ANÁLISE HARMÔNICA DE SINAIS. Prof. M.A.Garms

Transcrição

1 ANÁLISE HARMÔNICA DE SINAIS Prof. M.A.Grms UNIP - 3

2 Ídic Grl - Esudo d siis... - Sri d Fourir rsformd d Fourir Covolução Sisms Clssificção Espcro dsidd d Ergi rsformd Discr d Fourir Bibliogrfi...78

3 - ESUDO DE SINAIS Ns cpíulo iroduório bordrmos lgus cocios básicos pr o sudo d siis. Cocios básicos Dfiição Um sil é um fução qu rprsdo um quidd físic ou vriávl, ipicm l coém iformçõs sobr o compormo ou urz do fômo. Assim, um sil é qulqur fução qu crrg lgum iformção. Iicilm cosidrrmos ps siis os quis vriávl idpd é o mpo. Clssificção d Siis Bsicm siis podm sr divididos m: Coíuo o mpo Discro o mpo Alógico Digil Priódico Não priódico Ergi poêci Drmiísico probbilísico Siis Coíuos: Um sil g é coíuo o mpo s é um vriávl coiu. A rprsção ds ipo d sil é mosrd figur sguir: g

4 Siis Discros: S é um vriávl discr, m qu x é dfiido m mpo discro, ão x é um sil discro o mpo. Assim um sil discro o mpo é dfiido com mpos discros, um sil discro o mpo pod sr idificdo como um squêci d úmros, drmidos por x ou x, od = º iiro. A rprsção ds ipo d sil é mosrd figur sguir: x Siis priódicos priódicos Um sil v é priódico com príodo s v v m od m é iiro. l sil s rp cd irvlo d sgudos domido príodo. Um sil srá priódico cso ão h s rpição. Siis d rgi siis d poêci Vr cpíulo 6. Siis Ris Complxos Siis Ris ssumm vlors o couo d úmros ris ou s x R Siis Complxos ssumm vlors o couo d úmros complxos ou s x C. Siis complxos são usulm usdos m comuicçõs pr modlos d siis qu cssim sr rprsdos pl su mpliud fs. 3

5 Siis Drmiísicos Probbilísicos Alórios Siis Drmiísicos São dscrios por fuçõs o sido mmáico usul do como vriávl idpd o mpo. Dss form cohcdo fução qu dscrv um sil drmiísico pod-s obr o vlor ssumido por l m qulqur is d mpo dsdo. Siis Probbilísicos Alórios m smpr ssocido l um lmo d icrz, ão sdo possívl m um drmido is qulqur, drmir o su vlor xm. Ero é possívl dscrvr s sil m rmos d sus propridds médi, como por xmplo, poêci médi, o su vlor médio, probbilidd d su mpliud xcdr um drmido vlor ssim por di. Em ours plvrs, é possívl dscrv-lo por mio d um modlo probbilísico qu chmmos d procsso lório. 4

6 Exmplo d um procsso lório: O xmplo os lv coclusão qu o sil form d od grd m um dos rmiis do sism pod sr cosidrdo o um sil drmiísico como um sil lório. Pr um oprdor qu cohc msgm sr rsmiid, o sil srá prfim drmiísico, quo, pr ouro obsrvdor qu ão m o cohcimo d msgm, o sil rá um crár lório. Vl rsslr qu o cohcimo ds rgrs probbilísics qu rgm um cro fômo, ou s o cohcimo d um modlo probbilísico complo, é bs rro. Normlm m-s um cohcimo prcil ou é um ol dscohcimo dsss rgrs. Ero, há possibilidd d s rlizr mdids, plo mos dur um irvlo d mpo fiio, dos siis volvidos. Um vz qu lgums mdids hm sido colds, ls podm sr usds pr propor um modlo probbilísico qu dv dscrvr os siis volvidos. 5

7 Rvisão d Númros Complxos Álgbr dos Númros Complxos O úmro complxo z = + b pod sr rprsdo grficm por um poo cus coordds crsis são, b m um plo complxo, vid figur bixo. Os úmros = bciss b = ordd são imgiári do úmro complxo z: Rl b Img z z rspcivm pr rl pr Pod-s mbémm xprssr os úmros complxos m rmos d coordds polrs. S r, são s coordds polrs d um poo z = + b, ão: r cos b rs Logoo s m: z b r cos rs rcos s Ds úlim xprssão obém-s form polr z r d rprsção d um úmro complxo. Por ouro ldo, do Cálculo sb-s qu os poliômios d ordm bixo lisdos são rprsçõs ds fuçõs xpocil, cosso so:!! 3 4 3! 4! 5! ! 4! 5!

8 cos! 4 4! 6 6! 8 8!... 3 s 3! 5 5! 7 7! 9 9!... Fzdo irção r ss poliômios rsul: cos s N figur sgui prs-s o plo complxo s rsuldo domido rlção d Eulr. Assim um úmro complxo m divrss rprsçõs ds quis s qu sudmos podm sr rsumids sgui xprssão: z b r r sdo r b ou r cos b rcg b rs A qução difrcil d y /d + y = A fução xpocil complx é solução d d y/d + y = pois: 7

9 d d d d d - ou d y y Our solução ds qução difrcil é fução -, pois: d d d d - ou d d y y Assim combição lir dss soluçõs srá solução d msm qução difrcil d y/d + y= pricípio d suprposição válido pr s ipo d qução difrcil lir coficis coss. Sdo ssim cosidr s sguis soluçõs: cos s cos s y.5.5 cos cos s cos s y.5.5 s Iso mosr qu s xpociis complxs são quivls às fuçõs so cosso, pois fzm pr do couo d soluçõs d qução difrcil d y/d + y=. Em sum pod-s cosidrr xpocil complx como solução d quçõs difrciis lirs coficis coss proá-l o ixo rl pr obr solução o domíio rl. Fsors rsolução d circuios léricos m rgim soidl x = ~ Cosgu-s um simplificção ális d quçõs difrciis lirs, ou mis spcificm o cso d ghri léric, por xmplo, ális d circuios RLC qu srvm d bs iclusiv pr modlos quivls d disposiivos lrôicos, rprsdo sóids como xpociis complxs. Pr mosrr s vgs ds procsso vmos discuir um grdor d corr soidl dscrio por: i Acos A Rl A Cosidr-s ão o fio d plicção ds corr o circuio RLC figur sgui. Dfi-s corr I como um úmro complxo qu m módulo igul à mpliud d sóid rgumo igul à fs d sóid, iso é: 8

10 9 I i I I, com A I I Sb-s qu: d I C I d d L RI id C d di L Ri v Eão: I C L R V od I Z I Z ZI I C L R V Od grdz Z Z, é um úmro complxo fsor, domid impdâci: Z C L R Z sdo R C L g C L R Z ; A plicção d I I * cougdo d I o msmo circuio coduziri o rsuldo * * *. * V I Z V Z I Z V. Como vl o pricípio d suprposição pod-s grir qu: I Z V V V v Rl Rl * ou A Z v cos Poro, Z lr mpliud d v por muliplicção lr su fs por dição. R i C L

11 Pod-s obsrvr qu solução s rsformou m um problm lgébrico dvido o fo d qu, pr os siis xpociis, drivção s rsformou um oprção d muliplicção por, igrção m um divisão por. A mir grl d rsolvr os problms pod gor sr modizd plos sguis ságios: Pssgm ds xciçõs soidis pr úmros complxos corrspods, qu podm sr dsigdos como sus rsformdos. Solução do problm o cmpo rsformdo dos úmros complxos fsors, iso é, solução do problm lgébrico. 3 Pssgm d vol dos rsformdos pr s soluçõs xplicis. Dpois d um pouco d práic, os ságios 3 podm sr midos implícios, s soluçõs irprçõs rlizds iirm o cmpo complxo, iso é, do modo como rlm ocorrm lis d circuios léricos m corr lrd soidl. Exrcícios Mosr qu: b cos s ; c cos A B cos AsB cos BsA Mosr qu r cos Acos Bs com r A B B g. A 3 Mosr qu: s mxdx cos mxdx b c c os mxs kx dx Obsrvção: símbolo d dl d Krockr é dfiido como sdo pr m = k pr m k. mk s mxs kxdx cos mxcos kx dx 4 Rprs z* form polr. Obsrvção: dfi-s oprção d cougção d um úmro complxo z b b como sdo: g b mk mk Cougdo z z* z b

12 - SÉRIE DE FOURIER x p = ~ Rsumido, sil é um dos lmos básicos m Elrôic. rz ir si, rvés d mipulçõs covis qu l ssocimos, iformção. A ális mmáic dos siis pod sr fi o domíio d frquêci ou do mpo. Em osso sudo, s ális srá fi o domíio d frquêci, od s écics mmáics são mis simpls sigificivs. Os siis podm sr drmiísicos ou lórios. Sil drmiísico é qul m qu o sil é um fução bm drmid do mpo; é lório qudo o sil sivr dpdêci d um fução probbilísic. Qudo o sil for drmiísico priódico, mprg-s Séri d Fourir, como crcrizção do sil o domíio d frquêci. Pr siis drmiísicos priódicos mprg-s ori d probbilidd. Siis drmiísicos priódicos Um sil f é dio priódico, qudo for válid rlção: f f od =,,,... é o príodo. Um fução priódic qu obdc às codiçõs d Dirichl pod sr dsvolvid m séri d Fourir. is codiçõs são: f é dfiid um irvlo, b b úmro fiio d máximos míimos m, b c úmro fiio d dscoiuidds m, b d possuir drivd à diri à squrd do poo d dscoiuidd. Séri rigooméric d Fourir d sos cossos Um fução f priódic pod sr dsvolvid por um combição lir d sos cossos: f cos b si od é frquêci gulr fudml. Um modo quivl d s scrvr rlção é o sgui - séri rigooméric d Fourir d cossos: f E sdo qu E, E E cos b g. b

13 Dd um fução priódic, pr xprssá-l m séri d Fourir só é cssário drmição dos coficis d Fourir, b qu são obidos uilizdo-s d orogolidd ds fuçõs so cosso. Orogolidd do so do cosso. As propridds d orogolidd, do so cosso são: d mxdx cos mxdx s s mxs kxdx cos mxcos kx dx os mx s kx dx f c 4 Lmbrdo qu o símbolo dl d Krockr é dfiido como sdo pr m=k mk pr mk. Drmição dos coficis d Fourir mk mk 3 Cálculo d Igrdo-s mbos os ldos d xprssão, rsul: f d cos b d si d f d Ms f d f d f d Film obém-s: f d 5 Pl xprssão 5 vrific-s qu o rmo / é o vlor médio d fução f. b Cálculo d k pr k Muliplicdo mbos os ldos d xprssão por cosk igrdo, rsul:

14 3 cos cos si cos cos d k f d k b d k f k k k Obém-s ssim o rsuldo fil: d k f k cos 6 b Cálculo d b : Uilizdo procdimo álogo o fio pr o cálculo d, obém-s: d s k f b k 7 Propridds d séri d Fourir rigooméric. Pr o cálculo dos coficis d Fourir d um fução priódic ão é impor od s iici igrção, ms sim qu msm s fud dro d um irvlo corrspod um príodo. Es propridd dcorr do fo d qu pr siis priódicos s xprssõs bixo f é priódico d príodo /, vl:. Um fução pr qul crcriz-s por: m os coficis dos rmos m sos d séri d Fourir ulos. 3. Um fução impr é crcrizd por:, s cso, os coficis dos rmos m cossos são ulos. Exmplo Dsvolvr m séri d Fourir rigooméric od qudrd.

15 Od qudrd. Como fução f é impr, l só rá os rmos m sos o su dsvolvimo d séri d Fourir: Poro 4

16 Séri Expocil d Fourir A séri xpocil pod sr scri form xpocil: 8 o qu pod às vzs rsulr m cálculos mmáicos mis simpls pr obção dos coficis d Fourir. A séri xpocil m 8 pod sr obid d séri rigooméric, subsiuido-s xprssão s sguis ididds: Pod-s vrificr ão qu: 9 Cálculo d A Subsiuido-s 5 7 s xprssõs 9, rsul: d od 5

17 ou As xprssõs 3 prmim o cálculo d A são bs gris, pois podm sr plicds pr o cálculo d A, fzdo-s =, d A - subsiuido-s por -. Propridds d Séri Expocil d Fourir. A é um úmro complxo, poro pod sr crcrizdo por um módulo um fs: A é complxo cougdo d A -, vr S ão o qu vl dizr qu os coficis d séri d Fourir são ris, vr. 4. S ão o qu sigific qu os coficis d séri são imgiários, vr. Exmplo Clculr séri d Fourir do pulso priódico. 6

18 Pulso priódico. Uilizdo qução.b, rsul: logo 7 7

19 Espcros Discros O spcro srv pr crcrizr um sil priódico o domíio d frquêci. Espcro d mpliuds É rprsção gráfic ds mpliuds ds hrmôics m fução d frquêci. Espcro d fss É rprsção gráfic ds hrmôics m fução d frquêci. Espcro Uilrl Um fução priódic pod sr scri form: O gráfico d E m fução d frquêci figur corrspod o spcro uilrl d mpliuds. O gráfico d m fução d frquêci figur b corrspod o spcro uilrl d fss. Os spcros são dios uilris porqu são dfiidos o smi-ixo posiivo d frquêci. Espcro uilrl d mpliuds b Espcro uilrl d fss. Exmplo 3 - Espcro Uilrl d od Qudrd No Exmplo vimos qu séri d Fourir corrspod à od qudrd é: o qu pod-s rscrvr form: 8

20 Uilizdo rlção 8 podmos squmizr o spcro d mpliuds fss d od qudrd, qu são prsdos s figurs sguis. 8 Espcro d mpliud d od qudrd b Espcro d fss d od qudrd Espcro Bilrl O spcro bilrl é rprsção dos módulos fss dos coficis A séri xpocil m fução d frquêci. Dl diz-s bilrl porqu vri d -, dss modo uilizmos os smi-ixos posiivo givo d frquêci. Um sil priódico s rprs m séri d Fourir xpocil form: s figurs b mosrm os spcros d mpliud d fss m cofigurção bilrl. Ds propridds á cids dos coficis d séri xpocil podmos cocluir qu o spcro bilrl d mpliuds é um fução pr o su spcro d fss corrspod é um fução impr. 9

21 Espcro bilrl d mpliuds b Espcro bilrl d fss; Exmplo 3 - Espcro bilrl do pulso priódico. Do xmplo, rlivo o pulso priódico d lrgur, dduz-s qu: do qul pod-s rproduzir rprsção spcrl ilusrd sgui figur: 9 Espcro bilrl do pulso priódico. No cso priculr do pulso priódico prfrimos rprsr m gráfico A ão A m fução d frquêci, plo fo d A sr rl. Dss mir podmos codsr simulm iformção d mpliuds fss um úico - gráfico. Obsrvmos d

22 figur rior qu volóri do spcro do pulso priódico sgu fução s x / x, do poos d ulos s frquêcis múlipls d /. Dfi-s ormlm um lrgur d fix pr rsmissão do pulso priódico m fução d lrgur d pulso. A lrgur d fix m frquêci gulr d um pulso rgulr priódico d lrgur mporl pod sr proximd à B = / pois mior pr d rgi ds sil sá coid o irvlo [, /] o qu mpliud ds compos soidis s irvlo são bm miors qu s dos dmis irvlos. Aális Hrmôic - Séri d Fourir m circuios RLC Em virud do pricipio d suprposição, msm écic d fsors pod sr plicd siis qu sm som d sóids ou d xpociis complxs. A séri d Fourir prmi ão sdr o procdimo viso pr siis soidis um clss mior d siis qu são os siis priódicos, dsd qu sisfçm codiçõs d Dirichl, pouco rsriivs práic. O rmo ds compos soidis d um sil priódico qulqur é domido ális hrmôic d siis priódicos. Ds modo, um fução priódic pod sr scri como: f F od = / é frquêci fudml os coficis F são ddos por: F f d Cd compo pod ão sr muliplicd por um impdâci, dmiâci ou fução d rsfrêci pr dr s compos corrspods d solução priculr. Assim, um corr d form priódic pod sr scri como: i I Es corr, rvssdo um impdâci, cusrá sgui são: com v V V I Z Novm, cso s ds, é possívl obr o sil d são qu rlm ocorr o circuio omdo-s pr rl do rsuldo rior.

23 Exrcícios Dduz xprssão 7 pr o cálculo dos coficis b k d sri rigooméric d sos cossos, ou s: b k f s k d Obh os coficis d sri rigooméric sos cossos d Fourir do sil d od qudrd dfiid sguir: A 3/ / / 3/ 5/ A 3 A prir ds sguis xprssõs d sri xpocil d Fourir d sri rigooméric d sos cossos d Fourir: f A f cos b si rlcio os coficis A, A A com os coficis, b - vr xprssõs d 9. Prov mbém s xprssõs 3: A f d A f 4 Dmosr s xprssõs 5 6. Dic: us xprssão. 5 A prir ds sguis xprssõs d sri xpocil d Fourir d sri rigooméric d cossos d Fourir: d f A f E E cos rlcio os coficis A, A A com os coficis E, E. Compr com o rsuldo do xrcício 3.

24 3- RANSFORMADA DE FOURIER F x = ~ Vimos qu séri d Fourir prmi ális d siis priódicos pl su dcomposição m siis soidis. A sguir msm écic é grlizd pr siis priódicos, chgdo-s rsformd d Fourir. Qudo os siis ou xciçõs f ão são priódicos, ão podm sr dcomposos m séri d Fourir,, poro ão podm sr crcrizdos plo spcro d frquêci. Ms sri úil s o msmo procdimo pudss sr sdido siis priódicos, pois ssim sri possívl rsolvr um fmíli mior d problms. A xsão do procdimo com siis priódicos pr siis priódicos pod sr fi dixdo o príodo crscr idfiidm. Codiçõs suficis pr qu iso poss sr fio são s sguis: Há um úmro fiio d dscoiuidds d f m cd irvlo d mpo fiio. Exis drivd diri squrd m cd poo. 3 As fuçõs f são d módulo igrávl: f d fii. A codição 3 xig qu fução f d pr zro qudo = + com sufici rpidz. Agor, scrv-s: o Qudo o príodo crsc idfiidm, drá pr zro. xprssão 8, por, m-s: Subsiuido-s, f F 9 Usdo xprssão 3 odo qu rgião d igrção é rlizd m odo irvlo d um príodo d fução, qu gor é d - +, rsul pr o cofici F o sgui: F f d Vê-s qu, mdid qu o príodo crsc, s frquêcis ds compos do spcro d frquêci ficm cd vz mis próxims sus mpliuds dimium. Pr príodo ifiio, dfi-s dsidd d compos hrmôics por uidd d frquêci gulr como sdo: 3

25 F F F f 9 f F d Obém-s ssim o spcro coíuo, qu crcriz os siis priódicos. Pod-s dizr qu fução f sá sdo cosidrd como suprposição d um ifiidd d compos xpociis ou soidis com dsidd F. Esblcdo-s = d s xprssõs, obr-s-i: f F d F f d Ero, m ghri o for / ormlm é uilizdo dfiição d irsformd d Fourir por qu s librdd dfiição é possívl?. Assim rsulm s sguis dfiiçõs: ou f = F - F F d F = F f f f F d F f d 3 d Qu são domids rspcivm d Airsformd d Fourir d fução F rsformd d Fourir d fução f. Espcro coíuo m frquêci do sil f Pod-s scrvr: F F od F é mpliud F é fs d F. Ds form cssi-s d um digrm pr mpliud ouro pr fs pr rprsr F, figur sguir. is rprsçõs corrspodm o spcro coiuo m frquêci do sil f. 4

26 Mgiud fs d um F ípico m fução d frquêci. Como á discuido, um fução yx é pr s y-x = yx é impr s y-x = -yx. Logo s figur idic qu mgiud d F é um fução pr qu su fs é impr. Iso pod sr provdo cosidrdo-s qu fução f é rl. Eão, d 3: F f d F * f d F Ou id: F F * F. F F * F Poro, pod-s firmr qu o spcro d mpliud é um fução pr, pois F F qu o spcro d fs é um fução impr, pois. F F Aális Hrmôic d siis priódicos Cosum-s dor o poo d vis d cosidrr F como um fução d frquêci gulr ssocid f, chmá-l d rprsção d f o domíio frquêci. Do msmo modo qu sri d Fourir cd compo soidl d um F ár sob curv d F com lrgur d dv sr muliplicd por um impdâci, dmiâci ou fução d rsfrêci pr s obr s compos corrspods d solução priculr. Por xmplo, rsformd d Fourir d um dd corr i pod sr scri como: i I d 5

27 Es corr rvssdo um impdâci Z irá cusr um qud d são qu rsul ds sguis oprçõs: V Z. I v Z. I. d Es cálculo domido ális hrmôic d siis priódicos é cosiuído dos sguis ságios: Pssgm d fução d rd f, o domíio mpo, pr su rprsção o domíio frquêci F por mio d um rsformção d Fourir. Solução do problm lgébrico, usdo fuçõs complxs, o domíio frquêci. 3 Vol pr o domíio mpo plo cálculo d Airformd d síd, cso s cosidrr cssário. 6

28 Impors siis sus rsformds Fução impulso uiário d Dirc A fução Impulso Uiário é um ds mis impors fuçõs o sudo d siis sisms. El foi iicilm dfiid por P.A.M.Dirc. Dfiição: d A fução impulso só m sido d dfiição ár m qu msm s cocr, ou s, origm, =. Poro d d 4 od são vlors rbirários pquos qu s proximm d origm pl diri pl squrd. A fução impulso uiário pod sr cosidrd um pulso srio d ár uiári com o limi d lrgur mpliud coform figur sguir: A rprsção gráfic d Fução Impulso d Dirc é prsd figur bixo. 7

29 f Propridd d mosrgm d fução d Dirc A propridd d mosrgm d, od é um fução coiu origm, é vrificd rvés d muliplicção por um pulso srio como mosrdo figur bixo, qu rprs qudo s fz o limi d. O produo é ão proximdo plo vlor,. Rsul dí qu: qu é cos o irvlo d d d cqd. Es propridd sigific qu ár sob o produo d fução com um impulso é igul o vlor d fução o is od o impulso uiário é loclizdo. Ns drivção ssumimos qu fução é coiu o is m qu o impulso é loclizdo. O rsuldo cim pod sr grlizdo pr: d 5 8

30 9 A rsformd d Fourir d fução impulsiv uiári origm é dd por: d 6 Cuo gráfico é prsdo figur bixo. Rprsção igrl d fução d Dirc D coclui-s qu: d d d d 7 Fução dgru uiário Our fução mbém muio uilizd o sudo d siis é fução dgru uiário, ormlm scri como u dfiid por: u Su rprsção gráfic é dd por: F

31 u Um sil g é cusl qudo possuí sgui propridd: g Um sil g m qu iso ão ocorr pod sr rsformdo m cusl f muliplicdo o sil origil por u: f= g.u Vmos obsrvr um xmplo sguir: O sil, figur sgui, rprs um xpocil qu comç m. S quisrmos qu s sil comc m = form cusl, dv-s dscrvê-lo como u sdo su rprsção gráfic prsd figur b bixo. g f. u figur figur b A rsformd d Fourir d fução dgru uiário origm é dd por: u u d d 8 3

32 Exmplos d rsformd d Fourir d Airsformd d Fourir Clculmos rsformds irsformds d Fourir pr lgus csos. Fução xpocil: El é dd por: Pulso rgulr: Iso pod sr simplificdo pr: Dsd qu X é um fução rl d w, su fs é zro pr odo w. O gráfico d X é prsdo figur sgui. rsformd d Fourir d um pulso rgulr. 3

33 3 Fução g cos cos o o Rlção d Eulr cos o cos o d qul rsul: cos o Espcro d Fução cos 5 Fução g si o s o Rlção d EULER s o 3

34 s o d qul rsul: s o Espcro d Fução s 4 Usdo propridd d mosrgm d fução impulso mos: d Poro; ou mos id qu: 33

35 7 g G g G d od Gω δω d ou 34

36 Propridds d rsformd d Fourir Propridd d Simri S f F ão F f Dmosrção: omdo - s qução mos: f F f F d d Ns igrl, é um vriávl simbólic, poro pod sr subsiuíd por our vriávl qulqur. Por xmplo, um vriávl x. Assim: f F x x dx rocdo gor vriávl por rsul: f F x x dx D msm form subsiuido vriávl simbólic x por our vriávl, rmos: ou f F d F F f Iso dmosr clrm propridd d simri qudo f é um fução pr. No cso m qu f f qução F f s rduz : F f Como foi dmosrdo, pod s or qu rsformd d Fourir d um fução pulso rgulr, é fução mosrgm qu rsformd d Fourir d um fução mosrgm é um pulso rgulr. 35

37 36 Assim fic dmosrdo qu propridd d simri s plic ods s fuçõs prs. Propridd d Liridd G G g g G g G g ão s cosidrrmos quisqur coss rbiráris G G G g g g G G g g 3 Propridd d Escl Um xpsão do domíio do mpo quivl um comprssão o domíio d frquêci vic - vrs. S G g Eão pr um cos rl, mos: G g

38 37 Dmosrção: S > Rl d g g fzdo x mos: G dx x g g x poro G g s < ão G g G g 4 rslção m frquêci S G g ão G g Es orm sblc qu um dfsgm d o domíio d frquêci quivl muliplicr fução f por o domíio do mpo. A muliplicção d fução plo for rsld odo o spcro d frquêci m. Dmosrção: G d g d g g G g Poro: G g o

39 5 Dfsgm o mpo orm S g G w Eão g Gw. Dmosrção: x g g. d x Subsiuido x d dx obém-s: od x x g g. dx x x x x g x. dx G x x x = g x.. dx g x.. dx x x x Poro: g G. 38

40 rsmissão d siis rvés d Sisms Lirs Colocdo-s rd d um sism um fução f rmos síd dss msmo sism our fução r. Qudo o sism ão iroduzir m r frquêcis difrs dquls xiss o coúdo hrmôico d f, o sism m qusão srá dio lir. É d osso irss cohcr rspos r d um sism qudo xcido por um sil f rd. A figur bixo ilusr m digrm d bloco rprsção grlizd d um sism. Sil rvés d sism Rsolv-s s problm uilizdo o domíio d frquêci dpois rordo o domíio do mpo. As rsiçõs r sss dois domíios srão fis rvés d rsformção d Fourir. A rsformd G é cohcid como fução d rsfrêci. El um crcrísic do sism possibili fzr igco o domíio d frquêci d F com R. A rsfrêci G dpd ps dos prâmros do sism os idic qu m um dd frquêci o sil - d rd sofrrá lrçõs m fs m mpliud, sdo qu: rsmissão sm disorção Um sism idl é qul qu rsmi qulqur sil sm cusr-lh dformção. Um sism é dio sm disorção qudo: od f é o sil d rd, r é o sil d síd é o rso imposo plo sism. 39

41 As figurs sguis ilusrm squmicm o sil d rd d síd qudo um sism ão prs disorção. rsmissão sm disorção sil d rd; b sil d síd. Ds-s drmir qul crcrísic qu dv r fução d rsfrêci pr qu o sism s cosidrdo sm disorção. Cso f h rsformd d Fourir F ão rsformd d Fourir d r = k f- srá dd por: v o im im shif, d bl d propridds d rsformd d Fourir pági 4 Como F R são rlciods pl rsfrêci do sism G, sdo qu: chg-s coclusão d qu pr um sism o iroduzir disorção su rsfrêci dvrá sr igul à: Ds rlção cocluí-s qu pr um sism ão iroduzir disorção é cssário qu su curv d rspos m mpliud s cos m od fix d frquêci qu su 4

42 curv d fs s lir com frquêci. N práic s codição é idl, pois odos os sisms prsm limição d fix. N figur sguir prsm-s s crcrísics d mpliud fs d um sism pr qu ão ocorr disorção do sil procssdo. b curv do gho m mpliud d um sism sm disorção; b curv d fs d um sism sm disorção. Lrgur d fix d um Sism A cosâci d mgiud G m um sism é spcificd ormlm pl su lrgur d fix. A lrgur d fix d um sism é dfiid rbirrim como o irvlo d frquêcis o qul mgiud G prmc dro d vzs dro d 3 db o su vlor md d fix. A lrgur d fix d um sism, cuo gráfico G é mosrdo figur bixo, é. 4

43 Pr um rsmissão sm disorção, prcismos, vidm, d um sism com lrgur d fix ifii. Dvido às limiçõs físics, é impossívl cosruir ss sism. N práic pod-s cosguir um rsmissão sm disorção sisfóri, mdi sisms com lrgurs d fix fiis, ms suficim grds. Pr qulqur sil físico, o coúdo d rgi dimiu com frquêci. Por isso, só é cssário cosrução d um sism qu rsmi s frquêcis qu coh mior pr d rgi do sil. A ução dos compos d frquêci xrmm l dri cusr um disorção muio pqu, um vz qu sss compos crrgm muio pouc rgi. Exrcícios. Ecor F d f. Dsh su spcro. Ecor F d f. Dsh su spcro. 3. Drmi F d fução g s. 4. Drmi F do pulso rgulr mosrdo figur sguir dsh su spcro d frquêci. g 5. Ecor F pr fução rprsd bixo: 4

44 g 6. Mosr qu g g G cos 7. Mosr qu: d 8. Mosr qu 9. Prov s propridds ds Fs prsds bl sgui:. Rlcio F com rsformd d Lplc. 43

45 4- CONVOLUÇÃO Cosidr cohcid síd h d um sism bloco d procssmo figur bixo qudo su rd é um impulso uiário d Dirc. H h Eão, pr um sism do ipo lir ivri o mpo LI cohcid um rd x géric é possívl prir d h drmir síd y, iso é: Ddo x H y ão é possívl obr y d x d h s: x- H y- Ax+Bx H Ay+By o sism for ivri o mpo... lir. Pr l fução d rd x srá proximd por um som d impulsos como prsdo figur bixo. x x k x A k - k ; - < k < A k = x k k Aproximção d rd por mio d impulsos. 44

46 Ds figur pod-s scrvr: k x A k com A k k x k Cd compo impulsiv A rd irá grr um rspos síd do k k sism LI igul à Ak h k. A síd ol srá ão som dss rsposs idividuis, ou s, igul à: y A h x h k k k k Qudo s proxim d zro, pod-s scrvr: y x h d k k A xprssão cim por dfiição é covolução r rspos impulsiv o sil d xcição y = x * h. Gricm covolução r dus fuçõs f f é igul um fução f obid pl igrl: f * f f f f d Os sguis orms d covolução são provvlm os isrumos mis ficzs ális d siis d sus hrmôicos dos quis s obém com fcilidd muios rsuldos impors. orm d covolução o mpo S f F f F Eão f f d F F ou f * f F F 45

47 Dmosrção: f f f f d d * f f f f d d * F Pl propridd d dfsgm o mpo f F Poro f * f f F df F F cqd. orm d covolução m frquêci f F S f F Eão f f F u F u du ou f f F * F cqd. Obsrv qu usdo o orm d covolução o mpo o sil d síd pod sr clculdo do sgui modo: f g * f s G F 46

48 Algums rlçõs d covolução. Li Comuiv f * f f * f. Li Disribuiv f * f f f * f f * f Li Associiv f * f * f f * f * f 3 3 F F F F F F 3 3 Procsso d Covolução Gráfic O procsso mmáico pr cálculo d covolução, muis vzs prs dificuldds gr complicdors qu xigm do luo um cohcimo bs profudo dlhdo d frrms spcífics d cálculo. Há vários csos m qu dois siis r s são rprsdos por fuçõs mmáics complxs, ou id rprsdos por forms d od ão muio cohcids qu poro dificulm scri d fução mmáic qu os dfi. Como simplificção pr o cálculo d covolução dss siis, podmos uilizr um méodo od ão há cssidd d dlhr ss fuçõs rvés do procsso mmáico d igrção. Es méodo é rlivm simpls pod sr uilizdo pr muis plicçõs m sisms d comuicção. O méodo cosis obsrvção do compormo d r s rvés d covolução gráfic dss fuçõs. Exmplo: Clcul covolução gráfic d r com s, qudo r s são pulsos como mosrdo bixo: r s - - Solução procdimo pr o clculo d covolução r r s é mosrdo sguir: 47

49 48

50 Exrcício: Us écic d covolução gráfic pr clculr covolução ds fuçõs mosrds bixo: 49

51 O rsuldo ds covolução é prsdo sguir: Exrcícios. Ecor v*v*v covolução ripl d v, od v é um pulso rgulr d lrgur mpliud iguis. Uiliz covolução gráfic pr obr solução.. Drmi s sguis igris d covolução: u * u ; b u *. u ; c u * u Vrifiqu os rsuldos plicdo s rsformds d Fourir 3. Obr corr i o circuio prsdo figur sgui sdo su rd, v, um impulso uiário o is = s. b Idm pr v = cos. c Idm pr v igul um impulso uiário o is = s. 4. Us d m f f d pr dfiir rsformção f F f d su ivrs f F F d. 5. Cosidr sgui dfiição: um rm d impulsos uiários s cso d príodo = é um sil priódico formdo por dls d Dirc com sgui xprssão: x k. Obh covolução z = x * y sdo x um rm d impulsos uiários com = y um sil qu s ulo os irvlos < >. b Ecor F d um sil d um rm d impulsos uiários com =. Rspos: k X k c Ecor F do sil obido m. d A prir do rsuldo m c obh F d um sil priódico d príodo qulqur. 5

52 5- SISEMAS E CLASSIFICAÇÃO Rprsção d um Sism Um sism é um modlo mmáico d um procsso físico qu rlcio um sil d rd xcição com um sil d síd rspos. ommos x y como sdo os siis d rd síd, rspcivm, d um sism. Ess sism pod sr irprdo como sdo rsformção ou mpmo d x pr y. Es rsformção é rprsd mmicm pl sgui oção: y Hx od H é o oprdor qu rprs um rgr bm dfiid pr qul x é rsformdo m y. A rlção cim é rprsd como mosr figur bixo. Múlipls rds /ou síds mbém são possívis como viso figur b. x Sism y H x Sism y x y b Sism com simpls ou múlipls rds síds Sisms coíuos ou discros o mpo S o sil d rd síd x y são siis coíuos o mpo, ão o sism é chmdo d sism coiuo o mpo. S o sil d rd síd x y são siis discros o mpo ou sqüêcis discrs o mpo ão o sism domi-s d sism discro o mpo. x Sism y x H Sism coiuo o mpo Sism b Sism discro o mpo y 5

53 Sism com mmóri sm mmóri Um sism pod sr chmdo d sm mmóri s su síd m qulqur mpo dpd ão som do msmo mpo d rd. Cso corário o sism é chmdo com mmóri. Um xmplo d um sism sm mmóri é um rsisor R com rd x sdo um corr qu m como síd y um são. A rlção rd-síd Li d Ohm pr um rsisor é: y Rx Um xmplo d sism com mmóri é um cpcior C com corr sdo rd x são como síd y, ssim: y x d C Um sgudo xmplo d um sism com mmóri é um sism discro o mpo pr o qul rd síd são rlciods por: y k x k Sisms Cusl Não-Cusl Um sism é chmdo d cusl s su síd y com um mpo rbirário dpd ão som d rd x pr. Iso é, síd d um sism cusl o mpo prs dpd som do prs /ou dos vlors pssdos d rd, ão dos vlors fuuros. Assim, m um sism cusl, ão é possívl s obr um rspos síd s d s plicr um rd pr o sism. Um sism é chmdo d ão-cusl s l é ão sisfz s codiçõs cim, pod sr xmplificdo como sgu: y x y x Obsrv qu odos os sisms sm mmóri são cusl, ms ão vic vrs. 5

54 Sism Lir Não Lir S o oprdor H qução y Hx sisfz s dus codiçõs qu s sgum, ão H é chmdo d um oprdor lir o sism é rprsdo por um oprdor lir chmdo d um sism lir. Codiçõs:. Adição: Ddo qu Hx y Hx y,. Escl: H x x y y pr qulqur sil x x ão: H x y pr qulqur sil x qulqur sclr Qulqur sism qu ão sisfç s codiçõs cim é clssificdo como um sism ão lir. As quçõs cim podm id srm combids r si rsuldo m: H x x y y s ovo rsuldo qução é mbém cohcido como suprposição. Exmplos: Sisms lirs rsisor d qução y = Rx Sisms Não Lirs yx y cos x Um irss iuiiv cosqüêci d propridd d scl é qu m um sism lir, pr um rd d sil x = síd é mbém igul à zro. Sism Ivri o mpo Vri o mpo Um sism é chmdo d ivri o mpo s o sil d rd cus o msmo dslocmo rso ou vço o sil d síd. Assim, pr um sism coiuo o mpo, o sism é ivri o mpo s: H x y Pr um sism discro o mpo mos: 53

55 H x k y k od k é qulqur úmro iiro. Qudo o sism ão sisfz qução com o mpo. H x y, o sism é dio vri S o sism é lir mbém ivri o mpo, ão l é domido d Sism Lir Ivri com o mpo brvido por LI. Sisms Esávis Um sism é do ipo rd limid/síd limid BIBO boudd ipu / boudd oupu sávl s som s od rd limid rsulr m um síd limid. A síd dss sism ão divrg d rd s rd ão divrgir. Pr colocr codição d sbilidd BIBO m um bs forml, cosidr um sism d mpo coíuo cu rlção d rd síd sá d cordo com dscrição d qução bixo. O oprdor H é BIBO sávl s o sil d síd y d rd x sisfizrm s codição. y k x k síd rd od k é um úmro rl, posiivo fiio. Sism com Rlimção x y Σ Sism Um clss spcil d sisms com grd imporâci o sudo plicção d sisms cosis d sisms com rlimção fdbck. Em um sism com rlimção, o sil d síd é rlimdo diciodo à rd do sism como mosrdo bixo: Sism com Rlimção 54

56 Exmplo Cosidr o cpcior mosrdo figur bixo. Fç rd x = i síd y = vc Pr ss cosidrçõs drmi rlção rd /síd do sism Drmi id s o sism é: Solução Sm-mmóri b Cusl c Lir d Ivri o mpo Esávl Assumido qu cpciâci C é cos, são d síd vc sobr o cpcior corr d rd x pod sr rlciod por: y Hx x d C Obsrvdo qução cim é fácil d vr qu síd y dpd dos vlors d rd iiciis prs do sism. Assim o sism é com mmóri. b Dsd qu rspos do sism ão dpd d vlors fuuros d rd, o sism é cusl. c A codição d liridd é x x x y y yão y Hx x x d c 55

57 x d x d C C y y Poro como propridd d suprposição é sisfi pod-s firmr qu o sism é lir d Fzdo y sr síd produzid por um corr rd dslocd rprsd por x x rmos: y H x x d c x d y c Ns cso o sism é ivri o mpo x ku com k k k c C C y ku d u r od r u qu é fução rmp uiári mosrd figur bixo. r u Alisdo s codiçõs mmáics gráfics prsds, dsd qu y crsc lirm o mpo sm limi, o sism é ão sávl ão BIBO. 56

58 Coxõs m Csc, Prllo com Rlimção Modlo básico x X h H r R Normlm um sism possui muis uidds ou subsisms irligdos. Qudo os subsisms m qusão são dscrios por fução d rsfrêci idividul, é possívl dsávl uá-ls cosidrr um fução d rsfrêci do sism globl. As rlçõs corrspods pr dois subsisms ligdos m prllo, csc com rlimção são forcidos bixo. As cofigurçõs mis complxs podm sr lisds pl plicção sucssiv dsss rgrs básics. Um cosidrção sscil dv ro sr fi; quisqur irçõs ou fios d crgs dvm sr cosidrds s fuçõs d rsfrêci idividuis d modo qu rprsm rspos rl dos subsisms o coxo do sism globl. A figur bixo forc o digrm d dois subsisms m prllo; s dus uidds m msm rd sus síds são somds pr forcr síd do sism. D suprposição sgu-s qu: Y X.H X.H ou Y [ H H ].X, d modo qu fução d rsfrêci globl é: H H H Sism m Prllo x X H H X.H + X.H X.H X.H Y 57

59 N ligção m csc, coform figur sguir m-s: Csc X H H Y Y X.H.H E, poro fução d rsfrêci é:.h.h H A ligção m rlimção difr ds ours dus, cosidrdo-s qu síd é dirigid pr rás rvés d H subríd d rd. Poro: Y H X Y.H H Assim: Y X H.H Es cso é mis propridm chmdo d rlimção giv, disim d rlimção posiiv, od o sil rlimdo é somdo com rd m vz d sr subrído. Com Rlimção X + X.H - + H Y H H.Y X H Y X H.H 58

60 Sisms visos como Ircoxõs d Oprçõs Em rmos mmáicos, um sism pod sr iso como um ircoxão d oprçõs qu rsform um sil d rd um sil d síd com propridds difrs ds do sil d rd. Os siis podm sr d vridd do mpo coíuo ou discro, ou um combição d mbos. Digmos qu o oprdor H fução d rsfrêci globl do ção d um sism. Eão, plicção d um sil d mpo coíuo x à rd do sism produz o sil d síd dscrio por: y H x A figur bixo mosr um rprsção m digrm d blocos d qução cim. x H y D mir corrspod, pr o cso d mpo discro podmos scrvr qução d sgui form: y H x m qu os siis d mpo discro x y dom os siis d rd síd, rspcivm como dscrv figur x[] H y[] Sism Ivri o mpo Diz-s qu um sism é ivri o mpo s um rrdo d mpo ou vço d mpo do sil d rd lvr dslocmo d mpo idêico o sil d síd. Iso sigific qu um sism ivri o mpo rg d mir idêic, ão impor qudo o sil d rd s plicdo. Em ours plvrs, s crcrísics d um sism ivri o mpo ão s modificm com o mpo. Cso corário, diz-s qu o sism é vri o mpo. 59

61 Exrcícios Cosidr o iduor prsdo figur bixo. Fç rd x = v síd y = i. Pr ss cosidrçõs drmi rlção rd /síd do sism. Drmi id s o sism é: Sm-mmóri b Cusl c Lir d Ivri o mpo Esávl Dos sisms suddos s cpíulo quis s pod plicr o orm d covolução o mpo ou s pr os quis o sil d síd pod sr clculdo pl sgui xprssão: y x * h H X. Por qu? b Idifiqu cd lmo d xprssão cim prsd. 3 Dmosr qu y = x * h, sdo h = H{}, x rd d um sism H do ipo LI y su síd, rvés d sgui squêci: Escrv x usdo igrl d - m d d fução impulsiv - vzs x. b Apliqu H{x} xprssão obid m. c Film us H{ x d} = H{x}d m b. No qu H u ps m fuçõs qu cohm xplicim vriávl. Obs.: por liridd H{ x k }= H{ x k } H{ x d}= H{x}d. 6

62 6- ESPECRO DE DENSIDADE DE ENERGIA Um prâmro úil d um sil f é su rgi ormlizd. Dfi-s rgi ormlizd E d um sil f, como rgi dissipd por um rsisor d qudo s plic o msmo um são ou corr f. Assim, E f d Es cocio d rgi só m sido s igrl cim é fii. Os siis d rgi fii são chmdos d siis d rgi. Pr lgus siis, como os siis priódicos igrl cim é ifii o cocio d rgi dfiido ão m sido. Nsss csos cosidr-s médi o mpo d rgi qu vrdd é médi d poêci do sil. A sss siis drmos o om d Siis d Poêci. S F é rsformd d f f F d A rgi d f srá: E f d f F d d f Muddo ordm d igrção do sgudo mmbro rmos: E f d F f d d A igrl os prêss é F, poro: 6

63 E f d F. F d F d E F d Dmosrção: F F Ampliud Fs F pr S f é um fução rl ão F fs impr F * F F f d poro F f d Dvido Simri Hrmii mos: F F F F Rsuldo F. F F 6

64 Irprção d dsidd d rgi E F d Exmplo Cosidrmos um sil f plicdo um filro pss-bd como mosrdo sguir: H Es filro cor ods s frquêcis, com xcção ds qu são comprdids dro d cu frquêci crl é. S R é Fd r dss filro, ão: R H. F rgi E d síd do sil r srá: E F H d Como H é zro m qulqur poo xco m um bd od l vl, rmos pr : E. F. f f A rgi d síd srá ão: E F. f 63

65 Poro só s rsmim sm lrção s compos d f qu s corm bd dfiid por. As dmis compos são ods suprimids. A rgi E F. f rprs rgi d f mis prcism rgi ds compos d f qu são m com cro m. Exmplo: Pulso b Dsidd spcrl c Espcro d rgi Siis priódicos d poêci A médi um irvlo d durção d um fução rbirári v vl: 64

66 v lim v d Cosidr o sil v priódico, d príodo. Eão s médi ão vri lrdo-s o is iicil d igrl: v v d = v d A poêci médi é médi o mpo d poêci isâ. S v é um sil d são, v srá proporciol su poêci isâ. P v v Exmplo: o d Ddo v Acos P v A d cos A P d cos A cos d cosa cos A 65

67 P A cos A d d d cos A A A P A orm d Prsvl Rlcio poêci médi d um sil priódico os coficis d su séri d Fourir. P v d vv d * * f v VK d f * * v d. VK VK. VK V K P v d V K 66

68 Exrcícios Supoh qu ods s compos d frquêci m f > spcro do rm d pulsos rgulrs d lrgur. são rmovids do Us o orm d Prsrvl pr clculr porcgm d poêci qu rs qudo f od qudrd. Rpi o problm rior pr f 5 67

69 7- RANSFORMADA DISCREA DE FOURIER DF Com rvolução d Microlrôic dissmição dos compudors, ods s árs d plicção d Eghri Eléric form ivdids por quipmos bsdos m procssdors digiis. Ds modo s vidciou crição d um écic com crcrísics própris rlciod o mprgo spcífico d compudors qu são icorpordos d um modo qus ivisívl produos pr os mis vridos usos - domid Elrôic Embuid EE. Como xmplos d produos crcrizdos pl uilizção d écic d EE m su cocpção pod-s cir: m lcomuicçõs - clulrs, pgrs, rodors, mods; m Isrumção osciloscópio digil, isrumos viruis; m Mdici - mdidors d prssão rril, moiors d glicmi; prlhos d cocrdiogrm; m Corol Idusril - ssors iligs, corol d foros d mquis; m Procssmo d Ddos Escriório - clculdors, fx, copidors, scrs, imprssors; m Cosumo Elrodomésicos - foro d microods, mquis d lvr, scrári lrôic, V digil, vidogms; Idusri uomobilísic - corol d rsmissão, ição lrôic, frio ABS, suspsão iv. Nss produos é comum rprsr-s sisms ou subsisms por couos d blocos d procssmo d siis qu rlizm oprçõs como, por xmplo, filrgm, igrção, difrcição, som, subrção, produo, rrdo ouros os quis ulm m grl são implmdos pl progrmção d procssdors digiis. Nos primórdios d Elrôic, blocos smlhs ss rm rlizdos xclusivm por circuios lógicos. Es dêci digilizção d produos du origm oris qu sdrm s frrms mmáics usds lis d siis coíuos pr globr o cso d siis discros. Vrmos sguir um xmplo impor d como iso ocorru o cmpo ds lcomuicçõs. Um procssmo muio difudido m lcomuicçõs é o d obção d composição hrmôic soidl d um sil mbém domid d spcro m frquêci ds sil. A rsformd d Fourir é um frrm mmáic uilizd lis spcrl d siis. Ero, su dfiição origil é sblcid pr siis coíuos d mpo coíuo Ro qu lv spcros d frquêci coíu f R. A rprsção coíu m bsoluo é o modo mis url d s rr um sil m compudors: s mosrs d um sil corrspodm vlors lidos m irvlos discros o mpo Z. Além diso obsrv-s qu é fiio o mho d um mosr o qul é limido plo próprio spço d mmóri dispoívl o procssdor digil. A sguir srá fi um irodução à pssgm d rsformd d Fourir d mpo coiuo pr rsformd Discr d Fourir visdo su plicção m procssdors digiis ou mis mplm EE. 68

70 N Figur prsm-s um sil f su corrspod rsformd d Fourir F. Já form sudds s xprssõs pr o cálculo d um dss fuçõs cohcid our: F f d 7. f F d 7. f = A F A = = / A = / Figur Pr f F Pr procssmo digil ds sil srão cosidrds mosrs d mbs s rprsçõs. Os iss d mosrgm são prsdos pls lihs poilhds d Figur qul mbém são dfiidos os sguis vlors: i irvlo d mpo r dus mosrgs sucssivs d f ii A durção d Amosrgm d f iii A irvlo d frquêci gulr r dus mosrs sucssivs d F iv durção d mosrgm d F 69

71 A rsformd F d Fourir do sil f d Figur é dd por: F A f d f d 7.4 Aproxim-s F subsiuido igrl m 7.4 pl sgui somóri: F N f 7.5 od A N 7.6 é o úmro d lmos mosr f : xprssão 7.5, f é obido do sil f pr os iss d mpo discros iguis = poro corrspod um mosr ds sil. A mosrgm do sil F é obid d xprssão 7.5 sdo dd por: od F m : F m N ma A F f m 7.7 A f : f f 7.8 Poro, o úmro d lmos mosr F m rsul m: N' A / / A A m N' 7.9 As rlçõs / A / A, prvim ssumids Figur l, lvm à iguldd o úmro d lmos ds mosrs F m f, iso é, N = N, como pod sr vrificdo pls xprssõs Assim os irvlos A podm sr usdos pr dfiir s rsoluçõs dsds pr cd mosr: dfi rsolução d mosr f d f A ou A / A rsolução d mosr F m d F. Coudo rlção N= A / drmi o úmro d lmos pr ss dus mosrs. 7

72 Dfiição d DF Um vz qu A são prsblcidos ão s pod dizr qu o produo A / A / N, xprssão 7.7, é fixo o logo dos dmis cálculos. Nss codiçõs, dfi-s frquêci gulr fudml rliv o príodo N como sdo igul : / N 7. A Subsiuido-s 7. m 7.7, obém-s: N m F m f 7. A fução F m xprssão 7. é ão domid rsformd Discr d Fourir DF d fução f. Em rsumo s grdzs / xprssõs volvids DF são s sguis: f f ; F m F m A ; A / A ; / ; N / ; / N A DF ivrs DFI A comprção d rsformd Coiu d Fourir F f d d su ivrs f / F d com xprssão 7. iduz sgui iv pr rsformção ivrs d 7. d F m pr f : N m f C Fm 7. m sdo C um cos drmir. A fução f xprssão é ão domid rsformd Discr Ivrs d Fourir IDF d fução F m. Pod-s vrificr s IDF propos é cosis subsiuido-s 7. m 7.: N N N N k m k m F m CFk CFk 7.3 k k 7

73 7 rocdo-s ordm ds somóris colocdo-s F k m vidci rsul: N k N k k N k N k k m F C F C F 7.4 A sgud somóri corrspod um PG d rzão r dd por: N k N k m m k r F C F r 7.5 Exism dus codiçõs pr rlizr o cálculo d somóri ds PG: ii i r r r r r r m k N r r m k m k N m k N N N Iso é, s k = m somóri vl N s k m l vl. Usdo o símbolo d Krockr km, dfiido como sdo s k = m s k m, é possívl codsr os dois rsuldos riors um úic xprssão: km N N r 7.6 Film d obém-s: N k m km k m N C N CF N F C F 7.7 D 7.7 coclui-s qu s plicdo irsformd discr d Fourir um fução F m sguir plicdo-s rsformd discr d Fourir o rsuldo obém-s ovm fução origil F m como dvri sr. Priodicidd ds DF s As xprssõs qu dfim ss rsformçõs, N m m f F N m m m F N f, são priódics d príodo N. Prov: m m N m N m m N m m m m m N m m N m m N

74 Poro, os príodos d rpição d F m d f srão rspcivm iguis à: Fm N A A A f N A A Es rsuldo é prsdo Figur. f A A A Fm Vlors d F prsdos por um Alisdor d Espcro Rgião od ocorr um misur sigificiv d vlors r príodos sucssivos d F m Figur Fuçõs mosrds d f d F. Um fio ão dsdo ocorr fução F m dvido s priodicidd. Pod-s mosrr qu pr um sil f limido m su F ão é limid m qu, poro os vlors dos divrsos príodos d F m prsdos Figur irão s misurr priciplm m oro d /. No o, como F d ssióicm pr zro com, é possívl scolhr d modo umr o príodo d F m Figur miimizr irfrêci r os príodos sucssivos ds rsformd. Comário Fil Embor s irodução hisóric fç um po do cso coiuo pr o cso discro d rsformd d Fourir ulm DF é dfiid rd d modo idpd lis d siis discros sob s poo d vis o problm discuido riorm dix d xisir l só m sido qudo s cosidr DF como proximção d F. 73

75 Priv Sub spc_click ' Algorimo pr clculo d DF por MAG m / Dim i, k,, f As Igr Dim x As Vri Dim, h As Doubl Dim rl_, img_ As Doubl i = For Ech x I Shs3.Rg"B:B5" i = x.vlu i = i + Nx 'covr domiio frquci - lgorimo diro: df o ff ' l rigulr For i = o 3 w = i - 5 / 5 If w < h w = -w ' w = l rgulr i = * i * - w Nx f = Shs3.Rg"N".Vlu / 4 For k = o 5 DF rl_ = img_ = For = o 4 x = * * k * / 4 rl_ = rl_ + * Cosx img_ = img_ - * Six hk = rl_ * rl_ + img_ * img_ ^.5 / f Nx Nx h = h / i = For Ech x I Shs3.Rg"M:M5" x.vlu = hi i = i + Nx Ed Sub 74

76 75

77 76

78 77

79 9. BIBLIOGRAFIA. Modr Digil d Alog Commuicios Sysms B.P.Lhi Oxford Prss, 3ª Ediio - 3. Irodução os sisms d Comuicção Simo Hyki,Michl Mohr- Bookm, ª Edição 8 3. Siis Sisms - Simo Hyki, Bookm Lir Sysms d Sigls B.P.Lhi Oxford Prss, ª Ediio 5 5. Siis sisms lirs B.P.Lhi, Bookm, 6 6. Sigl d Sysms, Husy. P. Su, Schum collcio, 3 7. Pricipios d Comuicção I- Oswldo Egydio Goçlvs Juior, Aposil Uip, Elmos d Aális d Sisms Lirs- Boffi L.V. & Couiho J.A.M., EEGIL. 78