O LEGADO DE EULER NA SÉRIE DE FOURIER

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LEONARDO ALVES DA SILVA O LEGADO DE EULER NA SÉRIE DE FOURIER FLORIANÓPOLIS 9

2 Trblho d Coclusão d Curso prsdo o curso d Licciur m Mmáic d Uivrsidd Fdrl d S Cri, pr obção do gru d Liccido m Mmáic. Oridor: Prof. Dr. Féli Pdro Quisp Gómz FLORIANÓPOLIS 9

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4 Ddico s rblho odos mus fmilirs migos, spcilm mih mã Ivir mih mord Vâi. 3

5 AGRADECIMENTOS A Dus, por ão m dir dsisir m dr forç pr sguir m fr. A mih fmíli: mih mã Ivir, mu pi Admir, por m poirm m odos os momos m ddo forç pr sguir m fr. A mih mord Vâi por odo criho, fo cofiç. A mu migo profssor Féli Pdro Quisp Góms, pl pciêci poio o dcorrr ds moogrfi, grdço muio l. A odos mus migos d fculdd, qu d lgum form m judrm ão disisir do mu objivo. Obrigdo! 4

6 A iligêci é um spéci d pldr qu os dá cpcidd d sborr idéis Sus Sog 5

7 RESUMO Es rblho vis prsr um pouco d hisóri d um dos mis brilhs mmáicos do século dzoio, Lohrd Eulr. O rblho mosrrá como r vid d Eulr como l igrssou o mio cdêmico qul su formção, bm como sus pricipis obrs dro d divrss árs qu ão ficm som o cmpo d Mmáic. Além d hisóri d Eulr o rblho vis mosrr ididd rigooméric d Eulr séri d Fourir lgums plicçõs ds séri uméric. 6

8 SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 8 CAPÍTULO LEONHARD EULER SITUAÇÃO DA ÉPOCA A OBRA MATEMÁTICA DE EULER... CAPÍTULO - ONDAS....- MOVIMENTO ONDULÁTORIO A EQUAÇÃO DE ONDA... 4 CAPÍTULO 3 SÉRIES DE FOURIER SÉRIES DE FOURIER E SUAS APLICAÇÕES INTRODUÇÃO A SÉRIE DE FOURIER SÉRIE DE FOURIER GERAL... 3 CAPÍTULO 4 - SÉRIES DE FOURIER E A EQUAÇÃO DA ONDA A EQUAÇÃO DA ONDA: AS FÓRMULAS DE D ALEMBERT E DE BERNOULLI CÁLCULOS E DEDUÇÃO DAS PROPOSTAS DAS SOLUÇÕES DE D ALEMBERT E BERNOULLI CONSIDERAÇÕES FINAIS BIBLIOGRAFIA... 7

9 INTRODUÇÃO Há quro Bilhõs d os um sróid chocou-s com lu produziu um orm crr d 5 km d diâmro. Quihos milhõs d o dpois grds quidds d lv hvim rchdo ss crr dsruído sus prds, produzido o mr ds chuvs. Sobr ss fudo d lv ciu um objo cls produziu um crr d pouco mis d km d diâmro, qu s chm Crr d Eulr qu ão gurd proporção com rlção o cohcimo mmáico d Lohrd Eulr, pois rvssou froir do cohcimo m odos os cmpos dur o século XVIII, sdo figur dscd dos mmáicos scidos moros ss século. 8

10 CAPÍTULO LEONHARD EULER (77-783). A SITUAÇÃO DE SUA ÉPOCA Juo com Arquimds, Nwo Guss, Lohrd Eulr é por su qulidd quidd d su obr um dos mmáicos mis brilhs riors o século XX. Eulr produziu mis d 8 livros rigos sus obrs compls, qu form rdids com o om d Opr Ommi ocupm 73 volums. A cl vlorizção d Eulr o mudo mmáico s dv mis riquz, origilidd, blz d su obr qu d su volum. Su gêio é quiprdo o d Shkspr, porém sgu dscohcido por um grd publico, dscohcdors d hisóri d mmáic. S cohcêssmos quos rsuldos qu uilizmos s dvm Eulr, su figur sri mis vlorizd sri viso por um grd público, s siuri o opo d hisóri Mmáic. A obr d qulqur ciis ão dpd clusivm d su gêio pssol, pois s circusâcis políics, sociis culuris drmim d form coclusiv su produção. Eulr ri sido um brilh mmáico m qulqur our époc, s mrcdo por r vivido o século XVIII, o século ds Luzs, mrcdo por dois movimos coíuos: O ds Trops ds Idéis. Eulr sc m 77 Europ s m gurr. A dispu pl coro sphol r Flip d Ajou o Arquduqu Crlos d Hbsburgo dscdou um gurr uropéi qu colocou Frç Csill cor Áusri, Iglrr, Hold, Prusi, Porugl Sboy. O moivo sucssório scodi rlidd o irss ds grds pocis m cbr com hgmoi frcs Europ dur o rido d Luis XIV, o Ri Sol. A pz d Urch (73) sri rg d Gibrlr Iglrr, divisão ds possssõs sphols Europ o dr o lior d Brdburgo o iulo d Ri d Prusi, o qu sri o scimo d um ov poêci qul Eulr pssri 5 os rblhdo cor d Frdrico II. No rmo ori d Europ, Pdro I comç rf d modrizr o vso império russo. Um d sus mdids Europuizs foi fudção d S Prsburgo, d su cdmi qul 9

11 Eulr rblhou md d su vid. Ess ovs pocis mrgs, dpois d divisão d Polôi, vão dispur o Gêio. Our coflgrção uropéi foi gurr d sucssão d Áusri (74-748), origid prm pl sucssão o roo d Áusri, porém grd rlm pl políic d psão d Frdrico II d Prusi com ção d Silsi. N md ds blh, Eulr bdo fri Prusi pr ocupr um prç Acdmi d Brli. Não srá ulim gurr uropéi d qu Eulr srá smuh. Um ov blh grl, gurr dos S os, colocou Prusi Iglrr cor Frç, Esph, Rússi, Polôi Suéci, rdfiido o isávl mp políico do vlho coi. O rcio russo squou um propridd d Eulr. A cor russ ordou o grl qu foss rsiuído os dos cusdos, pgdo-lh 4 floris. O grd prsigio d Eulr m od Europ drmiou su idizção. O sgudo movimo, ão d rops, ms sim d idéis, dscri como Sbdori, surgiu Frç s splhou pl Europ, prdo m ods s cors uropéis, iclusiv s qu svm m gurr com Frç. Frdrico II d Prusi Cri II d Rússi rodrm-s d filósofos, ciiss, riss, músicos lirários, ms prsigidos do coi. Cri II covidou pr rblhr m S Prsburgo Didro, os irmãos Jcob Nicolu Broulli, Goldbch o próprio D Almbr, qu rcusou ofr.. A OBRA MATEMÁTICA DE EULER Libiz morru m 76, soziho bdodo por odos, qudo Eulr ih ov os. Nwo foi rrdo bdi d wsmisr, com hordz com ssisêci d Volir, Oz os dpois, juso qudo Dil Nicols Broulli covidrm Eulr s jur m um vur cdmi d S Prsburgo. Nss momo Eulr já ih prsigio irciol, pois hvi ghdo dois prêmios d Acdmi d ciêcis d Pris. Porém ão ps qu o cálculo difrcil igrl, sv difudido por od Europ o comço do século XVIII, pois s coribuiçõs d Nwo, su cálculo d fluos, prcm brvm o pêdic Trcus d qudrur curvrum su obr d ópic, publicd m 74. Sus idéis sobr dsvolvimo m séris ifiis rm cohcids por lgus d sus poucos migos obr qu prcm sus rsuldos d lysis pr quios umro rmiorum ifiis luz m 7; su sism d cálculo difrcil igrl s m Mhodus fluioum srirum ifiirum, publicdo m 77, dpois d su mor.

12 Por ouro ldo Libiz prsou su cálculo difrcil igrl rvés d rigos publicdos rvis Ac Erudiorum, mbém publicou rigos sobr o msmo m d J Jcob Broulli. Em 684 prc primir pr do cálculo difrcil décd d ov Libiz os Broulli publicrm ss rvis solução d problms fmosos, como o d Cári, Brquisócro, os Isopriméricos, Qu vão dmosrr poêci d ov frrm mmáic. No primiro mul d cálculo difrcil com plicçõs o sudo d curvs, Aslys ds ifiim pis, com o mrqus d L Hôspil m 696, rcopildo lgums liçõs d J Broulli, cuj publicção compl s du m 74. As do século XVIII poucs pssos cohcim vlios frrm do cálculo muios mos hvim s procupdo por vlidr sus fudmos. Som lgus cohcim su pocil pr rsolvr problms complos d mcâic, sroomi, áuic cúsic. A mmáic, sobr udo su ulimo ivo, o clculo ifiisiml, s covrim ssim m um ciêci úil, dis ds mrs spculçõs séics. Ao logo do século XVIII, s mmáics rrm os slõs d Frç s cors uropéis rvés ds cdmis d ciêcis. Nss mbi pouco imporv s o cimo sobr o qu s poivm ális rm sólidos covm com um rigor sufici. Implicim s dmii su vlidd por su cpcidd d rsolvr problms práicos é os isolúvis. Niguém qusiov ficáci mmáic: rm um rm d progrsso log do rigor u. Por isso ão dvmos srhr qu o msmo Eulr, mmáico por clêci dss século, rblhss com prssõs do ipo:.... =, l ( ) l 3 5 Qu cormos formlm icorrs, s bm qu Eulr di qu qudo é muio grd qudo é um úmro posiivo muio próimo d zro os vlors: p p p - l, são muio próimos d, Ao julgr um obr, uc s dv squcr d époc d qu o rigor mmáico hvi sido um vriávl dpd do mpo. l Pr provrmos s proposição l,primirm dvmos cosidrr som sqüêci ou sj, dvmos cosidrr o limi qudo s proim d zro.

13 Sj o lim, plicdo rgr d L Hôspil rmos qu lim l l lim, o qu qudo é igul zro sqüêci l o l l lim lim l. Logo l o l l sqüêci lim l lim l l l l. Vmos lisr sgui séri uméric p. O s d igrl pr covrgêci d p séris os diz o sgui: Sj f um fução coíu, posiiv dcrsc m sj f ( ). Eão séri covrg s som s igrl imprópri f ( ) d for covrg. Em ours plvrs: (i) S f ( ) d for covrg, ão é covrg. Obsrv fução (ii) S f( ) f ( ) d for divrg, ão [, ), poro podmos uilizr o s d igrl. é divrg., o qu fução é coíu posiiv dcrsc m Dd igrl imprópri Logo d, plo méodo d subsiuição rmos qu u du d d du du d du l( ) l() u u ou sj, fução f( ) É divrg.logo séri p é divrg, porém Eulr p firmou qu séri p l pr um muio grd, covrg pr um úmro próimo d p,665..., uilizdo méodos uméricos podmos os proimr ds úmro.

14 Vmos somr os ri primiros rmos d séri 3 p l 3 ou sj, p 3 p l 3 [... ] l 3 p dos ri primiros rmos d séri é,68575 Ou sj, 3 p. Tmos qu l 3, qu som l 3 [... ] l 3,95836,od o rro é d, 48. p Poro pr um muio grd séri 3 p l 3 covrg pr,665. p Eulr v sor d iroduzir-s dsd su juvud o círculo slo d cohcdors d obr d Nwo Libiz rcbr liçõs do próprio J Broulli, lvz o mlhor cohcdor do cálculo d Libiz o coi. A vid d Eulr ão foi spcilm ci, já qu foi um psso complm covciol, smpr mávl groso. Crci d urol d lgus d sus mis cohcidos comporâos, como Wshigo (73-799), qu coduziu ércios vióri, Robspirr ( ) qu lidrou um rvolução políic qu o lvou mor, o cpião Cook (78) qu cruzou os mrs pr plorr cois dscohcidos. Eulr foi um grd vuriro ilcul rvés d mrvilhos pisgm mmáic. Lohrd Eulr scu os rrdors d Bsiléi, suíç. Su pi, um modso psor pros, criciv idéi d qu su filho lohrd lh sucdss o púlpio, qu prci sr dsido Eulr, já qu su mã mbém r d um fmíli d psors. Foi um jovm prcoc, com um dom spcil pr s lígus, um rordiári um icrívl cpcidd d cálculo ml. Aos 4 os rou uivrsidd d Bsiléi, od o profssor mis fmoso qu v foi J Broulli ( ), homm orgulhoso rrog, ão rápido m dprcir o rblho dos dmis como m s vglorir si próprio, o qu ri cro fudmo, pois m 7 J Broulli podi proclmr-s como o mlhor mmáico m ividd, já qu Libiz hvi morrido o vlho cião hvi dido d rblhr com mmáic já hvi lgum mpo. J vivi Bsiléi o msmo momo qu Eulr cssiv d um uor. Broulli ão foi um profssor pr Eulr o sido modro d plvr, ms sim um gui qu lh sugri liurs mmáics sv disposo discuir com l quls poos qu prcim spcilm difícis. Proo J Broulli s du co d qu su jovm luo r spcil. Form-s rscorrdo os os rlção r os dois foi s mdurcdo, foi Broulli qu prcu covrr-s cd vz mis o discípulo, por l Broulli, homm ão ddo rlciomos, m um ocsião scrvu Eulr: 3

15 Eu rprso lis suprior como s sivss m su ifâci, pior qu você s chgdo su sdo dulo. A ducção mmáic d Eulr ão foi m mmáic, s licciou m filosofi, sdo sus primiros scrios sobr mprç (virud d qum é modrdo) sobr hisóri d li. Logo igrssou scol d ologi pr covrr-s m psor, Porém su vocção r mmáic, os mis rd scrvu: Tiv qu mriculr-m fculdd d ologi ddicr-m o sudo do grgo do hbru, porm ão progrdi muio, pois mior pr do mpo u ddicv os sudos d mmáic, por sor, s visis os sábdos d J Broulli coiurm. Trmiou o miisério com o propósio d covrr-s m mmáic. Su progrsso foi rápido os os d idd qus ghou um prmio d cdmi d ciêcis d Pris m compição por sus liss sobr o lugr dos msros d um brco d gurr, prssimo do qu viri mis rd. Su rblho ficou m sgudo lugr. Em 75, Dil Broulli (7-78), filho d J, chgou à Rússi pr ocupr um cdir d mmáic ov cdmi d S Prsburgo, o o sgui, Eulr rcbu o covi pr comphá-lo. A úic cdir m bro r m mcâic plicd à fisiologi, qu Eulr ciou pl scssz d cdirs. Como ão sbi d ds rs mdics focou-s sudr fisiologi com sus crcrísics lbororiis, lvz prir d um poo d vis mis gomérico qu clíico. Qudo chgou S Prsburgo m 77, Eulr supôs qu hvi sido dsigd à físic o lugr d fisiologi, roc qu fvorcu l pr odos qu podrim r sido oprdo com su hbilidd d régu compsso. Dur sus primiros os Rússi rsidiu cs d Dil Broulli mbos s volvrm m mpls discussõs sobr físic mmáic, qu cdrm o curso d ciêci uropéi s décds sguis. Em 733 Dil Broulli mudou-s pr Suíç pr ocupr um poso cdêmico. A prid d su bom migo produziu um vzio vid d Eulr, porém diou livr su cdir qu prom Eulr ocupou. Csou-s com Khri Gsll, filh d um pior Suíço qu vivi Rússi. Ns quro décds qu durou o mrimôio ivrm 3 filhos, dos quis ps 5 lcçrm dolscêci plo mos rês sobrvivrm sus pis. N Acdmi d S Prsburgo. Eulr ddicou-s muio mpo ivsigção, sdo à disposição do sdo Russo, qu r qum pgv su slário. Prprv mps, uiliv o ércio russo propôs dshos d bombs cor icêdios. Su fm crsci, sdo um dos sus primiros 4

16 riufos rsolução do chmdo Problm d Bsiléi od os mmáicos svm ludo um século, qu cosisi m corr o vlor o d séri ifii As proimçõs umérics hvim rvldo qu som ds séri r um vlor próimo à 8/5, porém rspos hvi rsisido Piro Mgoli (65-686) qu hvi dlido o problm m 644 Jcob Broulli (654-75), irmão d J io d Dil qu o publicou pr comuidd mmáic m 689. Bm, comçdo o Século sgui, o problm sgui sm rsolução. Em 735 Eulr dmosrou qu som r 6, rsuldo d iuiivo qu du mis fm id su dscobridor. Aid qu mior coribuição d Eulr ori dos úmros é o iicio d ori líic dos úmros primos, qu iiciou com su oávl ididd qu rlciov os úmros primos com séri ds poêcis dos rcíprocos úmros uris. Em um cr Chrisi Goldbch, rcohcu sm dmosrá-lo vrdd d cojcur d Goldbch d qu odo umro pr é som d dois úmros primos, sdo um proposição qu id spr um dmosrção. Dd à séri hrmôic p p 5... k, propridd do s d igrl pr covrgêci, firm qu dd sri p l é covrg s p divrg s p. Logo Séri p p é covrg. Sgudo Eulr séri p p covrg pr um vlor próimo d rsuldo 3 p 6 qu corrspod, S somrmos os rz primiros rmos como... p , Logo quo mis irçõs, mior srá proimção do vlor corro d séri qu é, Eulr coiuou sus psquiss m um rimo vrigioso publicdo sus rigos rvis d Acdmi d S Prsburgo, chgdo m lgus csos publicr md dos rigos od lgus úmros rm odos d Eulr. N álgbr, por mplo, du méodos origiis d limição d dcomposição m frçõs simpls. 5

17 Lohrd Eulr é figur rprsiv do príodo lgorímico o século d ilusrção (sbdori), mbém chmdo século d rzão, pl ol cofiç pos o podr d m, qu lvou os mmáicos crrm qu com os lgorimos lgébricos fiisimis ifiisimis: Tod qução lgébric rá solução. Tod qução difrcil podrá igrr-s. E od séri podrá sr somd. Es cofiç, m grl, béfic du Eulr um cpcidd d cálculo, poucs vzs vis m um fcudidd mrvilhos. Su spírio sábio o lvou buscr um méodo grl pr rsolvr quçõs d qulqur gru. (Os sábios ihm cofiç o podr ilimido d rzão, pr rsolvr qulqur problm, o qu é flso, pois hoj sbmos qu é impossívl corr um méodo grl pr rsolvr quçõs d gru cico). Achou um ovo méodo pr rsolvr quçõs d gru quro, icluido um méodo grl qu lh dv solução ds quçõs d grus dois, rês quro, porém d mis. (lgum o mis rd, já m Brli, lborou um ov dmosrção do orm fudml d Álgbr). Três problms o riscrm s féril príodo mmáico russo: O primiro foi isbilidd políic russ, qu s sdi como um urbilhão qu coduziu mor d Cri cujos fios form iolrâci suspi srgiros, qu s plvrs d Eulr divm siução bs difícil. O sgudo problm cordo por Eulr foi qu Acdmi sivss sdo dirigid plo burocr Johm Schumchr cuj mior procupção r A limição do lo, od pod dspor icovim. O rciro foi à prd d visão d su olho dirio m 738, ribuíd su iso sforço m crogrfi, s bm qu um svr ifcção qu sofru lgus mss s foi cus d cguir do olho dirio. O impco d prd d visão sobr su ddicção mmáic foi ulo. Eulr sguiu su progrm d sudos sguiu scrvdo sobr cosrução d cis cúsic ori d hrmoi musicl. No século XVII os cmpos qu brgrm mmáic rm muio mis mplos qu ulidd, rvor d ciêci rprsdo l ciclopdi, do rmo gérico d mmáic surgm ouros rmos qu hoj são méris uôoms. Os ciclopdiss dividim mmáic m dois rmos pricipis: Mmáic pur, qu comprdim riméic gomri. A riméic dividi-s m riméic uméric (ori dos úmros) álgbr (álgbr lmr, álgbr ifiisiml cálculo difrcil igrl). 6

18 A gomri s dividi m gomri lmr, gomri rscd (qu globv ori dos corpos), áic milir rquiur milir. Físico-mmáico ou mmáic mis, qu globv disciplis como mcâic, sáic, hidrosáic, diâmic, ópic, pumáic gomri sroômic. Não flv um mmáico profissiol do século ds luzs árs od dsvolvr su rblho. Por isso ão dvmos srhr qu só 58% ds obrs d Eulr sjm dids como mmáics (ori dos úmros, m priculr ori líic dos úmros, álgbr, lis, gomri, gomri difrcil). Além disso, scrvu sobr mcâic, ópic cúsic, (8% d su obr), sobr sroomi (%), sobr áuic, rquiur rilhri (%) sobr music filosofi (%). Dos mis d 73 volums rdidos d su obr, qu cosium su Opr Omi, só 9 cosium Ópr mmáic. Ns sus coribuiçõs ori dos úmros Eulr coou com jud d su migo Chrisi Goldbch (67-764). Em su rspos um cr d Philipp Nud ( ), pos cimos ori ds priçõs. Ns príodo scrvu su livro Mchic, qu prsv s lis wois do movimo dsd o poo d vis do cálculo, por isso qu s obr é cosidrd pç chv hisóri d físic. A produção d Eulr produziu-lh l prsígio qu Frdrico O Grd d Prússi (7-786) lh ofrcu um poso rvilizd Acdmi d Brli, uido isávl siução políic d Rússi qu ulr dscrvu como Um pis m qu psso qu fl é pdurd (forcd), origiou cição d ofr d Frdrico d Prússi m 74, Lohrd, Khri su fmíli s mudrm pr Almh. Vivu m Brli um quro do século, qu coicidiu com fs irmdiári d su crrir mmáic. Ns príodo publicou dus d sus grdioss obrs: Um o d 748 sobr fuçõs, Iroducio I Alysi Ifiiorum um volum d 755 sobr cálculo difrcil, Isiucios Clculi Diffrilis. Em su Iroducio, Eulr us cocpção d fução form m qu s mv por muio mpo: Fução d é od prssão líic d um vriávl obid mdi combição fii ou ifii d símbolos lgébricos ou rscds. Às vzs mbém s rfriu fução como od rlção r y qu s rprs o plo mdi um curv rçd mão livr, qur dizr um curv coiu o sido iuiivo. 7

19 N coão com s fuçõs rscds prc um ds mis oávis coribuiçõs d Eulr lis: Os logrimos como pos rlção ds pocis d bs com os úmros imgiários com s fuçõs circulrs mdi ididd ou formul d Eulr i cos is Um ds fórmuls mis bl úil d mmáic qu crr ods s rlçõs rigoomérics. O sgudo volum do iroducio é um rdo d gomri pl spcil. Pr provrmos ss iguldd dvmos uilizr s séris d Mcluri. Não cb s rblho provr vlidd dsss firmçõs. Tmos qu prssão é igul à som d su séri d Mcluri, iso é,! Pr odo Sj i od i, prssão srá d form i i!.! Tmos qu 4!!! 4! S subsiuirmos i prssão srá d form i i i ( i ) ( i ) ( i ) i i i i i!!! 3! 4!! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 4 6 Por ouro ldo mos qu cos( ) ( ) ( )!! 4! 6! i i i i i i ( ) 3! 5! 7! 3! 5! 7! s( ) ( ) ( ) Ou sj cos( ) is( ) i i i i i! 4! 6! 8! 3! 5! 7! 9!. Logo i cos is. Su isiucios clculi diffrilis, livro scrio qudo sv pricm cgo, cosm d rês volums, igrção d quçõs difrciis ordiáris s drivds prciis, oçõs d cálculo d vriçõs. Além disso, uiu um quro livro pósumo com um slção d mmóris. Equo sv m Brli, ddicou-s plicr s clsss d ciêcis lmrs à prics Ahl Dssu. O rsuldo foi um obr posiiv qu s publicou mis rd com o iulo Crs 8

20 d Eulr um prics lmã sobr difrs ms d filosofi url. Cosm d ums crs sobr Luz, o Som, Grvidd, Lógic, o Mgismo Asroomi. Ao logo d su obr Eulr plic porqu fz frio o lo d um moh dos rópicos, porqu lu prc mior qudo surg o horizo porqu o céu é zul. Do msmo modo, Eulr põ su procupção por um dos miors problms filosóficos: O problm do ml do mudo, m crs ddicds origm do dmôio covivêci com pcdors. Tmbém ddicou cr o ão irig ssuo d Elrizção dos homs dos imis. Escrvu sobr visão m um cr fchd m goso d 76. Eulr comçv com ss plvrs Esou gor m codiçõs d plicr fômos d visão, qu icosvlm são um ds grds oprçõs d urz qu m hum pod complr. É surprd comoção ds firmção qu vih d um uor prcilm cgo. Porém Eulr ão r um psso qul sus iforúios pssois irfrissm su iud pr com s mrvilhs d urz. As Crs um prics lmã orrm-s um sucsso irciol. O livro foi rduzido m vários idioms Europ m 833 foi publicdo EEUU. Ns dição, o dior s rsgou m logios cpcidd posiiv d Eulr, dizdo qu A sisfção do lior é, m cd psso, proporciol su progrsso cd quisição sucssiv d cohcimo s covrr um fo d mior sisfção. Es livro é um dos mlhors mplos d ciêci populr. Msmo Almh coiuou publicdo rvis d Acdmi d S Prsburgo rcbdo um rmurção rgulrm. N Acdmi d Brli, lém d sus ivsigçõs mmáics, sv profudm volvido s rfs dmiisrivs, pois id qu ão foss o diror d Acdmi, dsmphv ss poso d mir iforml, ssumido rsposbilidds qu im dsd dmiisrr os prssuposos vigir os ivrdiros, porém lvz por um coflio d prsolidds, Frdrico O Grd hvi dsvolvido um iplicávl dsprzo por Eulr, sm dúvid o cdêmico mis fmoso d su cor. Frdrico s cosidrv um rudio um ilcul irôico qu gosv d filosofi, posi d qulqur cois qu foss frcs. Por isso os ssuos d cdmi s rvm m frcês ão m lmão. Frdrico II cosidrv qu Eulr rduzi sus irsss cros rmos ciíficos mmáicos, igordo ouros muios, m crul rfrêci su muio limid vis, lh chmv Mu sábio Ciclop. Eulr r difr dos rluzs sofisicdos cdêmicos d Brli, pois r muio covciol m sus gosos, csiro, muio rblhdor um pros clviis muio dvoo, é qudo prdu visão d vis, rui ods s ois su fmíli pr lrm comrm bíbli. A ologi r um d sus sudos fvorios s douris qu crdiv rm s mis rígids dro do clviismo. 9

21 Ouros fos qu piorv s coiss r fri rlção r Eulr Volir, our srl cdêmic. Volir dsfruou dur cro mpo crs prfrêcis o circulo d Frdrico O Grd. Er fmoso como uor como scrior sírico, r ão sofisicdo como o ri r iirm frcês. O irôico Volir dscrvi Eulr como lguém qu Nuc prdu filosofi, por qu ih qu cor-s com fm d mmáico qu um cro mpo chi mis folhs d ppis com clculo. Assim dpois d r lvdo Acdmi d Brli um glóri mmáic qu jmis volri lcçr, Eulr v qu ir mbor. As coiss Rússi hvim mlhordo dur su usêci, priculrm com o csso o roo d Cri A Grd (79-796), Eulr sv fliz com o rgrsso. A Acdmi d S Prsburgo dvi dr crdio su bo sor qudo, m 776, du s bos vids o ovo ão mlhor mmáico do mudo. Ds vz ulr ficri pr smpr. Aid qu su vid ciífic coiuou vçdo rpidm, os os sguis im rzr dus ovs rgédis pssois: A primir foi prd qus qu compl do olho bom. Em 77 sv pricm cgo, só podi lr o qu sv scrio com crcrs muio grds. A sgud dsgrç vio m 773 com mor d Khri. Es sgud dsgrç uid à cguir podri r mrcdo o fil dos os produivos d Eulr, ms l ão r um homm fácil ão só mv su produção ciífic, como icrmou. Em 775 scrvu md d um rigo mmáico d sm, cosidrdo qu rm os ouros qu lim os rigos mmáicos qu ih qu dir sus idéis. Qudo sv ficdo cgo scrvu um o d álgbr d 775 págis, od mbém plic o movimo d lu, um orm rsumo m rês volums qu plicv o cálculo igrl, isiuios clculi igrlis. Su mrvilhos mmóri su cpciol cpcidd d cálculo lh form mis úis qu uc qudo só podi vr com os olhos d m. Podi dizr sm uilizr lápis m ppl, os primiros úmros primos, sus qudrdos, cubos é su s poêci. Com jud d sus filhos d su colbordor Nikolus Fuss publicou mis d 3 rblhos dur su príodo d cguir. Hvi sido sm dúvid o mmáico mis brilh d hisóri. Su icrívl obr s plic por su mor vid rqüil fmilir, por su iligêci cpciol, por su mrvilhos mmóri, plo domíio icrívl ds écics lgorímics por um discipli d rblho rígid. Porém dur sus os com cguir, iforúios coiurm, mbor su vçd idd coiuou com grd vigor usismo su rblho, qu é um uic lição pr s grçõs fuurs. A corgm, drmição srv como moivção pr mmáicos. A hisori d mmáic os proporcio m Eulr o guío mplo d vióri do spírio humo.

22 Três os dpois d mor d su mulhr csou-s com su cuhd, cordo um comphir pr comprilhr sus úlimos os d vid qu s sdrm é o di 8 d Smbro d 783. Ns príodo pssou um mpo com sus os logo volou rblhr m qusõs mmáics rlivs o vôo d blõs, m qu o irssou, provocdo pl rc subid dos irmãos Mogolfir sobr o céu d Pris m um blão propulciodo por r qu, cocimo qu foi smuhdo por Bjmi Frkli, diplom dos rcs Esdos Uidos d Améric. Dpois d fio lgus cálculos sobr órbi do pl Uro, cuj órbi prci lrd pl isêci d um pl ro. Com fio, s décds sguis pculir órbi do pl lisd clridd ds quçõs qu Eulr hvi dpurdo, lvou os srôomos buscr, dscobrir, ão o mis dis pl Nuo. S Eulr ivss ido mis mpo s ivss ddicdo mpo d corri mmicm o ovo pl. Porm ão iri r oporuidd. N md d rd dss ípic jord rfd, v um hmorrgi grv qu lh provocou mor o o. Só mor foi cpz d dr um m qu hvi pssdo vid clculdo. Chordo por su fmíli, por sus colgs pl comuidd ciífic uivrsl, Lohrd Eulr foi rrdo m S Prsburgo. Diou um lgdo mmáico d proporçõs épics, qu prmiiu Acdmi d S Prsburgo sguir publicdo rigos iédios 48 os dpois d su mor. Em su logio fúbr, o mrqus d Codorc diss qu qum quri ddicr-s mmáic o fuuro sri guido susdo plo gêio d Eulr qu odos os mmáicos são sus discípulos. Aos mis rd Lplc diri sud Eulr, sud Eulr, l é o profssor d odos os. Adré Wil, um dos mlhors mmáicos do século XX dizi Dur od su vid... prc r lvdo cbç olidd ds mmáics d su époc, o purs como plicds.

23 CAPÍTULO ONDAS. MOVIMENTO ONDULATÓRIO O movimo odulório pod sr imgido como o rspor d rgi d momo, d um poo spço pr ouro, sm o rspor d méri. Ns ods mcâics, como s ods um cord, ou s ods soors o r, rgi o momo são rspordos mdi prurbção do mio. Num cord d violio, ddilhd ou ocd plo rco, prurbção d form d cord, ssim provocd, s propg pr o rs d cord. Ao msmo mpo, cord vibr provoc pqu lrção prssão do r djc s lrção d prssão s propg como od soor rvés do r. Nos dois csos, prurbção s propg m virud ds propridds lásics do mio. Um od qul prurbção é prpdiculr à dirção d propgção é domid Od Trsvrsl. Um od qul prurbção é prll dirção d propgção é um Od Logiudil.. ONDAS HARMÔNICAS Qudo s mov um rmidd d um cord, pr cim pr bio, um movimo hrmôico simpls (por mplo, prddo-s rmidd um dipsão vibr), propg-s o logo d cord um rm d ods soidl. Es od é um Od Hrmôic. A form d cord, um cro is, é d um fução so como mosr figur. (Aqui, como s, s fução é so ou co-so dpd clusiv simplsm d scolh d origm sobr o io.) Es figur pod sr obsrvd irdo-s um isâo foográfico d cord. A discis r dois máimos sucssivos d od é o Comprimo d od. O comprimo d od é disâci m qu od s rp o spço. Qudo od s propg cord, cd poo d cord s mov pr cim pr bio, ou sj, um dirção prpdiculr à dirção d propgção, um movimo hrmôico simpls, com frquêci f do dipsão cidor, ou do g qu sivr cido rmidd d cord. Há um rlção simpls r frquêci f, o

24 comprimo vlocidd v d od hrmôic. Dur um príodo T, od s mov f um disâci corrspod um comprimo d od, ão vlocidd é dd por A fução qu dscrv o dslocmo qu prc figur é Od A é mpliud v T y( ) As f um cos domid úmro d od. O úmro d od sá rlciodo com o comprimo d od. S pssrmos d um poo pr ouro poo, um comprimo d od d disâci,, o rgumo d fução so s lr por. Tmos ão ou ( ) A fim d dscrvr um od qu s dsloc pr diri com vlocidd v, subsiuímos qução y( ) As, por v, ão, fução d od d um od qu s mov pr diri, com vlocidd v, scrv-s, ou u(, ) y v As[ ( v)] As( v ) od u(, ) As ( ) f é frquêci gulr, qu sá rlciod à frquêci f o príodo T. A fução y(, ) As ( ) é cohcid como Fução d od hrmôic. 3

25 .3 A EQUAÇÃO DE ONDA Um qução grl y(, ) é um solução d um qução difrcil domid qução d od. A qução d od é um cosquêci imdi ds lis d Nwo. N figur bio prc isoldo um sgmo d cord. A oss ddução só rá vlidd s od for suficim pqu, m mpliud, pr qu o âgulo r cord horizol (qu é dirção iicil d cord, usêci d od) sj pquo. Ns cso, o comprimo do sgmo é proimdm su mss. O sgmo d cord s dsloc vricl. A su clrção é drivd sgud d y(, ) m rlção à, com cos, ou sj, drivd sgud d mis é qu um drivd prcil domos como sdo rsul é F Fs F s y. A forç vricl od são âgulos figur F é são cord. Um vz qu os âgulos são por hipós, pquos podmos proimr s por. Eão, forç vricl rsul, qu u sobr o sgmo d cord, pod sr scri como F Fs Fs( ) F ( ) A g do âgulo do sgmo d cord com horizol é o cofici gulr d curv formd pl cord. S simbolizrmos s cofici por S mos S y ão 4

26 F F( S S) F S od S S são os coficis gulrs s dus rmidds do sgmo d cord, S é vrição ds sgmo. Iguldo s forç rsul o produo d mss u pl clrção y vm F S y ou F S y No limi qudo, mos S lim S y y ão qução fic y F y Es ulim qução é qução d od d cord ciod. É impor mcior, mis um vz qu s qução vl ps pr âgulos pquos, poro, s os dslocmos y(, ) form pquos. Mosrrmos gor qu qução d od é sisfi por qulqur fução do rgumo v, ou v. Sj v cosidrmos qulqur fução d od y y( v) y ( ) Usrmos o símbolo s drivds, mos, y pr drivd d y m rlção. Eão, pl rgr d cdi pr 5

27 , y y y, y y y y Um vz qu v, mos y y, y vy, Tomdo s drivds sguds vm, poro, s ulim chmd d qução d od. y y,,,, y v y v y v y y v y Emplo - Mosrr plicim, plo cálculo ds drivds, qu sisfz qução d od. y As ( ) Solução. Tomdo drivd prcil d y m rlção, obmos y [ As( )] Acos( ) Acos( ) Tomdo drivd prcil sgud m rlção à, obmos Alogm, s drivds m rlção são y A s( ) 6

28 y [ As( )] Acos( ) Acos( ) A qução dá ão y A s( ) As( ) [ As( )] v, Qu vl s v. 7

29 CAPÍTULO 3 SÉRIES DE FOURIER 3. SÉRIES DE FOURIER E SUAS APLICAÇÕES As séris d Fourir são d grd imporâci Mmáic bsr como Mmáic plicd. As Séris d Fourir são um fmíli d fuçõs oroormis{ } proimr priodicm com prcisão rbirári, fuçõs com vlors complos., qu podm No século XVIII problms físicos, como modlos d codução d clor o sudo ds vibrçõs oscilçõs coduzim pr o sudo d Séri d Fourir. 3. INTRODUÇÃO A SÉRIE DE FOURIER Bsicm séri d Fourir é um som ifii d fuçõs rigoomérics, dscrvdo poliômios complos su rlção pr pociis compls. Cosidr s prssõs bio: od prssão cos( ) é pr rl d i i cos( ) [ ], i i s()= [ ] i i s( ) pr imgiári. qu Vmos mosrr qu mbs s fuçõs são priódics com príodo. Prcismos mosrr Dmosrção: i( ) i ( ) i( ) i i i ( i ) i i 8

30 Dfiimos um poliômio rigoomérico pr úmros complos {,,,...}{ b, b,...} o úmro rl, como som fii d sgui form: pr,,3... dfiimos lém disso, dfiimos C. N f ( ) cos( ) b s, C ( ib ), C ( ib ), D ididd cim dscri, podmos scrvr prssão d sgui form, N i f ( ) C (3.) N Cosidr fução Além disso i i, clrm ( ) i i f ( ) f i i i d f i mbs com príodo. o msmo mpo p p f ( ) f ( ), f d, pr,,3... m priculr f ( ) d pr p p f ( ) d sgui Muliplicdo qução (3.) por im, od m é um úmro iiro, obrmos o 9

31 N im im i N f ( ) C N N N N i im [( C ) ( )] i( m) ( C ) Cosidr dois csos. Primirm supoh qu m.ns cso pr odo N N, m. Ns cso, i( m) d. Supoh gor qu m. Ns cso, ss poo é m,, N N, i m. Eão d qudo, im i( m ) f ( ) d C d, Od m. Ds modo im f ( ) d C, im C d. como m im Cm f ( ) d. (3.). Agor s séris rigoomérics são d form 3

32 od -ésim som prcil é i C, N N C i. Além disso, dvmos dfiir s séris d Fourir pr f( ) como um séri rigooméric, com coficis d form propos qução (3.). 3.3 SÉRIE DE FOURIER GERAL Di do foco sobr séris d Fourir com fuçõs rigoomérics, drmos um dscrição ds fuçõs gris d Fourir. Vmos primirm à oção d sisms orogol d fuçõs. Sj {,, 3,...} um séri d fuçõs compls. Dizmos qu { } é um sism orogol d fuçõs sobr [ b, ],s pr odos iiros m, do msmo modo, pr odo iiro m, b m d (3.3) b m d, Dizmos qu { } é um sism oroorml d fuçõs. Podmos or qu fução i,,,3... form um sism orogol d fuçõs sobr [, ], dsd qu d. i i i im, pr m, 3

33 Podmos dfiir os coficis d Fourir rspcivm como { ( )} sgu qu: b C f ( ) ( ) d (3.4) Od ( ) é o cojugdo complo do complo-simdo d fução ( ). Em rmos d séri d Fourir grlizd, dfiimos séri d Fourir d f como { ( )} sdo rspcivm C ( ) Podmos or d oss dfiição pr séri d Fourir como fuçõs rigoomérics rspcivm, qu { ( )} { ( ), ( ), 3( ), 4( )} i ( i) i i {,,, } od, ( i ), ( i) ( ). 3.4 ALGUMAS PROPRIEDADES DA SÉRIE DE FOURIER Torm d Rudi: Supoh qu um sism oroorml d fuçõs o irvlo,. Supohmos dois cojuos d úmros complos, c d,,,3... od C d são coficis d Fourir pr, d qução (3.4). Agor cosidr dus séris d fuçõs, s ( f, ) C, N N sj -ésim som d séri d Fourir pr f, N f, d. N 3

34 ão b b f s( f, ) d f ( f, ) d. Es orm mosr qu, pr som d fução priódic f som oroorml d sisms d fuçõs, séri d Fourir forc mor proimção do rro o qudrdo. Prov: Admi,sr oroorml o irvlo b., Cosidr: b b f d f d d D dfiição d. Podmos scrvr prssão cim como: b b fd d f d d Od b f c, podmos rscrvr prssão cim como: b f d c d (3.5) Agor cosidr igrl d é b do. Od d m m 33

35 rmos: d, m m b b d d d, m m k k Od é um sism orogol d fuçõs m b,, d cordo com qução (3.3), ão rscrvmos prssão cim como Agor podmos rscrvr prssão como: b d d d m m b d d m (3.6) como: b Agor, cosidr o rro ol qudrdo r f, f. Primirm rscrvmos b b f d f f d b f f f f d Um vz qu 34 b f f f Ds quçõs (3.5) (3.6) cim mciods, podmos scrvr: b b f d ( f ) d ( cmdm) cmdm dmd m

36 Podmos scrvr qução cim como: dm cm ( dm cm )( dm c m) d c c d c d m m m m m m b b f d f c d c (3.7) m m m D qução cim, podmos vr qu o rro ol qudrdo é miimizdo qudo dm c m, pr,,3,4... Torm d Rudi: Assumido ods oçõs usds o orm rior. Cosidr c c, c, c... A séri squêci d rmos m 3 c m é bsolum covrg (m ouros rmos cm covrg). Prov: Subsiuido c por d qução (3.6). Obrmos o sgui: b s ( ) d c m Agor cosidr qução (3.7). Sbmos qu b f o, sgu qu Pr ido pr o ifiio, rmos qu: b c f d m b c f d Dos sudos d covrgêci d séris, iso implic qu 35

37 lim c Es rsuldo é bs impor porqu os mosr os primiros rmos d séri d Fourir sss são os mis impors, sss coficis d Fourir orm-s rbirrim pquo. Emplo: vmos plicr séri d Fourir m um mplo básico. Vmos primirm cosidrr séri d Fourir pr f ( ), qu é um fução d príodo, cujo vlor o irvlo, é. Sbmos qu os coficis d Fourir Como c são d form: i c f d Sbmos qu d i i i i c i i i i i i cos is i cos is i i cos is i cos is cos s i 36

38 c i i i i i i cos s i Esss proimçõs os forc proimdm ods iformçõs d séri d Fourir. Porém cssimos clculr c, od o méodo d igrção é difr. Assim, c Agor podmos cosruir séri d Fourir pr f. Por mplo, omdo os 9 primiros rmos (ou,,3,4 ). i i i i i i c, c i, c i, c, c, c, c, c, c, Trmos: qur som prcil d séri d Fourir d f é drmid por: i i i sn f i i 3, i i i i 3i... Agor podmos combir os rmos lvdo o po givo d cd um, rscrvdo cd pocil m rmos d sos co-sos. Fio isso, obmos sgui fórmul, sn f, s s s 3 s 4 3 Além disso, s clculrmos o rro ol qudrdo o irvlo,,corrmos: s,.78 N f. 37

39 Crm, clculrmos os 4 primiros rmos d séri d Fourir ( vigésim som prcil), fução orr-s-i muio similr f,, o rro qudrdo r dcrscri drsicm. Algums vzs, prir dos coficis d form c, c, c, c3... ão é muio covi. Usrmos lgums propridds pr crir um form grdávl pr sri d Fourir. Primirm, o rmo ssocido c séri d Fourir é c, podmos subsiuí-l por um som rl cos. Chmrmos s cos c. Pr c c,,,3..., ovm d dfiição qu c ib Ns cso, c ( b ) Um vz qu c c c b i c c é o cojugdo complo d c,sbmos qu é duplm pr rl d c ou c, b é dus vzs o cofici givo d pr imgiri d Nss rlçõs plicmos séri d Fourir form lrd, ddo por: c ou c. f cos b s N Od b são drmidos cim. 38

40 3.5 APLICAÇÕES DA SÉRIE DE FOURIER Rcpiuldo, séri d Fourir simplific ális do príodo, d fuçõs ris. Espcificm, dividi fução priódic m ifiis séris d so co-so. Es propridd d séri d Fourir é úil m muis plicçõs. Drmos lgums. Cosidr qução difrcil muio comum dd por: b f Es qução dscrv o movimo d um oscildor hrmôico morcido é impulsiodo por lgum fução. El pod sr uilizd como modlo m um vridd d fômos físicos, como circuios com cpcior, rsisor, iduor, frquêci d um cord vibr. S f for um fução soid, ão solução mbém é um soid qu ão é muio difícil d chr. O problm é qu grlm ão é um simpls soid, ms sim lgums fuçõs priódics. A lis d Fourir ss propridd físic do sism oscilório é úil propridd d suprposição, m ours plvrs, supoh um forç coduor f, o logo d lgums codiçõs iiciis, forc um rsuldo fio, our forç forc como rsuldo solução. Eão forç rsul f3 f f m cosquêci diso rá qu forç moriz srá 3. Eão como qurmos rprsr lgum fução priódic como séri d Fourir, qusão é simpls corr solução d um oscildor, od o msmo sj um oscildor soid, qurmos corr um rspos rbirri pr fução moriz f cos bs Supohmos qu mos qução qudráic d od, od f é o qudrdo d fução d od. Podmos dcompor od qudráic como compo soidl, ou sj: i c s d d i i i 39

41 c i i Eão combimos os rmos c c como riorm. O rsuldo sri um som ifii d rmos sos co-sos, como s quçõs viss o comço ds cpíulo. 4

42 CAPÍTULO 4 SÉRIES DE FOURIER E A EQUAÇÃO DA ONDA 4. A EQUAÇÃO DA ONDA: AS FÓRMULAS DE D ALEMBERT D. BERNOULLI A qução d od é sm duvid um dos mplos mis clássicos rlvs o qu s rcorr os sudos d quçõs m drivds prciis (EDP). Não sdo um mplo mrm cdêmico, m muio mos. Os primiros sudos sobr s quçõs os qu os rfrimos mis di, s rlizrm o século XVIII, époc qu svm s sblcdo os pilrs fudmis d ális mmáic, l como é did os dis d hoj. Os dsvolvimos posriors form ssocidos vços impors Aális d Fourir, Ópic Goméric, Alis umérics, c. d modo qu, pod-s dizr qu qução d od m sido um dos progoiss, ms dscdos d mmáic os úlimos séculos. Em um dimsão spcil, qução d od é um modlo simpls pr dscrição ds vibrçõs d um cord, quo qu m vris dimsõs spciis dscrv vibrçõs d um mbor propgção ds ods cúsics. Comcmos cosidrdo qução d od: u u u(, ) u(,) u( l, ) u ( ), u (,) u ( ) l, l (4.) O sism (4.) cim é um modlo simpls pr ális ds vibrçõs d um cord d logiud l ([qu ocup o irvlo spcil m], l[ ) sus rmos = = l. A icógi u = u(,), qu dpd do spço do mpo, do lur qu s cor o poo d cord (o irvlo ], l [ ), um is d mpo. S r d um qução difrcil m drivds prciis d ordm dois, complmd por dus codiçõs d cooro qu rflm qu cord s fid m sus rmos. 4

43 N ulim qução d (4.) s colocm s codiçõs iiciis qu solução dv sisfzr o is. Trr-s d um qução difrcil d sgud ordm o mpo impomos o cofigurção iicil d u, u, como vlocidd iicil u Es é um dos modlos mis clássico qu s lis sismicm m odos os os básicos d Equçõs m Drivds Prciis. Em 747 D Almbr propôs sgui prssão pr solução grl d um qução d od sm codiçõs d cooro u (, ) f ( ) g( ) (4.) Covêm obsrvr qu prssão d solução u qu (4.) proporcio ão é ms qu suprposição d dus ods d rspor: f( + ) qu s dsloc sm dformss vlocidd um dirção giv o io, quo qu g( - ) dsloc-s diri. Não é difícil chgr coclusão d qu (4.) proporcio prssão d um solução grl d qução d od. Em fio, bs obsrvr qu o oprdor difrcil od s pod forr como: volvidos m um qução d (4.3) Vmos ão qu s dus ods d rspor s s dcompõ solução, corrspodm s soluçõs ds quçõs: u ; u (4.4) rspcivm. Em fio, solução d primir qução é d form u = g( ) quo qu d sgud é u = f ( + ). Posriorm, D. Broulli m 753 obv solução d qução d um cord vibr d sgui form: u k k k, Crs Dr cos s (4.5) l l l k Ds modo s drm os primiros pssos o sblcimo do um dos méodos clássicos rsolução d um EDP: o méodo d sprção d vriávis d Fourir. 4

44 Cb qusior por qu s méodo lv o om d J. Fourir s D. Broulli ão é uilizdo. Iso é porqu som o rblho d 8 d J. Fourir sobr qução do clor ficou complm sblcido o progrm sguir hor d rsolvr um EDP rvés ds méodo qu volv vris ps: ) Dcomposição dos ddos do problm m sris d Fourir. ) Obção d volução d cd cofici d Fourir m fução d EDP dos ddos. 3) Rcosrução d solução como suprposição d cd um ds compos d Fourir (Séri d Fourir). Som J. Fourir idicou com clrz como, dd um fução, s pod clculr os coficis d Fourir. Ds modo sblcu s bss d um ds hrçs mis impors d mmáic: A ális d Fourir ou Aális Hrmôic. Um primir qusão impor qu s lvou d mir url é coicidêci ds prssõs do ipo (4.) (4.5). N vrdd, mdid m qu pr ddos iiciis fidos (posição vlocidd iicil d um cord) solução d (4.) é úic, s s rprsçõs (4.) (4.5) são vlids, mbs m d coicidir. A firmção rior é vrddir. Cosidrdo um dos rmos volvidos m (4.5). Por k k mplo cos s. Uilizdos s formuls rigoomérics hbiuis vmos qu l l cos k l s k l s k l s k l f k f k D od: f k ( z) s k l z Trdo d modo álogo os dmis rmos d (4.5) vmos qu vrdd, fução dsvolvid m sris d Fourir (4.5) pod sr scri form d (4.) como suprposiçõs d dus ods d rspor. Es simpls obsrvção ilusrd o modo m qu um dsvolvimo m séris d Fourir pod dcr-s vlocidd qu s propg fução rprsd por qul séri. Efivm, 43

45 como mciomos riorm, como s dsprd d formul d D Almbr (4.), vlocidd d propgção o modlo (4.) é um. Iso pod obsrvr-s mbém o dsvolvimo ds sris d Fourir (4.5) por um simpls fo d qu um oscilção spcil Ns cso, o ddo iicil é form: s k l C k D k rs l r cos l. corrspod um rspos mporl form A solução corrspod é: u ik (,) k (4.6) k u 3 3 ik k, k (4.7) Obsrv ão qu s difrs compos d Fourir d solução são d form ik 3 3 ik f k cos f ( z) k k ik z Poro, cd compo d Fourir s propg um vlocidd disi k. 4. CÁLCULOS E DEDUÇÃO DAS PROPOSTAS DAS SOLUÇÕES DE D ALAMBERT E BERNOULLI lir Vmos uilizr gor o méodo d Fourir pr chr solução d qução difrcil prcil u u (4.8) mis cohcid como qução d od uidimsiol, com s sguis codiçõs d froirs d Dirichl 44

46 u(, ) u( l, ),, u(,) f ( ), l, u(,) g( ), l, od f g são fuçõs dds, l um cos dd. Solução: Pr plicr o méodo d Fourir vmos dmiir um solução qu sj správl d form: u(, ) X ( ) T( ) od X é um fução d T um fução som d. Assim qução (4.8) ficri d sgui form: X. T T. X vmos gor muliplicr mbos os ldos por XT., com XT. ão rmos o sgui: d X d T X d T d S lisrmos, vrmos qu do ldo squrdo d iguldd rmos um fução som d do ldo dirio um fução qu só dpd d, ão podmos firmr qu pr iguldd sr vrddir é cssário qu X d T d d X dt od k é um cos d sprção. Podmos or gor qu o primir qução como sgud são quçõs difrciis ordiáris k, k, d X kx, d (4.9) dt kt, d (4.) 45

47 podmos dscobrir s fuçõs X T rsolvdo cd um dss quçõs difrcis ordiáris, ms ão podmos squcr qu qução u(, ) X ( ) T( ) dv sisfzr s codiçõs d froir ão u(, ) X () T ( ),, u( l, ) X ( l) T ( ),, omdo T, pois cso corário irímos os dprr com solução rivil u(, ), mos X () X ( l ), (4.) cso k sj zro, mos como solução d qução X ( ) A B, como X () X ( l), cocluímos qu A B ssim címos ovm solução rivil. Cso k sj posiivo ( k w ), como flmos vmos os dprr com um qução difrcil ordiári lir d sgud ordm (4.9), qu m o sgui poliômio crcrísico od s rízs ds poliômio são d qução (4.9) são w, r. r w r w X ( ) X ( ) plo pricípio d suprposição mos qu w qu são rízs ris, ão dus soluçõs priculrs w w w w X ( ) A B, w mbém é solução d qução (4.9), s cso é o solução grl, pois, w são lirm idpd, pr cofirmr iso bs clculr o Wroskio vrificr qu l rsul m um úmro difr d zro implicdo qu s dus fuçõs são lirm idpds. f g Wroskio( f, g) d f g 46

48 romdo mos ovm por (4.) qu A B ovm os dprmos com solução u(, ). Cso k sj givo ( k w ), s cso o poliômio crcrísico d qução (4.9) é o sgui od s rízs ds poliômio são priculrs d qução (4.9) são wi, r. r w r w wi qu são rízs compls, ão dus soluçõs X ( ) cos w X ( ) s w rsolvdo ovm o Wroskio ds fuçõs cim, vrmos qu ls são lirm idpds ão cormos como solução grl d qução (4.9) qu pls codiçõs d froir, mos X ( ) Acos w Bs w, X () Acos w B s w Acos Bs A X ( l) Acos wl Bs wl Acos wl Bs wl Bs wl Como ão qurmos B, pois são rmos ovm solução rivil, irmos qu s wl Es iguldd implic qu w r l, r,,3... cluímos o cso r, qu os dá w rsulri ovm solução rivil. (4.) 47

49 Rsolvdo gor qução (4.), com dus rízs compls, wci, grl. k w, ovm o poliômio crcrísico ri wci, fzdo os dvidos pssos, cormos sgui qução T( ) C cos wc Ds wc od C Dsão coss d igrção. Usdo gor oss idéi iicil qu u(, ) X ( ) T( ) mos u(, ) s w.( C cos wc Ds wc ) (4.3) o qu cos rbirári B foi iguld, pr fcilir os cálculos. Ms olhdo ovm pr (4.), omos qu w ssum um ifiidd d vlors, pr cd vlor d w formmos um solução priculr qu m form (4.3) c c w, u(, ) s.( C cos D s ), l l l l c c w, u(, ) s.( C cos D s ), l l l l (4.4) r r r c r c wr, ur (, ) s.( Cr cos Dr s ), l l l l od 3 r. C, C, C..., C,..., D, D,..., D,... são coss rbiráris. Cd um dss prssõs d r u(, ) cim são soluçõs d EDP lir (4.8), ss sisfzm codição d froir u(, ) u( l, ),. Agor plo pricípio d suprposição podmos firmr qu qulqur combição lir dss soluçõs mbém é solução d qução d od (3.), ou sj, sgui combição lir mbém é solução r c r c r u(, ) Cr cos Dr s s l l l r (4.5) s é solução grl, sisfzdo como dio s, ps sgui codição d froir u(, ) u( l, ),. Agor vmos sisfzr s codiçõs 48

50 u(,) f ( ), l, u(,) g( ), l, ss codiçõs como vrmos drmirm coss rbiráris C r D. Cosidrmos r primirm u(,) f ( ), l, ão mos (4.5) m r c. r c. r u(,) Cr cos Dr s s l l l r r u(,) Cr cos Dr s s l r r u(,) Cr s l r subsiuido u(,) f ( ) mos f ( ) C s r r r l (4.6) Agor uilizdo úlim codição d froir u (,) g ( ), l, pr dscobrir D r vmos drivr (4.5) m rlção plicr m. Assim rmos r c r c r u(, ) Cr cos Dr s s l l l r r c r c r c r c r u(, ) C. -s. D. cos. s l l l l l r r r r c. r c r c. r c r u(,) C. -s. D. cos. s l l l l l r r r r c r c r u (, ) Cr. -s. Dr. cos. s l l l r r c r u(,) Dr. s l l r c r u(,) Dr. r s l l r como (,) ( ),, u g l ão c g( ) Dr. r s l r r. (4.7) l Agor os coficis C D podm sr drmidos rvés d (4.6) (4..) r r rspcivm, pr isso uilizrmos um écic d séris d Fourir ssim rmos, 49

51 l r Cr f ( ) s d l l l r Dr g( ) s d r c l (4.8) (4.9) od r,,3,... Agor subsiuido m (4.5) s coss C r D mos r l r r c r u(, ) f ( ) s d cos s r l l l l l r r c r g( ) s d s s r c l l l od é vriávl d igrção domos ssim pr ão cofudirmos com qu é vriávl idpd. Es fução é solução grl d qução d od (4.8) com s sguis codiçõs d froir u(, ) u( l, ),, u(,) f ( ), l, u(,) g( ), l. S obsrv ssim msmo qu qução d od cosidrd is um usêci d disprsão, ddo por disprsão o fômo sgudo o qul os difrs compos d Fourir s propgm vlocidds disis, l como ocorr o clássico modlo d Korwg-d Vris pr o vço ds ods ou qução d Schrodigr. Evidm, os fios disprsivos fzm qu form d solução mud complm o mpo, ms isso sri sudo pr ouro rblho fuuro. 5

52 CONSIDERAÇÕES FINAIS Es rblho v como pricipl objivo cor hisóri d um dos mis grdiosos mmáicos do século XVIII, smos fldo d Eulr. Sus coribuiçõs s mis divrss árs form d grd imporâci pr mmáicos físicos d oss ulidd. Eulr sv lém d su mpo m odos os sidos, su iligêci suprou ods s brrirs possívis, udo m busc d um mmáic prfi. A ididd rigooméric d Eulr v grd imporâci s rblho, pois srviu d frrm mmáic pr qu pudss rsolvr qução d od rvés d sris d Fourir. As séris d Fourir são d grd imporâci Mmáic bsr como Mmáic plicd. No século XVIII problms físicos, como modlos d codução d clor o sudo ds vibrçõs oscilçõs form rsolvidos rvés d Séri d Fourir. Podmos cocluir s rblho como um frs qu mosr como Lohrd Eulr foi impor, cição foi d Lplc diz o sgui sud Eulr, sud Eulr, l é o profssor d odos os. 5

53 BIBLIOGRAFIA. BOURBAKI, N. Elmos d l Hisori d ls Mmáics. Edior Aliz Uivrsidd, BOYER, C. B. Hisóri d Mmáic. Edior Edgr Blüchr Ld., São Pulo, 996. Trduzido por Elz F. Gomid do origil m iglês: A Hisory of Mhmics, Joh Wily & Sos, Nov Iorqu, COURANT, R. ROBBINS, H. O qu é Mmáic? Edior Ciêci Modr Ld., Rio d Jiro,. Trduzido por Adlbro d Silv Brio do origil m iglês: Wh is Mhmics?, RUDIN, W. Pricipls of Mhmicl Alysis, Edior McGrw-Hill Iriol Ediios, TIPLER. P. A. Físic pr Ciiss Eghiros. Edior LTC S.A, Rio d Jiro,995.Trduzido por Horcio Mcdo do origil m iglês: Physics for Sciisis d Egirs, WEISSTEN. E. W. Fourir Sris. Por Mhworld- Dispoívl ir m: hp//mhworld.wolfrm.com/fourirsris.hml. 5