco
Créro de Esabldade O créro de esabldade de Couran-Fredrchs-Lewy deermna qual é o espaçameno de grade mámo para haver esabldade na equação de dfusão: V ma, ou número de Couran V ma / K ma Fácl de enender: Em Δ a parcela não pode aravessar mas do que grd-bo
Créro de Esabldade Dependendo do espaçameno, há um lme para a resolução emporal! Eemplo: V z w ma 5km 0m / 00m ma m / s s 50s 00s