CÁLCULO I 1º Semestre 2011/2012. Duração: 2 horas e 30 minutos

Transcrição

1 NOVA SCHOOL OF USINESS AND ECONOMICS CÁLCULO I º Smsr / EXAME ª ÉOCA Jiro Durção: hors miuos Não é prmiido o uso d luldors. Não pod dsgrfr s folhs do uido. O uido ds m é omposo por págis. Rspod d form jusifid ods s qusõs, prsdo smpr os álulos fudos simplifido os rsuldos o máimo. Rspod d grupo rspiv sção pod usr os vrsos ds folhs pr rspodr às qusõs. Não s slrm dúvids. Idifiqu ods s folhs. NOME: NÚMERO:

2 Cosidr sgui séri: GRUO vlors, R, N,7 vlors Vrifiqu s séri é goméri.,7 vlors Eor o ojuo A formdo por odos os vlors d qu orm séri ovrg.,7 vlors Clul, s isir, o máimo do ojuo drivdo d A. A R \ Z. d,7 vlors Eor froir do ojuo vlor Srá vrdd qu s f é um fução oíu m A rá origorim máimo míimo m A? Jusifiqu. Rsolução: Sj goméri. r, s for os ão dpdr d ão séri é Tr-s d um séri goméri d rzão. r qu um séri goméri sj ovrg su rzão m d sr omprdid r -. < < 7 < < < > 7 < > R Assim, ] ;[ A. ] ;[ O ojuo drivdo d A é o ojuo dos poos d umulção d A, ou sj, ' ; ;, A [ ]. O ojuo dos mjors do ojuo drivdo d A é ddo por [ [ o suprmo é ddo por mor dos mjors o máimo é orrspod o suprmo s s prr o drivdo d A, o qu é vrdd.

3 d A R \ Z ] ;[ R \ Z O ojuo é formdo por odos os úmros ão iiros do irvlo ] ;[, ou sj, orrspod o ojuo ] ;[ \ { ; ; ; ; }. A su froir orrspod { ; ; ; ; ; ; } pois od vizihç d qulqur lmo ds ojuo oém simulm lmos do ojuo lmos qu ão prm o ojuo. A ] ;[ S um fução for oíu um irvlo fhdo ido, ão plo Torm d Wirsrss m ssrim máimo míimo ss irvlo. É dio o uido qu fução m us é oíu m ] ;[. Es irvlo é ido ms ão é fhdo drêi difr do ojuo, logo firmção é fls. Nd s pod grir r d isêi d rmos d fução f m A. GRUO, vlors Clul s sguis primiivs:,7 vlors osl,7 vlors vlor Rsolução: osl Nor qu l ' osl osl sil C Tr-s d um primiiv d um frção riol imprópri. O primiro psso é prodr à divisão dos poliómios.

4 C r Rorrdo o méodo d primiivção por susiuição: Sj l Assim ' A lo méodo dos ofiis idrmidos: A A A A A C C C l l l l

5 GRUO vlors Dig s s sguis firmçõs são vrddirs ou flss, jusifido suim.,7 vlors S um sussão U m rmos ão próimos d 7 o quo s prd, é ro qu U 7.,7 vlors Um sussão sr ão id é odição sufii pr sr um ifiim grd posiivo, givo ou m módulo.,7 vlors O ojuo formdo plos rmos d sussão V é igul o ojuo formdo plos rmos d sussão W os sdo os rdiis d mos os ojuos iguis Alf Zro. d,7 vlors O ojuo ds fuçõs qu dmim um proimção d primir ordm um poo do su domíio sá oido o ojuo ds fuçõs qu dmim um poliómio d Tylor d ordm o poo do su domíio. Rsolução 7 pr Flso. Um or-mplo é sussão U ímpr Apsr d isirm rmos ão próimos quo s prd d 7 rmos d ordm pr s úmro rl é ps um su-i d sussão. Não é possívl firmr qu prir d um r ordm odos os rmos d sussão mihm pr 7. pr Flso. Um or-mplo é sussão U ímpr Tr-s d um sussão ão id pois psr d sr miord por mplo por ão é mjord os rmos d ordm ímpr dm pr mis ifiio. Apsr d sr ão id ão é um ifiim grd posiivo, givo ou m módulo. Não s osgu provr qu prir d drmid ordm odos os rmos são supriors L, ifriors L ou m módulo supriors L, sdo L um úmro rl posiivo ão grd quo s poss imgir. Flso. A primir pr d firmção é vrddir pois V W. No o, o rdil dos ojuos é ão Alf Zro rdil ifiio.

6 d Fls. A firmção rfr qu s um fução dmi um proimção d primir ordm um poo do su domíio ão dmiirá origorim um poliómio d Tylor d ordm o poo do su domíio. Es rioíio sá rrdo pois o fo d um fução r primir drivd fii um poo o qu prmiiu proimção d primir ordm ão sigifi qu h drivds d ordm suprior mém fiis ss poo. Assim pod ão sr possívl proimr um poliómio d Tylor d ordm o poo do domíio. GRUO, vlors Cosidr fução rl d vriávl rl dfiid por r f., vlors Eor o domíio d fução f sud fução quo à oiuidd o su domíio., vlors Srá f um fução pr? E ímpr? vlor Esrv qução ds ssimpos do gráfio d fução f m álulos diiois dig quis são s sus ssimpos m R. Jusifiqu. R. Sm fzr d,7 vlors Com s s olusõs ds lís riors drmi o ordomíio d f.,7 vlors Sdo qu fução f é ijiv m odo o su domíio lul, s possívl, qução d r g o gráfio d d drivd d fução ivrs. f o poo d iss, usdo rgr f vlor Srá possívl grir qu is plo mos um poo o irvlo ] ; [ qu r g o gráfio d Jusifiqu. f ' é prll à r d qução l y m, om m R? Rsolução A fução r f m domíio R pois ão há qulqur rsrição os vlors qu vriávl poss omr. Ddo sr o produo d dus fuçõs oíus um fução poliomil um fução rigooméri ivrs fução f é oíu o su domíio.

7 r qu fução f sj pr rá qu vrifir odição f f pr qu sj ímpr rá qu vrifir odição f f. f r r r r f r [ ] f Como f f fução f ão é pr. Como f f fução f é ímpr, ou sj, é siméri m rlção à origm. Como o domíio d f é R fução é oíu o su domíio ão ism ssimpos vriis m R. Cálulo ds ssimpos ão vriis m R : Srão do ipo y m m f r r r [ ] f m r RC r [ ] r Eis um ssimpo olíqu d qução y qudo m d pr mis ifiio o qu fz om qu ão poss isir um ssimpo horizol m R. Como fução é ímpr é siméri m rlção à origm, logo s pr mis ifiio fução m um ssimpo olíqu d qução y, pr mos ifiio rá origorim um ssimpo olíqu d qução y. Não is qulqur ssimpo horizol ou vril m R já qu ão isim m R.

8 d Dd fução f r domíio R, sr oíu m R r ssimpo olíqu d qução y pr mis mos ifiio podmos oluir qu o ordomíio d fução é R o i d fução pr mos ifiio srá mos ifiio o i d fução pr mis ifiio srá mis ifiio, o qu pr d oiuidd m R ssgur s ordomíio. Em primiro lugr ormos s oordds do poo m sudo. S é um ojo d fução ivrs sigifi qu srá um imgm d fução iiil. r Assim o poo m sudo d fução f srá,. l rgr d drivd d fução ivrs, s-s qu f '. f ' r ' r f ' f ' so Como f ' ão é possívl lulr qução d r g o gráfio d fução ivrs d f o poo d iss usdo rgr d drivd d fução ivrs. f f ' r f '' A fução f ' irvlo [ ; ] é oíu difriávl m odo o domíio, logo mém srá o. Como f ' f ', plo Torm d Roll gr-s qu ; l qu r g o gráfio is plo mos um poo o irvlo ] [ d f ' m dliv, ou sj, is plo mos um poo o irvlo ] ; [ qu f ''. S r g o gráfio d f ' m dliv ão é prll à r d qução y m, om m R, pois rs prlls êm o msmo dliv. l

9 GRUO, vlors Sj fução rl d vriávl rl f, R.,7 vlors rov pl dfiição qu fução f é oíu m. vlor Mosr qu proimção d M-Luri d ª ordm d fução om R \{ } é: g. g f,7 vlors Sj f h f. Clul ' h prsdo rspos fil form d produo. d vlor Cosidr fução h d lí rior. r lul h. l vlor S-s qu f pss plo poo ; l. Rprs grfim rgião did pls fuçõs f y lul rspiv ár. Rsolução r qu fução sj oíu o poo idido, os is lris ss poo êm d sr iguis r si hvr i êm d orrspodr à imgm dss poo. Dd imgm d sr, provmos qu o i o m é ddo por, usdo dfiição. ε > : < δ f ε ε >, δ < f ε < ε < ε < ε < ε < ε δ ε Es rlção r os dois ifiiésimos δ ε prov qu o i m é ddo por. Sdo f, sá provd oiuidd d fução m. g f g ' g '' g g g' g''

10 [ ] [ ] f h f l l l ' ' ' d idrm. h l l l l RC l l l l l l f rd-s ár did pls fuçõs y y. Os zros d fução y são ddos por: Os poos d irsção ds dus fuçõs são: Clulmos ár vrd mulipliqumos por um vz qu é pdid ár ol did pls dus fuçõs. Nor qu s fuçõs são ímprs logo ár vrd é md d ár prdid.

11 d d A ár vrd orrspod ár ol prdid orrspod. GRUO, vlors Sj um fução igrávl o irvlo [ ] ;, om < <. Sdo qu d lul o vlor d: d d d Rsolução ls propridds dos igris: d d d d d d d d d d