Uiversidade Federal de Alagoas Istituto de Ciêcias e Biológicas e da Saúde BIOB-003 Biomatemática Prof. Marcos Viícius Careiro Vital 1. Escalas. - Nomial: ão há asecto quatitativo. - Classificar esécies biológicas or omes. - Ordial: há difereça quatitativa etre os objetos classificados, mas o itervalo ão ossui sigificado. - Classificar um ambiete em regeeração em estágios que idiquem uma ordem: iicial, itermediário, avaçado. - Escala graduada (ou itervalar): a escala é quatitativa, mas o oto zero é arbitrário, etão as ercetages ão têm sigificado. - Temeratura, quado medida em graus Celsius, rereseta uma escala graduada. - 20 ºC ão é duas vezes mais quete do que 10 ºC! - A temeratura 0 ºC é arbitrariamete defiida como a temeratura a qual a água se cogela. - Escala de roorcioalidade: o oto zero é atural, e as ercetages odem ser alicadas. - O eso é uma escala de roorcioalidade. Existe um oto zero atural (mesmo que um ouco abstrato), e odemos dizer com seguraça que 2 Kg esam o dobro do que 1 Kg. 2. Percetages. - A lógica de uma orcetagem é ormalmete bastate ituitiva. Por exemlo, imagie uma situação a qual estamos acomahado o crescimeto de uma lata. Na
ossa rimeira medida, ela areseta 10 cm de altura. Uma semaa deois, somos iformados de que ela cresceu 20%. Qual seria seu ovo tamaho? - 20% rereseta um aumeto de roorção 20 baseado o tamaho origial. Ou seja, o ovo tamaho é 10 cm mais a quatidade aumetada, que é 20 10 = 2 cm. Etão a ova altura é de 12 cm. - Aida seguido o mesmo exemlo, odemos os fazer duas ergutas: se a lata crescer mais 20% a róxima semaa, etão qual teria sido sua orcetagem total de aumeto a artir de ossa medida iicial? E qual seria seu ovo tamaho? Tetar resoder esta erguta raidamete ode os levar à resostas erradas... cm! - Primeiro, ão odemos dizer que ela cresceu 40%! - E segudo, também ão odemos dizer que sua ova altura é de 14 - A razão disto é simles. - Se ao assar mais uma semaa ela cresceu mais 20%, este ovo aumeto já ão será baseado a altura iicial, e sim os 12 cm que ela tem ao fial da rimeira semaa. aumeto é: 20 que ossos 10 cm iiciais? - Ou seja, ela cresceu mais 20% a artir de 12 cm, etão o ovo 12 = 2,4 cm; etão a ova altura é de 14,4 cm. - E qual a orcetagem de aumeto os daria 4,4 cm a mais do 10 = 4,4, etão = 44%. - Vamos chamar a medida iicial de w, e a orcetagem de aumeto de. - E vamos tetar criar uma regra geral sobre como lidar com orcetages, que ossa ser alicada a qualquer situação! - Pelo osso exemlo, vimos que odemos saber a quatidade de aumeto dividido or cem e multilicado or w. Ou seja, a quatidade aumetada é: w. escrever como: w (1 + - E o valor fial, aós o aumeto, seria: w + w, que odemos
- E como lidar com aumetos cosecutivos? No osso exemlo, a lata cresceu 20% or semaa, ido de 10 ara 12 cm aós a rimeira e de 12 ara 14,4 aós a seguda semaa. Bom, ós sabemos calcular qual o ovo tamaho aós a rimeira semaa: w (1 + ); se este é o ovo tamaho, etão a artir dele odemos calcular o aumeto aós a seguda semaa: (w (1 + acima: w (1 + )) (1 + ). - Mas existe uma maeira bem mais simles de reresetar a fórmula 2. - Geeralizado aida mais, se esarmos em aumetos cosecutivos a mesma orcetagem, odemos reescrever ossa fórmula assim: w (1 + - Esta fórmula rereseta qual deveria ser a medida fial de um valor iicial w que aumetou uma orcetagem em vezes cosecutivas. - Caso esteja calculado uma redução, e ão um aumeto, lembrese de que o valor de deverá ser egativo. 3. Valores médios. - Quado lidamos com várias medidas (or exemlo, tamaho cororal de vários eixes), ode ser iteressate codesar os dados em um úico valor. Uma das maeiras mais comus de se fazer isso é calcular a média. 3.1. Média aritmética. - A média aritmética é aquela que usamos usualmete, e é calculada somado todos os valores medidos e dividido elo úmero de medias. Por exemlo, se tivermos três medidas (x1, x2 e x3), etão a ossa média aritmética seria: x = x 1+ x 2 + x 3 3 - Geeralizado, odemos escrever uma fórmula da média aritmética: x = x 1 + x 2 + + x - Mais adiate vamos reescrevê-la de uma maeira mais comacta.
3.2 Média geométrica. - Existem situações as quais a média aritmética ão rereseta bem o que queremos demostrar. Se tomarmos ovamete o osso exemlo da lata crescedo, e calcularmos a média aritmética das alturas medidas, teríamos x = 10+12+14,4 = 12,133 - Neste caso, ode os iteressar mais uma medida que, geometricamete, seja cetral. Etão alicamos a média geométrica, a qual multilicamos os valores e extraímos a raiz eésima do roduto (ode é o úmero de 3 medidas). Neste caso: 10 12 14,4 4. Somatório e rodutório. - Geeralizado: = 12 x g = x 1 x 2 x - E também veremos uma maeira mais simles de reresetá-la. - Quado escrevemos as fórmulas gerais das médias, logo acima, tivemos que usar as reticêcias ara reresetar a reetição de uma mesma oeração. Existe uma maeira muito mais comacta de fazer isso: o uso do somatório (o caso das somas) e do rodutório (o caso das multilicações, ou rodutos). 4.1 Somatório. - Um somatório é reresetado ela letra grega maiúscula Sigma: Σ. - Vamos chamar de i o ídice que aarece embaixo do x. Ou seja, vamos falar de xi, sedo que x1 é o valor de x quado i = 1. - E vamos cotiuar chamado de o úmero de valores. - Etão, odemos escrever, or exemlo: x i = x 1 + x 2 + + x i=1 - Que, em ortuguês, é o mesmo que dizer: a soma dos valores de x, ido do valor x1 até o valor x, ode é o úmero de valores de x que queremos somar. 3
- Etão vamos voltar à fórmula da média, e dizer que: x = ( x i ) / i=1 - Comare com a maeira com a qual escrevemos a fórmula geral da média ateriormete, e veja que o sigificado é o mesmo. 4.2 Produtório. - A mesma lógica ode ser usada com uma seqüêcia de multilicações, mas trocamos o Sigma ela letra maiúscula Pi: Π. - Usado a mesma otação do somatório, odemos escrever que: x i = x 1 x 2 x i=1 - Que é o mesmo que dizer: a multilicação dos valores de x, ido do valor x1 até o valor x, ode é o úmero de valores de x que queremos multilicar. - Ates de reescrevermos a média geométrica usado o rodutório, vamos seguir adiate com algumas iformações sobre otêcias. 5. Potêcias e otêcias fracioárias. - Uma otêcia ode ser reresetada ela forma geral a, ode a é chamado de base e é chamado de exoete. - O sigificado é simles: multilicar a or ele mesmo vezes. - As otêcias odem ser bem úteis ara reresetarmos de maeira comacta úmeros que são muito grades ou equeos. Normalmete fazemos isso usado a otêcia de dez. - = 10 2, 0 = 10 3, 00 = 10 4, etc. - Também odemos esar em otêcias egativas, e é fácil comreedê-las se esarmos a direção oosta. - = 10 2, 10 = 10 1, 1 = 10 0, 1/10 = 0,1 = 10-1, 1/ = 0,01 = 10-2, etc.
5.1 Oerações com otêcias. - Existem algumas regras básicas que os ajudam a lidar com oerações matemáticas que evolvem otêcias: - a a m = a +m - a / a m = a m - (a ) m = a m - a b = (a b) - a = 1 a 5.2 Potêcias fracioárias. - Lidar com uma otêcia fracioária é mais simles do que arece. Vamos tetar deduzir uma fórmula geral ara trabalhar com isso. - Sabemos que 2 3 = 8; odemos multilicar o exoete or os dois lados da equação, e teremos 2 3 = 8 (lembrado que 8 = 8 1 ). - Agora vamos fazer o oosto: dividir os exoetes or. O osso resultado seria que 2 3/ = 8 1/, e temos aí ossa otêcia feacioária. Para etedê-la, vamos ver o que acotece quado = 3: 2 3/3 = 8 1/3, etão 8 1/3 = 2. 3 - O que seria o mesmo que dizer que 8 = 2. - Em outras alavras, uma otêcia fracioária é o que os cohecemos como raiz. E uma fórmula geral seria: a 1/ = a - Vamos semre dar referêcia ela otação em otêcia fracioária do que ela otação em raiz. - Primeiro, or ser mais fácil de digitar em um comutador. - Segudo, orque é mais fácil de resolvemos oerações, uma vez que odemos alicar aquelas regras de otêcias que vimos logo acima! 5.3 Voltado ao rodutório e à média geométrica. Agora odemos dizer que: x g = ( x i ) i=1 1/
Exercício 1 Um esquisador criou um equeo rojeto ara estudar o crescimeto de uma árvore ameaçada de extição, visado obter iformações ara laejar sua coservação. Na rimeira etaa do trabalho, ele mediu 10 mudas de um mês de idade, e ecotrou os seguites valores (medidos em cetímetros): 15; 18; 22; 23; 20; 17; 21; 25; 19; 20. 1.1. Calcule a altura média das mudas medidas, usado a equação: x = x i / i=1 Exresse, a resosta, a etaa a qual a equação acima é desdobrada. Aqui basta calcular a média. O detalhe de desdobrameto da fórmula está resete aeas ara exercitarmos a lógica de um somatório, e a resosta deveria estar mais ou meos assim: 15 + 18 + 22 + 23 + 20 + 17 + 21 + 25 + 19 + 20 x = = 20 10 Dado cotiuidade ao exerimeto, o esquisador realizou uma ova medida de altura das mudas aós mais um mês (isto é, quado as mudas tiham dois meses de idade). Como resultado, ele descobriu que a altura média aumetou em 20%. 1.2. Qual seria a altura média das mudas de dois meses? Assumido que a cada mês a altura média aumeta outros 20%, qual seria a altura média das mudas de três meses? A maeira mais simles é alicar a fórmula de uso de orcetages vista esta aula. Para o rimeiro aumeto, ossa cota seria: 20 (1 + 20 = 24 E, ara o segudo aumeto: 20 (1 + 20 2 = 28,8 1.3. Qual é a orcetagem total de aumeto das mudas desde o rimeiro mês de idade até o terceiro? A maeira mais simles de chegarmos ao resultado é ovamete alicar a fórmula, o que os levaria a: 28,8 = 20 (1 + E ecotrar o valor de, o que faremos asso a asso a seguir. Perceba que desta vez ão elevamos a fórmula ao quadrado, ois estamos tetado descobrir qual o aumeto total desde o tamaho iicial até o tamaho fial, etão ão recisamos cobrir todas as etaas de aumeto o osso cálculo. Resolvedo as cotas:
Ou seja, o aumeto total foi de 44%. Exercício 2 28,8 = 20 (1 + 28,8 20 = (1 + 1,44 = (1 + 1,44 1 = 0,44 = = 44 Um etomólogo estava realizado um trabalho de descrição de uma ova esécie de iseto. Em uma das etaas do seu rojeto, ele mediu o comrimeto de dez idivíduos em estágio larval, recém eclodidos dos ovos. As medidas que ele ecotrou foram (em milímetros): 35; 26; 27; 33; 29; 31; 33; 27; 28; 31. 2.1. Calcule o comrimeto médio dos isetos medidos, usado a equação: x = x i / i=1 Exresse, a resosta, a etaa a qual a equação acima é desdobrada. x = 35 + 26 + 27 + 33 + 29 + 31 + 33 + 27 + 28 + 31 10 = 30 Dado cotiuidade ao seu trabalho, o esquisador assou a ivestigar o desevolvimeto das larvas. Ele costatou que a cada semaa o tamaho dos idivíduos aumetava em 15%, até eles comletarem o desevolvimeto algumas semaas deois. 2.2. Qual seria o tamaho de uma larva deste iseto que eclodiu com o tamaho médio (ou seja, 30 mm) aós uma semaa de desevolvimeto? E qual seria o seu tamaho aós duas semaas? Para uma semaa: E ara duas semaas: 30 (1 + 15 = 34,5
Ou, como alterativa ara as duas semaas: 34,5 (1 + 15 = 39,675 30 (1 + 15 2 = 39,675 2.3. Qual a orcetagem total de aumeto de uma larva de 30 mm que cresceu or duas semaas seguidas? Exercício 3 39,675 = 30 (1 + 1,3225 = (1 + = 32,25 % Um cietista costatou que, ao serem alimetadas com um tio de ração, as cobaias criadas em seu laboratório tiham um gaho de eso de 7% or semaa. Cosiderado uma cobaia com o eso iicial de 350 gramas, resoda: 3.1. Quais seriam os seus esos aós uma, duas, e três semaas? Uma Duas Três 350 (1 + 374.5 (1 + 400.715 (1 + 7 = 374.5 7 = 400.715 7 = 428.765 Lembrado que ara duas e três semaas odemos usar o cálculo a artir do valor iicial (350) e elevar à otêcia corresodete aos aumetos cosecutivos. 3.2. Qual a orcetagem total de aumeto da cobaia aós as três semaas? 428.765 = 350 (1 + 1,225 = (1 + = 22,5 %
Exercício 4 Um mofo a arede da sala de um rofessor de matemática teve a sua área medida em 127 cm 2. Se a macha crescer 1,5% ao dia: A resolução é a mesma, etão serei mais direto com as resostas. Fiquem aeas atetos ao valor da orcetagem, que é equeo este exemlo. 4.1. Qual será o tamaho da macha a cada dia ao logo de uma semaa (7 dias)? Dia Mofo 0 (iicial) 127 1 128.90 2 130.83 3 132.80 4 134.79 5 136.81 6 138.86 7 140.95 4.2. Qual a orcetagem total de aumeto do mofo aós a semaa? = 10,98 % 4.3. Se mais uma semaa se assar, qual será o tamaho do mofo? Ou 140.95 (1 + 1,5 7 = 156,46 127 (1 + 1,5 14 = 156,46 Exercício 5 O rótulo de um roduto de limeza iformava que o seu uso reduziria o úmero de bactérias de uma suerfície qualquer em 99%. Cosidere uma suerfície com 10 bilhões de bactérias, e resoda: A difereça crucial este exemlo é que estamos falado de uma redução, etão osso valor de deve ser egativo a fórmula. Fora isso, ada muda. 5.1. Quatas bactérias devem ser ecotradas a suerfície aós o roduto ser usado uma vez? E se o roduto for usado ovamete uma seguda vez sobre a mesma suerfície, quatas bactérias devem sobrar? E se for usado ovamete, uma terceira vez?
Primeira Seguda Terceira 00000 (1 99 = 000 000 (1 99 = 0 0 (1 99 = 10 5.2. Qual a redução total do úmero de bactérias aós os três usos cosecutivos? 10 = 00000 (1 + 0,000001 = (1 + = 99,99990 % Exercício 6 Um fragmeto de Mata Atlâtica com uma área de 250 km 2 assa or um rocesso cotíuo de desmatameto, que remove 10% de sua área ao ao. Novamete, temos uma redução, etão ateção ara o egativo. 6.1. Qual será o tamaho deste fragmeto daqui a 10 aos? Aqui a solução mais rática é calcular de uma úica vez: 250 (1 10 10 = 87,17 6.2. Qual a orcetagem total de redução da área ocorreu este eríodo? Exercício 7. 87,17 = 250 (1 + = 65,13 % Um esquisador relatou a existêcia de uma área desertificada em exasão detro de uma Uidade de Coservação de Mata Atlâtica. A área desertificada foi medida em 200 km 2, e foi costatado que ela estava em crescimeto em uma taxa de 15% ao ao.
7.1. Qual será o tamaho da área desertificada daqui a três aos? E daqui a cico aos? w = 200 (1 + 15 3 = 200 1.52 = 304.17 w = 200 (1 + 15 5 = 200 2.01 = 402.27 7.2. Qual o ercetual total de aumeto da área desertificada aós cico aos? 402.27 = 200 (1 + 2.011 = (1 + 1.011 = = 101.1%