Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris Ui 4 - Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris 4. - Iroução Ui 3, foi su vibrção forç sisms um gru libr sob ção forçs hrmôics. s cpíulo, s suo srá sio pr forçs qulqur urz. Iicilm srá su ução forçs prióics qu são combiçõs forçs hrmôics ssocis rvés s Séris Fourir qu, m sisms lirs, pom sr cosirs como váris forçs hrmôics uo sobr o sism rspos po sr obi uilizo o Pricípio Suprposição os Efios. Pr rmição rspos forçs ão prióics, cohci como rspos rsi, srão uilizs frrms mmáics como Igrl Covolução (ou Igrl Duhml Trsform Lplc. O cocio spcro rspos mbém srá boro s Ui. Em oos os csos o sism srá um gru libr com morcimo viscoso. 4. - Rspos Um Forç Prióic Um forç prióic po sr xprss m Séris Fourir form F ( + cos + b si (4. com b F F ( ( cos si,,, K,, K (4. o π é o príoo fução prióic. A qução o movimo o sism qu sofr ção um forç prióic é m& x + cx& + x b si (4.3 + cos + Uilizo-s o Pricípio Suprposição os Efios q. (4.3 po sr compos s quçõs mx && + cx& mx && 3 + cx& mx && + cx& 3 + x + x + x 3 cos b si su solução priculr x x + x + x p p p p 3, m qu (4.4 x x p p ( ( ( r + ( r cos ( φ (4.5 x 3 p ( b ( r + ( r si ( φ com r π φ, r (frquêci fuml r A rspos rgim prm o sism (ou solução priculr qução ifrcil é 77
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris x p ( + ( + cos φ ( r + ( r b ( r + ( r si ( φ Os omiors os sguo rciro rmos q. (4.6 s proximm zro quo o morcimo é pquo o qu implicrá m grs mplius vibrção. Iso scori possibili o fômo rssoâci cocr ão som quo frquêci fuml for igul à frquêci url o sism ms, mbém, quo os múliplos s frquêci fuml (chmos frquêcis hrmôics form mbém iguis à frquêci url o sism um gru libr. Exmplo 4. - o suo vibrção válvuls uss m sisms corol hiráulico, válvul su hs lásic são molos como um sism mss-mol como mosr Fig. 4.. Além s forçs mol morcimo, há um forç prssão flui válvul qu vri com brur msm. Ecorr rspos rgim prm válvul quo prssão câmr vri como iico Fig. 4.b. Assumir qu 5 /m, c.s/m m,5 g. O iâmro ubulção é 5 mm. (4.6 c x( m p( 5 p( (/m 3 4 (b (sg ( Figur 4. - Válvul sob prssão prióic. Solução: A forç xrci sobr válvul, rsul prssão flui é por Ap F m qu A é ár sção vz câmr, por π A 4 π,5 4 6,5 4 π m π π D Fig. 4.b, s π r/s A forç u válvul é obi pl rprsção fução m Séris Fourir, form F ( + cos + b si D Fig. 4.b, forç xr po sr como F 5A pr 5A( pr 78
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris Os coficis são obios por A A A 5 + 5 5 5A cos π + 5A ( o s igris são rsolvis por prs rsulo m si π A 5 π pr pr impr pr A fução mosr Fig. 4.b é um fução pr (f( f(-, o qu crcriz como um fução qu é rprs por um séri xclusivm cossos. Ds form os coficis b são ulos. Um fução ímpr (f( -f(- é rprs por um séri sos possui os coficis ulos. A forç é, ão, por 5 A ( F 5A cos pr impr π A rspos rgim prm é x p ( 5 5A A π S frquêci url é ( r + ( r cos ( φ pr impr m 5 r/s,5 A frquêci fuml forç prióic é π r/sg, ão π r 34, O for morcimo é obio prir os prâmros o sism por c, m, 5 Os âgulos fs pom sr obios por φ r r, 34, 34 (,, 6, 987 rspos rgim prm o sism srá por x p ( cos( π φ (,987 (,58,96,59 + pr impr 79
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris 4.3 - Rspos Um Forç Prióic Irrgulr F( 3 4 - F 4 F - F F F F 3 Figur 4. - Forç prióic form irrgulr. Quo forç u ão possuir um form l qu poss sr xprss por um xprssão líic (quo rsulo um mição, por xmplo, rmição os coficis Séri Fourir vrá sr rliz umricm. s cso Séri ssum form b i i i F i π F cos i pr,,..., π F s i pr,,..., Exmplo 4. - Ecorr rspos rgim prm válvul o xmplo 4., s s fluuçõs prssão câmr são prióics. Os vlors prssão são mis com irvlos, s (Tbl 4.. mpo (s,,,3,4,5,6,7,8,9,,, p (/m 34 4 49 53 7 6 36 6 7 Tbl 4. - Prssão m um válvul hiráulic. Solução: Como s fluuçõs prssão s rpm c, s, o príoo é, s frquêci fuml séri Fourir é π/, 5,3599 r/s. Como o úmro vlors obsrvos m c príoo é, q. (4.7 obém-s os coficis p i pi 6867 /m i b i i π p cos i π p si i i i π p cos pr,,...,6 i, π p si pr,,...,6 i, Irouzio ss coficis xprssão (4., Séri Fourir é mo é 6ª hrmôic. Em viru s rr um fução iscriz, máxim frqüêci hrmôic prs v sr frqüêci ycquis, por f ycquis 5 Hz, (4.7 O qu, so frqüêci fuml f, 8,33 Hz, é igio pl sx hrmôic 8
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris p ( 3483,3 6996, cos 5,3599 + 837,8 si 5,3599 + 46,67 cos4,7 + 368,44si4,7 5833,33cos57,8 333,33si57,8 583,333cos 9,44 + 65,6 si 9,44 7,3 cos 6,799 64,3si 6,799 + 66,667 cos 34,59 + si 34,59 So r/sg, ão r 5,3599/,53599,,, o xmplo 4.. A ár câmr prssão é mbém obi o xmplo 4., como A,65 π m. Os âgulos fs são os por φ r r φ,896 r φ -,3449 r φ 3 -,44565 r φ 4 -,453 r φ 5 -,777 r φ 6 -,476 r A rspos rgim prm é x p (,68,8cos( 5,4,8 +,864 si( 5,4,8 +,59 cos( 5 +,34 +,659 si( 5 +,34,87 cos( 57 +,45,5si( 57 +,45,3cos( 9 +,43 +,487 si( 9 +,43,87 cos( 6 +,77,847 si( 6 +,77 +,46 cos( 34 +,4 + si( 34 +,4m /m 4.4 - Rspos Um Forç ão Prióic Pr rmição rspos um sism um gru libr sob ção um forç ão prióic, os méoos uilizos são:. Igrl Covolução.. Trsform Lplc. 3. Trsform Fourir. 4. Igrção uméric. 4.4. - Igrl Covolução A Fig. 4.3b mosr um forç qu m um rmi mgiu fii é plic m um irvlo mpo xrmm pquo. Es forç é chm forç impulsiv. O Pricípio o Impulso Qui Movimo sblc qu Impulso F mx& mx& Em um irvlo mpo o impulso é o por + $F F O impulso uiário é fiio por f$ lim F F + (4.8 (4.9 8
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris F( x( g( F c m F Ο F( Ο ( π (b (c Figur 4.3 - Rspos o impulso sisms um gru libr. Rspos o Impulso A qução qu scrv o movimo o sism mosro Fig. 4.3 é mx&& + cx& + x (4. cu solução é v + x x ( x cos + s (4. F $ x ( s F g( $ (4. m S, um is s o sism sofrr ção forç impulsiv, o msmo sivr m rpouso, po-s izr qu m x( x& (, o Pricípio o Impulso Qui Movimo prmi izr qu, sob plicção um impulso mgiu uiári $ & + f mx mx & (4.3 + como &x( v, ão $f mv v (4.4 m Como o movimo comçou o rpouso x rspos o sism s or x ( s g( (4.5 m qu é cohci como fução rspos o impulso uiário. Como o sism é lir, rspos um impulso mgiu ão uiári é obi pl muliplicção rspos o impulso uiário pl mgiu o impulso, rsulo S o impulso for plico m um mpo, rspos mbém ficrá fs o mpo, form F $ x ( Fg $ s ( (4.6 m 8
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris F( F F F Ο ( x( F g(- Ο (b Figur 4.4 - Rspos um impulso plico m. Rspos Um Forç Grl Um fução grl po sr cosir como um suprposição impulsos, como mosr Fig. 4.5. F( F( Ο + Figur 4.5 - Fução grl, ão prióic. A rspos um sism um forç plic s form srá som s rsposs os impulsos plicos o logo o mpo. S rspos o impulso uiário plico o mpo é igul g (, ão, plico o Pricípio Suprposição os fios rspos prouzi plo impulso F(, plico m, é 83
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris ( x F g (4.7 A rspos grl é obi pl som s rsposs prciis como ( x x F g (4.8 Lvo o limi pr chg-s x F( g ( (4.9 qu é cohci como Igrl Covolução ou Igrl Duhml. Pr um sism um gru libr com morcimo viscoso, o rspos o impulso uiário é q. (4.4, qução (4.9 or-s x ( F ( m s (4. Rspos à Excição Impulsiv Bs Em lgus csos (um crro psso por um burco ou um lomb, por xmplo, xcição bs o sism m crcrísics gris, s cso, qução o movimo rlivo (3.69 m su solução moific pr z ( ( y& ( s ( & (4. Exmplo 4.3 - Um máqui compcção, mol como um sism um gru libr, é mosr Fig. 4.6. A forç u mss m (qu iclui s msss o pisão, plform o mril qu sá so compco vio um plicção súbi prssão, po sr iliz como um forç gru como mosr Fig. 4.6b. Drmir rspos o sism. Solução: D coro com o mosro Fig. 4.6b, forç xr é igul F F Irouzio q. (4. m-s ( s ( x m qu é igr por prs, rsulo F F ( ( φ cos x o φ. O movimo prouzio por s xprssão sá mosro Fig. 4.6c s crcriz por sr um movimo hrmôico com posição quilíbrio sloc su posição origil m F. S o sism ão possuir morcimo, com rspos rsform-s m F ( [ cos ] x m qu o slocmo máximo ocorr quo cos so F x mx o qu po sr clrm viso Fig. 4.6. O movimo é hrmôico com mpliu F com posição quilíbrio sloc posição quilíbrio origil mbém F, form qu o slocmo máximo m rlção o rfrcil oo, qu é posição quilíbrio origil, é o obro s vlor. 84
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris F( F( F O (b Pisão x( Ciliro F F x( m / c / Mril so compco Plform O F F x( (c ( O ( Figur 4.6 - Forç gru m um máqui compcção. Exmplo 4.4 - Achr rspos máqui compcção mosr Fig. 4.6 quo msm sá submi à forç mosr Fig. 4.7. F( F Ο Figur 4.7 - Forç gru com mpo rso. Solução: A solução é álog à o xmplo 4.3, ps subsiuio por - q. 4., rsulo [ φ] F ( ( cos x, quo o sism for ão morcio ( { [ ]} F ( cos ( x 85
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris Exmplo 4.5 - S máqui compcção mosr Fig. 4.6 sá submi um forç cos com mpo urção limio (Fig. 4.8, rmir rspos máqui. F( x( > / < / F Ο Ο ( Figur 4.8 - Forç pulso rgulr. (b Solução: Como o sism é lir forç po sr cosir como um suprposição um forç gru F plic m um our forç gru -F, plic m. A rspos m > srá suprposição s rsposs c um s forçs quo plics isolm. Ess rsposs form rmis os xmplos 4.3 4.4, rsulo m { cos[ φ] cos ( φ } F ( x com φ Pr sisms sm morcimo rspos é [ cos ] F ( cos x Exmplo 4.6 - Drmir rspos máqui compcção mosr Fig. 4.9 quo for plic um forç qu vri lirm (Fig. 4.9b, vio o movimo o cm. Solução: A qução forç plic, mosr Fig. 4.9b é F δf o δf é x crscimo forç ui mpo. A qução (4., s cso, or-s δf ( x ( s ( m cu igrl é rsolvi por prs, rsulo x F δ + cos s Pr sisms sm morcimo ( s x δf 86
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris Movimo o cm Cm F( Sguior F( O (b δf x( m Mril so compco x( / c / Plform δf/ ( 4.4. - Trsform Lplc O π Figur 4.9 - Máqui compcção sob forç vrio lirm. (c 4π Dfiição O méoo Trsform Lplc é plico pr rsolvr quçõs ifrciis oriáris, lirs, com coficis coss. Aprs como vgs sr plicávl qulqur ipo fução xcição, s qu igrávis, rr fuçõs scoíus sm ificuls lvr m co uomicm s coiçõs iiciis, o qu é sigificivo quo s r rsolvr um problm o vlor iicil. A fiição Trsform Lplc é s x xs x (4. o s é chm vriávl subsiiári, complx s é o úclo rsformção. Trsformção Drivs A rsform riv é obi rvés um igrção por prs, form x( x s s s x( ( s x( x( + s x( s (4.3 o x( é o vlor iicil x(. A sgu riv é obi sguio o msmo cmiho. Chg-s x x s x& s x + s x( s (4.4 o &x é o vlor iicil riv x(. Trsformção Equçõs Difrciis Oriáris A qução ifrcil o movimo um sism um gru libr viscosm morcio é m x + c x + x F( (4.5 87
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris Aplico Trsform Lplc m mbos os los qução (4.5 uilizo os rsulos (4.3 (4.4 m-s [ ] [ ] msx s sx x & + csx s x + x s F s (4.6 Como c m, m, qução (4.6 po sr rsolvi pr s clculr rsform Lplc rspos xs, form xs ms ( + s+ + x + x F s s + s + s+ s + s+ & (4.7 qu é chm qução subsiiári qução ifrcil. Pr obr rspos o sism x(, s v clculr rsform ivrs Lplc o rsulo qução (4.7. Trsformção Ivrs Lplc A rsformção ivrs volv um igrl lih o omíio complxo ifícil solução. Por s moivo s procur rsformr fução obi q. (4.7 m fuçõs qu hm su rsform ivrs cohci. Es é ssêci o méoo s frçõs prciis, scrio sguir. As fuçõs rsuls srão comprs com fuçõs qu possum rsforms cohcis, rlcios Tbl 4.. Cosirmos o cso m qu xspo sr scri form As xs (4.8 Bs ( o o A(s como B(s são poliômios m s. Grlm B(s é um poliômio mior orm qu A(s. Chmo s (,,..., s rízs B(s, o poliômio po sr scrio como ( ( ( ( ( ( B s s s L s L s s (4.9 o Π é o símbolo o prouo. As rízs s são cohcis como pólos simpls xs. A xpsão m frçõs prciis (4.8 m form ( xs c c c c c + + L+ + L + s s s s (4.3 s o os coficis c são os pl fórmul As c lim [( s x( s ] (4.3 s B s s o B ( s é riv B(s m rlção s. Como sgu-s qu s - s (4.3 (4.33 o (4.3 (4.33 cosium um pr Lplc. Cosiro s quçõs (4.3 (4.33 rsform ivrs xs, q. (4.3, s or x ( As ( B ( s As ( B ( s s s s (4.34 Frqüm, é mis simpls cosirr q. (4.3 scrvr A(s form 88
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris ( ( i + ( i + + ( i ( i A s c s c s L c s c s (4.35 i i i i Compro os coficis s - (,,...,, m mbos os los (4.35, obém-s um sism quçõs lgébrics qu pom sr rsolvis pr rmição os coficis c (,,...,. Igrl Covolução. Torm Borl. Cosir-s us fuçõs f ( f (, fiis pr >. Assum-s, mbém, qu f ( f ( possum f s f ( s, rspcivm, cosir-s igrl rsforms Lplc x( f ( f ( f ( f ( (4.36 A fução x(, é chm covolução s fuçõs f f o irvlo < <. O limi suprior s igris m (4.36 são ircmbiávis porqu f ( - pr >, qu é o msmo qu - <. Trsformo mbos os los q. (4.36, obém-s 89 s ( s xs f f f f( s f ( f ( o o limi ifrior sgu igrl muou porqu f ( - pr >. A sguir, s irouz rsformção - λ sgu igrl, obsrvo qu pr m-s λ, scrvo-s ão s s( + xs ( f( f( f( f( λ λ s sλ f ( f ( λ λ f ( s f ( s Ds quçõs (4.36 (4.38, sgu-s qu x( - xs - f ( s f ( s i i (4.37 (4.38 (4.39 x f f f f ( ( (4.4 A sgu igrl q. (4.4 é váli porqu ão impor qu mir ocorr o créscimo mpo. Torm Borl A rsformção ivrs Lplc o prouo us rsforms é igul à covolução s sus rsforms ivrss. s f s f TRASFORMADAS DE LAPLACE c f ( s + c g( s c f + c g s f ( f 3 f ( s g( s ( 4 5 s f s s s f f( f g f f ( s L f L 6 f ( s+ f
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris 7 δ ( gru uiário plico m s 8 s 9 (,,... s s + 3 4 ( s+ ( s+ ss (,,... ( + s s ( + 5 s + 6 s 7 s s + 8 s s 9 ss + 3 4 s s ( + ( s + s ( s + s ( s + ss ( + 5 s+ s 6 s s+ 7 s+ b ss+ 8 ss ( + 9 s + s+ 3 s s + s+ 9 u( impulso uiário plico m 3 b ( (!! ( ( + s sh cos 3 cosh ( cos ( s ( s cos s cos + ( b cos s ( φ s
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris 3 s + s + s+ 3 33 s( + φ + s+ ss s + ( + s+ ss ( φ + s Tbl 4. - Trsforms Lplc. ( + φ s Exmplo 4.7 - Achr rspos máqui compcção o xmplo 4.5, ssumio <, uilizo rsform Lplc. Solução: A forç plic po sr scri form F F > A rsform Lplc F( é obi como s s s F s Fs F F F [ ] s s Uilizo (4.7, rsform rspos srá xs ms s s F ( ( + s + s s + + x s + s+ s + s+ & F + x A rsforms ivrss o sguo o rciro rmo qução são obis uilizo irm os rsulos 3 9 Tbl 4.. A rsform ivrs o primiro rmo é obi o rsulo 3 msm Tbl 4. cosiro qu muliplicção rsform um fução por -s implic o slocmo fução o omíio o mpo. Eão rsform ivrs or-s F x ( s m o φ cos ( F s m x s x x& + + ( + φ [ ( + φ] ( φ ( s, rspos máqui compcção po sr xprss form ( { ( + φ + [ ( + φ ] } F x ( s s m x ( s + + φ ( x x& s ( 4.4.3 - Igrl Fourir sção 4. viu-s qu um fução prióic po sr rprs por um séri Fourir, qu são séris ifiis fuçõs hrmôics frquêcis o π é frquêci fuml. Fzo o príoo s proximr o ifiio, form qu o primiro irvlo mpo s logu sm limis, fução s or ão prióic. Ds mir, o irvlo frquêci pr zro form qu s frquêcis hrmôics, origilm iscrs s orm coíus. s siução s séris Fourir s orm igris Fourir. 9
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris Um fução prióic po sr rprs por séris Fourir su form complx f C i (4.4 o os coficis C são obios por i C f (, pr, ±, ±, L (4.4 Irouzio oção, ( + -, s quçõs (4.4 (4.4 s orm i ( ( i f C C (4.43 π i C f ( (4.44 Fzo o príoo r o ifiio, vriávl s rsform vriávl coíu, lvo o limi, s subsiui som pl igrl s obém i i f lim ( C F π π (4.45 ( i F lim C f A qução (4.45 implic qu um fução rbirári f( po sr scri por um igrl rprso coribuiçõs compos hrmôicos possuio um spcro frquêci coíuo r +. A qui F( po sr cosir como um coribuição s hrmôics qu são o irvlo r + à fução f(. A qução (4.46 é cohci como Trsform Fourir f(, form qu s igris i F f (4.47 i f ( F (4.48 π rprsm um pr rsforms Fourir, o f( é cohci como Trsform Ivrs F(. As quçõs (4.47 (4.48 coém iformção sobr composição m frquêci fução f(, qu ão é prióic. S q. (4.4 rprs um fução xcior, ão rspos rgim prm o sism po sr scri form x HC i o H é rspos m frquêci complx ssoci à frquêci. Sguio um procimo similr o uilizo pr f(, coclui-s qu rspos o sism um xcição rbirári mbém po sr scri form um pr rsforms Fourir, como sgu i X( x (4.5 i x ( X (4.5 π o rsform Fourir rspos é 9 (4.46 (4.49 X H F (4.5 qu é simplsm o prouo rspos m frquêci complx pl rsform Fourir fução xcior. ormlm rsform Fourir ão é muio uiliz pr clculr rspos o sism pl qução (4.5, pois frqüm su solução xig igrçõs o plo complxo o qu po s orr xrmm complico. A igrl covolução rsform Lplc são mis fácis s uilizr ss csos. Ero, quo s pr lisr o compormo o omíio frquêci igrl (4.5 é ormlm
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris fácil sr obi (quo fução cumpr s coiçõs xisêci igrl forc um frrm ális muio úil. Exis um lgorimo pr clculr igrl (4.5 form rápi cohcio como Fs Fourir Trsform (FFT lrg uilizção ghri. Exmplo 4.8 - Clculr rspos um sism um gru libr ão morcio à xcição form um pulso rgulr mosro Fig. 4., uso o méoo rsform Fourir. Fzr o gráfico os spcros frquêci s fuçõs xcior rspos. F( F - T Ο T Figur 4.- Fução pulso rgulr. Solução: A fução xcior po sr scri mosr Fig. 4. po sr scri como f F pr T < < T pr < T, > T Como f( possui ps scoiuis fiis o irvlo, su igrl xis so possívl scrvr su rsform Fourir form T i i it it F f ( F F i ( T Pr sisms sm morcimo, rspos m frquêci complx, q. (3.49, s or H( (c Isrio s quçõs (b ( q. (4.5 m-s it it F X H F i Eão rspos po sr scri form rsform ivrs Fourir como F it it i i x ( X i π π As r clculr igrl cim, é covi cosirr o sgui svolvimo m frçõs prciis: (f ( ( + form qu q. ( s or 93 ( (b ( (
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris x F πi ( ( + i( + T i( T [ ] O cálculo s igris volvis q. (g xig xcução igris cooro o plo complxo. Como iso rqur cohcimo mmáico suprior (o ívl xigio pr um ghiro, qui são prsos ps os rsulos iλ λ pr < πi pr λ < iλ i λ pr < (h πi pr λ < iλ i λ < + pr πi pr λ < D q. (g, o-s qu λ ssum os vlors + T - T. Dv-s, poro, isiguir r os omíios mpos fiios por + T < - T <, + T > - T <, + T > - T >, qu são os msmo omíios fiios por < T, -T < < T, > T, rspcivm. Isrio s igris (h com os vlors proprios λ obém-s s or x ( pr < T F F i x ( i i i [ ( T ] + T i + T T T i π π π cos + pr π < < F i ( T i ( T i ( T i x ( + + i i i i i i i π π π π π π ( T π F [ cos T cos + T ] pr > T ( it it O spcro frquêci ssocio f( é o pl q. (b. Lmbro qu F (g (i i s T, q. (b F T s ( A Figur 4. mosr o gráfico F( vrsus. O spcro frquêci ssocio x( é o pl q. (. D form similr q. ( po sr ruzi X F st A Figur 4.b mosr o gráfico X( vrsus. O méoo igrl covolução é plicção mis simpls, pois rsformção ivrs Fourir xig igrção cooro o plo complxo ifícil solução. A ális, porém, o omíio frquêci é lrg plicção ghri, so pricipl frrm ális vibrçõs. ( 94
Ui 4 Vibrçõs Forçs sob Coiçõs Gris FT F( FT X( FT FT π T π T π T π T 3π T π T π T π T π T 3π T ( Figur 4. - Espcros frquêci. (b 95