REPRESENTAÇÃO EM ESPAÇO DE ESTADOS PARA A FLEXIBILIDADE DE ROTEAMENTO

REPRESENTAÇÃO EM ESPAÇO DE ESTADOS PARA A FLEXIBILIDADE DE ROTEAMENTO Leonardo Rosa Rohde Faculdade de Admnstração, Contabldade e Economa PUCRS Ipranga, 6681 (prédo 50) lrrohde@yahoo.com.br Dens Borensten Escola de Admnstração UFRGS Washngton Luz, 855, sala 318 densb@ea.ufrgs.br Resumo Este artgo descreve uma representação em espaço de estados para a flexbldade de roteamento em sstemas de manufatura. A flexbldade de roteamento é representada em três níves de detalhamento, como segue: () grafo de precedêncas; () grafo de transção de estados para a flexbldade de seqüênca; e () grafo de transção de estados para a flexbldade de roteamento. A tercera representação é a mas completa, sendo capaz de enumerar todas as possíves rotas de uma peça no sstema de manufatura. Neste artgo anda será abordada a relação entre a representatvdade e complexdade computaconal para cada representação, auxlando o processo de seleção de qual nível de representação é o mas adequado a um determnado contexto. Por fm, a efcáca da representação é demonstrada através de sua aplcação em problemas de roteamento e mensuração da flexbldade em sstemas de manufatura. Palavras-chave: flexbldade de roteamento, representação em espaço de estado, projeto de manufatura. Abstract Ths paper descrbes a state space representaton for routng flexblty n manufacturng systems. Routng flexblty s represented usng three dfferent levels as follows: () Precedence Graph of Operatons; () State Transton Graph of Manufacturng Operaton Sequences; and () State Transton Graph of Manufacturng Operaton Routes. Each representaton s able to represent routng flexblty at dfferent levels of detal. The thrd representaton s capable of enumeratng all possble manufacturng operaton routes that can appled to a certan part, beng the most complete representaton. Bounds for the computaton of the representaton levels are presented to help users to select the most sutable for a specfc problem context. The effcacy of the representaton s demonstrated through ts applcaton to problems such as job route selecton and routng flexblty measure. Keywords: routng flexblty, state space representaton, manufacturng routes desgn. 1. Introdução A flexbldade é um dos concetos chave na manufatura contemporânea um mportante atrbuto dos sstemas de manufatura que permte às companhas tornarem-se compettvas num ambente dnâmco [KN92]. A flexbldade é o atrbuto que dstngue FMSs (do nglês, flexble manufacturng system) dos tradconas processos de produção em massa, como por exemplo, os sstemas automatzados de produção em lnha. A flexbldade é defnda por alguns autores como a capacdade de um sstema de manufatura de ldar, efetvamente, com mudanças nternas ou externas [GB89]. Devdo ao grande número de tpos de mudanças (quebra de máqunas, mudança no volume de produção, etc.) é muto dfícl encontrar um conceto únco de flexbldade [AB91]. Consequentemente, é necessáro dvdr o conceto de flexbldade em concetos elementares que

estão assocados a certos tpos de elementos e dstúrbos de um sstema de manufatura. Em um ambente de manufatura dedcada, cada peça está assocada a um smples processo consstndo em uma seqüênca fxa e pré ordenada de operações [BR96]. Hutchnson e Pflughoeft [HP94] chamam esta stuação de processo tradconal (do nglês, tradtonal process plans TPP). Quando consderamos um sstema de manufatura tradconal, exste pouca oportundade de melhora das decsões de alocação de recursos, face aos possíves dstúrbos ou alterações das condções do sstema. Como conseqüênca, o planejamento off-lne deve ser cegamente segudo. Esta stuação é faclmente revertda quando consderamos um FMS. Tas sstemas são capazes de realzar operações numa seqüênca não prefxada e processadas por dferentes máqunas. Assm, exste a oportundade de mudar dnamcamente os planos de manufatura, aumentando a possbldade de decsões de alocações de recursos frente aos dstúrbos ou mudanças no ambente. Exstem três tpos de flexbldade assocadas com a manufatura de uma peça: flexbldade de seqüênca, flexbldade de máqunas e flexbldade de roteamento [BR96, HP94, SS90]. Flexbldade de seqüênca refere-se a possbldade de alternar a seqüênca de operações em uma peça, levando em consderação as restrções e especfcações de seu projeto. Flexbldade de máqunas relacona-se a possbldade de uma operação poder ser executada em mas de uma máquna. Flexbldade de roteamento refere-se à capacdade do sstema de manufatura de permtr, smultaneamente, a flexbldade de máqunas e seqüênca. Dversos pesqusadores têm demonstrado o potencal de melhora na performance de manufaturas sob condções de flexbldade [B94, H89, HP94]. Uma vez que, a flexbldade pode ser um mportante atrbuto no que tange a melhora dos sstemas, o desenvolvmento de modelos e algortmos capazes de representar a flexbldade é um mportante passo para o projeto, avalação e controle destes sstemas. Além dsso, como a ntrodução da flexbldade nos sstemas de manufatura requer altos nvestmentos, o desenvolvmento de modelos e algortmos capazes de representar a flexbldade de roteamento é um mportante passo para melhor entender as conseqüêncas da flexbldade na manufatura. Dversas metodologas para representação da flexbldade de roteamento têm sdo utlzadas. Ln e Solberg [LS91] apresentaram um dígrafo AND/OR para representar a flexbldade de seqüênca. Nesta representação as operações e restrções de uma peça estão assocadas aos nós e arcos do grafo, respectvamente. We e Egbleu [WE00] usaram a mesma abordagem para representar os processos de manufatura levando em consderação os projetos e nformações de cada produto. Infelzmente, este tpo de representação pode gerar processos de produção para os quas não exstem máqunas no sstema [B94]. Yang, Qao e Jang [YQJ98], Borensten [B00], e Benjaafar e Ramakrshnam [BR96] propuseram representações baseadas em dígrafos OR (ou árvores), onde as operações são representadas por nós e as restrções de precedênca por arcos. Kochcar e Narendram [KN92] usaram o formalsmo de transção de estados das redes de Petr para representar todas as possbldades de estados de uma peça. Entretanto, todas as representações ctadas são mpratcáves devdo ao consderável esforço computaconal necessáro para armazená-las. As representações crescem rapdamente na medda em que se aumenta a complexdade dos planos de produção, como conseqüênca das múltplas representações de uma mesma operação para dferentes seqüêncas. Apesar da dversdade de representações exstentes na lteratura, exste uma ausênca de representações na lteratura que compreenda, smultaneamente, os seguntes aspectos: () capacdade de gerar todos os possíves roteamentos de manufatura; () desenvolvmento de um algortmo completo e correto que gere a representação efcentemente; e () capacdade de armazenar todos os possíves roteamentos de manufatura. O prncpal objetvo deste trabalho é o desenvolvmento de tal representação. Este artgo apresenta uma representação compacta em espaço de estados para todos as possíves rotas de manufatura para uma determnada peça. A representação por espaço de estados é uma das técncas mas apropradas para analsar sstemas dscretos e dnâmcos [KN92]. Nesta abordagem, um sstema é representado pelos estados correspondentes às possíves stuações que podem exstr na manufatura. A déa por trás desta representação é seleconar um mínmo de atrbutos (chamados de varáves de estado) reduzndo o espaço de estados, porém com a mesma capacdade de representação. O prncpal objetvo é obter um modelo em dmensão reduzda que se aproxme do comportamento orgnal do sstema [HGS91]. Para representarmos a flexbldade de roteamento utlzamos dferentes níves de representação. Lmtes computaconas são apresentados para cada nível de representação para facltar 179

ao usuáro a seleção da melhor representação, levando em consderação um problema específco. A prncpal contrbução deste artgo é o desenvolvmento de dferentes representações capazes de enumerar, se necessáro, todas as possíves seqüêncas e roteamentos de uma peça. Estes níves de representações podem ser vnculadas a métodos de avalação e análse mas complexas de FMSs. Uma vantagem adconal do modelo é que ele pode ser aplcado a qualquer estágo de um sstema de manufatura mesmo para uma análse em tempo real. Estes benefícos são obtdos de um modelo que fornece uma clara e teórca representação da flexbldade de manufatura. Em resumo, tal representação fornece a oportundade para aumentar a flexbldade com a qual os produtos são manufaturados e permte uma escolha dnâmca e ntelgente das rotas de manufatura, baseada em um conjunto de crtéros defndos pelo engenhero de manufatura. 2. Representação em espaço de estados para a flexbldade de roteamento O modelo desenvolvdo para a flexbldade de roteamento é composto por três representações com dferentes níves de detalhamento: () grafo de precedênca; () grafo de transção de estados para a flexbldade de seqüênca; e () grafo de transção de estados para a flexbldade de roteamento. Estas representações são obtdas pela projeção do espaço de estados completo de um sstema de manufatura. Projeção é uma técnca de redução do espaço de estados baseada na agregação de estados segundo crtéros predefndos de forma a preservar certos aspectos comportamentas do sstema enquanto gnora outros [MR87]. O objetvo é reduzr o completo espaço de estados de um sstema de manufatura, um problema não polnomal (NP) [KN92], em um outro espaço mas smples e tratável. A prmera representação leva em consderação apenas os aspectos de descrção das operações e suas precedêncas; a segunda representação consdera como as operações de manufatura podem ser seqüencadas, a tercera representação adcona máqunas ao modelo e com sso consegue trabalhar com as questões de roteamento. O grafo de precedênca, portanto, de menor representatvdade, é fundamental na geração das demas representações, uma vez que cada representação utlza a anteror como nput. O segundo modelo representa a flexbldade de seqüênca de uma peça. A mas detalhada e completa representação é a tercera, capactando a enumeração de todos as possíves rotas de uma peça em um sstema de manufatura. Neste artgo anda será abordada a relação entre representatvdade e mplementação computaconal. Deste modo, os lmtes computaconas de cada representação são apresentados, defnndo suas complexdades. A escolha da melhor representação dependerá do contexto. Embora a descrção de cada representação, conforme mostramos a segur, possa oferecer dcas sobre tal decsão, a escolha fnal deverá estar de acordo com os objetvos de cada manufatura. 2.1 Grafo de precedênca Precedêncas são resultantes de restrções mecâncas ou geométrcas, que mpedem que uma determnada operação seja realzada em uma peça. Restrções geométrcas referem-se ao fato de que algumas operações precsam ser executadas antes de outras. Uma operação é dta geometrcamente possível se o camnho da ferramenta está lvre de colsão com a superfíce de operações anterormente executadas. Uma restrção mecânca refere-se ao esforço mecânco que mpede a realzação de uma operação. Para smplfcar este trabalho, restrções geométrcas e mecâncas estão mplíctas no grafo de precedênca. Quando consderamos a flexbldade de manufaturas, podemos representar os processos através de grafos dreconados (ou dígrafos) [B00, HP94], nos quas os nós representam as operações e os arcos estão assocados às precedêncas exstentes entre estas operações. Se exste um arco de uma operação o para uma operação o j, sgnfca que a operação o j só pode ser executada se a operação o já fo realzada. Este grafo pode ser formalmente defndo como segue: Defnção 1: O grafo de precedênca é um grafo dreconado (O,P), no qual O = {o 1, o 2,..., o n } é o conjunto de operações e P é o conjunto de precedêncas defndo como P = {(o,o j ) O x O o precede o j } 180

Este grafo pode ser representado por uma matrz n x n de valores bnáros, onde A j é gual a 1 se, e apenas se, (o,o j ) P. A tabela 1 apresenta as característcas de operações de uma peça, enquanto a fgura 1 mostra o grafo de precedênca e a matrz adjacente correspondentes. Tabela 1: Especfcação das operações a serem executadas na peça 1 Operação Precedênca Máqunas (tempo de operação em mnutos) 1 - M1(20) ou M2(25) 2 - M2(30) ou M3(35) 3 - M1(15) 4 1,2 M4(20) 0 0 0 1 0 0 0 1 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 Fgura 1: grafo de precedênca e matrz adjacente A geração deste grafo pode ser conduzda usando-se um sstema nteratvo no qual o engenhero de manufatura deve defnr as especfcações da peça em termos de precedênca de operações e capacdade das máqunas de executá-las. Bascamente, deve-se ao menos prover as nformações constantes na tabela 1. 2.2 Estados e seqüêncas de manufatura Um estado de manufatura pode ser vsualzado através das operações já executadas em uma peça durante o processo de produção. Deste modo, um estado de manufatura pode ser representado por um vetor bnáro n-dmensonal s = {[x 1 x 2... x n ] x {0,1}} no qual o -ésmo componente x é 1 (verdadero) se a -ésma operação fo realzada neste estado, e 0 (falso) caso contráro. Esta representação é computaconalmente muto aproprada, uma vez que apresenta o mesmo formato da matrz de precedênca. Por exemplo, o estado ncal da peça descrta na tabela 1 pode ser representado por um vetor bnáro de quatro dmensões [0000] (correspondente a manufatura no estágo 0 de uma peça). Se a prmera operação no processo de manufatura é a operação 1, o segundo estado do processo pode ser representado pelo vetor [1000]. Uma vez defndo o estado de manufatura, podemos representar uma seqüênca de manufatura por uma lsta ordenada de n + 1 estados de manufatura, s 0, s 1,..., s n. (por exemplo, [0000],[0100], [1100], [1101], [1111]). Nem todos os vetores n-dmensonas podem caracterzar um estado. Por exemplo, para a peça especfcada na tabela 1, o vetor bnáro [1001] não corresponde a um possível estado de manufatura pos não respeta as precedêncas defndas no grafo de precedênca. Consequentemente, nem todas as seqüêncas de manufatura serão váldas dentro de um sstema. O conjunto de todos os possíves estados de manufatura para uma determnada peça será chamado de FS. Deste modo, para uma seqüênca de manufatura s 0, s 1,..., s n ser vável ela precsa obedecer as seguntes propredades: () todas as operações do estado s devem estar presentes no estado s +1 ; () exste exatamente uma operação no estado s +1 que não está no estado s ; e () s FS,. Gerar todas as possíves seqüêncas de manufatura sgnfca representar e conectar ordenadamente todos os estados que consttuem as dferentes seqüêncas. Uma vez que dferentes seqüêncas podem compartlhar os mesmos estados de manufatura, é possível crar uma representação que tre vantagem desta propredade. A próxma seção dscute tal representação. 2.3 Grafo de transção de estados para flexbldade de seqüênca 181

Fornecdo o grafo de precedênca (O,P), é possível representar todas as seqüêncas de manufatura usando-se um dígrafo. Os nós no dígrafo correspondem aos possíves estados de manufatura. As arcos correspondem às operações de manufatura, ou seja, a transção entre dos estados. Consderando a descrção dos estados menconada na seção anteror, um grafo de transção de estados para flexbldade de seqüênca pode ser formalmente defndo como: Defnção 2: O grafo de transção de estados para flexbldade de seqüênca é um grafo dreconado (FS, TS), no qual FS é o conjunto de possíves estados e TS = {(s 1, s 2 ) FS FS [s 2 s 1 0] [sum(s 2 ) sum(s 1 ) = 1]} é o conjunto de transções entre os estados, onde: sum n ( s) = = 1 x A fgura 2 mostra o grafo de transção de estados para flexbldade de seqüênca correspondente ao grafo de precedênca na fgura 1. Fgura 2: Grafo de transção de estados para flexbldade de seqüênca O número de nós ( FS ) nesta representação é dado por 2 n (uma vez que neste caso, a representação do espaço de estados pode ser representada convenentemente como um dagrama de Hasse [C79]). O número máxmo de arcos no grafo pode ser computado como segue: n n TS = = 1 O aspecto útl desta representação é que ela pode ser obtda dretamente da matrz de precedênca, tornando-se bastante convenente para mplementação computaconal. A fgura 3 mostra o algortmo que gera o grafo de transção de estados para flexbldade de seqüênca. Tal algortmo possu três nputs: a matrz de precedênca de uma peça, A, um nodo pertencente ao grafo de transção de estados que está sendo gerado, cs, e o própro grafo de transção de estados para flexbldade de seqüênca, STG. Na prmera teração do algortmo, cs é o estado ncal de manufatura defndo como [00...0] e STG é o grafo (FS,TS), tal que FS = {cs} e TS = { }. Procedure generatestg (A, cs, STG) begn as A T cs + cs {as é um estado auxlar} j 0 for = 1 to número de operações do begn f (o -ésmo componente de as é gual a 0) then begn j j + 1 w j cs {onde w j = [w j 1 w j 2... w j n] é o j-ésmo estado gerado a partr do estado atual cs} w j 1 f (w j STG) then (nserr w j em STG como um nodo flho de cs) else (nserr (cs,w j ) em TS) f (status(w j ) gual a não expanddo) then generatestg (A, w j, STG) end end status(cs) expanddo end. {procedure generatestg} 182

Fgura 3: algortmo GenerateSTG 2.4 Grafo de transção de estados para flexbldade de roteamento Para representar a flexbldade de roteamento é necessáro ncorporar as máqunas requerdas na execução de cada operação. Assm, um estado de manufatura abrangendo a flexbldade de roteamento pode ser representado por um vetor bdmensonal sr = (s,m), onde s FS, e m é um vetor n-dmensonal tal que m = (m 1, m 2,..., m n ) no qual o -ésmo componente m assume o valor da máquna na qual a operação o fo executada. Se o valor do componente x no vetor s é zero, então m também será gual a zero. Por exemplo, o estado ([1110],(M1,M2,M1,0)) ndca que as operações 1, 2 e 3 já foram executadas utlzando as máqunas M1, M2 e M1, respectvamente. Obvamente, nós podemos assocar uma máquna para cada operação executada, gerando a segunte condção: se o O então pode-se caracterzar um estado de manufatura se, e somente se, m M(o ), onde M(o ) = {m M m é capaz de executar a operação o }. O conjunto de todos os possíves estados de manufatura consderando a flexbldade de roteamento será denomnado FSR. Defnmos o predcado cp (x, x) para determnar se x é ou não o -ésmo componente do vetor x. Por exemplo, para o vetor x = (1,7,3,5), cp 2 (7, x) = T (true), enquanto cp 1 (3, x) = F (false). Note que um estado de manufatura sr FSR pode ser obtdo de um estado de manufatura s FS pela atrbução de máqunas a cada operação. Dependendo da flexbldade de máqunas de um sstema de manufatura, um estado s pode estar relaconado com dferentes estados sr. Por outro lado, cada estado sr está assocado a apenas um estado s. Sendo assm, um roteamento pode ser defndo como uma lsta ordenada de n + 1 estados de manufatura, sr 0, sr 1,..., sr n, tal que sr FSR,. Um roteamento sr 0, sr 1,..., sr n será consderado vável se a correspondente seqüênca de manufatura s 0, s 1,..., s n também o for, onde cp 1 (s, sr ) = T, (um exemplo de roteamento váldo, (([0000],(0,0,0,0)), ([0100],(0,M2,0,0)), ([1100],(M2,M2,0,0)), ([1101],(M2,M2,0,M4)), ([1111],(M2,M2,M1,M4))). Como dferentes roteamentos compartlham estados de manufatura comuns, é possível representar o conjunto de todos os roteamentos utlzando uma representação em dígrafo, onde os nós representam os estados da manufatura e os arcos representam as transções entre estes estados. O grafo de transção de estados para flexbldade de roteamento pode ser formalmente defndo como: Defnção 3: O grafo de transção de estados para flexbldade de roteamento é um dígrafo (FSR,TSR), no qual FSR é o conjunto de possíves estados de manufatura e TSR = {(sr 1,sr 2 ) FSR FSR [cp 1 (s 1,sr 1 )] [cp 1 (s 2,sr 2 )] [(s 1,s 2 ) TS]} é o conjunto de transções entre os estados. A fgura 4 apresenta o grafo de transção de estados para flexbldade de roteamento correspondente ao grafo de precedênca da fgura 1 e às nformações de máqunas exstentes na tabela 1. Fgura 4: Grafo de transção de estados para flexbldade de roteamento Peça 1 Os possíves roteamentos correspondem aos camnhos no grafo (FSR,TSR), começando pelo 183

estado ncal representado pelo vetor ([00...0],(0,0,...,0)) até o estado fnal representado pelo vetor ([11...1],(m 1,m 2,...,m n )), onde m 0,. O grafo de transção de estados para flexbldade de roteamento pode ser faclmente obtdo expandndo-se o grafo de transção de estados para flexbldade de seqüênca. O número de nós ( FSR ) e arcos ( TSR ) nesta representação é bastante grande. Numa stuação de total flexbldade de seqüênca e máqunas (100% de flexbldade de roteamento), o número de nós e arcos é fornecdo pelas equações: Onde m é número de máqunas no sstema de manufatura. Ambas as equações representam a maor complexdade (caso mas extremo). Todava, na prátca, o número de nós e arcos é consderavelmente menor. A próxma seção lustra a aplcabldade das representações desenvolvdas. 3. Exemplos de aplcações n n FSR = 1+ m = 1 n n! TSR = m n! = 1 ( ) Esta seção pretende demonstrar o uso das representações desenvolvdas em problemas dretamente relaconados com o roteamento na manufatura, nclundo sua mensuração. O objetvo neste estudo de caso é mostrar como a representação da flexbldade de roteamento pode ser aplcada para resolver problemas na seleção do melhor roteamento de um conjunto de peças em um sstema de manufatura, e assm, encontrar o melhor balanço entre produção e mnmzação dos custos. Este problema já fo estudado por Chandra e Tombak [CT92], Chen e Chung [CC96], e Das e Nagendra [DN97]. Entretanto, todos os modelos desenvolvdos por estes autores assumem que os possíves roteamentos de manufatura são prevamente gerados, sem menconar detalhes de como eles foram obtdos e as característcas do sstema e peças. Este trabalho contrbu para a solução deste problema através da ntegração do planejamento dos processos de manufatura com a seleção dos possíves roteamentos para o mesmo. Para seleconar o melhor roteamento de manufatura para um conjunto de peças é necessáro gerar todas as possíves soluções, levando em consderação as restrções mpostas pelo compartlhamento de máqunas com dferentes graus de confabldade. Uma vez que, os roteamentos estão assocados a camnhos no grafo, a seleção do melhor roteamento pode ser entendda como um problema de busca. Para sso, é necessáro defnr um crtéro que compare os dferentes planos de manufatura. Um crtéro bem aceto é atrbur um custo a cada camnho do grafo, através da soma dos custos ndvduas de cada arco (que representam as dfculdades de suas operações). Uma grande varedade de fatores pode ser consderada na atrbução dos custos dos arcos, nclundo o tempo de duração, dsponbldade dos recursos, confabldade, entre outros. A unão destes fatores pode ser expressa como a complexdade da operação [B00]. A atrbução da complexdade da operação durante o projeto dos estágos é altamente dependente da experênca do engenhero responsável pelo sstema de manufatura. Este problema pode ser formulado como um modelo de programação lnear ntera (PLI). O objetvo deste modelo é levar em consderação as característcas do sstema de manufatura e tentar dentfcar o melhor conjunto de rotas que mnmzam a complexdade total das operações. O segunte modelo, bem aceto na lteratura [CT92, CC96] é formulado. 184

Onde: mn st h hblh = 1 l x h h h c x h 0 h, h tl xh Tl l p x d (1) (2) é o índce do tpo de peça; = 1,2,...,n. l é o índce do tpo de máquna; l = 1,2,...m. h é o índce de um camnho no grafo de transção de estados para flexbldade de roteamento; h = 1,2,...,H. t l é o tempo requerdo para processar uma undade da peça na máquna l. T l é o tempo dsponível para processamento na máquna l. p l é a probabldade da máquna l estar operando em um determnado momento. b lh é um parâmetro zero-um, onde um ndca que o produto pode ser produzdo na máquna l pelo camnho h. c h é a complexdade da operação de uma peça usando um camnho h. d é a demanda mínma que deve ser satsfeta pela peça. x h é o fluxo da peça pelo camnho h. A restrção (1) lmta o tempo de processamento em cada máquna, consderando sua confabldade. A demanda mínma de cada peça é garantda pela restrção (2). Deve-se notar que este modelo basea-se em pressupostos que smplfcam a estrutura do modelo, concentrando os efetos da flexbldade de roteamento na performance do sstema de manufatura. Prmero, o tempo de setup das máqunas está ncluído nos tempos de processamento das operações. Segundo, a exstênca de flas está sendo levada em consderação de uma manera muto smplsta e restrta. Suponha que as peças apresentadas nas tabelas 1 (peça 1) e 2 (peça 2) são manufaturadas no sstema descrto na tabela 3. O conveyor pode mover-se em apenas uma dreção com velocdade de 0,5 m/s. A dstânca em metros entre as cnco estações de trabalho, consderando a trajetóra do conveyor é mostrada na tabela 3, onde I e O (nput e output) representam a entrada e saída da célula de produção, respectvamente. Esta tabela também mostra a confabldade de cada máquna. Fxando-se T l = 360000 l, d 1 = 1000 undades, e d 2 = 800 undades. Tabela 2: Especfcação das operações a serem executadas na peça 2 Operação Precedênca Máqunas (tempo de operação em mnutos) 1 - M2(15) ou M3(20) 2 1 M1(20) 3 - M1(10) ou M2(15) 4 3 M3(20) Tabela 3: Dstâncas (em metros) entre as máqunas Máquna I O M1 M2 M3 M4 Confabldade I 0 7 2 12 5 9 - O 8 0 10 5 12 2 - M1 12 5 0 10 3 7 0,90 M2 2 9 4 0 7 11 0,95 M3 9 2 11 7 0 4 0,85 M4 5 12 7 3 10 0 0,90 185

A tabela 4 mostra possíves pesos atrbuídos a cada roteamento no grafo de transção de estados para flexbldade de roteamento das peças 1 e 2. Estes pesos foram computados somando-se dos fatores. O prmero fator está assocado ao tempo de operação (em mnutos), representando as necessdades de manpulação, posconamento e confguração de uma máquna para executar uma determnada operação. O segundo fator leva em consderação o custo de transporte (em mnutos). Este sstema gerou uma solução ótma de 146.222,3, com 930 e 70 undades da peça 1 sendo processadas no roteamento (2,2)-(3,1)-(1,2)-(4,4) e (3,1)-(1,1)-(2,3)-(4,4), respectvamente, e 380 e 420 undades da peça 2 produzdas nos roteamentos (1,3)-(2,1)-(3,1)-(4,3) e (3,1)-(1,2)-(4,3)-(2,1), respectvamente. Para atender as demandas mínmas, as máqunas M1 e M2 tornaram-se gargalos, com suas capacdades totalmente utlzadas. Consequentemente, o resultado encontrado no modelo de programação ntera utlza rotas que mnmzam os custos de processamento nestas duas máqunas, em detrmento da seleção de roteamentos com uma complexdade mínma. Todas as rotas seleconadas têm, relatvamente, custos altos de complexdade analsando-se globalmente (veja tabela 4). A tabela 5 mostra como os roteamentos podem mudar com a alteração na demanda das peças, e como as rotas de menor complexdade são relegadas conforme as máqunas tornam-se sobrecarregadas. Sendo, assm, quando não exstr nenhum gargalo no sstema, apenas um roteamento será seleconado para cada peça. Neste caso, a flexbldade de roteamento torna-se desnecessára. Embora com alguma perda de efcênca, a flexbldade de roteamento tornou possível, aos sstemas de manufatura, atender as demandas solctadas. Tabela 4: Enumeração dos roteamentos para peça 1 e 2 Rotas Custo de processamento Custo de transporte Complexdade operaconal N o Peça 1 Peça 2 Peça 1 Peça 2 Peça 1 Peça 2 Peça 1 Peça 2 1 (1,1)-(2,3)-(3,1)-(4,4) (1,2)-(2,1)-(3,1)-(4,3) 90 65 1,17 0,70 91,17 65,70 2 (1,1)-(2,3)-(4,4)-(3,1) (1,2)-(2,1)-(3,2)-(4,3) 90 70 0,70 1,17 90,70 71,17 3 (1,1)-(3,1)-(2,3)-(4,4) (1,3)-(2,1)-(3,1)-(4,3) 90 70 0,70 0,70 90,70 70,70 4 (1,1)-(3,1)-(2,2)-(4,4) (1,3)-(2,1)-(3,2)-(4,3) 85 75 1,13 1,17 86,13 76,17 5 (1,1)-(2,2)-(3,1)-(4,4) (1,2)-(3,1)-(2,1)-(4,3) 85 65 1,17 0,70 86,17 65,70 6 (1,1)-(2,2)-(4,4)-(3,1) (1,2)-(3,2)-(2,1)-(4,3) 85 70 1,23 0,70 86,23 70,70 7 (1,2)-(2,3)-(3,1)-(4,4) (1,3)-(3,1)-(2,1)-(4,3) 95 70 1,63 0,70 96,63 70,70 8 (1,2)-(2,3)-(4,4)-(3,1) (1,3)-(3,2)-(2,1)-(4,3) 95 75 1,17 0,70 96,17 75,70 9 (1,2)-(2,2)-(3,1)-(4,4) (1,2)-(3,1)-(4,3)-(2,1) 90 65 1,17 1,17 91,17 66,17 10 (1,2)-(2,2)-(4,4)-(3,1) (1,2)-(3,2)-(4,3)-(2,1) 90 70 1,17 1,17 91,17 71,17 11 (1,2)-(3,1)-(2,3)-(4,4) (1,3)-(3,1)-(4,3)-(2,1) 95 70 1,43 1,17 96,43 71,17 12 (1,2)-(3,1)-(2,2)-(4,4) (3,1)-(1,2)-(4,3)-(2,1) 90 65 1,63 1,17 91,63 66,17 13 (2,3)-(1,1)-(3,1)-(4,4) (3,1)-(1,3)-(4,3)-(2,1) 90 70 1,17 0,70 91,17 70,70 14 (2,3)-(1,1)-(4,4)-(3,1) (3,2)-(1,2)-(4,3)-(2,1) 90 70 1,17 1,17 91,17 71,17 15 (2,3)-(1,2)-(3,1)-(4,4) (3,2)-(1,3)-(4,3)-(2,1) 95 75 1,17 1,17 96,17 76,17 16 (2,3)-(1,2)-(4,4)-(3,1) (3,1)-(1,2)-(2,1)-(4,3) 95 65 1,17 0,70 96,17 65,70 17 (2,3)-(3,1)-(1,1)-(4,4) (3,1)-(1,3)-(2,1)-(4,3) 90 70 1,17 0,70 91,17 70,70 18 (2,3)-(3,1)-(1,2)-(4,4) (3,2)-(1,2)-(2,1)-(4,3) 95 70 1,33 0,70 96,33 70,70 19 (2,2)-(1,1)-(4,4)-(3,1) (3,2)-(1,3)-(2,1)-(4,3) 85 75 1,17 1,17 86,17 76,17 20 (2,2)-(1,1)-(3,1)-(4,4) (3,1)-(4,3)-(1,2)-(2,1) 85 65 1,17 0,70 86,17 65,70 21 (2,2)-(1,2)-(3,1)-(4,4) (3,1)-(4,3)-(1,3)-(2,1) 90 70 1,17 0,70 91,17 70,70 22 (2,2)-(1,2)-(4,4)-(3,1) (3,2)-(4,3)-(1,2)-(2,1) 90 75 1,17 1,17 91,17 76,17 23 (2,2)-(3,1)-(1,1)-(4,4) 85 1,17 86,17 24 (2,2)-(3,1)-(1,2)-(4,4) 90 1,63 91,63 25 (3,1)-(1,1)-(2,3)-(4,4) 90 0,70 90,70 26 (3,1)-(1,1)-(2,2)-(4,4) 85 1,17 86,17 27 (3,1)-(1,2)-(2,3)-(4,4) 95 1,17 96,17 28 (3,1)-(1,2)-(2,2)-(4,4) 90 1,17 91,17 29 (3,1)-(2,3)-(1,1)-(4,4) 90 1,17 91,17 30 (3,1)-(2,3)-(1,2)-(4,4) 95 1,17 96,17 31 (3,1)-(2,2)-(1,1)-(4,4) 85 1,17 86,17 32 (3,1)-(2,2)-(1,2)-(4,4) 90 1,17 91,17 186

Tabela 5: Enumeração dos roteamentos para peça 2 x * h Número do Roteamento (Complexdade) Demanda (Peça 1, Peça 2) Roteamento para Peça 1 Roteamento para Peça 2 Gargalos (1000,800) 930-24 (91,63), 70-25 (90,70) 380-3 (70,70), 420-12 (66,17) M1, M2 (800,800) 160-4 (86,13), 580-24 (91,63), 60-25 (90,70) 800-12 (66,17) M1, M2 (600,800) 370-4 (86,13), 62-24 (91,63), 168-32 (91,17) 800-12 (66,17) M1, M2 (600,600) 570-4 (86,13), 30-32 (91,17) 600-12 (66,17) M1 (600,400) 600-4 (86,13) 340-1 (65,70), 60-12 (66,17) M2 (400,400) 400-4 (86,13) 400-1 (65,70) - Também é possível utlzar o grafo de transção de estados para computar a flexbldade de roteamento de um sstema para o processamento de um produto ou uma combnação de produtos. A lteratura descreve dversos métodos de mensuração para a flexbldade de roteamento [CC96, SKK94, S99]. A mensuração adequada deve nclur os seguntes aspectos: () o número de roteamentos dsponíves; () a efcênca de cada roteamento; e () a dsponbldade de utlzação dos roteamentos. O grafo de transção de estados para flexbldade de roteamento é capaz de capturar todos estes aspectos, permtndo mensurar a flexbldade de roteamento de dversas formas. Para lustrar o potencal da representação desenvolvda, utlzamos uma mensuração baseada na abordagem analítca de Kochkar e Narendram [KN92] para calcular a flexbldade do sstema de manufatura. A segunte notação (usando o quanto possível a notação de Kochkar e Narendram [KN92]) é usada para mensurar a flexbldade de roteamento. l é o número de máqunas em funconamento. é o número de peças em processamento. A k-ésma operação na peça é denotada pelo par ordenado (,k). j é o índce para os estágos de processamento (j = 0, sgnfca que nenhuma operação fo realzada na peça). Um estágo de processamento nclu o transporte da peça até uma máquna, a execução da operação e sua saída da máquna. v é a fração da demanda total representada pela peça, S W v = 1 W S é o conjunto de peças sendo processadas no sstema. Ω = {k 1 k n } é o índce de todas as operações necessáras na peça. L k é o conjunto de máqunas alternatvas que podem executar a operação (,k). t c lk é o tempo necessáro para a operação (,k) ser efetuada na máquna l: t c lk = (t s + t lu + t tx + t m ) lk onde t s = tempo de setup, t lu = tempo de processamento, t tx = tempo de troca de ferramenta, e t m = tempo na máquna. s j é a varável que ndca o estado de processamento que a peça do tpo pode estar, após completar o estágo j de processamento. ξ (s j ) denota o número de possíves estados nos quas a peça do tpo pode estar, após completar o estágo j de processamento. s * j é o conjunto de arcos que saem do estado s j. r lk é o fator de efcênca que expressa o sucesso de uma operação ser realzada usando uma determnada máquna: r = r r a b lk l lk onde r a l é a dsponbldade (proporconal ou únca) da máquna l, e r b lk é o tempo de operação normalzado, dado por: r b lk = mn t lk c t l Lk l k 187

A flexbldade de roteamento da peça do tpo, consderando-se um conjunto de máqunas M é dada pela segunte mensuração: onde n é o número de operações requerdas por todas as peças do tpo, Ω A,s j Ω é o índce do conjunto de operações que podem ser realzadas na peça no estágo j de processamento do estado s j, e rf [0,1]. A flexbldade de roteamento da peça rf é a taxa, méda em todos os estágos, do número de roteamentos dsponíves para cada estágo em razão do total de opções de roteamento (total flexbldade) que podem exstr naquele estágo. Cada opção dsponível é medda por sua efcênca, enquanto no denomnador (número total de arcos sando de cada estágo consderando total flexbldade), cada opção é mplctamente assumda por ter uma undade de efcáca. A peça mensurada pode ser combnada através de todas as peças sendo processadas no sstema para verfcar o ganho de flexbldade de roteamento. s RF = vrf( M ) É possível utlzar a mensuração defnda em (3) para computar a flexbldade de processamento para as peças 1 e 2, e a flexbldade do sstema global. A mensuração encontrada para a flexbldade de roteamento correspondente à peça 1 e 2 são 0,087 e 0,0618, respectvamente, enquanto a flexbldade de roteamento do sstema global é gual a 0,0759. Os resultados são coerentes, uma vez que a peça 1 é levemente mas flexível do que a peça 2, dado que seu plano de manufatura tem menos precedêncas entre as operações. Entretanto, tanto as peças como o sstema de manufatura oferecem um nível bastante reduzdo de flexbldade de roteamento. É mportante notar que esta mensuração refere-se a uma potencal flexbldade de roteamento de uma peça ou sstema de manufatura, uma vez que o número máxmo de rotas realmente usado é menor do que o fornecdo pelo grafo de transção de estados para flexbldade de roteamento, como mostrado pelos resultados do exemplo anteror, no qual o número máxmo de roteamentos seleconados fo 3 para a peça 1, e 2 para a peça 2. Em síntese, lustramos através destes exemplos que nossa representação permte que o responsável pela manufatura entenda os efetos da flexbldade de roteamento e mensure suas mplcações econômcas e operaconas. Além dsso, nossa representação fornece uma ferramenta com a qual pode-se contnuamente avalar um sstema sob dferentes condções e crtéros. 4. Conclusão ( ) rf M n n 1 ξ ( s A ), lk j k Ω l M l L s, k = 1/ j! (3) j+ 1 j= 0 M ( n j+ 1! ) n s W Um método para representar a flexbldade de roteamento e ser mplementado em sstemas flexíves de manufatura fo desenvolvdo. Esta representação permte que a flexbldade de roteamento seja devdamente explorada auxlando, efetvamente, no projeto de sstemas flexíves de manufatura. Sendo assm, a prncpal contrbução deste artgo é o desenvolvmento de uma representação compacta para todas as possíves rotas de uma peça em um sstema de manufatura, utlzando-se de nformações fornecdas por experts. Tal representação permte um aumento na flexbldade capactando que o sstema escolha o curso de ação mas convenente de acordo com as condções do sstema de manufatura. A versatldade desta representação permte que a mesma seja faclmente vnculada com outras ferramentas de análse e apoo para o controle e projeto de sstemas flexíves de manufatura, permtndo que estes sstemas sejam devdamente avalados, compreenddos e mensurados. O modelo de flexbldade de roteamento desenvolvdo alado a modelos analítcos ou de smulação, permtrá predzer o comportamento dnâmco de dferentes sstema de manufatura sob varadas condções operaconas. Ele também possbltará a avalação da nfluênca da flexbldade em dversos parâmetros de desempenho, tas como utlzação dos recursos, tempo de espera de uma peça, mesmo dante de contngêncas, como quebra de máqunas ou manutenção. r 188

Uma vez que exste uma necessdade de balancear flexbldade e custos [SKK94], o desenvolvmento de modelos que permtam melhorar a compreensão das conseqüêncas de mplementação de manufaturas flexíves auxla os gestores na escolha dos níves de flexbldade necessáros consderando a menor perda possível de efcênca. Esta é a prncpal mplcação deste trabalho. Exemplos foram apresentados evdencando como a representação pode ser usada para resolver problemas como os de otmzação de roteamentos e mensuração da flexbldade. Somado a sso, foram demonstradas as lmtações computaconas, dando ndcadores da melhor representação para cada contexto. Em resumo, o modelo desenvolvdo para a flexbldade de roteamento fornece uma abordagem novadora e alternatva para auxlar engenheros e admnstradores no entendmento da flexbldade na manufatura, tanto para projeto como controle das operações. Referêncas Bblográfcas [AB91] G. Azzone e U. Bertelè (1991). Technques for measurng the effectveness of automaton and manufacturng systems. Control and Dynamc Systems, 48, 1-45. [B94] S. Benjaafar (1994). Models for performance evaluaton of flexblty n manufacturng systems. Internatonal Journal of Producton Research, 32(6), 1383-1402. [BR96] S. Benjaafar e R. Ramakrshnam (1996). Modellng, measurement and evaluaton of sequence flexblty n manufacturng systems. Internatonal Journal of Producton Research, 34(5), 1195-1220. [B00] D. Borensten (2000). A drected acyclc graph representaton of routng manufacturng flexblty. European Journal of Operatonal Research, 127(1): 89-103. [C79] B. Carre (1979). Graphs and Networks. Claredon Press, Oxford. [CT92] P. Chandra e M.M. Tombak (1992). Models for the evaluaton of routng and machne flexblty. European Journal of Operatonal Research, 60, 156-165. [CC96] I.J. Chen e C.H. Chung (1996). An examnaton of flexblty measurements and performance of flexble manufacturng systems. Internatonal Journal of Producton Research, 34(2), 379-394. [DN97] S.K. Das e P. Nagendra (1997). Selecton of routes n a flexble manufacturng faclty. Internatonal Journal of Producton Economcs, 48, 237-247. [GB89] D. Gupta e J.A. Buzacott (1989). A framework for understandng flexblty of manufacturng systems. Journal of Manufacturng Systems, 8(2), 89-97. [H89] T.M. Hancock (1989). Effects of alternates routngs under varable lot sze condtons. Internatonal Journal of Producton Research, 27, 247-259. 189

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