TRANSFRMAÇÕES EM SISTEMAS CARTESIANS Parte III Transformações nos Espaços Tridimensionais GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR
TRANSLAÇÃ
TRANSLAÇÃ
TRANSLAÇÃ = + T = + T = + T T T T
EERCÍCI Uma estação total foi instalada, centrada e calada na posição denominada de P1. A altura de instalação do instrumento foi de 1,437 m. rientou-se o equipamento em relação à direção norte e, visou dois alvos de interesse (A1 e A2). Após, o processamento dos dados mensurados, obtiveram-se as seguintes informações: Ponto ocupado Ponto visado Az di A1 204 54 33 85 49 13 34,771 m P1 A2 177 38 01 103 14 27 56,296 m a) Calcular as coordenadas tridimensionais dos alvos, utilizando um sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais cuja origem situa-se no ponto cardã da estação total, o eixo z na direção da vertical, apontando para o zênite, o eixo y na direção do norte e o eixo x completando o terno dextrogiro. b) Calcular novas coordenadas tridimensionais dos alvos (,, ), transladando-se a origem do sistema para o alvo A1 e mantendo o novo sistema paralelo ao sistema anterior. c) A partir do sistema definido no item anterior (,, ), calcular novas coordenadas tridimensionais dos alvos (,, ), transladando na vertical a origem do sistema para que esta seja coincidente com a coordenada do ponto P1 ocupado pela estação total.
a) Coordenadas no sistema rigem no ponto cardã ( 0 = 0 = 0 = 0,000 m) SLUÇÃ = di sen sen Az = di sen cos Az = di cos ALV (m) (m) (m) A1-14,606-31,453 2,534 A2 2,263-54,753-12,894 A1 croqui (sem escala) N A2 E hi = 1, 567 m P1
b) Coordenadas no sistema rigem no ponto A1 = A1 = A1 = A1 SLUÇÃ ALV (m) (m) (m) A1 0,000 0,000 0,000 A2 16,869-23,300-15,428 A1 N croqui (sem escala) E A2 hi = 1, 567 m P1
c) Coordenadas no sistema rigem no ponto ocupado P1 ( P1 = 0,000 m) SLUÇÃ " = " = " = + A1 = + h i = + h i ALV (m) (m) (m) A1 0,000 0,000 3,971 A2 16,869-23,300-11,457 A1 Vista em perfil (sem escala) A1 hi = 1, 567 m E N P1
RTAÇÃ Transformação Conjunto de rotações (combinações) Matrizes de rotação
RTAÇÃ EM TRN D EI Matrizes de rotação
RTAÇÃ EM TRN D EI Matrizes de rotação θ R 1 θ = 1 0 0 0 cos θ sen θ 0 sen θ cos θ
RTAÇÃ EM TRN D EI Matrizes de rotação
RTAÇÃ EM TRN D EI Matrizes de rotação R 2 θ = cosθ 0 sen θ 0 1 0 sen θ 0 cosθ θ
RTAÇÃ EM TRN D EI Matrizes de rotação
RTAÇÃ EM TRN D EI Matrizes de rotação R 3 θ = cos θ sen θ 0 sen θ cos θ 0 0 0 1
REFLEÃ D EI Matrizes de reflexão
REFLEÃ D EI Matrizes de reflexão R1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
REFLEÃ D EI Matrizes de reflexão
REFLEÃ D EI Matrizes de reflexão R2 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
REFLEÃ D EI Matrizes de reflexão
REFLEÃ D EI Matrizes de reflexão R3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1
RESUM Matrizes de rotação Matrizes de reflexão dextrogiro levogiro R 1 θ = 1 0 0 0 cos θ sen θ 0 sen θ cos θ R1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 R 2 θ = cosθ 0 sen θ 0 1 0 sen θ 0 cosθ R2 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 R 3 θ = cos θ sen θ 0 sen θ cos θ 0 0 0 1 R3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 CNVENÇÃ: (+) positivo sentido anti-horário dextrogiro
Modelo de Transformação BURSA-WLF i i i = (1 + δ). R3 ε z. R2(ε y ). R1 ε x. x i y i z i + x 0 y 0 z 0
Modelo de Transformação BURSA-WLF i i i = (1 + δ). R3 ε z. R2(ε y ). R1 ε x R ε. x i y i z i + x 0 y 0 z 0 R ε = cos ε z sen ε z 0 sen ε z cos ε z 0 0 0 1 cos(ε y ) 0 sen(ε y ) 0 1 0 sen (ε y ) 0 cos(ε y ) 1 0 0 0 cos ε x sen ε x 0 sen ε x cos ε x U
Modelo de Transformação BURSA-WLF i i i = (1 + δ). R3 ε z. R2(ε y ). R1 ε x R ε. x i y i z i + x 0 y 0 z 0 R ε = cos ε z sen ε z 0 sen ε z cos ε z 0 0 0 1 cos(ε y ) 0 sen(ε y ) 0 1 0 sen (ε y ) 0 cos(ε y ) Quando se tratarem de pequenas rotações, a seguinte simplificação pode ser considerada: cos(ε i ) 1 e sen(ε i ) ε i De maneira que a matriz de rotação pode ser reescrita: 1 0 0 0 cos ε x sen ε x 0 sen ε x cos ε x R ε = 1 ε z ε y ε z 1 ε x ε y ε x 1
EEMPL Parâmetros de transformação entre ITFS e WGS84 (http://itrf.ensg.ign.fr/): translações escala rotações só para pequenas rotações R ε = 1 ε z ε y ε z 1 ε x ε y ε x 1
TRANSFRMAÇÕES ENTRE SISTEMAS CARTESIANS 3D EEMPL Monitoramento do prédio do ponto de vista estrutural Crédito : PIMENTA, V. M. Disciplina de Prototipagem I - Maquete Virtual do Prédio da CT. Bacharelado em Expressão Gráfica, UFPR, 2015.
Determinação das coordenadas dos pontos dos alvos (Ai) no sistema, com origem no ponto cardã da Estação Total A4 A1 A3 A2
Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no sistema de coordenadas A1 A4 A3 A2
Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no sistema de coordenadas A1 A4 A3 A2 sistema é dextrogiro ou levogiro? Dextrogiro sem reflexão
Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no sistema de coordenadas A1 A4 A3 A2 Quantas translações e rotações serão necessárias para transformar o sistema no sistema?
Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no sistema de coordenadas A1 A4 A3 A2 +T Translação (Tx,Ty,Tz) da origem do sistema para a posição do ponto A1
Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no sistema de coordenadas A1 A4 A3 A2 +T Translação (Tx,Ty,Tz) da origem do sistema para a posição do ponto A1
Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no sistema de coordenadas A1 A4 A3 A2 R 2 (180 ) Rotação de 180 em torno do eixo u rotação de 180 em torno do eixo R 1 (180 )
Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no sistema de coordenadas A1 A4 A3 A2 R 2 (180 ) Rotação de 180 em torno do eixo
Mas, para o projetista estrutural, é de interesse fornecer os pontos no sistema de coordenadas A4 θ A1 θ A3 A2 R 3 (θ) Rotação de θ em torno do eixo
RESULTAD modelo de transformação entre os sistemas A1 A4 A3 A2 Equação matemática = R 3 θ R 2 180 + T T T sentido da transformação
EERCÍCI folha impressa Escreva a equação matemática para transformar os sistemas em Matrizes de rotação Matrizes de reflexão dextrogiro levogiro R 1 θ = 1 0 0 0 cos θ sen θ 0 sen θ cos θ R1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 R 2 θ = cosθ 0 sen θ 0 1 0 sen θ 0 cosθ R2 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 R 3 θ = cos θ sen θ 0 sen θ cos θ 0 0 0 1 R3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 CNVENÇÃ: (+) positivo sentido anti-horário dextrogiro
EERCÍCI a) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -81 m -15 m +47 m 57
EERCÍCI SLUÇÃ a) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -81 m -15 m +47 m 57 Translação de para +47 m T = 81 m 15 m
EERCÍCI SLUÇÃ a) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -81 m -15 m +47 m 57 Rotação em torno do eixo R 2 ( 57 ) (-) sentido horário, dextrogiro
EERCÍCI SLUÇÃ a) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -81 m -15 m +47 m 57 = R 2 57 sentido da transformação + +47 m 81 m 15 m
EERCÍCI b) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -67m + 12m + 43m 64
EERCÍCI SLUÇÃ b) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -67m + 12m + 43m 64 Translação de para 67 m T = +43 m +12 m
EERCÍCI SLUÇÃ b) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -67m + 12m + 43m 64 Rotação em torno do eixo R 3 (+64 ) (+) sentido anti-horário, dextrogiro
EERCÍCI SLUÇÃ b) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -67m + 12m + 43m 64 Reflexão do eixo R3
EERCÍCI SLUÇÃ b) Escreva a equação matemática para transformar o sistema em -67m + 12m + 43m 64 = R3. R 3 +64 + sentido da transformação 67 m +43 m +12 m
Treine em casa: Determine as equações matemáticas dos exemplos apresentados na aula de hoje, no sentido inverso, ou seja, transformar os sistemas
REVISÃ Multiplicação de matrizes M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 internos iguais compatibilidade 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = Exemplo n 1 30 24 18 84 69 54 138 114 90 3 3 3 3 3 3 externos dimensão da resultante
REVISÃ Exemplo n 1 Multiplicação de matrizes =1x9+2x6+3x3 M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 30 24 18 84 69 54 138 114 90
REVISÃ Exemplo n 1 Multiplicação de matrizes =4x9+5x6+6x3 M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 30 24 18 84 69 54 138 114 90
REVISÃ Exemplo n 1 Multiplicação de matrizes =7x9+8x6+9x3 M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 30 24 18 84 69 54 138 114 90
REVISÃ Exemplo n 1 Multiplicação de matrizes =1x8+2x5+3x2 M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 30 24 18 84 69 54 138 114 90
REVISÃ Exemplo n 1 Multiplicação de matrizes =4x8+5x5+6x2 M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 30 24 18 84 69 54 138 114 90
REVISÃ Exemplo n 1 Multiplicação de matrizes =7x8+8x5+9x2 M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 30 24 18 84 69 54 138 114 90
REVISÃ Exemplo n 1 Multiplicação de matrizes =1x7+2x4+3x1 M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 30 24 18 84 69 54 138 114 90
REVISÃ Multiplicação de matrizes =4x7+5x4+6x1 M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 30 24 18 84 69 54 138 114 90
REVISÃ Exemplo n 1 Multiplicação de matrizes =7x7+8x4+3x1 M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 30 24 18 84 69 54 138 114 90
REVISÃ Multiplicação de matrizes M = 1 2 4 5 internos iguais compatibilidade 9 6 = 21 66 2 2 2 1 2 1 Exemplo n 2 externos dimensão da resultante
REVISÃ Multiplicação de matrizes M = 1 2 4 5 9 6 = 21 66 =1x9+2x6 Exemplo n 2
REVISÃ Multiplicação de matrizes M = 1 2 4 5 9 6 = 21 66 =4x9+5x6 Exemplo n 2
EERCÍCI Sejam os dos pontos A e B, cujas coordenadas são: PNT (m) (m) (m) A 315,449 754,132 180,691 B 96,562-87,003-3,544 Calcule as coordenadas no novo sistema considerando as seguintes transformações : a) = R 2 57 00 00" + +47,000 m 81,000 m 15,000 m b) = R3. R 3 +64 00 00" + 67,000 m +43,000 m +12,000 m
a) = R 2 57 00 00" + +47,000 m 81,000 m 15,000 m SLUÇÃ = cos 57 0 sen 57 0 1 0 sen 57 0 cos 57 + +47,000 m 81,000 m 15,000 m = cos 57 sen 57 sen 57 + cos 57 + +47,000 m 81,000 m 15,000 m = cos 57 00 00" sen 57 00 00" + 47,000 m = 81,000 m = sen 57 00 00" + cos 57 00 00" 15,000 m PNT (m) (m) (m) A 370,346 673,132-181,146 B 96,619-168,003-97,914
b) = R3. R 3 +64 00 00" + 67,000 m +43,000 m +12,000 m SLUÇÃ = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 cos 64 sen 64 0 sen 64 cos 64 0 0 0 1 + 67,000 m +43,000 m +12,000 m = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 cos 64 +sen 64 sen 64 + cos 64 + 67,000 m +43,000 m +12,000 m = cos 64 +sen 64 sen 64 + cos 64 + 67,000 m +43,000 m +12,000 m = cos 64 00 00" +sen 64 00 00" 67,000 m = sen 64 00 00" + cos 64 00 00" + 43,000m = + 12,000 m PNT (m) (m) (m) A 749,093 90,066-168,691 B -102,868-81,929 15,544