4 Modelo Proposo Hol-Winers om Múliplos Cilos 4. Inrodução Eisem uma variedade de séries emporais que não se ausam failmene a modelagem via amoreimeno eponenial radiional. As séries om variação ília ou sazonal se enquadram denro desse perfil de série. O modelo de amoreimeno eponenial de Hol-Winers é um proedimeno basane popular para a previsão de séries emporais que possuem ilos sazonais. Um faor imporane para a sua popularidade é a sua simpliidade e failidade de implemenação ompuaional. Além de ser um proedimeno heurísio, sendo as suas equações de aualização obidas de forma inuiiva. (Souza, 983[4]). A robusez e a auraidade dos méodos de amoreimeno eponenial, em levado a um grande aumeno das formas de apliação e uilização do méodo, prinipalmene, nos asos onde um grande número de séries emporais preisam ser aualizadas aravés de um proedimeno auomáio, al omo oorre, por eemplo, no aso do onrole de esoques. Isso deia laro que o modelo Hol-Winers pode ser um razoável andidao para uma apliação de proedimenos de aualização de forma auomaizada para o aso da previsão online de demanda por arga de energia eléria. No enano, é preiso ser menionado, que esse modelo, al omo foi formulado por Winers, somene é apaz de aomodar um ilo (um padrão sazonal). E sabemos que as séries de demanda por arga de energia eléria horárias e de ½ em ½ hora possuem ilos diferenes dos orrespondenes a mudança das esações do ano (sazonalidade). Os dados horários e de ½ em ½ hora dessa variável apresena ambém, em sua grande maioria, ilos semanais e diários. Ou sea, sabemos que o omporameno de uma deerminada série de demanda por arga de energia eléria numa segunda-feira de uma semana, erá grandes hanes de ser semelhane ao omporameno da demanda da segunda-feira da semana anerior. al omo, a demanda por arga de
67 energia eléria ao meio dia de hoe, será, basane pareida om a demanda oorrida ao meio dia de onem. Por essa razão, faz-se neessário enonrar uma forma alernaiva de uilizar o modelo Hol-Winer para séries que possuam múliplos ilos. Em esudo realizado por aylor (00[7], o auor uiliza uma eensão do mesmo para série de arga de ½ em ½ hora da Naional Grid, a empresa responsável pela ransmissão das argas de energia eléria nos países da Inglaerra e País de Gales. O modelo proposo na disseração irá inroduzir um índie de ilo adiional e uma equação de amoreimeno era para esse novo índie riado (aylor, 00[7]). Vale menionar, que o ermo múliplos ilos, é uilizado porque, apesar de na disseração só uilizarmos ilos, o mesmo pode ser, failmene, esendido para rês, quaro, ou n ilos. 4. Hol-Winers Padrão O modelo Hol-Winers padrão foi inroduzido por Winers para a previsão de séries emporais que apresenam variação ília e se adequa a séries que possuem somene um padrão ílio inorporado a mesma. O modelo proposo por Winers inorpora ano a endênia quano o efeio sazonal. Ele pode ser formulado de duas formas: de forma adiiva, ou de forma mulipliaiva. A forma adiiva do modelo é mais adequada para séries em que a variânia da mesma é onsane ao longo do empo. Já a forma mulipliaiva se adequa a séries em que essa variânia rese uno om o nível da série. Nas seções que seguem iremos fazer uma inrodução a formulação do modelo de Hol-Winers nas suas duas formas.
68 4.. Hol-Winers Adiivo Supondo que a série,, possui somene um padrão sazonal, e que esse padrão não aumena unamene om o nível da série. Podemos esrever loalmene, essas suposições de seguine maneira : = b + b + + ε (4.) onde, b é a omponene de nível, b a omponene de endênia linear, o faor sazonal, e e o omponene aleaório. O amanho do faor sazonal é, e os faores sazonais somam o seguine amanho. = () 0 = (4.) Esse modelo é ideal para séries que possuem ano um efeio endênia adiivo e um efeio sazonal adiivo superposo. Caso a omponene de endênia sea desneessária, pode-se ser reirada da modelagem. Vale menionar, que, normalmene, as séries de demanda por arga de energia eléria, são um bom eemplo de série onde a omponene de endênia faz-se desneessária. Suponhamos, enão, que as esimaivas da omponene de endênia e dos faores sazonais do modelo adiivo, apresenado pela equação 4., no final do período seam denoados por bˆ ( ) e ( ), respeivamene. Se : bˆ ( -), bˆ ( -) e ( -); =,...,, são os esimadores do nível, resimeno e faores sazonais em -, os esimadores em, ao observar serão : ĉ Nível : ˆ ( ) = α - ĉ ( )( -) [ bˆ bˆ -)] [ ] + ( α) ( ) ( b (4.3) m + ĉ
69 endênia : bˆ ( ) β bˆ ( ) - bˆ ( ) [ ] + ( β) bˆ ( ( - bˆ ) + ( γ) ĉ ( )( = ) (4.4) Sazonalidade : ĉ ( )( ) ( ) m =γ ) (4.5) m onde α, β e γ são onsanes de amoreimeno. A subração da omponene de sazonalidade de, na equação 4.3, é feia para que a variável sea desazonalizada. O propósio dessa desazonalização é permiir que o proesso de aualização da omponene de nível sea somene baseado na esimaiva prévia dela mesma e da endênia. Com relação a omponene de endênia, vale ser menionado, que a sua forma de álulo é a mesma que no aso da modelagem pelo méodo mulipliaivo. Podemos enão, formular a equação de previsão para valores fuuros, para qualquer período, +τ, feia na origem genéria, denoada por ˆ (τ : ) ˆ ( ) = bˆ ( ) + bˆ ( ) τ + ĉ ( )( ) τ (4.6) m + τ Na equação de previsão é usado o faor sazonal esimado no úlimo insane disponíveis, ou sea, no insane. Caso se desee fazer previsões para períodos mais disanes que passo a frene, podem ser feias usando o faor sazonal apropriado. Ou sea, o faor sazonal orrespondene ao período que se desea prever. O proesso de aualização, no aso do modelo adiivo, é heurísio. Ou sea, é realizado aravés de proedimenos lógios e de aráer inuiivo, não sendo baseados em riérios de ruídos, al omo os mínimos quadrados são. O desenvolvimeno de um sisema de previsão que faça uso do modelo adiivo, bˆ ( ) bˆ ( ) ( ) requer que seam esimados os parâmeros iniiais de 0, 0 e 0, =,...,, seam deerminados. A esimaiva de mínimos quadrados dos valores dos parâmeros iniiais pode ser obida aravés da análise dos dados hisórios. Para dealhes dese proedimeno, ver Mongomery (976[7]), onde os passos neessários para a obenção deses valores iniiais são desrios dealhadamene. ĉ
70 4.. Hol-Winers Mulipliaivo A versão do modelo de Hol-Winers para o aso da sazonalidade mulipliaiva será apresenado nas equações que seguem abaio. Essa versão do modelo, em omo premissa básia a suposição de que da ampliude da sazonalidade é variane no empo, e, ambém que, provavelmene, essa variação oorre de forma resene. No que diz respeio a omponene de endênia, ela oninua possuindo uma formulação adiiva. Porano, esse modelo é apaz de inorporar ano a endênia linear quano o efeio sazonal. A sazonalidade é mulipliaiva no senido de que o nível implíio da série emporal é mulipliado pelo índie sazonal. O modelo Hol-Winers om sazonalidade adiiva é uma formulação alernaiva, a qual envolve a adição de faores sazonais a endênia implíia. A versão mulipliaiva é apropriada se a magniude da variação sazonal aumena om o aumeno no nível médio da série emporal, enquano a versão adiiva deve ser usada se o efeio sazonal não depende do aual nível médio. A versão mulipliaiva é muio mais amplamene usada, enão, por, onvenção, na disseração somene irei apresenar a versão mulipliaiva no esudo das séries om múliplas sazonalidades. É preiso ser enfaizado que, diferene do modelo Hol-Winers adiivo, a versão mulipliaiva não é um subgrupo dos modelos ARIMA. Enão, assumindo que uma dada série emporal possa ser adequadamene represenada pela equação ( b + b ) ε = + (4.7) onde, b é a omponene de nível, b a omponene de endênia linear, o faor sazonal, e ε o omponene aleaório. O amanho da sazonalidade é, e os faores sazonais são definidos de forma que a soma dos mesmos sea igual ao amanho da sazonalidade, ou sea:
7 = () = (4.8) Enão, denoando a esimaiva do passo (endênia) e a omponene sazonal, no final de qualquer período, digamos, omo sendo e ; =,...,. Já a omponene de nível é denoada por b. O proedimeno de aualização da esimaiva dos parâmeros e da previsão do modelo é feia de forma relaivamene simples. No final do período, depois de á observada a realização para o período, ˆ ( ), podemos efeuar os seguines álulos, admiindo o onheimeno de odos eses parâmeros em -, ou sea, bˆ ( -) ( ) ˆ ( ) ˆ, b - e - ; =,..., : bˆ ( ) ( ) ˆ Nível : ˆ ( ) = α + ( α) ( bˆ ( -) bˆ ( -)) ĉ m( )( ) b + (4.9) ( ) + ( β) bˆ ( endênia : bˆ ( ) β bˆ ( ) - bˆ ( ) Sazonalidade : ĉ ( )( ) = ) (4.0) m = γ + ( γ) ĉ m( ( ) )( -) (4.) bˆ Para os demais faores : ĉ ( ) ĉ ( -); =,,..., ; m( ) = (4.) onde α, β e γ são onsanes de amoreimeno. Noe que, o modelo assume que uma endênia adiiva é esimada pelo somaório do passo loal amoreido, e pelas suessivas ( ) ( ) diferenças amoreidas, bˆ - bˆ, do nível loal, b. O índie sazonal loal, m ( ) ( )(), é esimado pela razão amoreida do valor observado,, e o nível loal, b (aylor, 00[7]). ambém pode ser onsaado na equação (4.) que a medida que revisamos as esimaivas dos faores sazonais, eles podem vir não somar o amanho da ˆ
7 sazonalidade,. Daí, a normalização dos faores sazonais, ou sea, faz om que a soma dos novos faores em sea igual a. Ver Souza (983[4]) para maiores dealhes. ( ) ĉ = ( ) = ĉ ( ). (4.3) ( ) onde ĉ são os faores não normalizados esimados onforme a equação (4.). A equação de previsão do modelo, no empo +τ, pode ser esria omo ˆ ( τ) ĉ ( )( ) ( ) = bˆ ( ) + bˆ ( ) τ (4.4) m + τ Cabe, menionar que as quanidades enre parêneses de ada um dos 3 parâmeros, b ˆ, bˆ () e (), india o período em que a esimaiva esá sendo ompuada, ou sea, insane. ĉ () O desenvolvimeno do sisema de previsão no méodo de Winers requer que os bˆ ( ) bˆ ( ) ( ) valores iniiais dos parâmeros, 0, 0 e 0, seam dados ao modelo. As informações hisórias, quando disponíveis, podem ser usadas om o propósio de forneer algumas ou odas as esimaivas iniiais neessárias. O proedimeno formal de obenção deses valores iniiais pode ser viso em dealhes em Mongomery, (976[7]). ˆ 4.3 Hol-Winers om Múliplos Cilos Apesar do modelo Hol-Winers padrão ser amplamene uilizado para a previsão de séries emporais om omporamenos sazonais, o méodo somene ompora um padrão sazonal orrespondene a mudança de omporameno de uma dada série deorrene da mudança das esações do ano. O modelo, al omo formulado por Winers, não é apaz de
73 inorporar ilos eisenes, por eemplo, na demanda horária de arga de energia eléria. E sabemos que, mais de um padrão ilo não pode ser onsiderado na lieraura de amoreimeno eponenial. No enano, é sabido que eisem séries (prinipalmene quando os períodos analisados são de meia em meia hora, horários, diários ou semanais), que apresenam ilos diferenes do proveniene da mudança das esações do ano. Para soluionar esse problema, aylor (00[7]) propôs uma eensão do modelo Hol-Winers, eensão esa onde eisiria a possibilidade da inorporação de múliplos ilos a modelagem. Esse méodo é adequado quando eisem dois ou mais ilos diferenes na série em esudo. O modelo Hol-Winers om múliplos ilos esá epresso maemaiamene nas 4 equações disposas do iem (4.5) ao (4.8). O modelo será epresso somene para dois ilos sazonais, viso que, no momeno da apliação somene dois ilos irão ser neessários para modelar a série uilizada, um ilo semanal e um ilo diário. No enano a formulação pode, failmene ser eendida para 3 ou mais ilos. Para isso, somene faz-se neessário a inorporação ao modelo de uma quanidade de índies dos ilos e equações de amoreimeno equivalene a quanidade de ilos que se desea modelar. A formulação é omposa por índies de ilos disinos, e om períodos, e, respeivamene. No aso desa disseração em que esamos onsiderando dados horários de arga, emos que = 4 e = 68 (ilos diários e semanais). Com relação às equações de aualização dos parâmeros de um insane genério - para o insane seguine, o proedimeno ieraivo é omo mosrado abaio : Sea o insane -, onde onheemos : o nível, bˆ ( -), a endênia, bˆ ( -), os faores do ilo, ( ) para =,...,, e os faores do ilo, ĉ ( ) para =,..., o insane s serão : ˆ. Observando no insane, as equações de aualização dos parâmeros para Nível : ˆ ( ) = α /ĉ ( )( -) ĉ ( )( ) ( ) ( ) + ( α) bˆ ( ) + bˆ ( ) b (4.5) h h
74 endênia : bˆ ( ) β bˆ ( ) - bˆ ( ) ( ) + ( β) bˆ ( ( / bˆ ĉ h ) + ( γ) ĉh ( )( ) ( / bˆ ĉ ) + ( δ) ĉ ( )( ) = ) (4.6) Cilo : ĉ ( )( ) γ ( ) ( )( ) = (4.7) h Cilo : ĉ ( )( ) δ ( ) ( )( ) = (4.8) h h h ( ) onde h é a hora orrespondene ao insane (assumindo valores de a ) enquano h ( ) é a hora orrespondene ao insane (assumindo valores de a ). Assim, omo no aso do Hol-Winers onvenional, emos que somene os faores dos ilos e orrespondenes ao insane, i.e., ĉ e ĉ, são aualizadas em h ( )( ) ( )( ), de aordo om as equações (4.7) e (4.8). Para demais faores emos : h ( ) ĉ ( -); =,,..., ; h ( ) ĉ = (4.9) ( ) ĉ ( -); =,,..., ; h ( ) ĉ = (4.0) Evidenemene os faores devem ser normalizados a ada aualização para garanir que suas respeivas somas seam e respeivamene, i.e. : = () = () e = (4.) = Finalmene, a equação de previsões τ -passos à frene feia na origem é : ˆ ( τ). ĉ ( )( ). ĉ ( )( ) ( τ) bˆ ( ) + bˆ ( ) = (4.) h + τ h + τ Nesa formulação esendida as quanidade α, γ, β e δ, que neessiam ser esimadas a parir dos dados hisórios (ou definidas subeivamene pelo usuário), ambém denominadas hiperparâmeros do modelo. Seus valores (definidos no inervalo 0-, devem ser onheidos para a aualização das equações de aualização dos parâmeros (4.5) a (4.0).
75 O proedimeno de deerminação dos parâmeros iniiais do méodo de Hol- Winers mulipliaivo om um únio padrão sazonal, desrio aneriormene, é failmene adapável, para o méodo Hol-Winers om múliplos ilos. A desrição dos proedimenos uilizados para a deerminação dos parâmeros iniiais, 0, 0, e ĉ ( 0), esá disposa no parágrafo seguine. Os proedimenos para a deerminação dos parâmeros serão epliiados para o aso de um modelo om ilos, um ilo semanal e um diário, apliados para dados horários. bˆ ( ) bˆ ( ) ( 0) ĉ Assuma que a série emporal,, possa ser esria em uma forma mariial, onde as linhas represenam o ilo menor (dia, na apliação desa disseração, = 4 ) e as olunas as horas seqüeniais, omo abaio :,, K K,,, K K, 3, 3, K K 3, K KKKKKKKK I, I, K I, K (4.3) ou sea, esamos admiindo que eisam I dias ompleos de dados hisórios. De posse desas informações, alulamos Passo : Médias Diárias i i, = = para i =,..., I (4.4)
76 Passo : Faores dos Cilos Diários Grosseiros,,,, K K,,,,,, K K,, K KKKKKKK, I,, I, K, I, K (4.5) onde : = i, i, i para =,..., e i =,..., I (4.6) Passo 3 : Faores dos Cilos Diários, I,i, = i= para =,..., (4.7) I Passo 4 : Faores dos Cilos Diários Normalizados,, =, = para =,..., (4.8) Passo 5 : Esimaivas Iniiais para Parâmeros do Modelo ( 0) bˆ (4.9) bˆ ( 0) ( ) ( 0), (4.30) ĉ para =,..., (4.3),
77 ( 0), ĉ para =,..., (4.3), É preiso ser dio que para os valores iniiais dos faores do ilo semanal, ˆ, ( 0) para =,...,, o proedimeno é idênio (segue-se os passos a 4) para se oberem os valores, para =,...,. Nesse aso, os dados passam a ser organizados em uma, mariz uas as linhas são as horas da semana (dimensão ). Em seu arigo aylor, esabeleeu omparação enre o modelo ARIMA esendido, menionado no segundo apíulo, onde foi feia uma breve desrição dos modelos de previsão disponíveis na lieraura, os modelos de Hol-Winers padrão e o de múliplos ilos, ambos na versão mulipliaiva. É imporane ser dio, que no aso do méodo padrão de Hol-Winers, foram feias duas modelagens. Em uma das modelagens, somene é levada em onsideração o ilo semanal, e na oura somene o ilo diário. Isso é feio para que possa ser observada e omparada a efiiênia do méodo onvenional, om o esendido. Os resulados obidos por aylor (00[7]), mosram que o méodo esendido apresena resulados om mais preisão do que as modelagens feias seguindo o méodo onvenional e o modelo ARIMA esendido. As apliações do méodo e os resulados obidos serão apresenados no apíulo 5, unamene om os resulados do modelo de amoreimeno direo.