MESTRADO EM: Cêncas Actuaras CONSTRUÇÃO DE UM SISTEMA DE BONUS-MALUS NA PRESENÇA DE OUTRAS VARIÁVEIS TARIFÁRIAS Henda Mondlane Ferrera da Slva Orentação: Doutor João Manuel de Sousa Andrade e Slva Júr: Presdente: Doutora Mara de Lourdes Centeno Vogas: Doutor João Manuel de Sousa Andrade e Slva Doutora Isabel Mara Ferraz Cordero Julho/2006 2
GLOSSÁRIO DE TERMOS Y - número de snstros declarados pelo segurado λt - frequênca de snstraldade esperada para o segurado durante o período t ^ λ t - estmador de credbldade para λ t Θ - heterogenedade resdual referente ao segurado N conjunto dos números nteros + R - conjunto dos números reas postvos b( j) - prémo relatvo assocado ao nível j p ( ) - probabldade de um segurado com frequênca méda λ transtar do nível j 1 j1, j λ 2 para o nível j 2 ( v) p j j ( λ) - probabldade de um segurado com frequênca méda λ transtar do nível j 1 1, 2 para o nível j 2 em v passos M (λ) - matrz de probabldade de transção a um passo M ( v) ( λ) - matrz de probabldade de transção em v passos π j (λ) - probabldade estaconára para um segurado com frequênca méda λ de estar no nível j λk - frequênca de snstraldade esperada da k-ésma classe de rsco wk - peso da k-ésma classe de rsco,.e., probabldade de um segurado retrado aleatoramente da cartera estar na k-ésma classe de rsco 3
RESUMO Esta dssertação tem como objectvo a construção de um sstema de bonus-malus, para o seguro de responsabldade cvl automóvel, consderando a tarfação a pror, ou seja, o sstema de bonus-malus é sobreposto a um sstema de prémos envolvendo um determnado número de factores tarfáros. A dea chave é de que tanto a classfcação a pror como as correcções a posteror crem células tarfáras tão homogéneas quanto possível. Assm, as escalas de bonusmalus são determnados de manera a evtar a sobre penalzação dos maus rscos a pror e a sobre benefcação dos bons rscos a pror que se verfca nas escalas de bonus-malus tradconas. Desta manera propõe-se uma alternatva aos modelos de tarfação clásscos. São desenvolvdos dos modelos. O prmero modelo é uma técnca lgada à teora da credbldade que conduz à obtenção de tabelas (estruturas) de prémos como função do tempo, do número de acdentes declarados e dos factores tarfáros sgnfcantes ncluídos no modelo de regressão. O segundo modelo basea-se na construção de uma escala de bonus-malus de forma smétrca a que habtualmente tem sdo feta adaptando o sstema de bonus à tarfa a pror. A metodologa adoptada consste, numa prmera fase, em estmar modelos de regressão de manera a dentfcar os factores tarfáros sgnfcantes, determnar as classes tarfáras e calcular os prémos (modelo a pror). Numa segunda fase constró-se o sstema de bonus-malus tendo em conta os resultados obtdos na fase anteror (modelo a posteror). Fnalmente comparam-se os resultados obtdos e tram-se algumas conclusões. 4
Palavras-chave: Sstema de bonus-malus, tarfação a pror, modelo de Posson, modelo bnomal negatvo, componente de regressão, credbldade. ABSTRACT The man objectve of ths thess s the determnaton of a bonus-malus scale for motor thrd part lablty when a pror rsk classfcaton s used,.e, the bonus-malus system s supermposed on a premum system nvolvng a number of other ratng varables. The key dea s that both a pror classfcaton and a posteror correctons am to create tarff cells as homogeneous as possble. In ths way the bonus-malus scales are determned n order to avod the over penalzaton for bad rsks and over benefts for good rsks that we see n classcs bonus-malus scales. So t can be seen as an extenson of well known models of tarfcaton. For ths purpose two models are presented: The frst model s a credblty technque that allows us to calculate premums tables as functon of tme, past accdents and ratng factors. In the second model a new bonus-malus system s derved. In a frst stage a regresson model s estmate n order to dentfy sgnfcant rsk classfcaton factors, determne tarff class and calculate premums (a pror model). Gven the results of the regresson model, a bonus-malus system s estmated (a posteror model). Fnally, n a last chapter, we compare the results and take some conclusons. Keywords: Bonus-malus system, a pror ratemakng, Posson model, negatve bnomal model, regresson component, credblty. 5
ÍNDICE Pág. Lsta de Quadros 7 Lsta de Gráfcos 8 Prefáco 9 Agradecmentos 14 1. Tarfação a pror e a posteror. Uma vsão Clássca 15 1.1 Estmação da Tarfa a pror 19 1.1.1 Modelos Lneares Generalzados 22 1.1.2 Aplcação dos Modelos Lneares Generalzados na estmação 28 da Tarfa 1.2 Avalação a posteror 29 1.3 Sstemas de Bonus-Malus 30 1.4 Integração entre a Tarfação a pror e a posteror 32 2. Uma Solução Alternatva ao Método de Construção de Tarfas tradconal 35 2.1 Modelo de Donne e Vanasse 36 2.2 O Modelo de Ptrebos et al. 42 3. A Cartera em Estudo 46 3.1 Os Dados Obtdos 46 6
3.2 Análse dos Dferentes Factores 48 4. Modelzação da Estrutura Tarfára 66 4.1 Avalação a posteror Escalas Óptmas 67 4.1.1 Número de Snstros e dstrbução Estrutural 67 4.1.2 Obtenção de Escalas Óptmas 70 4.2 Estmação da frequênca esperada de snstraldade 73 4.3 A tarfa a pror com a escala de bónus como restrção 74 4.4 Estmação conjunta das tarfações a pror e a posteror 76 5. Estmação da Estrutura Tarfára com base nos modelos alternatvos propostos 80 5.1 Modelo de Donne e Vanasse 80 5.2 O Modelo de Ptrebos et al. 84 5.3 Aplcações Numércas 89 5.4 Comparação entre os modelos de tarfação 92 6. Conclusões 98 Bblografa 101 Anexos 104 7
LISTA DE QUADROS 3.1 - Idade do Segurado 49 3.2 -Tpo de Utlzador do veículo 50 3.3 - Idade da carta de condução 51 3.4 - Experênca 52 3.5 -Zona de crculação habtual do veículo 53 3.6 -Tpo de Combustível 54 3.7 -Outras característcas técncas 55 3.8 -Cruzamento entre os factores Outras característcas técncas e Tpo de combustível 55 3.9 -Tpo de propredade do veículo 57 3.10 -Cruzamento entre os factores Tpo de propredade e Zona de crculação 57 3.11 -Cruzamento entre os factores Tpo de propredade e Outras característcas técncas 57 3.12 -Idade do veículo 58 3.13 -Montante do captal seguro em RC 59 3.14 -Plano de Pagamento do prémo 60 3.15 -Agregação da varável dade da apólce 61 3.16 -Agregação do factor bonus 64 8
4.1 -Matrz de probabldades de transção do sstema 71 4.2 -Dstrbução estaconára e escalas óptmas 72 4.3 -Tarfa a pror Escala de bonus como restrção 75 4.4 - Estmatva dos coefcentes da varável bonus Estmação Conjunta e Escala de Norberg normalzada 77 4.5 -Tarfa a pror Estmação Conjunta 78 5.1 -Modelo de regressão bnomal negatvo 81 5.2 -Modelo de regressão de Posson - Estmatvas resultantes 85 5.3 -Classes do sstema de bonus-malus: Modelo sem tarfação a pror e Modelo com tarfação a pror 88 5.4 - Modelo bnomal negatvo com componente de regressão: tabela 1 90 5.5 -Modelo bnomal negatvo com componente de regressão: tabela 2 91 5.6 -Modelo bnomal negatvo com componente de regressão: tabela 3 92 LISTA DE GRÁFICOS 3.1 - Evolução da frequênca de snstraldade em função da dade da apólce 61 3.2 - Evolução da frequênca de snstraldade e custo médo em função das classes de bonus 65 5.1 - Evolução do prémo puro: 1º caso, trajectóra 1 94 5.2 - Evolução do prémo puro: 1º caso, trajectóra 2 94 5.3 - Evolução do prémo puro: 2º caso 95 5.4 - Evolução do prémo puro: 3º caso 95 9
PREFÁCIO A natureza da actvdade seguradora é caracterzada pela acetação de dversos rscos que se supõem mas ou menos homogéneos para que, baseando-se na le dos grandes números, a empresa seguradora assuma o conjunto das responsabldades recebendo em troca um determnado montante a que se convenconou chamar de prémo. Assm, o prémo consttu um dos elementos essencas do seguro. Sendo o prémo uma contrapartda da assumpção de um rsco pela Seguradora, deve ser remunerador para esta, mas também justo e equtatvo para o segurado. Contudo, grandes dvergêncas se levantam no sentdo de saber se o prémo deve ser determnado apenas em função das característcas do rsco a segurar, ou se por motvos relaconados com a concorrênca no mercado Segurador. Desde há muto tempo que o prémo tem sdo defndo medante a avalação do rsco subjacente (vsão actuaral). No entanto uma outra abordagem defende que os prémos devem ser estabelecdos em função dos mecansmos do mercado. Contudo, qualquer que seja a abordagem defendda, o prémo não pode afastar-se do equlíbro, sob pena de desajustamentos ndesejáves que poderam proporconar a quebra de soldez e afectar a segurança que caracterza a actvdade Seguradora. 10
Assm, em termos actuaras, convenconou-se decompor o prémo em três componentes ncorporadas durante o processo da sua fxação: O prémo puro que corresponde à esperança matemátca do rsco; A margem de segurança, destnada a fazer face à aleatoredade do rsco; Os encargos destnados a cobrr os gastos admnstratvos e cargas fscas. As metodologas de construção de tarfas para o seguro automóvel têm conhecdo uma grande evolução com mposções fetas pelas autordades supervsoras em relação a determnados parâmetros que as seguradoras devem cumprr, proporconando assm aos segurados maor protecção face às apetêncas ao lucro exagerado. Tal evolução tem sdo acompanhada com o rápdo desenvolvmento tecnológco, permtndo que actualmente se possa manusear grandes quantdades de nformação de forma mas efcente. De forma paralela o parque automóvel tem crescdo sgnfcatvamente nas últmas décadas, orgnando um aumento da frequênca de snstraldade, o que tem dado mportânca crescente ao seguro automóvel no quadro da actvdade seguradora. O processo de construção de uma tarfa começa pela defnção dos objectvos que se pretendem atngr com a mesma, que geralmente resdem na melhor adequação entre o prémo e o grau de rsco exstente nas undades de exposção ao rsco (as apólces para o seguro de responsabldade cvl automóvel). Segue-se então a modelzação da estrutura a mplementar, que abrange a escolha da varável que será objecto de análse (quer seja a 11
frequênca ou os custos assocados as ndemnzações), dentfcação e posteror selecção dos factores (varáves exógenas) a nclur no modelo. Para dstrbur os snstros entre os segurados, o actuáro geralmente reparte as apólces em classes tão homogéneas quanto possível de tal modo que todos os segurados pertencentes à mesma classe paguem o mesmo prémo. As varáves de classfcação que se ntroduzem de manera a separar os rscos em células são desgnadas varáves a pror (uma vez que os seus valores podem ser determnados antes de o segurado começar a conduzr). Nos Seguros de Responsabldade Cvl Automóvel, tas varáves ncluem, entre outras, a dade, sexo e ocupação dos segurados, o tpo de carro, local de resdênca e, por vezes, o número de carros na resdênca ou o estado cvl. Contudo, alguns factores mportantes podem não ser tdos em consderação a este nível, como por exemplo, a agressvdade ao volante ou no conhecmento do códgo de estrada. Consequentemente, as classes de rsco contnuam heterogéneas apesar do uso de mutas varáves de classfcação a pror. Os sstemas de tarfação que penalzam os segurados responsáves por um ou mas acdentes agravando os prémos (malus), e bonfcam os segurados que não apresentem snstros concedendo descontos (bonus) estão, mas do que nunca, a ser usados. Trata-se de uma tarfação a posteror, e é uma manera bastante efcente de classfcar os segurados de acordo com os seus respectvos rscos, corrgndo assm as lmtações dos sstemas a pror. Encorajando os segurados a conduzr cudadosamente, sto é, de manera a contrarar o rsco moral (moral hazard), tenta-se melhorar a tarfação dos rscos ndvduas. Tal sstema é desgnado por No clam dscounts na sua versão mas smples ou sstema de bonus-malus quando o sstema se torna mas complexo. 12
Objectvo O problema a que se propõe abordar neste trabalho é a determnação do prémo relatvo de cada classe de uma escala de bonus-malus quando a classfcação a pror é usada pela companha, ou seja, adaptar o sstema de bonus-malus à tarfa a pror. Esta abordagem, apresentada ncalmente em Taylor (1997) e mas recentemente em Ptrebos, Denut & Walhn (2003) será comparada quer com a abordagem tradconal, utlzada na generaldade das seguradoras, quer com a proposta de Donne e Vanasse (1989) que desenvolveram uma metodologa alternatva. Metodologa Apresenta-se assm uma metodologa para construr escalas de bonus-malus no seguro automóvel, na qual as varáves explcatvas são consderadas para a determnação do prémo relatvo de cada classe do sstema, resultando assm num novo esquema de tarfação ntegrado, dferente do sstema clássco. A severdade das correcções a posteror vara de acordo com as característcas observáves dos segurados. A dea chave é de que tanto a classfcação a pror como as correcções a posteror crem células tarfáras tão homogéneas quanto possível. Assnale-se que, dado o objectvo do trabalho se centrar nos sstemas de bonus-malus dependentes apenas da frequênca de snstraldade, não se rá modelzar os custos assocados aos snstros. 13
Estrutura da Dssertação Para cumprr os objectvos defndos, dvdu-se o trabalho em ses capítulos organzados da segunte forma: O prmero capítulo tem por objectvo prncpal ntroduzr a metodologa usada para proceder a construção de tarfas segundo a vsão clássca ou tradconal. Falar-se-á então dos modelos lneares generalzados como sendo um método estatístco que dá resposta aos objectvos enuncados. No segundo capítulo abordam-se as alternatvas propostas para o processo de construção de tarfas, nomeadamente os contrbutos de Donne e Vanasse (1989) e de Ptrebos, Denut & Walhn (2003). Segudamente, no capítulo 3, procede-se à descrção formalzada da nformação a que se teve acesso bem como à selecção dos dados a serem utlzados. O essencal do estudo realzado desenvolve-se ao longo dos capítulos 4 e 5. Começa-se por efectuar a estmação da tarfa nos moldes habtuas (vsão clássca) para de seguda, voltar a estmar a tarfa mas consderando as alternatvas propostas (capítulo 5). Fnalmente, no sexto capítulo, sntetzam-se as conclusões prncpas, sugerndose também algumas alternatvas para futuras nvestgações. 14
AGRADECIMENTOS Agradeço prmeramente ao Professor Doutor João Andrade e Slva pela sua orentação. Agradecer também o seu apoo, empenho e dsponbldade que sempre demonstrou. Um muto obrgado. Não poda dexar de agradecer a Dra. Fernanda Fretas, Drectora dos Ramos Pessoas e Vda da Empresa de Seguros de Angola (ENSA-S.A.R.L), que confou em mm e deu-me a oportundade de frequentar o mestrado. À Companha de Seguros que forneceu os dados necessáros à elaboração desta tese. À Dense Flomena e ao Telmo Danlo por tudo o que representam na mnha vda. Por últmo agradecer a mnha famíla, especalmente aos meus pas e rmãos pelo apoo prestado durante o decorrer deste trabalho. 15
Capítulo 1 Tarfação a pror e a posteror. Uma vsão clássca A tarfa consste no conjunto de regras que permtem defnr o prémo a pagar por cada apólce. Ela surge como um nstrumento que contempla as taxas ou prémos, bem como as regras orentadoras para a realzação de contratos de seguro de um determnado ramo ou modaldade, e que defne o prémo a pagar. Na actvdade seguradora os actuáros precsam de construr estruturas tarfáras que rão dstrbur de forma justa o rsco entre os segurados. Uma estrutura tarfára consste num conjunto de descontos e agravamentos que os prémos das váras apólces apresentam ( em função das sua característcas específcas), em relação à um valor padrão, desgnado como prémo padrão. O prémo dado por uma tarfa resulta assm do multplcar do prémo padrão pelo valor obtdo na estrutura tarfára; a função da estrutura tarfára é assm dferencar o prémo a pagar por cada apólce em função das suas característcas. A dscrmnação dos rscos na cartera é feta de acordo com crtéros socalmente acetes (uma vez que determnados crtéros não são legalmente permtdos), e com crtéros concorrencas. Quando a tarfa nclu todos os elementos sgnfcatvos de que se dspõe, a stuação será transparente uma vez que, com a nformação dsponível, o prémo estará de acordo com a avalação que se faz do rsco. 16
Se, pelo contráro, não for ncluída toda a nformação sgnfcatva na tarfa, estar-se-a a agrupar num mesmo escalão tarfáro, rscos que se sabe à partda serem de gravdade dferente o que orgnara dstorções na tarfa. É mportante também realçar a necessdade de uma letura cudada dos resultados, ndependentemente da metodologa estatístca usada, antes de mplementar uma estrutura tarfára. Destacam-se alguns requstos que esta deverá satsfazer: establdade a curto/médo prazo no que se refere aos factores selecconados, e às bonfcações/penalzações a aplcar; smplcdade na sua aplcação, tendo em conta não só que ela deve ser compreendda pelos segurados como também os dversos mecansmos de comercalzação do produto; questões relaconadas com o período em análse. A melhor opção nem sempre é escolher um período remoto, uma vez que poderá faltar alguma nformação consderada relevante, nem optar por um período recente, uma vez que a nformação dsponível poderá estar ncompleta. Por exemplo, no seguro automóvel, as ndemnzações de snstros que envolvam danos corporas ou outros que envolvam stuações ltgosas, só serão conhecdas passados mutos anos tornando necessáro trabalhar com estmatvas; 17
Esta stuação deve levar a certas cautelas na determnação dos factores a exclur e a nclur de forma a evtar possíves dstorções. Note-se que as razões para nclusão ou exclusão de determnados elementos podem varar no tempo, ou seja, podem ser pacífcas numa determnada altura e dexar de sê-lo mas tarde. Assm sendo, o fundamental é encontrar um conjunto de característcas, desgnado por factores tarfáros, que caracterzem cada apólce e que a coloquem em determnada classe de tarfação face ao nível de rsco que representa. Um prmero conjunto de característcas que fazem parte da tarfa de qualquer seguradora, são os desgnados factores mensuráves a pror e que podem nclur: Dados relatvos ao condutor do veículo (por vezes assume-se que o segurado e o condutor habtual do veículo concdem), dos quas se destacam a dade, o género, a experênca de condução (número de anos de carta), o estado cvl; Dados relatvos ao tpo de veículo, nomeadamente, a potênca, a clndrada, a marca, a dade, etc. A regão de crculação habtual do veículo; A qulometragem anualmente percorrda pelo veículo, quando esta se encontre acessível. Tas factores são geralmente consderados em termos qualtatvos e traduzem-se em termos estatístcos por um conjunto de varáves artfcas que correspondem ao desdobramento dos dferentes níves que cada varável qualtatva assume. A cartera 18
pode então ser concebda como um conjunto de células caracterzadas pelo cruzamento de dferentes níves dos factores tarfáros. A cada célula rá corresponder um grupo relatvamente homogéneo que pagará o mesmo prémo. Uma vez que a dstrbução dos rscos em termos dos factores tarfáros não é unforme, o sstema assm crado será caracterzado pelo facto de que uma percentagem muto pequena de células engloba a esmagadora maora das apólces o que pode afectar a qualdade dos estmadores a utlzar. O ramo automóvel possu anda partculardades que fazem com que a escolha dos dferentes factores tarfáros nem sempre seja muto pacífca. Exstem dversas varáves que, apesar de apresentarem uma correlação bastante elevada com a snstraldade não podem ser ncluídas porque não se consegue ter uma medda objectva das mesmas. Por vezes é possível encontrar outras varáves explcatvas que, por estarem correlaconadas com aquelas, permtem, embora de forma ndrecta suprr esta lmtação. Assm, para tomar em consderação estes efetos esconddos e que podem ser os que mas ajudam a explcar a snstraldade, defne-se a estrutura tarfára com base numa dupla avalação: por um lado, a partr dos factores tarfáros conhecdos e utlzáves, constró-se um modelo para estmar o prémo puro, processo que se desgna como tarfação a pror e, por outro lado, utlza-se a snstraldade passada de uma apólce para estmar o seu comportamento futuro, processo que se desgna por tarfação a posteror. Salente-se que a avalação a posteror será feta apenas para a frequênca. Embora alguns autores (Holtan (1994) ou Lemare (1995) por exemplo) procurem também 19
abranger os custos, tal não é prátca corrente e o presente trabalho também va apenas consderar a avalação a posteror para a frequênca. Nas secções seguntes abordar-se-ão os aspectos fundamentas referentes à tarfação a pror e a posteror. Segundo o método tradconal de construção de tarfas, estes processos serão abordados de forma ndvdual e proceder-se-á de seguda à sua ntegração. 1.1 Estmação da Tarfa a pror A modelzação das estruturas tarfáras em termos dos factores drectamente mensuráves, também desgnada como tarfação a pror, é feta com base nos modelos lneares generalzados que permtem estmar o mpacto dos factores de tarfação sobre o valor esperado da frequênca de snstraldade. As estruturas tarfáras baseam-se numa estrutura adtva ou multplcatva. A prncpal dferença entre ambas deve-se ao facto de na estrutura multplcatva, exstrem agravamentos sobre agravamentos (ou descontos sobre descontos) enquanto que na estrutura adtva tal não acontece. Em qualquer dos casos a modelzação é feta, geralmente, de forma separada para o número de snstros e para o montante das ndemnzações. Consdere-se assm o valor total das ndemnzações geradas por um rsco numa determnada anudade, W, que tem orgem num processo composto, 20
N = W X j j= 0 (1.1) onde N representa o número de partcpações na anudade e X j o valor das ndemnzações referentes à j-esma partcpação, com X 0 0. Assumndo que, para cada rsco, as ndemnzações são ndependentes do número de snstros ou partcpações e consttuem uma sucessão de varáves aleatóras ndependentes e dentcamente dstrbuídas, ter-se-á [ W] E[ N ] E[ X ] E = (1.2) sendo X é uma varável aleatóra com a dstrbução comum a todas as varáves { } X. j Consderando a cartera como sendo composta por um conjunto de rscos que podem ser caracterzados por um parâmetro (un ou mult dmensonal) θ, admtndo que os { X j } condconados por θ são ndependentes de N e consttuem uma sucessão de varáves ndependentes e dentcamente dstrbuídas e supondo-se também que exste establdade e ndependênca condconal entre as anudades, tem-se, para cada anudade E ( W θ ) = E( Nθ ) E( Xθ ) (1.3) em que X é uma varável aleatóra com a mesma dstrbução que os { X }, = 1,2,,N. O parâmetro θ tem duas componentes: as característcas observáves 21
referentes a cada rsco, e uma componente não observável, que adante será tratada como sendo a realzação de uma varável aleatóra com dstrbução conhecda. Consdere-se agora que o parâmetro θ pode ser decomposto num conjunto de k factores tarfáros que correspondem a característcas objectvamente avaladas das apólces. O objectvo é a modelzação de E W X, X, Λ, X ) para = 1,2, Λ, n, sendo n o número de apólces na cartera. ( 1 2 k De acordo com a expressão (1.3) modela-se de forma separada o número esperado de snstros e o custo médo de um snstro dados os factores tarfáros, utlzando-se para tal o modelo E ( Y X 1, X 2,..., X k ) representando Y o número de snstros ou o seu montante conforme a stuação. 22
1.1.1 Modelos Lneares Generalzados Os modelos lneares generalzados (GLM) consttuem uma generalzação do modelo habtual de regressão lnear múltpla, alargando as hpóteses sobre a dstrbução da varável endógena da le normal para a famíla exponencal (normal, Posson, bnomal, gama, etc.). Nesta secção abordar-se-á de forma genérca estes modelos. Para uma vsão mas alargada sobre os mesmos veja-se McCulagh & Nelder [1989] ou Turkman & Slva [2000]. Consdere-se que se dspõe de n observações ndependentes da varável endógena Y, = 1,2, Λ, n, de méda µ, e das k varáves exógenas que lhe estão assocadas. Um modelo lnear generalzado será defndo por 3 característcas: A dstrbução de Y pertence a famíla de dspersão exponencal, sto é yθ b( θ ) f ( y, θ, φ) = exp + c( y, φ) (1.4) a ( φ) sendo a (.), b (.) e c (.,.) funções conhecdas, adequadas a cada caso partcular, e a (.) da forma φ ω com ω conhecdo, e φ desgnado por parâmetro de escala não depende de. A função f (). representa a função densdade ou a função probabldade da varável Y. Admte-se também que b (.) é duas vezes 23
dferencável e que o suporte da dstrbução não depende de θ. Os parâmetros do modelo são assm θ e φ, embora para certas dstrbuções como a Posson o parâmetro φ tenha um valor pré-determnado. Sabendo que l E = 0 e θ l E θ 2 2 l = E θ 2 (1.5) onde l é o logartmo da função de verosmlhança de Y, concluí-se que db( θ ) E [ Y] = = µ dθ dµ Y = b a = (1.6) dθ e var[ ] ( θ ) ( φ) a ( φ) defnndo-se assm a chamada função varânca V b dµ ( µ ) = ( θ ) = (1.7) dθ A exstênca de um predctor lnear η defndo como combnação lnear das varáves explcatvas, ou seja k η = j= 1 X β, = 1,2, Λ, n, ou, em termos j j matrcas η = Xβ. Sendo a matrz X conhecda e β um vector de parâmetros desconhecdos a estmar. Geralmente tem-se X = 1 1,, ou seja, o modelo tem um termo ndependente. Exste uma função de lgação g, monótona e dferencável, que relacona µ com η através de η = g ( µ ), = 1,2, Λ, n. Como caso partcular mas 24
sgnfcatvo defne-se a função canónca de lgação quando η = θ, para = 1,2, Λ, n. Os parâmetros de localzação dados pelo vector β, são estmados pela máxma verosmlhança através de um processo teratvo, onde em cada teração se constró uma matrz dagonal de ponderadores e se procede a uma estmação pelos mínmos quadrados ponderados. Quando a dstrbução de Y não envolve o parâmetro de dspersão φ (caso da Posson), não haverá necessdade da sua estmação. Nos outros casos recorre-se a uma estmatva de máxma verosmlhança, fora do âmbto dos modelos lneares generalzados, ou opta-se por um método de estmação alternatvo, sendo mportante garantr que o estmador utlzado é consstente. McCullagh & Nelder [1989] propõem o recurso a um estmador centrado e consstente com base na estatístca do qu-quadrado generalzada, sto é, ~ χ 2 φ = (1.8) n k onde ^ n 2 ( Y µ ) χ = ω é a estatístca do qu-quadrado de Pearson. ^ = 1 V ( µ ) 25
26 Na estmação das estruturas tarfáras como em qualquer processo de modelação, pretende-se um modelo que realce os aspectos prncpas do fenómeno em estudo, reduzndo o número de parâmetros envolvdos. Nos modelos lneares generalzados, a medda de ajustamento por excelênca, a devance D, é obtda por comparação do modelo em estudo com o modelo saturado 1. Defne-se a devance à escala * D como sendo φ ω φ θ θ θ θ D b b Y l l D n s e = = = =1 ^ ~ ^ ~ * ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 (1.9) onde o modelo em estudo é representado pelo índce e e as suas estmatvas assnaladas com o símbolo ^, e o modelo saturado pelo índce s e as correspondentes estmatvas assnaladas com ~, l representa o logartmo da função de verosmlhança. Defne-se então a devance por = = ) ( ) ( ) ( 2 ^ ~ ^ ~ 1 n b b Y D θ θ θ θ ω (1.10) 1 entende-se por modelo saturado aquele em que exstem tantas varáves quantas observações de forma a obter um ajustamento perfeto, o que corresponde a y = µ.
O modelo M 2, com k 2 parâmetros de localzação, dz-se encaxado no modelo M 1, com k 1 parâmetros de localzação, quando este pode ser obtdo por meo de um conjunto de k1 - k 2 restrções lneares. Quando o parâmetro de dspersão φ tem valor conhecdo, o teste destas restrções lneares é feto utlzando o resultado E D D 2 2 1 = ~ χ ( k k ) φ 1 2 (1.11) onde D representa devance do modelo, = 1,2. Pode-se assm testar a nuldade dos parâmetros do modelo 2 não ncluídos no modelo 1, através dum teste de aba dreta da 2 dstrbução χ ( k ) para um nível de sgnfcânca pré-defndo. 1 k 2 Quando φ não tem um valor pré-defndo, Dobson [1990] propõe que se utlze a estatístca F ( D D ) 2 1 ( k1 k 2 ) = ~ F( k 1 k2 ; n k1 ) (1.12) D1 ( n k 1 ) tratando-se também de um teste de aba dreta. De forma alternatva, ao comparar o modelo em estudo com o modelo mínmo (onde o valor esperado condconado apenas envolve o termo ndependente) passa-se a aprecar a 27
qualdade global do modelo por comparação com uma stuação de plena homogenedade da cartera. Como o modelo mínmo está encaxado em todos os modelos que tenham termo ndependente, pode-se utlzar as estatístcas E ou F, para testar a nuldade de todos os coefcentes, com excepção do termo ndependente. Por outras palavras está-se a testar se os factores tarfáros são ou não relevantes para a explcação do valor esperado condconado. Para valdação estatístca do modelo estmado pode-se também recorrer à análse dos resíduos e testes da função de lgação, como se pode ver em McCulagh & Nelder [1989] ou em Turkman & Slva [2000]. 28
1.1.2 Aplcação dos Modelos Lneares Generalzados na estmação da Tarfa A snstraldade em seguros de responsabldade cvl automóvel pode ser avalada de duas formas: em termos do número de snstros provocados ou em termos do montante de ndemnzações que envolveram. Assumndo que as varáves explcatvas podem ter mpactos dferentes sobre o custo médo e a taxa de frequênca, procede-se ao estudo separado das mesmas. Assm assumndo a ndependênca entre o número de snstros e os custos a eles assocados, para obter o valor esperado do custo de cada apólce procede-se à multplcação das estmatvas da taxa de frequênca e do custo médo. Para modelar o número esperado de snstros, recorre-se a dstrbução de Posson ou da quase Posson, estmando-se o parâmetro φ com base em (1.8). A modelação parte de um grande número de observações. A varável endógena N corresponde ao número de partcpações da apólce na anudade (exstem alternatvas que permtem consderar, no âmbto da Posson, uma agregação da nformação por células ou a consderação de apólces que não tenham estado na cartera durante toda a anudade em análse). Quando se modela o custo esperado de uma ndemnzação as dstrbuções escolhdas costumam ser a famíla gama ou a lognormal, escolhendo-se a função de lgação adequada de forma a obter uma estrutura multplcatva. 29
1.2 Avalação a posteror Dversos factores mportantes não podem ser tdos em conta a pror; pense-se por exemplo na rapdez dos reflexos, agressvdade ao volante, ou no conhecmento do códgo de estrada. Por este motvo as sub-carteras exstentes nas dversas células tarfáras contnuam a apresentar um certo grau de heterogenedade apesar do uso de mutas varáves de classfcação. Em termos globas, verfca-se que os dados relaconados prncpalmente com o número de snstros não podem ser adequadamente explcados por modelos de Posson dado que apresentam uma varabldade bastante elevada. Contudo, é razoável acredtar que as característcas não observáves são, em parte, reveladas pelo número de snstros partcpados pelos segurados no decorrer dos város anos de vgênca da apólce. Portanto, o prémo é ajustado a cada ano de acordo com a experênca dos snstros ndvduas de modo a resttur uma certa justça entre os segurados. Neste caso a correlação é aparente e resulta dos factores desconhecdos nas característcas do rsco. A dea é utlzar o comportamento passado de um rsco para determnar o seu prémo na anudade segunte. No seguro automóvel de responsabldade cvl, a ntegração da snstraldade passada (a consderação dos efetos não observáves) é feta por meo dos modelos de credbldade ou recorrendo a sstemas de bonus-malus. 30
1.3 Sstemas de Bonus-Malus As escalas de bonus são caracterzadas por possuírem um determnado número de níves, s+1 por exemplo, numerados de 0 à s. Quando um segurado entra na cartera é-lhe atrbuído um nível pré-fxado do sstema. Dentro dos sstemas exstentes, apenas se rá consderar os sstemas Markovanos de 1ª espéce na termnologa de Lemare [1995] por corresponderem à stuação mas frequente e porque o sstema que se rá utlzar se nscreve nesta famíla. Uma característca destes sstemas é o facto de que para determnar o nível para onde o segurado deverá transtar apenas se precsa de saber o nível actual e o número de snstros partcpados na presente anudade. Isto assegura que o sstema possa ser representado por uma cadea de Markov: o futuro (a classe para o ano t+1), conhecdo o presente (a classe para o ano t e o número de snstros partcpados durante o ano t), não depende do passado (o hstoral completo de snstraldade e os níves ocupados durante os anos 1,2,, t-1). O prémo relatvo assocado ao nível j é denotado por b(j) geralmente expresso em percentagem; o seu sgnfcado é de que um segurado que ocupe o nível j paga um prémo gual à b(j)% do prémo a pror determnado com base nas suas característcas observáves. 31
Seja p ( ) a probabldade de um segurado com frequênca médaλ transtar do nível j λ 1 j2 j 1 para o nível j 2. Seja também M (λ) a matrz de transção a um passo, sto é, M { p ( )}, j, j = 0,1, s ( ) = j j λ 1 2 Λ, 1 2 λ. (1.17) Determnando a v- ésma potênca da matrz M (λ) obtém-se a matrz de transção à v v j λ 1 j2 passos, cujo elemento (j 1,j 2 ), denotado por p ( ), é a probabldade de se transtar do nível j 1 para o nível j 2 em v passos. Na generaldade dos sstemas de bónus, as matrzes de transção assocadas são regulares, 0 sto é, exste um ntero ξ 0 1 tal que os elementos de ( λ) M são estrtamente postvos. Consequentemente, a cadea de Markov que descreve a trajectóra de um segurado com frequênca de snstraldade esperada λ é ergódca e possu uma π ( λ) π 0 ( λ), π 1 ( λ), Λ, π s ( λ) dstrbução estaconára ( ) T = ; π j (λ) é a probabldade estaconára para um segurado com frequênca de snstraldade méda λ de estar no nível j, sto é, π v λ) = lm p j j ( ) (1.18) ( 1 λ 2 2 j v Note-se que π (λ) não depende da classe de entrada. O vector π (λ) é solução do sstema ξ T T π ( λ) = π ( λ) M ( λ) T π ( λ) e= 1 (1.19) 32
onde e é um vector coluna com todos os elementos guas à 1. Seja agora E a matrz de dmensão (s+1)x(s+1) cujas entradas são guas à 1, sto é, consste de s+1 vectores e. Então T 1 π ( λ) = e T ( I M ( λ) + E) (1.20) Para uma abordagem mas pormenorzada sobre sstemas de bonus-malus veja-se Centeno (2003), Lemare (1995) ou Norberg (1976). 1.4 Integração entre a Tarfação a pror e a posteror O processo de ntegração é geralmente feto no decorrer da estmação, pelos modelos lneares generalzados, da estrutura a pror, consderando-se o sstema de bónus como uma restrção ou como uma varável endógena. O método mas comum consste em ntroduzr o sstema de bónus que se estudou de forma ndependente e estmar a estrutura tarfára a pror, dado o sstema de bónus. Fxando, como é habtual, o valor da classe de entrada em 1, tem-se b( j) c ( j) =, j = 1,2, Λ, s (1.21) b( e) onde e representa agora a classe de entrada no sstema. Quando se está a proceder à estmação da tarfa, o segurado estará numa determnada classe do sstema, j*, no período em estudo e defne-se então o seu coefcente como 33
c = c( j*). Pretende-se que os factores a pror contrbuam para estmar µ ao nvés de c µ uma vez que o sstema de bónus é fxado exogenamente. No quadro dos modelos lneares generalzados consderando uma função de lgação µ logarítmca, tem-se η = ln, ou seja, c k µ = c exp( η ) = c exp( X β ) = exp(ln c + X β ) (1.22) j= 1 j j Assm, ao estmar o modelo, consdera-se lnc como uma varável adconal com coefcente pré-fxado no valor em 1. k j= 1 j j Uma segunda alternatva consste em utlzar a classe do sstema de bonus, fxando-se os coefcentes apenas nesta fase, sto é, smultaneamente com aqueles que se vão aplcar aos restantes factores tarfáros. Neste caso, o sstema é desdobrado em s-1 varáves artfcas e estmam-se, admtndo-se uma estrutura multplcatva, os parâmetros correspondentes. Escolhe-se como padrão para o factor do sstema a classe de entrada e. Os restantes coefcentes são estmados de forma dêntca aos parâmetros que afectam as outras varáves. Caso se tenha optado por uma escala de bónus geométrca exste anda uma alternatva possível. Consdere-se a apólce stuada na classe r do sstema de bónus cujo coefcente é dado por c r ( ab ) e ( ab ) r e = = b. 34
Assm, ter-se-á k k r e b + = + X jβ j ) exp(( r e) ln b j= 1 j= 1 µ = exp(ln X β ) (1.23) sendo o parâmetro lnb estmado como qualquer β j na componente lnear e a expressão r e passa a consttur uma varável exógena do modelo. j j Nas três stuações acma descrtas, consdera-se geralmente o sstema de bónus no que dz respeto à estmação das componentes do número de um snstro e não ao custo esperado do mesmo. 35
Capítulo 2 Uma Solução Alternatva ao Método de Construção de Tarfas tradconal As escalas de bonus malus tradconas possuem algumas desvantagens quando comparadas com modelos de credbldade baseados na frequênca. A prmera e prncpal dferença, é a progressva concentração de segurados nos níves mas baxos da escala, o que geralmente se deve ao facto de as regras de transção não serem sufcentemente severas. Além dsso, sendo os prémos relatvos dos dferentes níves guas, qualquer que seja a classe de rsco à qual os segurados pertençam, as escalas sobre penalzam os maus rscos a pror e sobre benefcam os bons rscos a pror. Este fenómeno pode ser faclmente explcado. Com o decorrer do tempo, os segurados são dstrbuídos pelos dferentes níves da escala de bonus malus em função do número de snstros que partcpam. Como a trajectóra dos mesmos é função do hstoral de snstros, então os segurados com frequênca de snstraldade a pror baxa rão gravtar nos níves mas baxos da escala, o contráro sucedendo com os segurados que possuam elevada frequênca de snstraldade a pror. Nas secções seguntes apresentar-se-ão dos métodos, o prmero lgado à teora da credbldade e o segundo baseado num sstema de bonus-malus. 36