T T HTU UTH ORDEM ORDEM. OS MÉTODOS NUMÉRICOS DE EULER, O MÉTODO DE HEUN E O MÉTODO DE RUNGE-UTT DE 4 R EDOS DE Mrcos Freits de Mores¹ Docete d Uioeste, Uiversidde Estdul do Oeste do rá Cetro de Egeris e Ciêcis Ets Ru d Fculdde, 55 Cep: 8593-, Toledo rá e-mil: mmores@uieste.br TLVRS-CHVE:T Métodos Numéricos, Ruge-utt, Equções Difereciis RESUMO plicção dos Métodos Numéricos pr proimr soluções de Equções Difereciis Ordiáris (EDO) de. Ordem vem sedo cd di mis utilizdo em problems de vlor iicil (VI), pois fcilitm os cálculos e ão é ecessário clculr s sus derivds. Nest pesquis optou-se por um presetção e comprção etre três métodos uméricos plicáveis um EDO de. ordem: o Método de Euler, o Método de Heu e o Método de Ruge-utt de 4. ordem. or reduzir o tmo do psso pel metde e o erro se reduzir um ftor de cerc de 4 6, o Método de Ruge-utt de 4. ordem se comportou como o mis preciso e eficiete os resultdos. INTRODUÇÃO Um equção diferecil ordiári (EDO) ão tem ecessrimete um solução, e mesmo que possu, em sempre podemos cá-l eplicit ou implicitmete. Se eiste um solução de um equção diferecil, el represet um lugr de potos (potos uidos por um curv suve) o plo crtesio. rzão mis forte de itroduzirmos métodos uméricos pr proimr soluções de problems de vlor iicil (VI) é dificuldde de se ecotrr, liticmete, s soluções d equção. Em muitos csos, teori os grte eistêci e uicidde de solução, ms ão sbemos qul é epressão lític dest solução. Os métodos comprdos est pesquis bseim-se em: Ddo VI: (f, ) BB) BB. (.) ode-se dizer que os métodos de uméricos presetdos est pesquis se crcterizm por três proprieddes: i) são de psso um ou simples; De 8 de Mio º de Juo de 6 Uioeste - Cmpus de Toledo
ii) ão eigem o cálculo de qulquer derivd de f, ); com isto, deve-se clculr f, ) em vários potos; iii) pós epdir f, ) pel Série de Tlor pr fução de dus vriáveis em toro de, ) e grupr os termos semeltes, su epressão coicide com do método d série de Tlor de mesm ordem. O objetivo dest pesquis é presetr os métodos uméricos, proveitr s sus quliddes que permitem determir vlores i (ti) por meio de relções de recorrêci de modo que o vlor de i ve epresso em fução de i, i-,...,, sedo (), mostrr eficiêci do método de Ruge-utt de 4. ordem comprdo com os outros dois métodos uméricos: o Método de Euler - tmbém coecido como Ruge-utt de. Ordem e o Método de Heu ou Euler Melordo. MTERIL E MÉTODOS MÉTODO DE EULER OU RUNGE-UTT DE. ORDEM O método, tmbém cmdo de método ds tgetes, costitui-se um técic pr proimr soluções de equções diferecis. Supo que se queir proimr solução do problem de vlor iicil (.). Curv Solução, ), )) } erro, ) Coef. gulr Figur : Gráfico com um psso Se é um icremeto positivo o eio, etão se pode ecotrr um poto BB, BB) BB, BB), tgete à curv solução descoecid em BB, BB), coforme mostr figur (3..). r que j precisão, deve-se escoler um psso rzovelmete pequeo. el fórmul do coeficiete gulr d ret tem-se: ' ou BB BB BB ) ode 'BB fbb, BB). Fzedo com que BB sej BB, o poto BB, BB) tgete é um proimção do poto BB, BB)) d curv solução, isto é BB BB). De 8 de Mio º de Juo de 6 Uioeste - Cmpus de Toledo
B B B B B B B B B B B B B B B B B B B B Curv Solução, )), ), ) 3 Figur : Gráfico do Método de Euler. Supodo um vlor uiforme (costte) de, pode-se obter um sucessão de potos BB, BB), BB, BB),..., BB, BB) que devem estr próimos dos potos BB, BB)), BB, BB)),..., BB, BB)) d curv solução. Utilizdo BB, BB) pode-se obter BB, que é orded do poto solução em um ov tgete. Tem-se ' ou BB BB BB. Geericmete tem-se: B ' B.f, B). B B MÉTODO DE HEUN OU EULER MELHORDO Supomos ovmete que se queir proimr solução do problem de vlor iicil (.). Ddo os coeficietes gulres ds rets αbb fbb, BB) e αbb fbb, B*B), tommos médi desses coeficietes, obtedo outro coeficiete gulr o logo d ret por BB, BB) o ivés de um ov iclição com orded B*B, como visto o método de Euler terior, té tigir BB. Isto costitui um melor em relção o método de Euler, sedo mis preciso. Etão: B.f B, ) *B f, ) f, * ) Y., e como podemos cmr B B.f, B).f B, BB).fBB, B B) ( ) De 8 de Mio º de Juo de 6 Uioeste - Cmpus de Toledo
BB BB B3B B4B BsB m médio[f, )f, )]/, )), ) Curv Solução m [f, ) f, *)]/ mf, *) médio mf,), ), *) Figur 3: Gráfico do Método de Heu. MÉTODO DE RUNGE-UTT DE 4. ORDEM Os métodos de Ruge-utt, são métodos de psso simples. Os cmdos métodos eplícitos de s estágios presetm form gerl: BB BB φbb, BB;), ode φ s (,;) i b i i, com.f, ),.f cbb, BBBB),.f cb3b, B3BBB B3BBB),.f cb4b, B4BBB B4BBB B43BB3B),....f cbsb, BsBBB BsBBB Bs3BB3B... Bs,s-BBs-B), ode, b e c são costtes defiids pr cd método prticulr. Usulmete, ests costtes são eibids otção de BUTCHER (987), LMBERT (99). fórmul clássic do método de Ruge-utt de 4. ordem, o qul foi utilizdo pesquis pr solução do VI (.) é: ( 3 4 ) 6 ode De 8 de Mio º de Juo de 6 Uioeste - Cmpus de Toledo
é BB é é é pr 3 4.f.f.f.f, ),,,, ), ), ). 3 Solução Et Fmíli de Soluções 4 (4) (3) 3 () () / (3)/ Figur 4: Gráfico do Método de Ruge-utt de 4. Ordem. Os úmeros figur (4) referem-se os potos: BB BB, BB), BB /, BB BB/), BB /, BB BB/), BB, BB B3B), /6(BB BB B3B B4B) : BB, BB) odemos iterpretr som (BBBBB3BB4B)/6 como um coeficiete gulr médio. Not-se que BB o coeficiete gulr o etremo esquerdo do itervlo, BB o coeficiete gulr o poto médio utilizdo-se fórmul de Euler pr ir de BB BB /, B3B um segud proimção o coeficiete gulr o poto médio e, filmete, B4B o coeficiete gulr em BB usdo-se fórmul de Euler e o coeficiete gulr B3B ir de BB BB. Eemplo : Usdo o método de Ruge-utt de 4ª ordem, clculr um vlor proimdo d solução et φ) em, pr o problem de vlor iicil: ' - 4, com () e, De 8 de Mio º de Juo de 6 Uioeste - Cmpus de Toledo
BB BB B3B B4B BB BB.f(;),. ( - 4. ),. 5,.f(,/;,/),.(,;,5),.( -, 4.,5),38.f(,/;,38/),.(,;,69),.( -, 4.,69),53.f(,;,53),.(,;,53),.( -, 4.,53),856 /6(,.,38.,53,856),56 O vlor eto é φ(,),55399 com um erro de,375. Quto meor for o psso melor será proimção. RESULTDOS E DISCUSSÃO seguir, é presetdo um eemplo cotedo um tbel com os respectivos resultdos ecotrdos pr os três métodos comprdos com o vlor correto de um VI. Nest comprção optou-se por iicir o poto BB, té B5B,5. Eemplo : plicdo os métodos com,, obter um proimção de (,5) pr solução de: ', com (). Método de Método de Ruge- Vlor Euler Heu utt 4. Correto Ordem,,,,,,,,3,337,337,,464,5479,557,557,3,854,983,9937,9937,4,874,598,66,67,5,978 3,459 3,49 3,494 o observr-se os resultdos obtidos, costt-se que surge o primeiro psso um erro bsoluto de,337 pr o Método de Euler,,7 pr o Método de Heu e de, pr o Ruge-utt. É clro que pr qutro css decimis, cso ouvesse mis css já veri um mrgem de erro tmbém pr o Ruge-utt de 4ª ordem. r os pssos seguites, o Ruge-utt de 4ª ordem se mtém estável, equto os outros métodos tedem umetr o erro. Somete o psso,5 que verá difereç o resultdo do Ruge- utt. CONCLUSÕES or est pesquis pode-se cocluir clrmete que o método de Ruge-utt de 4. ordem plicdo um VI como o presetdo em (.) é muito mis eficiete proimção que os outros dois métodos. r um melor etidão do método de Ruge-utt, deve-se mter muits css decimis solução uméric, pr ver o efeito d redução de psso à metde e o erro 4 ser dividido por um ftor de cerc de 6. o ceitr os resultdos de um De 8 de Mio º de Juo de 6 Uioeste - Cmpus de Toledo
método umérico, o usuário deve se preocupr sempre com estbilidde do método. Isto tem grde importâci, porque os úmeros utilizdos em um clculdor ou em um computdor ão são etos. Todos os métodos de psso úico são estáveis, desde que se utilize um psso suficietemete pequeo. REFERÊNCIS BIBLIOGRÁFICS RUGGIERO, Márci. G.; LOES, Ver Lúci d R.. Cálculo umérico: spectos teóricos e computciois. ª Ed. - São ulo: Mkro Books, 996. MUNEN, M..; FOULIS, D. J.. - Cálculo - LTC - Vol. - 98. BUTCHER, J. C.. Te Numericl lsis of Ordir Equtio. Cicester 987. VLENÇ, M. R.. Métodos Numéricos. I.N.I.C., Brg, 988. De 8 de Mio º de Juo de 6 Uioeste - Cmpus de Toledo