. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL (OU DE POSIÇÃO) Coceto: São aquelas que mostram o alor em toro do qual se agrupam as obserações.. MÉDIA ARITMÉTICA ( ) Sea (x, x,..., x ), uma amostra de dados: Se os dados estão apresetados em uma dstrbução de freqüêcas com classes cada uma com freqüêca geérca f,,,...,, etão a méda artmétca será calculada como: x PM f f PM f Ex: Cálculo da méda dos pesos dos tereros da fazeda Caoas-SC, à partr dos dados orgas:,5... 9,5 50,5 x 5,075g 0 0 Cálculo da méda dos pesos dos tereros da fazeda Caoas-SC, à partr da dstrbução de freqüêcas:,75(4) 4,5(5) 5,75(8) 7,5() 8,75() 503 x 5,5 g 0 0. MÉDIA PONDERADA ( ) Se aos dados (x, x,...,x ), assocam-se certos fatores de poderação ou pesos (w, w,..., w ) que depedem do sgfcado ou mportâca atrbuída aos úmeros, etão temos: x w w
Ex: Notas de um aluo PROVA Peso (w ) Nota a. a. 3 a. 3 8,5 7,5 9,0 A méda esse caso dee ser a poderada: 3(8,5) (7,5) (9,0) 4 x 8,4 3 5 equato que a méda artmétca é: 8,5 7,5 9,0 x 8,3 3 PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA (a) A soma algébrca dos desos de um couto de dados (x, x,...,x ), em relação à méda artmétca, é zero. Ex: 4 5 6 x 5 (4 5) (5 5) (6 5) 0 0 Verfcado: ( x x) 0 x x x x x x x x 0 (b) A soma dos quadrados dos desos de um couto de dados,,,..., em relação a qualquer úmero a, é um mímo quado a e somete esse caso. Verfcado: f (a) ( a) f (a) ( a)( ) 0 a 0, que derado e gualado a zero, temos: cq
a, ou sea, a cq Ex: 4 5 6, cua méda é 5: (4-5) (5-5) (6-5) 0 Em toro de outro alor: (4-4) (5-4) (6-4) 045 (c) Se f dados têm méda m, f dados têm méda m,..., f dados têm méda m, a méda de todos os dados é: (méda poderada das médas) Ex: Dados de precptação méda de três cdades, em pluômetros espalhados em potos de cada uma cdade. Cdade Méda de Número de potos precptação (mm) Praccaba 00 5 Lmera 300 0 Campas 50 6 f m f Qual fo a méda de chua a regão? Ex: Médas :{4 5 6 4 7 } 5 3 4,5 DESVANTAGEM DA MÉDIA é sesíel a alores extremos Ex: Cosdere os dados: 5, 6, 8, 4, 7, 00 x,6666
.3 MEDIANA (Md) É o alor tal que metade do couto de dados é gual ou ferores a esse alor e a outra metade é gual ou superor a esse alor. É o alor que dde o couto de dados ao meo. -Se é IMPAR Md é o alor cetral Ex: Peso de tereros (g) 3 0 5 Rol 0 3 5 md Posção da medaa em uma amostra de tamaho mpar: -Se é PAR Md é a méda artmétca dos dos alores cetras Ex: 5 3 7 6 0 Rol 3 5 6 7 0 5 6 md 5, 5 Posções dos alores para o cálculo da medaa em uma amostra de tamaho par: e Ex: Peso dos tereros (g), 0, par. A medaa é a méda dos pesos dos amas de posções o rol: 0/0 o. e (0)/ o. Portato, como o rol dos dados ordeados de forma crescete é:,0,5 3,3 3,4 3,5 4,0 4,5 4,5 4,7 5,0 5,0 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 7, 8,0 9,5 5 5 logo a md 5g CÁLCULO DA MEDIANA ATRAVÉS DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA PASSOS: ( o ) Localzar a classe medaa (h-ésma)
h f ( o ) Md LI h h f h ode: LI h : é o lmte feror da classe medaa; : é o úmero de dados obserados; h f : é a soma de todas as freqüêcas das classes ferores à classe medaa; f h : é a freqüêca da classe medaa; h : é a ampltude do teralo de classe da classe medaa. Ex: Dstrbução de freqüêcas do peso de tereros (g) da raça croula preta, Fazeda Caoas-SC, 985. Classes Peso (g) Freqüêca Absoluta,0 -- 3,5 4 3,5 -- 5,0 5 5,0 -- 6,5 8 6,5 -- 8,0 8,0 -- 9,5 Total 0 0 (4 5) md 5,5 8 5,875g VANTAGEM DA MEDIANA EM COMPARAÇÃO COM A MÉDIA ão é sesíel a alores extremos. Não é afetada em preseça de alores extremos. Ex: 5, 6, 8, 4, 7, 00 Rol 4, 5, 6, 7, 8, 00 6 7 md 6,5
.4 MODA (Mo) É o alor que ocorre com maor freqüêca o couto de dados. É o alor mas comum, se exstr. -A moda pode NÃO EISTIR, Ex: {, 3, 5, 6, 7, 0} -Uma ÚNICA MODA (umodal), Ex: {,,, 3, 4} mo com freqüêca modal. -DUAS MODAS (bmodal) Ex : {,,, 3, 4, 4} mo e mo4 com freqüêca modal. Ex : {,,, 4, 3,, 4, 4} mo e mo4 com freqüêca modal 3. -MAIS DE DUAS MODAS (multmodal) Ex: {,,,,,, 3, 4, 4, 4} mo, mo e mo4 com freqüêca modal 3. Ex: Peso o dos tereros (g), 0, par. Portato, como o rol dos dados ordeados de forma crescete é:,0,5 3,3 3,4 3,5 4,0 4,5 4,5 4,7 5,0 5,0 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0 7, 8,0 9,5 Temos mo4,5 e mo5,0 com freqüêca modal. CÁLCULO DA MODA ATRAVÉS DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS PASSOS: ( o ) Localzar a classe modal (h-ésma). Obs. Se as ampltudes de classes forem dferetes ( s' ), calcular todos os f e tomar como classe modal aquela que forecer o maor alor desse quocete. ( o f h f h ) Mo LI h h f h f h f h ode: LI h : é o lmte feror da classe modal; f h : é a freqüêca da classe modal; f h- : é a freqüêca da classe medatamete feror à classe modal;
f h : é a freqüêca da classe medatamete superor à classe modal; h : é a ampltude do teralo de classe da classe modal. Ex: Dstrbução de freqüêcas do peso de tereros (g) da raça croula preta, Fazeda Caoas-SC, 985. Ex: Iteralos de Classes Freqüêca Peso Absoluta (g) classes dferetes Classes Freqüêca f / Peso Absoluta (g),0 -- 3,5 4,0 -- 4,0 5,5 3,5 -- 5,0 5 4,0 -- 7,0 8,6666 5,0 -- 6,5 8 7,0 -- 9,0 0 5 6,5 -- 8,0 9,0 -- 33,0 5 3,75 8,0 -- 9,5 33,0 -- 35,0 8 4 Total 0 Total 46 8 5 mo 5,5 5,45g A classe modal é a tercera. 8 5.5 QUARTIS são separatrzes que ddem o couto de dados em quatro partes guas. 5% 5% 5% 5% Varáel Q Q Q 3 3 Q Q Q 3 4 4.6 PERCENTIS são separatrzes que ddem o couto de dados em cem partes guas % %...... % % P P P 0 P 5 P 50 P 75 P 99 Pr r 00
x[p] x[p ] Se p for tero P00p Se p for ão tero P 00p x[t[ p] ], ode t é a fução tero. Ex.t[5,3]5. Ex: Um agrôomo precsa fazer um desbaste em mudas de mamão que estão em uma estufa, retrado 5% das mudas meores. Qual a altura abaxo da qual todas as mudas serão remodas? Altura de mudas de mamão em cm 0,3,0,9,6 3, 3,5 4,9 5,3 6,0 6,9 7,7 8, 8,7 9,9 0, 0,8 3,5 3,8 4, 4,5 4,6 6,0 6,3 6,8 8,3 8,5 9,3 30, 3,7 3, P 5? 30 p0,5 p4,5 P 5 x [t[4,5]] x [5] 3,cm RELAÇÃO ENTRE A MÉDIA, MODA E MEDIANA e a ASSIMETRIA DA DISTRIBUIÇÃO a) DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SIMÉTRICA f 3 5 4 5 FA 5 4 3 0 3 4 5 () () 3(5) 4() 5() 33 x 3 mo3 md3 Mo Md
b) DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ASSIMÉTRICA À DIREITA (ASSIMETRIA POSITIVA) CASO UNIMODAL f 5 3 4 5 6 FA 5 4 3 3 4 5 6 (5) () 3() 4() 5() 6() x,5 md mo Mo < Md < c) DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ASSIMÉTRICA À ESQUERDA (ASSIMETRIA NEGATIVA) CASO UNIMODAL f 3 4 5 6 5 FA 5 4 3-3 4 5 6 () () 3() 4() 5() 6(5) x 4,5 md5,0 mo6,0 < Md < Mo Ex: Peso o dos tereros ao ascer x 5,5g md 5,8g mo 5,45g O Peso dos tereros apreseta uma assmetra leemete egata.
Obs : Na dstrbução smétrca, se o hstograma for apoado a medaa, haerá equlíbro. Mas o poto de apoo é a méda que esse caso é gual a medaa. Obs : Na dstrbução postamete assmétrca, se o hstograma for apoado a medaa, ele pederá para dreta. O peso área do hstograma- está gualmete dddo etre os dos lados, mas o mometo o setdo horáro é maor, pos os braços de alaaca dados por [ -Md] são maores, ou sea o Torque é maor. O poto de apoo está mas à dreta, a méda. Obs 3 : Na dstrbução egatamete assmétrca, se o hstograma for apoado a medaa, ele pederá para esquerda. O peso área do hstograma- está gualmete dddo etre os dos lados, mas o mometo o setdo at-horáro é maor, pos os braços de alaaca dados por [ -Md] são maores, ou sea o Torque é maor. O poto de apoo está mas à esquerda, a méda. Obs 4 : A dstrbução de aráes ecoômco-socas é geralmete assmétrca: Ex: - Dstrbução dos SALÁRIOS - Dstrbução da RENDA - Dstrbução dos ESTABELECIMENTOS AGROPECUÁRIOS CONFORME SUA ÁREA NO BRASIL. Obs 5 : Qual das meddas de tedêca cetral dee ser usada? R. Depede do efoque de aálse. Ex: Dssído salaral em uma empresa ( Mo<Md< ) EMPRESÁRIO REPRESENTANTE DOS TRABALHADORES OUTROS TIPOS DE MÉDIAS. Méda Geométrca a méda geométrca de alores ão-egatos (,,..., ) é:... Obs: G e G se todos os forem guas. G
Ex : { 5 8 3 7 } g 5 5 5 8 3 7 680 4, 463 Ex : A quatdade de laraas em um pomar, aumetou de.000 para 4.000 em três das. Qual fo a porcetagem méda de acréscmo por da? Sol.: Sea r o acréscmo: - Quatdade de laraas depos do o da.000.000r.000(r) - Quatdade de laraas depos do o da.000(r).000(r)r.000(r) - Quatdade de laraas depos do 3 o da.000(r).000(r) r.000(r) 3.000(r) 3 4.000 (r) 3 4 r 3 4 r 3 4 - r0,587 ou 58,7% Assm, se a partr de uma quatdade P, que cresce a uma taxa costate r por udade de tempo, tem-se após udades de tempo, um total. Méda Harmôca ( r ) A P ou A méda r P geométrca a méda harmôca de alores dferetes de zero (,,, ) artmétca dos ersos dos alores. é o erso da méda H ou H H G H G Ex : { 5 8 3 7 } 5 8 3 7 h 5 3,846
Ex : Uma máqua agrícola realza uma operação etre dos potos: A----B. A 30m/h 60m/h Qual é a elocdade méda da máqua para o percurso? Sol. Supor que a dstâca etre os dos potos sea de 60m. h 30 60 40m / h Tempo Tempo A 60m AB 30m / h 60m 60m BA 60m / h h h 0m elocdade 40m / h 3 Obs: Se as dstâcas ( d ) ão são guas, dee-se poderar as elocdades por essas dstâcas: B B A 30m/h B 40 30 50m/h 50 45m/h H ode: d d 0 h 40 30 50 30 45 50 C 40m / h e é o tamaho da amostra.
3. Méda Quadrátca ou Raz da Méda Quadrátca a méda quadrátca de alores (,,, ) é a raz quadrada da méda dos quadrados dos alores. É muto usada em estatístca (deso padrão) e físca aplcada. MQ RMQ ou MQP Ex: {3, 5, 6, 6, 7, 0, } 3 5 6 6 7 0 mq 57 7, 5493 7 4. Méda Móel (f ) (f ) (f ) f H G MQ Sea t (,,..., ) os alores de uma sére temporal (Preços mesas de um produto ou a sére de produções de um bem ecoômco). Os alores da méda artmétca móel de termos são obtdos somado termos cosecutos da sére e dddo por. Valores da méda móel: 3 3 4 Obs: geralmete é o úmero de termos que correspode a um período de flutuação P t Bmestral Trmestral t
Ex: Preços auas: {, 6, 7,, 6, 7,, 6, 7} 3aos Mm{5, 5, 5, 5, 5, 5, 5} O úmero de termos a sére de médas móes é - Obs: Iteressa comparar os alores da sére temporal dada com os alores da méda móel. Para sso é ecessáro defr o alor da méda móel correspodete a um alor t qualquer da sére dada. o CASO) IMPAR: Qualquer úmero mpar pode ser escrto como λ, correspodete a t é: Ex: 3aos λ o CASO) PAR: t t 3 t M λ t, t Qualquer úmero par pode ser escrto como λ, λ I. Assm, a méda móel I. Um alor qualquer da méda móel ão correspode exatamete a ehum dos termos da sére dada. Ex: {4 5 6 7 5 7 8 9...} 4 Ex: {4 5 6 7} A méda móel correspoderá a um teralo e ão a um t da sére de dados. Solução: Méda móel cetralzada de λ termos correspodete ao alor t é: Se, etão λ M M t t λ t λ t tλ t λ t 0,5 t λ t λ t tλ 0,5 M t 0,5 t t 0,5 t tλ
0,5 4 5 0,5 6 M 5 0,5 5 6 0,5 7 M 3 6 Obs: O úmero de médas móes é: