PROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA

PROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA PROFESSOR RICARDO SA EARP () Seja Ω um domínio do plano complexo. Sejam f e g funções holomorfas em Ω. Assuma que g nunca se anule em Ω e que f(z) ( ) R, para todo z Ω. g(z) Determine uma relação entre f e g, justificando com rigor os seus cálculos e afirmações. (2) Seja U um aberto de C simétrico com respeito ao eixo real. Seja f : U C uma função holomorfa. Deduza com rigor que g(z) := f(z), z U, é holomorfa. (3) Deduza corretamente: (a) cos z, quando Im z. (b) e z2, se z e arg z α < π/4. (c) i i é real. (d) Se e z+τ = e z, z C então τ = 2kπi, k Z. (4) Seja o semi-disco aberto := {z, z <, Im z > } e seja D o disco unitário D := {z, z < }. Encontre uma equivalência conforme f : D entre e D. ( ) n z () Considere a série. z + n=3 (a) Deduza que a série é absolutamente convergente no domínio Ω = {z, Rz > }, com rigor. (b) Deduza que a série não converge para todo z satisfazendo Rz. (c) Encontre um conjunto K Ω tal que a série converge normalmente em K. (d) Encontre uma função holomorfa f(z) em C \ { }, tal que ( ) n z f(z) =, z Ω. z + n=3 Deduza que tal f(z) é única. (2) Seja a >. Considere

2 PROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA f(z) = z2 4z cosh a + 3 z 2 2z cosh a + (a) Encontre a série de Taylor de f(z) na origem, explicitando o raio de convergência e as quantidades f (n) (), n =,, 2,.... (3) Deduza que não existem funções analíticas definidas num domínio contendo a origem que satisfazem a condição abaixo, onde n N. () Calcule f(a) = 2πi z = f( n 2 ) = e n dz, a, a = (z a)(z /a) considerando os casos a < e a >, respectivamente. e iz (2) Considere a função f(z) = z(z 2 + ). 2 (a) Deduza que f(z) é uma função meromorfa em todo C, determinando todos os polos de f(z) e suas ordens, com rigor. (b) Considere g(z) = ei(z i) z(z + i). 2 (i) Deduza que g(z) é holomorfa numa vizinhança de z = i e obtenha os três primeiros termos não nulos da série de Taylor de g(z) em z = i. (ii) Calcule a parte principal e o termo constante da série de Laurent de f(z) em z = i. (iii) Calcule f(z) dz, e (z i)f(z) dz z i = z i = (3) Seja f(z) = z(z )(z 2). Deduza, com rigor, que existe o valor máximo de f(z) em z, deduzindo que é atingido no círculo z =, mas que não é atingido num ponto do disco aberto z <. Calcule este valor máximo e exiba um ponto do círculo z = onde este máximo é atingido. () Considere f(z) = z ( z) 2.

PROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA 3 (a) Deduza que f(z) é meromorfa em C, holomorfa em C\{}, e conforme no disco z <. (b) Deduza que f(z) = f(/z), inferindo que f(z) leva o círculo unitário na reta real, daí conclua que f(e iθ ) = f(e iθ ) R, θ (, 2π). e iθ ( e iθ ) = 2 Deduza que, θ (, 2π), concluindo que a imagem do círculo unitário z =, re- 4 sen 2 (θ/2) movendo o ponto z =, é o semi-eixo (, /4], recoberto duas vezes. (c) Explicite a séria de Taylor de f(z) na origem determinando o raio de convergência da série. (d) (item opcional que pode acarretar pontos adicionais). Deduza que f(z) é univalente em z <, e que assim é um mapeamento conforme do disco unitário em C\(, /4]. Sugestão: Você poderá considerar uma relação funcional que f(z) satisfaz. (2) Seja a R. Considere a série S(z) = z n cosh na. (a) Determine o raio de convergência R da série e calcule f (2n) (), n N a derivada de ordem 2 n na origem. Encontre uma função elementar f(z) que seja meromorfa em C; satisfazendo f(z) = S(z); z < R. (3) Exiba um exemplo de uma função holomorfa w = f(z); z <, satisfazendo às seguintes condições: (a) f(z) leva o disco z < no disco w <. (b) f(z) tem um zero de ordem 2 k no ponto /2 k, k =,, N, para N Z +. (c) f(z) =, se z =. (4) Responda verdadeiro ou falso. Caso verdadeiro dê uma dedução. Caso falso, dê um contra-exemplo. (a) Se a série a n (z c) n, tem raio de convergência R > e a n (n ); então n= a n R n <. (b) Seja {a n, n N} uma seqüência limitada. Segue então que o raio de convergência da série a n (z c) n é igual a. (5) Seja f(z) = ( z)( z 2 )( z 3 ).

4 PROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA Assuma a decomposição f(z) = /6 ( z) + /4 3 ( z) + /4 2 ( z 2 ) + /3 ( z 3 ). (a) Escreva f(z) = c(n)z n, z <, o desenvolvimento de n Taylor de f(z) na origem. Deduza fazendo um mínimo de contas que c(n) n 2 c(n) /2 (quando n ),i.e lim n n 2 /2 =. (b) (item opcional que pode acarretar pontos adicionais). Generalize para ( z p )( z p 2) = c(n)z n, z < ( z p k) n onde p,..., p k, são números primos. Sugestão: Considere ( z p )( z p 2) ( z p k) = outros termos da forma c ( ωz) j c ( z) k + (6) Seja w = g(z) uma função meromorfa em C, tal que g i. Deduza que a equação diferencial complexa de Ricatti g + g 2 + =, é verificada apenas para a família g(z) = i a e2iz + a e 2iz, a C. Sugestão: Considere a função meromorfa obtida pela composta de g(z) com a transformação de Möbius w w + i w i, dada por f(z) := g(z) i. Deduza que f(z) satisfaz um equação linear complexa em C \ {conjunto de polos de g(z) + i f(z)}. e iz () Considere a função f(z) = z(z 2 + ). 2 (a) Deduza que f(z) é meromorfa em C, determinando os seus polos com suas respectivas ordens. Justifique corretamente a sua resposta. (b) Escreva o desenvolvimento de Laurent de f(z) em z = i, determinando a parte principal e o termo constante. Escolha um e apenas um dentre os itens (c), (d) abaixo

PROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA 5 (c) Considere γ a elipse x 2 + 6(y ) 2 =, positivamente orientada. f(z) Calcule as integrais f(z) dz, z i dz, e f(z) (z γ i) dz. (d) (2 pt) Seja n Z. Defina g(z) = f(z) (z + i). Discuta o n comportamento local de g(z), em z = i, classificando a singularidade z = i, conforme os valores de n. (2) Seja α C. Considere a função f(z) = 2z2 z e α/z, z z 3,. Escolha um e apenas um dentre os itens (a), (b) abaixo γ (a) Assuma α. Será que lim f(z) =? Justifique corretamente z a sua resposta. (b) Determine se z = é uma singularidade artificial, pólo ou singularidade essencial de f(z). (c) Assuma que α =. Deduza que f(z) é integrável no disco unitário z <, explicitando uma primitiva de f(z), mostrando com todos os detalhes que tal primitiva está bem definida neste disco. (d) Assuma que α =. Seja L o segmento orientado começando em e terminando em i/2, e L 2 o segmento orientado começando em i/2 e terminando em /2. Seja γ = L L 2 a curva orientada obtida pela justaposição de L e L 2. Calcule f(z) dz. γ γ

6 PROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA Escolha uma e apenas uma dentre as questões 3, 4 abaixo (3) Exiba uma equivalência conforme (mapeamento conforme) entre o semi-disco aberto unitário (superior) e o disco unitário aberto. Justifique corretamente cada passo no que concerne a sobrejetividade, injetividade e conformidade. (4) Seja f(z) uma função inteira (holomorfa em todo C) e seja z C. Discuta, com rigor, o raio de convergência da série de Taylor de f(z) em z = z. Agora, assuma que f(z) satisfaz lim z f(z) =. Dê exemplos de tais f(z). Determine todas tais f(z). Escreva todos os desenvolvimentos na prova. Justifique corretamente as suas afirmações. Escolha três e apenas três dentre as questões abaixo. () Calcule (2) Calcule (3) Calcule I = I = x 4 + dx x 3 sen x x 4 + 6 dx + x 7 dx Sugestão: Use um contorno fechado ( setor ) formado pelo segmento de reta orientado ligando x = ao ponto x = R, pelo arco de círculo orientado ligando x = R ao ponto z = R e 2πi/7, e pelo segmento de reta orientado ligando z = R e 2πi/7 à origem. (4) Seja a R, a <. Seja n um inteiro ímpar. Calcule (5) Calcule π π sen nθ 2a sen θ + a 2 dθ 2π (cos θ) 2n dθ

(6) Calcule PROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA 7 + x ( + x + x 2 ) 2 dx ( + z) log z Sugestão: Considere a função, onde log z é um ( + z + z 2 ) 2 apropriado ramo do logaritmo em C \ [, ). Faça integração complexa num apropriado contorno neste domínio. () Seja f(z) = a sen z e z, z Ω := {z; Rz π/2, Iz π/2} (a) Calcule max f(z) Ω (b) Para a e π/2, mostre que f(z) tem apenas um zero em Ω e que este zero é real. Seja t este zero. (c) Calcule Ω em função de t. sen 2 2z(a cos e z ) (a sen z e z )z 2 dz (2) (3) Considere a função f(z) = + z + z 2 (a) Encontre o desenvolvimento de Taylor de f(z) na origem explicitando os coeficientes e determinando o raio de convergência da série. (i) Calcule z =/3 dz ( + z + z 2 )z n (ii) Mostre que f(z) é uma função meromorfa em C determinando seus pólos. (iii) Para o pólo a com Ia >, obtenha a série de Laurent de f(z) em torno de tal singularidade, explicitando seus coeficientes.

8 PROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA (iv) Seja log z o ramo principal do logaritmo e a a singularidade de f(z) no semi-plano superior. Calcule log z + z + z dz 2 z a =/2 (v) Classifique a singularidade de sen(f(z)) em z = a, fazendo uma justificativa rigorosamente sintética, usando no máximo 4 linhas. (4) Exiba uma família de funções limitadas definidas na bola unitária B () que seja normal, justificando sua afirmação em no máximo 4 linhas. (5) Seja f(z) uma função holomorfa numa vizinhança perfurada B ε() da origem satisfazendo n2 e iπ/n f(/n) = + n + n 2 para n N suficientemente grande (a) Assuma que f(z) está limitada. Determine f(z). (b) Discuta se f(z) pode ter ou não um pólo na origem, escrevendo no máximo 3 linhas. Caso afirmativo, exiba um exemplo. (c) Discuta se f(z) pode ter uma singularidade essencial na origem, exibindo um exemplo no caso afirmativo ou dando uma justificativa sumária de no máximo 2 linhas no csso negativo. Justifique corretamente a sua resposta. Os exercícios são independentes, você pode usar um resultado afirmado num item para resolver um item subsequente () Considere sequência {A n, n =, 2,...}. Assuma que n lim sup An = r n onde r [, ]. Considere a série A + A (z z ) + A 2 (z z ) 2 + + A n (z z ) n + () (a) Deduza que se r =, então a série () é absolutamente convergente em C \ {z }. (b) Deduza que se r > então a série () é absolutamente convergente para z z > r.

PROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA 9 (c) Deduza que se r = ou r > então a série () é uniformemente convergente em qualquer conjunto compacto K contido em z z > r, i.e K C \ {B r (z )} quando r > ou K C \ {z } quando r =. (d) Assuma que r = ou r >. Deduza que a série () representa uma função holomorfa f(z) em z z > r. Calcule explicitamente a derivada f (z). (e) Seja a n (z z ) n uma série satisfazendo lim sup n n an = R com R > r. Defina a n = A n, n =, 2,.... Considere a série a n (z z ) n + a n (z z ) n (2) Deduza que (2) representa uma função holomorfa g(z) no anel r < z z < R, deduzindo que a série, chamada de série de Laurent, converge normalmente no anel compacto r < s z z t < R. A recíproca do que você acaba de deduzir é verdadeira: Toda função holomorfa num anel r < z z < R, admite uma desenvolvimento em série de Laurent dada pela equação (2). Vamos ver um caso particular disto, num exercíco adiante. Quando f(z) é holomorfa um disco perfurado < z z < R, o coeficiente a da série de Laurent de f(z) é chamado de resíduo. (f) Assuma neste item que holomorfia implica analiticidade. Seja f(z) = P (z) Q(z) onde P (z) e Q(z) são holomorfas no disco z a < r. Assuma que P (a) e que Q(z) tem um único zero z = a no disco z a < r. Além disso, assuma que z = a é um zero simples de Q(z). (i) Deduza que no disco B r (a), f(z) é uma função meromorfa e que f(z) = P (a)/q (a) z a + a n (z z ) n

PROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA onde a série tem raio de convergência R r. Calcule o resíduo de f(z) em z = a. (ii) Agora assuma que tanto P (z) quanto Q(z) sejam polinômios de grau 2 e que Q(z) tenha raizes distintas a e a 2 que não são raizes de P (z). Deduza que f(z) P (a )/Q (a ) z a P (a 2)/Q (a 2 ) z a 2 = g(z) onde g(z) é uma função inteira. (iii) Aplicando o Grande Teorema de Picard, convenientemente, deduza que g(z) é constante, determinando esta constante em termo dos coeficientes de P (z) e de Q(z). (2) Seja a C; Ra >. Considere f(z) = z2 4z cosh a + 3 z 2 2z cosh a + (a) Deduza que f(z) é uma função meromorfa em C, calculando os seus polos e identificando as ordens destes polos. (b) Usando que holomorfia implica analiticidade, sem fazer um cálculo explícito, exiba o raio de convergência da série de Taylor de f(z) na origem, exibindo uma argumento que mostra que esta converge no disco considerado. (c) Deduza, usando o exercício (), que f(z) tem a seguinte forma f(z) = C + A z a + B (3) z b determinando as constantes A, B, C. Relate um outro método, digamos calculatoire para obter a expressão (3) acima, sem fazer as contas. (d) Obtenha explicitamente o desenvolvimento de Taylor de f(z) na origem. Calcule diretamente o raio de convergência da série (3). (3) Exiba um exemplo de uma aplicação meromorfa f(z) no plano complexo C : (a) f(z) leva o disco aberto unitário z < no disco aberto unitário w <. (b) f B () : B () B () é própria. (c) f(z) tem um zero de ordem 2 no ponto /2 e f(z) não tem outros zeros.

PROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA (4) Discuta sobre a unicidade do seu exemplo do item (3). (5) Determine todos os mapeamentos conformes do disco unitário B () em si mesmo. () Considere a aplicação g(z) = ( + z ) 2 z Mostre que g dá uma equivalência conforme entre o semi-disco aberto aberto A = {z, Im z >, z < } e o semi-plano aberto à = {w, Im w > }. (2) Considere a seqüência a n (z) := {z n /( + z n )}, z C. (a) Deduza que a sequência a n (z) converge pontualmente no disco z <. Além disso, encontre uma seqüência {α n }, α n <, satisfazendo α n com a n (α n ) (n ). Deduza que a sequência não é uniformemente convergente no disco unitário z <. (b) Mostre que a série z n /( + z n ) converge uniformemente n em {z; z r < }. (3) Responda verdadeiro ou falso. Caso verdadeiro esboce uma dedução rigorosa. Caso falso esboce um contra-exemplo detalhadamente. (a) Se f e g são duas funções holomorfas definidas em um domínio Ω satisfazendo f(z)g(z) = para todo z Ω, então f(z) ou g(z) em Ω. (b) Seja {a n, n N} uma sequência limitada. Segue então que o raio de convergência da série a n (z c) n é igual a. 2z 2 (4) Seja f(z) = 2 z z. 2 Obtenha o desenvolvimento de Taylor de f(z) na origem, determinando o raio de convergência da série e calculado f (n) (). () Calcule f(a) = 2πi z = dz, a, a =. (z a)(z /a) (2) Seja f uma função inteira; se lim f(z) =. Deduza que f z é um polinômio.

2 PROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA (3) Encontre o máximo de { sin z ; Rz π, Iz π}. Em que pontos este máximo é atingido? (4) Sejam a,..., a n e b números complexos de módulo inferior que, e sejam k,..., k n números inteiros positivos. Deduza que a equação n ( ) kj z aj = b za possui k := k + + k n soluções na bola unitária aberta de raio centrada na origem (contando multiplicidades). sin z (5) Considere f(z) = z 4 (z 2 + 2). (a) Escreva os 5 primeiros termos do desenvolvimento de Laurent de f(z) na origem. (b) Calcule sin z z 4 (z 2 + 2) dζ ζ =/2 (c) Explique em palavras, sem fazer cálculos, mas explicando corretamente, o procedimento para calcular sin z z 4 (z 2 + 2) dζ ζ = () Responda às afirmações abaixo. Se a resposta for positiva exiba uma dedução, se for negativa exiba um contra-exemplo. Para você responder às duas primeiras questões, vamos recordar algumas noções: Seja Ω um domínio do plano complexo C. Dada uma função harmônica u : Ω R, que é parte real de uma função holomorfa f : Ω C, dizemos que v = Im f é a conjugada harmônica de u. Neste caso, em virtude das equações de Cauchy-Riemann, a diferencial dv se escreve dv = u y dx + u x dy := du. Dada uma função harmônica u a -forma du, chamada de diferencial conjugada, está definida, mesmo que u não possua conjugada harmônica. Dada uma curva regular simples fechada γ, cujo traço está em Ω, os períodos da diferencial conjugada são por definição γ du = γ u n

PROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA 3 sendo que na igualdade acima estamos supondo γ parametrizada no sentido anti-horário, sendo n o normal unitário exterior, obtido do unitário tangente fazendo uma rotação no sentido horário. Este fato elementar é fruto de um cálculo feito em sala. Quando o domínio é multi-conexo, como um disco perfurado os períodos são calculados nos ciclos da homologia de Ω. No caso do disco perfurado, estes ciclos são círculos que dão volta em torno do puncture. (a) Uma função harmônica no disco perfurado < z < é a parte real de uma função holomorfa. (b) Uma função harmônica u no disco perfurado < z < de período zero é a parte real de uma função holomorfa. Neste caso a função complexa f(z) := u x (z) iu y (z), z Ω é integrável, ou seja, é holomorfa e é a derivada de uma função holomorfa F : Ω C. (c) A função constante z λ, λ =, Im λ >, e a identidade z z são as únicas funções inteiras que possuem as duas seguintes propriedades: (i) f(z) = se z =. (ii) f preserva o semi-plano superior aberto (leva H 2 em si mesmo). (a) Seja α e β números complexos satisfazendo α < e β <. Determine o maior valor da quantidade f (a) sob as seguintes condições sobre f: (i) f é uma função holomorfa definida no disco unitário aberto B () e f(z), z B (). (ii) f(α) = β. Além disso, encontre todas as funções f que realizam este máximo. (b) Seja C um arco se círculo passando pelos ponto do eixo real x = e x =, inteiramente contido no semiplano superior fechado Im z, fazendo um ângulo de π/n com o eixo real, n 2. Seja Ω o domínio cuja fronteira é C [, ]. Encontre um mapeamento conforme de Ω sobre o disco unitário aberto B (). (c) Seja f : C C uma função meromorfa com um número finito de zeros. Assuma que f(z) existe e é finito. lim z Deduza que f(z) é uma fração racional, ou seja, é um quociente de dois polinômios.

4 PROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA () Responda a uma e apenas uma das duas perguntas abaixo. (a) Seja r um número real positivo. Seja f(z) uma função holomorfa não identicamente nula que está definida num domínio Ω que contém o disco fechado B r () de raio r centrado na origem. Seja M = sup{ f(z) ; z r}. (i) Deduza que M > e que para cada z B r/m () a equação ζ = zf(ζ) possui uma única solução, digamos g(z), em B r (). (ii) Deduza que g(z) = ξ( zf (ξ)) dξ 2πi ξ zf(ξ) ξ =r (b) Sejam a, b pontos do disco unitário aberto centrado na origem B (). Sejam m, n números inteiros positivos. Deduza que a equação z m ( z a az ) n b =, possui exatamente m + n soluções em B (), contadas as multliplicidades. (2) Seja ζ um parâmetro complexo. Para cada ζ defina a função geradora ( ζ 2 (z /z) ) f(z) = e, z C \ {} Obtenha o desenvolvimento de Laurent de f(z) em termo do parâmetro ζ, determinando os coeficientes J n (ζ) da série de Laurent, seguindo o seguinte roteiro: Deduza primeiramente que para n N, um inteiro não negativo, as funções J n (ζ), chamadas de funções de Bessel, são funções inteiras da variável ζ, determinando explicitamente a série de Taylor em z = de J n (ζ), n N. Em seguida, deduza a relação J n (u) = ( ) n J n (u), n =, 2,.... (3) Responda a uma e apenas uma das duas perguntas abaixo. Seja n um inteiro positivo.

PROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA 5 (a) Calcule (b) Calcule I n = I n = 2π + x n dx cos 2n θ dθ (4) Seja Ω um domínio limitado. Seja {f n } uma sequência de funções holomorfas em Ω que são contínuas em Ω. Se a restrição de {f n } ao bordo Ω, f n Ω, converge uniformente em Ω, deduza que {f n } converge uniformemente em Ω. (5) Decida sobre a existência ou inexistência de uma sequência {f n } de funções inteiras satisfazendo as duas condições abaixo (a) lim n f n (z) =, se z = e lim n f n (z) =, se z. (b) sup{ f n (z), z =, n } = M <. (6) Discuta também a existência ou inexistência, quando uma das duas condições acima sobre a sequência {f n } for removida.