Sgunda Prova d Física 1-7600005 - 2017.1 Aluno: Númro USP: Atnção: i. Não adianta aprsntar contas sm uma discussão mínima sobr o problma. Rspostas sm justificativas não srão considradas. ii. A prova trá duração ntr 50 (tmpo mínimo d prmanência na sala) 90 minutos. iii. Us canta para fazr o dsnvolvimnto aprsntar as rspostas finais das qustõs. Contúdo a lápis não srá considrado. Não é prmitido o uso d clulars calculadoras. 1. (5,0 pontos - Carrossl xótico) Em um parqu d divrsõs, crianças divrtm-s m um brinqudo giratório ond cada cadira é suspnsa por uma corrnt d comprimnto L, conform a ilustração abaixo. A partir do rpouso, m qu as crianças stão posicionadas ao longo d uma circunfrência d diâmtro D, o conjunto passa por uma suav aclração até atingir um stado d vlocidad angular constant. Todos os itns abaixo rfrm-s a uma condição stávl como ssa. Cada criança tm massa m a aclração da gravidad tm módulo g. a) (0,5) Dsnh o diagrama d corpo livr d uma criança. b) (1,5) Imagin qu cada corrnt forma um ângulo θ com a vrtical. Qual é a vlocidad angular final ω do brinqudo? Qual é a tnsão F na corrnt? c) (2,0) Imagin qu, m outro parqu, xistiss um brinqudo análogo qu atingiss a msma vlocidad angular ω do itm a, mas tivss parâmtros D = D/2 L = D/4 ond s divrtissm crianças d massa m = 8m. Em qual brinqudo as crianças compltam uma rvolução m mnor tmpo? Em qual brinqudo as crianças viajam com vlocidad d maior módulo? Est itm não dpnd do itm antrior. d) (1,0) As crianças podriam corrr riscos dsncssários m vntuais qudas s suas lvaçõs vrticais, m rlação à altura inicial ants do comço da divrsão, fossm maiors do qu um crto valor h. Dada ssa limitação, qual é a maior vlocidad angular ω qu o carrossl pod atingir? Sua rsposta dv dpndr somnt das variávis h, D, L, m g. Figura 1: qustão 1
a) b) O raio da o rbita circular R = L sin θ + D/2 (1) o mo dulo da rsultant cntrı pta dv sr mω 2 R. dirc a o radial: mω 2 R = mar = F sin θ (2) 0 = maz = F cos θ mg (3) dirc a o vrtical: As qs. (1), (2) (3), tomadas m conjunto, lvam a s ω= g tan θ L sin θ + D/2 (4) F = mg/ cos θ. (5) c) O prı odo T d rvoluc a o dpnd apnas d ω, T = 2π/ω. Assim, como os brinqudos funcionam com a msma vlocidad angular, as crianc as compltam rvoluc o s d msma durac a o nos dois brinqudos. Ja o mo dulo v da vlocidad d cada crianc a dpnd da sua dista ncia R ao ixo d rotac a o: a toria do movimnto circular uniform rvla qu valm as xprsso s v = ωr, para uma crianc a no brinqudo original,, analogamnt, v 0 = ωr0 para uma crianc a no brinqudo do outro parqu (msmo ω nas duas quac o s). Como R > R0 (vr abaixo), v smpr sra maior do qu v 0.
D fato, já conhcmos a rlação R = L sin θ + D/2. Not qu R > D/2, pois, nst problma, 0 < θ < π/2 o valor mínimo ocorr para θ 0. Analogamnt, val R = L sin θ + D /2 no outro brinqudo. Not qu θ não prcisa sr igual a θ, mas, como ants, 0 < θ < π/2. O maior valor d R viria d θ π/2, d modo qu R < L + D /2. Porém, como D = D/2 L = D/4, sgu qu R < D/2, qualqur qu sja θ. d) A anális do itm b prmanc válida, mas agora qualqur dpndência m θ dv sr xprssa como uma dpndência m h. A gomtria do problma rvla qu cos θ = L h L, (6), implicitamnt, isso já sria suficint para liminar θ. As rlaçõs 2Lh h 2 sin θ = 1 cos 2 θ = L (7) tan θ = sin θ cos θ = 2Lh h 2 L h (8) podriam sr substituídas na q. (4) para grar uma xprssão xplícita para ω.
2. (5,0 pontos - Blocos m cunha) Dois corpos (massas m 1 m 2 ) ligados ntr si por uma corda idal movm-s associados a uma cunha d inclinação θ, conform a ilustração abaixo. A cunha stá fixa no rfrncial do laboratório, a corda muda d dirção sob a ação d uma polia idal a aclração da gravidad tm módulo g. a) (0,5) Na ausência d atrito com a corda smpr tracionada, dsnh os diagramas d corpo livr dos dois corpos. b) (1,5) Na ausência d atrito com a corda smpr tracionada, dtrmin o módulo da tnsão na corda as componnts das aclraçõs dos dois corpos. Atnção, os sinais das componnts das aclraçõs dpndm do rfrncial qu você scolhr. c) (1,5) Agora imagin qu xist atrito ntr as suprfícis da cunha do corpo 2, dscrito por um coficint d atrito stático µ, qu o sistma stá m rpouso. Qual é a tnsão da corda nstas condiçõs? Qual é o módulo da ração normal da cunha ao contato do corpo 2? d) (1,5) Ainda no cnário com atrito do itm antrior, mas agora imaginando qu a massa m 2 podria sr ajustada (com os dmais parâmtros fixos), dtrmin o maior o mnor valor da massa m 2 d modo qu o sistma possa prmancr m rpouso, construindo xplicitamnt o diagrama d corpo livr do corpo 2 nsss dois casos. Figura 2: qustão 2
a) b) Como o movimnto do corpo 2 ocorr ao longo da inclinac a o da cunha, convnint a adoc a o d um ixo x nssa dirc a o, orintado para baixo, d um ixo y normal a fac da cunha por ond dsliza o corpo 2, orintado para fora da cunha. corpo 2, dirc a o y: m2 ay = N m2 g cos θ (9) O fato do movimnto do corpo 2 ocorrr ao longo da inclinac a o da cunha xig qu ay = 0. corpo 2, dirc a o x: m2 ax = m2 g sin θ T (10) Como a corda sta smpr tracionada, as massas movm-s conjuntamnt, d modo qu, mbora o movimnto do corpo 1 sja vrtical, sua aclrac a o dv rspitar o mo dulo o sntido d ax : corpo 1: m1 ax = T m1 g (11)
Ambas as qs. (10) (11) contêm as incógnitas a x T, qu podm sr isoladas como ( ) m2 sin θ m 1 a x = g (12) m 1 + m 2 ( ) m1 m 2 T = g(1 + sin θ). (13) m 1 + m 2 c) O atrito só afta o balanço d forças na dirção x do corpo 2. Em particular, as qs. (9) (11) não s altram com a prsnça d atrito. Quando a las s impõ a condição d rpouso a x = a y = 0, N = m 2 g cos θ (14) T = m 1 g. (15) d) Na iminência d movimnto (a x nulo) com a mnor massa m 2 possívl, a força d atrito stático atua no sntido positivo d x aprsnta su módulo máximo, µn. Nssas condiçõs, a q. (10) torna-s qu, combinada com as qs. (14) (15), rsulta m 0 = m 2 g sin θ T + µn, (16) m 2 = m 1 sin θ + µ cos θ. (17) Por outro lado, na iminência d movimnto (a x nulo) com a maior massa m 2 possívl, a força d atrito stático atua no sntido ngativo d x aprsnta su módulo máximo, µn. Nssas condiçõs, a q. (10) torna-s qu, combinada com as qs. (14) (15), rsulta m 0 = m 2 g sin θ T µn, (18) m 2 = m 1 sin θ µ cos θ. (19)