Derivadas Parciais Raimundo A. R. Rodrigues Jr 1 de agosto de 2016 Sumário 1 Funções de Várias Variáveis 1 1.1 Funções de Duas Variáveis.............................. 1 1.2 Grácos........................................ 2 1.3 Curvas de Nível.................................... 3 1.4 Funções com Três ou Mais Variáveis......................... 4 2 Derivadas Parciais 5 2.1 Funções de duas variáveis.............................. 5 2.2 Funções de mais de duas variáveis.......................... 6 2.3 Derivadas de Ordem Superior............................ 6 2.4 Exercícios....................................... 7 1 Funções de Várias Variáveis 1.1 Funções de Duas Variáveis Denição: Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais (x, y) de um conjunto D, um único valor real denotado por f (x, y). O conjunto D é o domínio de f, e sua imagem, o conjunto de valores possíveis de f, ou seja, {f (x, y) (x, y) D}. Exemplo 1 Determine os domínios das seguintes funções e calcule f (3, 2). (a) f (x, y) = x + y + 1 x 1 (b) f (x, y) = x ln (y 2 x) 1
(a) f (3, 2) = 3 + 2 + 1 3 1 = 6 2 D = {(x, y) x + y + 1 0, x 1} (b) f (3, 2) = 3 ln ( 2 2 3 ) = 3 ln 1 = 0 D = { (x, y) x < y 2} Exemplo 2 Determine o domínio e a imagem de f (x, y) = 9 x 2 y 2 D = { (x, y) 9 x 2 y 2 0 } = { (x, y) x 2 + y 2 9 } I = {z 0 z 3} = [0, 3] 1.2 Grácos Denição: Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráco de f é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) em R 3 tal que z = f (x, y) e (x, y) pertençam a D. Exemplo 3 Esboce o gráco da função f (x, y) = 6 3x 2y. O gráco de f tem a equação z = 6 3x 2y, ou 3x + 2y + z = 6, que representa um plano. Fazendo y = z = 0 temos (2, 0, 0), e analogamente temos (0, 3, 0) e (0, 0, 6). 2
A função do Exemplo 3 é um caso especial da função f (x, y) = ax + by + c e é chamada função linear. O gráco de uma função tem a equação z = ax + by + c ou ax + by z + c = 0, é um plano. 1.3 Curvas de Nível Denição: As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são aquelas com equação f (x, y) = k, onde k é constante (na imagem de f). Uma curva de nível f (x, y) = k é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos quais o valor de f é k. Em outras palavras, ela mostra onde o gráco de f tem a altura k. Exemplo 4 A gura abaixo mostra um mapa de contorno para uma função f. Utilize-o para estimar os valores de f (1, 3) e f (4, 5). f (1, 3) 73 f (4, 5) 56 Exemplo 5 Esboce o gráco das curvas de nível da função f (x, y) = 6 3x 2y para os valores k = 6, 0, 6, 12. As curvas de nível são 6 3x 2y = k ou 3x + 2y + (k 6) = 0 As quatro curvas de nível particulares pedidas com k = 6, 0, 6, 12 são 3x + 2y 12 = 0 3
3x + 2y 6 = 0 3x + 2y = 0 3x + 2y + 6 = 0 Exemplo 6 Esboce o gráco das curvas de nível das funções g (x, y) = 9 x 2 y 2 para k = 0, 1, 2, 3 As curvas de nível são 9 x2 y 2 = k e x 2 + y 2 = 9 k 2 1.4 Funções com Três ou Mais Variáveis Denição: Uma função f com três variáveis é uma regra que associa a cada tripla ordenada (x, y, z) de um conjunto D R 3 um único valor real denotado por f (x, y, z). Exemplo 7 Determine o domínio de f (x, y, z) = ln (z y) + xy sin z D = { (x, y, z) R 3 z > y } Exemplo 8 Determine as curvas de superfície da função f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 4
Fazer exercício da pag 336, numeros 1 a 7 x 2 + y 2 + z 2 = k 2 Derivadas Parciais 2.1 Funções de duas variáveis Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções f x e f y denidas por f x (x, y) = lim h 0 f (x + h, y) f (x, y) h f y (x, y) = lim h 0 f (x, y + h) f (x, y) h Notações para as Derivadas Parcias Se z = f (x, y), escrevemos f x (x, y) = f x = f x = z f (x, y) = x x = f 1 = D 1 f = D x f f y (x, y) = f y = f y = z f (x, y) = y y = f 2 = D 2 f = D y f Regra para Determinar as Derivadas Parciais de z = f (x, y) 1. Para determinar f x, trate y como uma constante e derive f (x, y) com relação a x. 2. Para determinar f y, trate x como uma constante e derive f (x, y) com relação a y. Exemplo 9 Se f (x, y) = x 3 + x 2 y 3 2y 2, encontre f x (2, 1) e f y (2, 1). Respostas: 16 e 8 Exemplo 10 ( ) x Se f (x, y) = sin, calcule f 1 + y x e f y. ( ) ( ) x 1 x Resposta: cos. 1 + y 1 + y e cos x. 1 + y (1 + y) 2 5
Exemplo 11 Determine z x e z y se z é denido implicitamente como uma função de x e y pela equação x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1 Resposta: z x = x2 + 2yz z 2 + 2xy e z y = y2 + 2xz z 2 + 2xy 2.2 Funções de mais de duas variáveis e podemos também escrever Exemplo 12 u f (x 1,..., x i 1, x i + h, x i+1,..., x n ) f (x 1,..., x i,..., x n ) = lim x i h 0 h Determine f x, f y e f z se f (x, y, z) = e xy ln z. u = f = f xi = f i = D i f x i x i Resposta: f x = ye xy ln z, f y = xe xy ln z e f z = exy z. 2.3 Derivadas de Ordem Superior (f x ) x = f xx = f 11 = x (f x ) y = f xy = f 12 = y (f y ) x = f yx = f 21 = x (f y ) x = f yy = f 22 = y ( ) f = 2 f x x = 2 z 2 x 2 ( ) f = 2 f x y x = ( ) f = 2 f y x y = 2 z y x 2 z x y ( ) f = 2 f y y = 2 z 2 y 2 Exemplo 13 Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f (x, y) = x 3 + x 2 y 3 2y 2 6
Resposta: f xx = 6x + 2y 3 e f xy = 6xy 2 f yx = 6xy 2 e f yy = 6x 2 y 4 Teorema de Clairaut Suponha que f seja denida em uma bola aberta D que contenha o ponto (a, b). Se as funções f xy e f yx forem ambas contínuas em D, então f xy (a, b) = f yx (a, b) Derivadas parciais de ordem 3 ou maior também podem ser denidas. Por exemplo, f xyy = (f xy ) y = y ( ) 2 f = 3 f y x y 2 x e usando o Teorema de Clairaut podemos mostrar que f xyy = f yxy = f yyx se essas funções forem contínuas. Exemplo Calcule f xxyz se f (x, y, z) = sin (3x + yz). Resposta: f xxyz = 9 cos (3x + yz) + 9yz sin (3x + yz) 2.4 Exercícios Exercícos de derivadas parciais Exercício 1 Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. f (x, y) = y 5 3xy f (x, y) = x 4 y 3 8x 2 y f (x, t) = e t cos πx f (x, t) = x ln t f (x, y, z) = y x + y + z ; f y (2, 1, 1) f (x, y) = xy 2 x 3 y; f x e f y utilizando limites 7
f (x, y) = x x + y 2 ; f x e f y utilizando limites x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 1, z x e z y e z = xyz, z x e z y 8