FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS Apreação Preado a aluno a Observamos no nosso dia a dia que as ecnologias aplicadas à área de ciências eaas como inormáica engenaria ec surgem com muia rapide ano que os usuários dessas ecnologias êm que esá consanemene se aualiando em virude desse grande devolvimeno Porano o esudane perencene a essa área em que procurar inormações de odos os ipos principalmene as que servem para o camino de sua ormação universiária A disciplina Cálculo-II que a pare da grade curricular dos cursos que abrangem as áreas de Ciências Eaas objeiva mosrar ao alunado a imporância do aprendiado do cálculo que leva o esudane para a elaboração dos modelos que possa eplicar com cera precisão os enômenos que ocorrem nesses reeridos cursos Inormáica Engenaria ec O coneúdo da disciplina Cálculo-II visa os esudos das unções de duas ou mais variáveis; ie e coninuidade de uma unção de duas variáveis; esudo de derivadas parciais e suas aplicações; inegrais múliplas e suas aplicações Esse coneúdo será devolvido oalmene em sala de aula conudo para aciliar o aprendiado disponibiliamos ouros meios de comunicação que serão ensinados a você Finalmene preendemos que ese rabalo vena conribuir para seu aprendiado e consequenemene para sua ormação acadêmica Saudações educacionais Anicio Becara Arero Inrodução
Esudamos aneriormene unções de uma única variável independene; enreano surgem no nosso coidiano problemas que envolvem duas ou mais variáveis independenes como por eemplo: - Um correor de imóvel vende cera quanidade de casa popular na capial por R$ 8 a unidade e oura quanidade do mesmo ipo de casa por R$ 65 a unidade nas cidades inerioranas a receia oal obida pelo correor com as vendas das casas é dada por R = 8 + 65 bserve que a receia oal depende de duas variáveis independenes e - Um engeneiro esá consruído uma piscina com meros de comprimeno meros de largura e meros de alura Para enconrar volume V e a área S deve uiliar as seguines regras: V = e S = + + bserve que ano o volume como a área dependem de rês variáveis independenes e Esses são eemplos onde uma grandea de ineresse depende dos valores de duas ou mais variáveis independenes Após esses modelos vamos esudar os méodos do cálculo de unções com duas ou mais variáveis independenes Função de Duas Variáveis: seja D um subconjuno região do espaço R plano Cama-se unção de D oda relação que associa a cada par D um único número real repreado por O conjuno D é o domínio da unção Assim D é o domínio da unção em R é a unção e é o valor da unção calculado em
Eemplos de unção de variáveis: a = + b = + / c = + Cálculo da variável dependene Vamos calcular o valor da variável dependene conecendo os valores das variáveis independenes aravés do seguine eemplo: - Dadas as unções = + + g = + / e = deermine: a b g c - d a a Solução: a = + + = + + = b g = + / g = - / = / = c = - = - - = -6 d = + + a a = a + a + = a + = a + Um deerminado empresário vende cera quanidade de um produo na capial por R$ a unidade e oura quanidade do mesmo produo por R$ 5 a unidade nas cidades inerioranas Deermine: a A unção receia; b A receia do empresário quando a quanidade vendida na capial alcançar 75 unidades e nas cidades inerioranas unidades Solução: a Para calcular a receia oal devemos muliplicar o preço do produo pela quanidade vendida Logo:
R = P Q R receia oal P preço e Q quanidade R = + 5 unção receia b Como = 75 e = emos: R = + 5 R75 = 75 + 5 = 5 A receia oal do empresário oi de R$ 5 5 Um engeneiro preende consruir uma piscina com as seguines medidas: meros de comprimeno meros de largura e meros de alura Enconre: a A unção que reprea o volume dessa piscina; b O volume quando as medidas preendidas são de 8m de comprimeno 5m de largura e 5m e alura; c A unção que reprea a área dessa piscina; d A área da piscina com as medidas do iem b Solução: a O cálculo do volume é eio pelo produo das rês dimensões: V = b Como = 8m = 5m e = 5m emos: V = V8;5;5 = 855 = 6 O volume é de 6 m ou 6 liros c O cálculo da área é medido pela seguine relação: S = + + d Como = 8m = 5m e = 5m emos:
5 S = + + S8;5;5 = 85 + 85 + 55 S8;5;5 = + + 5 S8;5;5 = 79 A área é de 79m Domínio de unções de duas variáveis O domínio de unções de duas variáveis independenes segue as mesmas regras do domínio de unções de uma variável independene ou seja é o domínio de odos os pares para os quais a epressão é deinida Eemplos: Acar o domínio da unção = / em seguida enconre 6-5 e Solução: Observe que logo a condição de eisência dessa unção é - real porano o seu domínio é D ={ R / } 6 6 5 5 9 não em solução pois Ace o domínio da unção em seguida enconre 5 e 6 A unção é deinida quando Assim domínio D é o conjuno de ponos ais que D = { R / } 5 6 9 9 5 6 5 6 8 6 8 6
6 Dada a unção a Ace o domínio de b Enconre - e 8 Solução: a A unção é inia quando - > O domínio é o conjuno de ponos ais que D = { R / < } b 8 observe que 8 não perence ao domínio pois 8 não é menor que 6 logo não é deinida nesse pono não aprea imagem 8 8 EXERCÍCIO: - Enconre o domínio de cada unção em seguida deermine o valor da unção nos ponos indicados: a = + -/ b / c 6 d e 5 /5 5 g = / / i / / j 6 Resposa: a D = R e -/ = 5/ b D = { R / + > } e / = / c D = { R / } e = d D={R / + 5} e = e D = { R / } e = D D={ R / } e /5=5
7 g D = { R / } e / = D = R e = - i D = { R / } e // = - j D = { R / } e = FUNÇÃO DE TRÊS VARIÁVEIS Deinição: uma unção real de rês variáveis é uma relação que a cada ripla ordenada de números reais associa um único número real onde são as variáveis Independenes de saída w variável dependene de cegada È imporane salienar que unção real de rês variáveis não pode ser repreada geomericamene Eemplos: - Ideniicar o Domínio das Funções: a Espaço ineiro b w c w = Ln semi-espaço > d Espaço ineiro Enconre o domínio da unção e os ponos para os quais = R A epressão só a ido nos ponos ais que > ou seja > Ainda: = = / = = A seguir repreamos o domínio de e os ponos onde =
8 Repreação Geomérica de = = Uma unção = é repreada por planos ou superícies no espaço Para as unções de uma variável independene o gráico é ploado no plano XY Já para unções de variáveis independenes o gráico é ploado no plano R onde = Uma unção de variáveis sempre gera uma superície no espaço R Eemplos de unções de variáveis independenes: A unção é = = 5 A superície é um plano ininio paralelo a e passando por = 5
9 A unção é = = 6 + Esa unção pode ser escria na orma + = 6 que é a equação de um plano Para acar os ponos onde ese plano inercepa os eios é só aer: a = e = = 6 b = e = = c = e = = A unção é = = + A unção é = = DIFERENÇAS ENTRE D E D Gráicos D superícies de algumas unções de variáveis
= - com e variando de a - - - - - = + com e variando de a - - - - = com e variando de a - - - - - = sem + - com e variando de a 5-5 - - - - - = - - com e variando de a 9 8 7 - - - - = / + com e variando de a - - - - -
EXERCÍCIOS Enconre o valor de cada unção nos ponos indicados: a = + ; b ; 5 c 5 d p q q ; e 8 e Lnp e e e ; ln e ; Ln Resposa: a e b -/ e - c e - / d e -8 e e -6 e Enconre o domínio de cada unção: a b 8 c 6 d e d Ln Log Resposa: a D = { R / } b D = { R / } c D = { R / + 6 } d D = { R / } e D = { R / < } D = { R / > 6} Função de n Variáveis: uma unção real de n variáveis é uma relação que a cada n-upla ordenada de números reais n associa um único número real n È imporane salienar que unção real de mais de rês variáveis ambém não pode ser repreada geomericamene
ies e Coninuidade de Funções de Várias Variáveis - ie e Coninuidade de Funções de Variáveis O ie da unção quando ende para um valor é o número L se eisir e é repreado por Se o ie eisir no pono diemos que a unção é conínua nese pono Caso conrário a unção será desconínua no pono O mesmo é válido para um inervalo iso é a unção é conínua num inervalo quando o ie eise em odos os ponos desse inervalo - Nas unções abaio o ie eisirá sempre com eceção nas resrições a = + + é conínua b = + é conínua c d é conínua é conínua e = Ln 6 é conínua / < L Resolução de ies de duas ou mais variáveis - Observe a resolução de cada ie abaio: a 6 b 5 7 5 7 6 c in de er min ação
- Levanando a indeerminação Como = emos: Agora resolva os seguines ies: e e g cos 5 Resposa: a - b 5 c d e não eise /9 g Para se esimar o ie de uma unção de duas variáveis no pono é necessário calcular esse valor por odas as rajeórias que passem por Se em odos os casos o resulado or sempre o mesmo digamos L di-se que o ie eise e que vale L Caso o ie não eisa em alguma rajeória ou dê um valor dierene para rajeórias dierenes diemos que o ie não eise Observe os eemplos: - Deermine o ie se eisir ou mosre que o ie não eise: a b 5 d c b a
Solução: a indeerminação a Escolamos o camino = por eemplo do que = = = = = a Escolamos o camino = por eemplo do que = 9 = = = = = Como os ies são dierenes concluímos que não eise b É uma indeerminação do ipo [/] b Escolendo = camino percorrido ao longo do eio o = = b Escolendo o segundo camino = bisseri dos quadranes ímpares = = /
5 Os ies são dierenes logo não eise - Dada a unção Deermine o ie de quando ende a ao longo de cada camino: a Eio dos b Eio dos c A rea = d A parábola = Solução: a Se o camino é o eio dos signiica que = logo = enão: e im im L L b Se o camino é o eio dos signiica que = logo = enão: e im im L L c Se o camino é a rea = signiica que = logo = enão: e im im L L d Se o camino é a parábola = signiica que = logo = enão: 5 e im im L L Os ies são iguais logo o ie eise e é igual a ero Vimos aneriormene que o ie de uma unção acompanada por uma variável independene eise se e somene se os ies laerais eisem e são iguais Já quando a unção aprea duas variáveis independenes o seu ie quando ende a ab eise ab = L se ende a ab se eise a a a
6 não apenas pela direia ou pela esquerda mas ambém por qualquer oura direção Por im suponamos que a escola de caminos dierenes não permia mosrar a ineisência do ie enão deve-se recorrer à sua deinição: ie de unções ordinárias pode ser edido para unções de várias variáveis Assim di-se que ende para um valor deinido L quando o par se aproima de o o se quano mais pero esiver de o o mais pero esará de L L ou o o o L ie de F DERIVADAS PARCIAIS Inrodução: Eisem problemas no nosso coidiano que geram unções com duas variáveis independenes cujo objeivo enconrar a aa de variação derivada da unção considerando uma como variável independene e a oura como consane A esse procedimeno denominamos Derivação Parcial O resulado dessa derivação é denominado de Derivada Parcial da unção As regras que uiliaremos para enconrar as derivadas parciais são as mesmas empregadas quando do esudo das derivadas de unções com uma variável independene Após essa inrodução vamos deinir derivada parcial
7 Sejam A R um conjuno abero e : A R uma unção - A derivada parcial de em relação à variável no pono A é denoada por ou e deinida por: se eise ie onde e são consanes - A derivada parcial de em relação à variável no pono A é denoada por = e deinida por: se eise ie onde e são consanes - A derivada parcial de em relação à variável no pono A é denoada por e deinida por: se eise ie Onde e são consanes e é o acréscimo dado a cada variável independene De modo equivalene são deinidas as derivadas parciais de duas variáveis independenes Sejam A R um conjuno abero e : A R uma unção - A derivada parcial de em relação à variável no pono A é denoada por e deinida por:
8 ie eise se - A derivada parcial de em relação à variável no pono A é denoada por e deinida por: ie eise se Noa: quando calculamos as derivadas parciais de uma unção por eemplo: = Devemos deerminar a derivada parcial em relação a = consane e depois em relação a = consane Eemplos: Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada unção: a w = = ie eise se a
9 ie eise se a ie eise se a Observe que aé esse momeno resolvemos uiliando a deinição agora vamos resolver aplicando as regras de derivada w = = ' ' '
b = + 5 Solução: ' ' 5 ' ' 5 c = u v u ' u v ' ' derivada do quociene v v ' ' 6 6 6 6 6 6 6 d = cos + = u n =nu n- u =u = u cosu =cosu = -u u cos [cos ]' cos [ ' ] cos [ ] [ cos ] cos cos 6 [ ]' [ ' cos ] [ cos ] [ cos ] cos cos 6 e = Ln + Ln u ' u' u + + + + ' ' + + + ' + + = e e = e u = u e u
' e e e e ' e e e e Eercícios: Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada unção: a = 5 + b = Ln c d e e g w = + 5 + = Ln [cos] i w = e + j = - k = l = Ln [cos - ] m = g - n = e cos/ = p Ln q = cos r = cos Resposa: a = e = -5 + 8 b e e c d e e cos e cos e e e g w = 6 + w = + e w = -9 = -g e = -g i w = e + w = e + e w = e + j = cos- - ln e = -cos- - ln
k = - e = ln l = 6g - e = - g - m = sec - = sec - e = sec - n cos / e e e cos / o = 6 cos e = cos p = / e = / q = cos e = sem r = coscos e = - Dadas as unções e w Ln deermine: a w d Resposa: b w e w c a / b / c d / e / Sabendo que = pcosθ e = pθ deermine Resposa: p p p Dada a unção 5 Enconre e e resolva a epressão 5 Resposas: 9 e 7 7
Derivadas Parciais de Segunda Ordem São as unções resulanes quando uilia-se duas vees derivadas parciais da seguine maneira: Seja a unção = : ou ou ou ou Noa: e são denominadas Derivadas Parciais Misas Eemplo: - Enconre as derivadas parciais de segunda ordem de cada unção: a = b = e Solução: a = 6 a a 6 a a 6 6 Noa: as derivadas misas na sua maioria são iguais b = e b e e e b e e e a e e e e a e e e e Eercícios: - Deermine as derivadas parciais de segunda ordem de cada unção: a = 5 + b = e -
c pq = Lnp + q d e = e - + e Resposa: a = 6 = - = = b = 8 e - = 8 e - e = =6e - c pp q p p q e pq qq p q p q pq qp p q d 9 e e 8 6 e e 8 e e e e Sabendo que = Ln deermine: a e e b e e c e e d e e Resposa: e e e e e a b /e c /e d -/ e /e /e A produção mensal de deerminado produo por uma indúsria é dada pela regra Pqr = q + 75r + q r r unidades onde q reprea o número de operários e r o número de máquinas uiliados pela indúsria Aualmene a indúsria aprea 5 operários e máquinas em aividades Enconre a variação da produção se mais um operário or conraado e o número de máquinas permanece consane
5 Solução: Como varia o número de operários e permanece consane o número de máquinas a derivada parcial de Pqr dá a aa de variação da produção com o número de operários Pqr = q + 75r + q r r Pqr = q + 75r + q r q r P q q r qr 6 q P q 5 5 6 5 P q 5 68 A produção mensal é de 68 produos Teorema de Euler: Função Homogênea: Uma unção é dia omogênea de grau n se para qualquer k consane veriica-se a igualdade k k = k n É imporane salienar que uma unção racional ineira será omogênea se odos os ermos da mesma são do mesmo grau O eorema de Euler di que para oda unção omogênea de grau n sempre se veriica a igualdade n E: Veriicar se a unção o eorema de Euler sobre essa unção é omogênea caso airmaivo comprovar Solução: k k k k k k k k k k Como k k = podemos airmar que a unção omogênea Agora apliquemos o Teorema de Euler é
6 n ' ' ' ' n n n n n n Dierencial Toal - Inicialmene deinimos acréscimo oal de uma unção = como a dierença = = + + - Consideramos a dierencial oal de uma unção = no pono a pare principal do acréscimo oal quando e linear em relação aos acréscimos das variáveis independenes e As dierenciais dos argumenos por deinição coincidem com seus acréscimos iso é d = e d = Porano para calcular a dierencial oal de uma unção = uiliamos a seguine órmula: d d d duas variáveis independenes d w d w d w dw rês variáveis independenes dn n p d p d p d p dp n variáveis independenes Eemplos: Enconre a dierencial oal da unção = +
7 Solução: = + d d d 6 d 6 d d Deermine a dierencial oal das unções: a = + b w = + c = d = Ln e w = + e = 5 + cos5 g = = i = g j = cos Resposa: a d= + 6 8 d - 8d b dw = + 8 d + + 8 d + -8 + d c d = 6 d + 9 d d d d e dw = d + d+ e d d = 5cos5d + 5 sem5d g d d d d d d i d d d cos cos j d = -[6 + cos] Volume de um cone
8 O cálculo do volume de um cone é dado pela seguine órmula: V r V volume r raio alura Noe que o volume de um cone depende da sua alura e do seu raio É imporane salienar que a derivada parcial de V com relação a r descreve a aa com que o volume de um cone varia à medida que o seu raio ambém varia e a sua alura é manida consane V r r A derivada parcial de V com relação a descreve a aa com que o volume de um cone varia à medida que a sua alura ambém varia e o seu raio é manido consane A derivada parcial relaivamene a é V r Logoa dierencial oal do volume de um cone é calculado da seguine maneira: dv V r dr V d dv r dr r d Quando visamos enconrar a derivada oal do volume em relação a cada uma das variáveis uiliamos as órmulas: dv dr r r d dr e dv d r r dr d A dierença enre a derivada oal e parcial é a einação de dependências indireas enre as variáveis nas derivadas parciais Aplicação: O volume de um cone é repreado pela órmula V R H Sendo de 5 cm a sua alura e cm o diâmero de sua base como variará o volume dese cone se aconecer um aumeno de cm na alura e uma diminuição de cm no raio?
9 Solução: A variação aproimada do volume de um cone V é repreada aproimadamene pela dierencial oal R = cm dh = e dr = - dv V dr V dh R H onde H = 5 cm dv V R dr V H dh dv RHdR R dh 5 5 cm V d reprea o volume V de um cone circular onde é o comprimeno da gerari e d o diâmero da base a Enconre a aa de variação do volume em relação à gerari se o diâmero é manido consane com o valor de = 6 cm enquano a gerari d varia Enconre essa aa de variação no insane em que d = cm b Supona que o comprimeno da gerari permaneça consane com valor de = cm Considerando que o valor do diâmero varia enconre a aa de variação do volume em relação ao diâmero quando = 6 cm Solução: a V V d d d d ' d V d 8 d 8 d V d 6 d d Quando d cm e 6 cm emos : V d 6 6 6 7 cm por cm
cm por cm V emos cm e cm d Quando d d V d d V d d V d d V b ' ' 559 6 6 6 6 : 6 Enconre a inclinação da rea angene à curva de inersecção das superícies com o plano = no pono - Calcula-se a derivada parcial em relação a e em seguida subsiui os valores de e 6 ' INTEGRAÇÃO MULTIPLA Esudamos aneriormene as inegrais deinidas para unção de uma só variável uiliando para isso algumas regras para resolver essas inegrais em um
inervalo ]a b[ Agora iremos aprender a resolver inegrais deinidas de unções que apream duas ou mais variáveis uiliando para isso as regras aprendidas quando das resoluções de inegrais de unção com uma variável Imegrais Ieradas ou Repeidas Durane nossos esudos sobre derivadas parciais de duas ou mais variáveis independenes consideramos uma como variável independene e as ouras emporariamene como consanes Da mesma maneira orna-se possível resolver inegral deinida com duas ou mais variáveis considerando uma delas independene e as ouras consanes Observe os eemplos d d d d C : var ável C : var ável independen independen e e : cons an e e e : cons an e Noe que as dierenciais d e d indicam a variável independene ou seja aquela que vai ser inegrada Se a unção = é não-negaiva na região R a inegral dupla pode ser inerpreada como um volume No eemplo uiliamos como a variável independene e emporariamene como consane Conudo podemos considerar a consane C como unção de ou como unção de no eemplo d d d d C C Eercícios: - Dada a unção = cos deermine: a d b d Solução: a d cos d cos d cos cos C a d cos d cos d C
- Em relação a unção do eemplo deermine d e d Solução: d d d cos cos cos cos cos ] [cos cos cos cos d d d ] [ cos cos A parir desse momeno podemos camar de inegrais repeidas ou ineradas as inegrais abaio: d d dd e d d dd g b a g g b a g Eemplos: - Calcule as inegrais ieradas: a dd b dd / dd Solução: 6 d d d d d d dd a 6 5 6 9 7 7 6 7 6 d d d d d d dd b
cos cos cos cos / / / d d d d d d d dd c - Resolva as inegrais abaio: / 6 d d c d d b d d a Solução: 6 6 6 d d d d d a 8 d d d d b / 6 d d c = / 6 d d / 6 d 6 d 6 n n du d d du u 6 6 6 6 6 6 u du u du u d Eercícios: Resolva as inegrais: d a cos d b cos d c d e d
Resposa: cos b c a c Resolva as inegrais Ieradas: c e c d e / a dd b dd c cos dd b d a e dbda 5 e dd p q dpdq Resposa: a /5 b 8/ c / d e 6 e BIBLIOGRAFIA e /5 / Bronson Ricard Equações Dierenciais/ Ricard Bronson; radução Alredo Alves de Farias: revisão écnica Anonio Perence Júnio -- Ed Aão Paulo: Makron Books 99 Equações Dierenciais I Tíulo 555 Leigon Waler Equações dierenciais ordinárias/ Waler Leigon; radução de Lui Adauo da Jusa Medeiros a ed ver e suplemenada pela a ed americana por Danilo Marcondes Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Cieníicos 978 Tradução de: Ordinar dierenial equaions Equações dierenciais I Tíulo L59e GRENVILLE WAB Elemenos de Cálculo Dierencial e Inegral Rio de Janeiro: Aual 98 57D765e