Correção da fuvest ª fase - Matemática feita pelo Intergraus

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1 da fuvest 009 ª fase - Matemática MATEMÁTIA Q.0 Na figura ao lado, a reta r tem equação y x no plano cartesiano Oxy. Além dis so, os pontos 0,,, estão na reta r, sendo 0 = (0,). Os pontos A 0, A, A, A estão no eixo Ox, com A 0 = O = (0,0). O ponto D i pertence ao segmento A i i, para i. Os segmentos A, A, A são paralelos ao eixo Oy, os segmentos 0 D, D, D são paralelos ao eixo Ox, e a distância en tre i e i + é igual a 9, para 0 I. y 0 O D D D A A A x r Nes sas con di ções: a) De ter mi ne as abs cis sas de A, A, A. b) Sen do R i o re tân gu lo de ba se A i A i + e al tu ra A i + D i +, pa ra 0 i, cal cu le a so ma das áre as dos re tân gu los R 0, R e R. y (0,) 0 9 a 9 a b a b D D 9 b D A 0 a) No 0D te mos tg b b a e a a b 9 a (a ) 8 (a > 0 ) a, te mos então x = a, x = a e x = a (os 0D, D e D são con gru en tes). lo go x =, x = 6 e x = 9. b) S, S ( b) e S ( b) e R R R 0 Então S S S ( b) ( b) R R R 0 S S S 9 9b = 9(+ a ) = 9(+ ) 9( 6 ) R R R 0 a), 6 e 9 b) 9( 6 ) A A A x (x ) (x ) (x )

2 da fuvest 009 ª fase - Matemática Q.0 Na figura, estão representadas a circunferência, de centro O e raio, e os pontos A,, P e Q, de tal modo que:. O ponto O pertence ao segmento PQ.. OP =, OQ =.. A e são pontos da circunferência, AP PQ e Q PQ. P O Q Assim sen do, de ter mi ne: a) A área do triân gu lo APO. b) Os com pri men tos dos ar cos de ter mi na dos por A e em. c) A área da re gião ha chu ra da. Y A P O Q A X a) APO : (AP) AP, lo go S APO b) APO: sen, QO: sen 60 e. Te mos en tão 80 (60 ) 7. 7 med 60 (AX) 6 9 med (AY) = med (AX) 6 6 c) S hach a) b) 6 e c) 6

3 da fuvest 009 ª fase - Matemática Q.0 onsidere o sistema de equações nas variáveis x e y, dado por x m y 0 mx ( m ) y 0 Des se mo do: a) Re sol va o sis te ma pa ra m =. b) De ter mi ne to dos os va lo res de m pa ra os qua is o sis te ma pos sui in fi ni tas so lu ções. c) De ter mi ne to dos os va lo res de m pa ra os qua is o sis te ma ad mi te uma so lu ção da for ma (x, y) = (, ), sen do um nú me ro ir ra ci o nal. x m y 0 mx (m )y 0 x m y 0 m mx (m )y 0 x m y 0 I ( m + m )y 0 II x y 0 a) Pa ra m = te mos 0y 0 y e x ; b) O sis te ma te rá in fi ni tas so lu ções se m m 0. o mo é ra iz da equa ção, uti li zan do o dis po si ti vo de ri ot-ruf fi ni, ob te mos: m m (m )(m m ) 0 m ou m c) Se (, ) é so lu ção do sis te ma, sen do ir ra ci o nal, en tão: de I : m, com m ir ra ci o nal. de II : m m 0 m ou m o mo m é ir ra ci o nal, se gue que m. a) S ;, b),, c) e

4 da fuvest 009 ª fase - Matemática Q.0 O triângulo A da figura ao lado é eqüilátero de lado. Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos lados A, A e do triângulo. Além dis so, os ângulos AFE e GF são retos e a medida do segmento AF é x. Assim, de ter mi ne: G a) A área do triân gu lo AFE em fun ção de x. b) O va lor de x pa ra o qual o ân gu lo FEG tam bém é re to. F x A E 60 x G 60 F x 60 0 A x a) AFE EF EF tg 60 EF x x x x x SAFE x b) FG: FG sen 60 FG x ( x) FEG = 90 EG // A EG é eqüilátero EG = x FEG: RESPOSTA x E x ( x) ( x) ( x) ( x ) 0 x a) S b) x AFE x

5 da fuvest 009 ª fase - Matemática Q.0 A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é. Além dis so, a diferença en tre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a. Nes sas con di ções, de ter mi ne: a) A ra zão da PG. b) A so ma dos três pri me i ros ter mos da PG. a) a aq aq aq aq I aq 6 aq II q 0 II aq ( q ) q(q )(q q q q ) 6 I a ( q q q q ) / q q q q q q 6 0 (a > 0 ) q = b) II a 6 6 q q ( ) ( ) 66 Lo go a a q a q a ( q q ) ( ) a) A ra zão da P.G. é. b)

6 da fuvest 009 ª fase - Matemática Q.06 Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 0 garrafas de vinho de um lote constituído por garrafas da Espa nha, gar ra fas da Itá lia e 6 gar ra fas da Fran ça, to das de di fe ren tes marcas. a) De quan tas ma ne i ras é pos sí vel es co lher 0 gar ra fas des se lo te? b) De quan tas ma ne i ras é pos sí vel es co lher 0 gar ra fas do lo te, sen do gar ra fas da Espa nha, da Itá lia e da Fran ça? c) Qu al é a pro ba bi li da de de que, es co lhi das ao aca so, 0 gar ra fas do lo te, ha ja exa ta men te gar ra fas da Itá lia e, pelo me nos, uma gar ra fa de cada um dos ou tros dois pa í ses? a) O lo te pos sui gar ra fas. O nú me ro de ma ne i ras de es co lher 0 gar ra fas é:!,0 00 0!!!! 6! b),, 6,!!!!!! c) a sos fa vo rá ve is: 6 0 Itália Espanha França números de modos, 6, (pelo item a),, 6, 0 00, 6, 7 To tal de ca sos fa vo rá ve is = = 0 A pro ba bi li da de pe di da é 0 00 a) 00 b) 0 c)

7 da fuvest 009 ª fase - Matemática Q.07 No plano cartesiano Oxy, a circunferência tem centro no ponto A = (,) e é tangente à reta t de equação x y = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox. Assim: a) De ter mi ne as co or de na das do pon to P. b) Escre va uma equa ção pa ra a cir cun fe rên cia. c) al cu le a área do triân gu lo APQ. A (,) Q (, 0 t: x y = 0 ( P a) m m t (t é per pen di cu lar a AP ) AP A equa ção de AP é y (x ) y (x ) P t AP P: P(, ) x y 0 b) R AP ( ) ( ) uma equa ção de é (x ) (y ) c) PQ ( 0) S APQ a) P(, ) b) (x + ) + (y ) = c) SAPQ

8 da fuvest 009 ª fase - Matemática Q.08 Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x + mx +. Nes sas con di ções: a) De ter mi ne, em fun ção de m, as co or de na das do vér ti ce da pa rá bo la de equa ção y = f (x). b) De ter mi ne os va lo res de m IR pa ra os qua is a ima gem de f con tém o con jun to {y IR : y }. c) De ter mi ne o va lor de m pa ra o qual a ima gem de f é igual ao con jun to {y IR : y } e, além dis so, f é cres cen te no con jun to {x IR : x 0}. d) Encon tre, pa ra a fun ção de ter mi na da pe lo va lor de m do item c) e pa ra ca da y, o úni co va lor de x 0 tal que f(x) = y. a) Lem bran do que se f(x) = ax b + bx + c, a 0, a pa rá bo la tem vér ti ce V com co or de na das x V e a y V m, te mos: x V a e y (m 8) V = 8 m. b) o mo a > 0, no do mí nio R o con jun to ima gem é Im {y R y y V } (con ca vi da de pa ra ci ma ). Pa ra ter {y R y } Im, basta im por y V. Então: 8 m m (m ou m ) c) Pa ra Im {y R y } e f cres cen te no con jun to {x R x m x V 0 0 m 0 logo, m =. 8 m y V m 0}, de ve mos im por: d) Pa ra m =, a fun ção se rá f(x) = x + x +. Pa ra f(x) = y, vem x + x + = y x + x + + = y (x + ) = y x y Lo go, pa ra ca da y, o úni co x 0 se rá x y. m a) x V e y V b) m ou m c) m = d) x y 8 m

9 da fuvest 009 ª fase - Matemática Q.09 Seja x no intervalo 0, sa tis fa zen do a equação tg x sec x. Assim, cal cu le o va lor de: a) sec x. b) sen x a) tg x sec x tg x tg x sec x sec x sec x sec x 6 sec x 6 0 sec x ou sec x sec x o mo x ] 0, [, te mos sec x > 0; lo go sec x =. b) sec x cos x e sen x x 0 ], [ sen x sen x cos sen cos x 0 sen x 0. a) b) 0 0

10 da fuvest 009 ª fase - Matemática Q.0 A figura representa uma pirâmide ADE, cuja base é o retângulo AD. Sabe-se que A D E Q AD = = AE = E = E = DE = AP DQ. P D Nes sas con di ções, de ter mi ne: A a) A me di da de P. b) A área do tra pé zio QP. c) O vo lu me da pi râ mi de PQE. a) Des ta can do o triân gu lo AE, te mos a fi gu ra aba i xo: E P A ha man do de a me di da de AE, te mos no AE: cos cos 8 No triân gu lo PE te mos, en tão: (P) cos (P) P 8 b) Obser van do que os triân gu los AE e DE são con gru en tes, te mos que P = Q. Des ta can do o tra pé zio isós ce les QP, te mos a si tu a ção aba i xo. Obser ve tam bém que PQ é ba se mé dia do ADE.. P Q 0 h Q No QQ te mos h A área de QP é: h.

11 da fuvest 009 ª fase - Matemática c) Des ta can do a pirâ mi de QPE, te mos a si tu a ção aba i xo: E P M Q Tra çan do EM, al tu ra do triân gu lo equi lá te ro PQE EM, MN, al tu ra do tra pé zio QP MN e EN, al tu ra do triân gu lo equi lá te ro E EN te mos en tão o triân gu lo MNE que é re tân gu lo em M, já que. omo EM PQ e EM MN temos que EM pl (PQ) e portanto EM é a altura da pirâmide PQE. Temos então: 9 VPQE SQP EM VPQE 6 RESPOSTA a) b) c) 6 N 6