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Joaquim Ferreira de Sousa
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1 8. REPRESENÇÃO NO ESPÇO DE ESDOS 8. Coco so ( prsção srá f o omío o mpo coío; s frçs com o cso scro são pqs srão prss posrorm). rprsção r/sí m ssm lr só é ál qo, o mpo cl, o ssm sá o so scoáro. ssm é ál sg rlção: y = H q c q, rés o opror H, po-s rmr y() pr qlqr (). Qo o ssm ão sá clm m so scoáro é cssáro cohcr s coçõs cs pr por rmr o compormo fr m r : O coo coçõs cs q é cssáro cohcr pr por rmr y() ocm m [, ) cos o so cl o ssm. o plcr m forç r (r (), [, )) m prícl (ssm) o mpo, o s momo (sí y()) pr, ão srá ocm rmo qo ão form cohcs, mbém, posção loc ss prícl o mpo. Ess s formçõs cosm o so o ssm o mpo. O so m ssm o mpo é o coo formçõs m q, o com r (), [, ), rm ocm o compormo o ssm pr. scolh o so ão é úc. O so é m q lr q po ão sr fclm fcál m rmos físcos. O so po sr cosío por m coo fo o fo lors. Cosro só o cso sos scros por m úmro fo rás, ls srão rprsos por ors, chmos ors so. C lmo o or é m rál so. O spço msão m q po rr é o spço sos.

2 8. Eqçõs âmcs Eqçõs âmcs formm m coo qçõs q scrm ocm s rlçõs r s rás r, sí so. f,, qção so g, y, qção s sís No cso ssms lrs B y C D q, form grm blocos, fc: S o ssm for r o mpo: B y C D Solção qção âmc lr homogê com cofcs rás Pr smplfcr prsção fclr o mo, srmos o cso homogêo. Vmos cosrr q mrz qr ; o ssfz ; ; ; I

3 Nss cso, solção qção homogê é: ; scr rsção o so. ; : mrz rsção so solção po sr rfc por sbsção r: ; ; = ;, pos E coção cl: ; ; I. form mmác ; po sr ob gro scssm qção homogê: o I I I I... 3

4 pós fs grçõs chg-s : ; I Eão ; I sér q f mrz rsção chm-s mrz corg qo os lmos mrz são lmos o rlo,. Solção qção âmc lr homogê com cofcs coss Os cofcs coss cm ssm r o mpo. ssm áls po sr f pr qlqr, m prclr. Ns cso I 3 ;...! 3!! 3 fção mrz pocl é f s form o comprr o somóro ror com o solmo m sér ylor fção sclr pocl,, m oro o poo = :!! Eão solção é Pr m mpo cl rbráro ( ) ( ) 4

5 Cálclo mrz rsção m ssm r o mpo Há rss forms s clclr mrz rsção so m ssm r o mpo (rsform rs Lplc, composção mrcl, sér ylor, orm Cyly-Hmlo, c.). Um ls, ál pr lors crcríscos frs, é so o orm Sylsr q, pr qlqr fção poloml mrz qr, sblc f f. o I I : lors crcríscos, rízs I. Pr lors crcríscos gs plc-s rgr L Hopl pr rsolr rmção. Solção qção âmc lr hrogê com cofcs coss B Irozo m mç rás z z z z z ( ) z z Eão z z B B z z B Mlplco à sqr por o z B 5

6 Como ( ), ão ssm z B z Eão B B () é rspos à r l () é rspos o so lo. Emplo: Pr mplfcr os cocos é gor rozos mos cosrr o sg ssm mlrál: O molo fomológco s ssm é formo plo sg ssm qçõs frcs ão-lrs: h () F k h () h () k h () k h () 6

7 Lrzo m oro o so scoáro é obo o sg molo lr: com b h h h h k h k b h h k F F S rál m sí é o íl o sgo q: y h h Eão o molo po sr scro: y b com c b b c Escolhmos lors mércos pr os frs prâmros: k k F Rslo m: h 4 h b 7

8 8 Pr chr solção grl s ssm é cssáro cohcr mrz rsção sos. Ulzo o orm Sylsr, prmrm mos clclr os lors crcríscos mrz. 3 I Uso o orm: ssm, solção grl pr olção mporl o or so é pr olção mporl rál sí é y Obsr-s q o cohcmo o so cl,, prm rmr sí fr, y, pr qlqr r,, pr. 8.3 Rprsção so pr ssms scros Os ssms scros são crcrzos por ors so m fção o mpo scro k k k s qçõs âmcs êm, m grl, form: k f k k k,, yk gk k,

9 Pr ssms lrs k k k Bk k yk Ck k Dk k No cso ssms rs o mpo k k B k yk Ck D k solção o cso homogêo, lr ôomo é ob por m procsso ro: k k k k k é mrz rsção so. mbém po sr clcl so o orm Sylsr k k I sbl s ssm sá gr s oos os lors crcríscos são ro o círclo ro áro, pos pr o ssm sál lm k k lm k P k P, poro, lm k k q ocorr qo <. solção o cso hrogêo é ob sgo: B B B B B B k k k-- k B 9

10 8.4 Ssms os mosros B y C D Cosro k k k o k sr lo como k, so o mpo mosrgm k + é (k+), m k k B k Dfo k B Rsl k k k k k k k k Pr = k+ k k k o k k B Fzo k k obém-s B qção sos fco form scr, com cofcs q pm o mpo mosrgm,. solção é

11 k k k-- k Ero k k k k Eão solção é form k k-- k k 8.5 Dgolzção s qçõs so B são olm copls rés form ch mrz. solção slzção s rsposs fcrm ms smpls clrs s mrz foss gol. Ds form s qçõs fcrm olm scopls. O or sos prc m spço orl, o spço sos, o ql, rés m rsformção lr pomos mr bs, cosqüm, s rprsção. Vmos cosrr, só por smplc prsção, o ssm s form homogê. rés m rsformção lr, fmos os rás so: P ssm, P P com gol. P P P

12 Ds form Iso é () Volo às rás orgs po-s mosrr or form clclr mrz rsção so. P P P * () P P ( ) ( ) Iso é, mrz rsção so po sr clcl mbém sgo: P P Vmos r como é cosí mrz P o q são os. P PP P P P Escro P m rmos ors col

13 3 P (so qr zr q prção mrz, s lhs polhs ão fcr mplícs) mos, pr o prmro cso: Iglo s cols ss mrzs, rlção grl é:,..., o I Es ssm qçõs lgébrcs homogêo m solção ão rl pr I omo polômo (qção) crcrísco() mrz. Iso é, os são os lors crcríscos mrz. Os são os ors crcríscos à r mrz. Escro P - m rmos ss ors lh mos, pr o sgo cso: o

14 4 Iglo s lhs ss mrzs =,..., o I - Os são os ors crcríscos à sqr mrz. No cso lors crcríscos rpos golzção ão é compl. O rslo é m mrz bloco-gol, o c bloco m s msõs mlplc o lor crcrísco corrspo. gol prcpl sss blocos é form plo lor crcrísco rpo. prmr sb-gol spror é form por s: 8.6 Solção Grl o Domío o mpo B B Sbso mrz rsção so B P P P P Uso form f pr s mrzs P P, brmos prssão ror...

15 o... B... Eão o... B Obsrmos q os os rmos rspos grl êm msm form: m somóro rmos pocs poros. Pr fclr áls mos cosrr.... C rmo sá ssoco m pocl q é cohco como moo rspos lso o rmo corrspo c moo :... o o... o... o... B B 5

16 Obsrmos q o moo clo corb form fr pr c rál so. Pr corbção é: o... : é composção o moo c q form l corb pr rspos mporl c rál so. Como co cm, o compo, o or por corbção o moo à rál so. : é ção o moo. ção é úc pr c moo, so msm pr os s rás so. Pr o ssm golzo o c moo corb, com pso áro () pr m úc rál so. ção o moo corrspo m rm pl coção cl ss rál so. Comprr s áls o compormo âmco com áls o compormo sáco bs os lors sglrs mrz ghos sácos. No: oo o solmo bso-s m lors crcríscos frs. Como á fo co, qo há mlplc ão é possíl obr golzção compl; só cosg-s m golzção prom form chm Jor. Ms mos rr o problm grl obção frs rprsçõs so rés rsformçõs lrs. 8.7 Corolbl obsrbl Ess cocos, plcás o ssms lrs como ão-lrs, são smlhs pr os csos coío scro o mpo. Vmos sr o cso coío. 6

17 Pr lsr qs s possbls corolr m ssm lr mplo rás (), obsrmos form grl rspos mporl B É clro q () só f o sgo rmo, l mos cocrr oss áls. B Escro B b b b m b b b m b b b m S b b b B m s rás r ão flcm o moo : s moo ão é corolál. S qs form os ss r há m crcrísc srrl o ssm, rfl o fo q B, q rm ão corolbl o moo (, cosqüm, o ssm). N form côc gol, o c rál so sá ssoc m úco moo, rál ão é cssíl (). - P B B Um form prác s rmr corolbl m ssm lr é rfco o poso s mrz corolbl K B B B B O ssm é corolál s poso K 7

18 É rss mosrr m sfc gomérc pr s rslo. Cosro m ssm sg orm, clm o poo com m úc r mpl. b Dr m rlo mpo mo pqo,, plc-s o corol I, q rm m slocmo I o or sos. I b I Dr o prómo, plc-s II, q rm, prr o posção, o slocmo II. b = b b II I II I II Pr por lcçr qlqr poo o plo, é cssáro q os ors hm msm rção; so é, q sm lrm ps. Pr sso, mrz b b I ão m q r s ss s cols ps o, o q é msm cos, s poso m q sr. II Em rmos possbl obsrr m ssm lr rés y(), lmbrmos q, cosro () = : y C C C P C C C S mrz C P m -ésm col l, C =, o moo ão flêc sí y(), cosqüm, ão po sr obsro. O ssm ão é obsrál. Um form prác s rmr obsrbl m ssm lr é rfco o poso s mrz obsrbl. 8

19 C C L C C O ssm é obsrál s poso L fção corolbl é: Um ssm é corolál s só s, pr oo so cl, ( ), s m r coí por prs, (, ] l q ( ) = pr lgm fo. fção obsrbl é: Um ssm é obsrál s só s, pr oo, obsrção y(, ], pr qlqr (, ] cohco, prm clclr ( ). Qo o ssm sá rprso form gol, c rál so sá cl m úco moo. Eão, com sss rás pom cocr 4 sçõs frs. ) O moo é corolál é obsrál B y C ) O moo é corolál ão obsrál B y 3) O moo é ão corolál obsrál y C 9

20 4) O moo ão é m corolál m obsrál y S fzrmos prção o or sos s qro cgors possís obmos: P P c o c o c o c o c o c o c o c o c o c o c o c o c o c o B y C P c o c o c o c o c o c o P rsformo por Lplc I P B I P B I B I B s s s s c o c o c o c o c o c o c o c o c o c o Ess rlçõs pom sr colocs form grm blocos

21 O úco cmho r r sí forc ys CP s I P B s co co co Iso é: rprsção r/sí só l m co pr corolál obsrál o ssm. Esm oros cocos smlhs com os corolbl obsrbl, q ormlm são mos gs: lcçbl (rchbly): o ssm é lcçál s m so rbráro po sr lcço, rés m ção corol co, prr qlqr so cl. sblzbl(sblzbly): o ssm é sblzál s s m ção corol cpz sblzr oos os moos sás. cbl(cbly): o ssm é cál s pom sr obsros oos os moos sás. 8.8 Rlzçõs Do o molo m ssm form m rprsção r/sí é possíl grr m úmro mo gr (orcm fo) rprsçõs so (rlzçõs). or s rlzçõs procr s rprsçõs so q prsm crcríscs forás m lgm so. prcpl crcrísc sál é q msão o so s mím: rlzção mím. Não s m rlzção mím úc. Ors crcríscs pom sr ssocs, como, por mplo, form gol mrz. Ors forms côcs rss lém form gol (o mol) são, por mplo, s forms corolál obsrál. Vmos cosrr m ssm moorál (só pr smplfcr prsção) ys s - b s b s b s+b - s s s+

22 Form côc corolál y b b ; b b ; ; b b b Form côc obsrál y b b b b b b b 8.9 rsformçõs o spço sos éccs pr pssr m po rprsção sos oro. S o ssm b y c S o ssm é corolál, s mrz corolbl K m poso. S é obsrál s mrz obsrbl L m poso. qção crcrísc s ssm é: - si = s s s+ prr os cofcs s qção po-s cosrr sg mrz:

23 3 W Pro-s q form côc corolál é ob rés sg rsformção rás: o K W form côc obsrál é ob com sg rsformção rás: Q o Q W L. 3

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